Vũ Văn Tuyền NT- NĐ Dạng hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy I/Bài toán : Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (P). Trên đờng thẳng Ax Vuồng góc với (P) tại A lấy S A . Gọi AA 1 , BB 1 ,CC 1 là các đờng cao trong tam giác ABC ; H là trực tâm. Gọi BB,CC là các đờng cao trong tam giác SBC . K là trực tâm . 1/ CMR : a/ S,K,A 1 thẳng hàng. b/ SB (CC 1 C) và SC (BB 1 B). c/ HK (SBC). 2/Chứng minh 6 điểm H,C,B 1 ,B,K,A 1 nằm trên một mặt cầu. 3/ Giả sử Ax cắt HK tại D . CMR tứ diện SBCD là tứ diện có các cặp cạnh đối diện vuông góc. 4/ CMR : Khi S thay đổi trên Ax thì tích SA.AD không đổi. Khi tam giác ABC đều cạnh a thì SA.AD bằng bao nhiêu. 5/ CMR : Khi S thay đổi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện luôn chứa một đờng tròn cố định. 6/Tính thể tích tứ diện SBCD. Tìm vị trí của S để thể tích này lớn nhất. H ớng dẫn giải: a/ BC AA 1 BC SA BC SA 1 nên SA 1 là đờng cao nên S,K,A 1 thẳng hàng. b/ Cm CC 1 (SAB) do ( CC 1 AB ; SA AB ) )'( ' 1 1 CCCSB CCSB CCSB Vũ Văn Tuyền NT- NĐ CM tơng tự ta có SC (BB 1 B). c/Chỉ ra : HK (CC 1 C) SB HK SB. HK (BB 1 B) SC HK SC. HK (SBC). 2/CM : B 1 ,B,K,A 1 cùng nhìn HC dới một góc vuông. 3/Ta có AD BC , BD (BB 1 B) SC SC BD DC (CC 1 C) SB DC SB đpcm. 4/ Ax thay đổi : * Cm 1 SAA đồng dạng với HAD Nên 1 1 AAHAADSA AD AA HA SA == (không đổi). *Khi ABC đều cạnh a ta có AA 1 = 2 3a ; AH = 3 3a . Nên SA.AD = 2 2 a . 5/ Gọi E là giao điểm của AB với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD tứ giác SBDE nội tiếp trong một đờng tròn SA.SD = AB.AE AE = AB SDSA. (không đổi) E cố định mặt cầu luôn đi qua đờng tròn cố định (đờng tròn ngoại tiếp BCE). II/ Luyện tập : Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a; cạnh SA vuông góc với đáy ABC và SA =a. M là một điểm thay đổi trên AB. Đặt góc ACM = , hạ SH CM. 1/ Tìm quĩ tích điểm H; suy ra giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHC. 2/ Hạ AI SC , AK SH. Tính độ dài AK , SK và thể tích tứ diện SAIK. H ớng đẫn giải : Vũ Văn Tuyền NT- NĐ 1/* Ta có AHCM CMSA CMSH H nằm trên đờng tròn đờng kính AC trong mặt phẳng (ABC). Nhng M thay đổi từ AB nên H nằm trên cung AE của đờng tròn trên (E là trung điểm của BC). *Ta có AHCSAHC SSAV . 3 1 = .Nhng do SA không đổi nên SAHC V max khi và chỉ khi AHC S max AHC vuông cân ở H ,cạnh huyền AC = a. Vậy max SAHC V = 124 . 3 1 32 aa a = (đvdt). 2/ Hạ AI SC. I là trung điểm của SC (AC=SC=a) AK SH. Ta có AH = a.sin . 22 2 22222 sin sin1 sin 11111 aaaSHSA AK + =+=+= 2 sin1 sin. + = a AK 2 2 2 222 sin1 sin1 + = + == a SK a AKSASK * KIAKSIAKSHCAK HCAK SHAK ,)( AKKISISSIVAKISI AKSI AISI AKISAKI 6 1 . 3 1 )( == mà + === 2 sin1 sin. , 2 2 2 1 a AK a SCSI theo cm t: )sin1(2 cos. )sin1(2 cos 2 2 22 222 + = + == a KI a SISKKI Nh vậy : )sin1(24 2sin 2 3 + = a V SAKI (đv thể tích). Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC Có SA vuông góc với đáy ABC . Đáy ABC là tam giác vuông tại C. Cho AC = a, góc giữa mặt bên SBC và mặt đáy ABC là . a/ Trong mặt (SAC) từ A hạ SF SC . CMR : AF (SBC) b/ Gọi O là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ O tới mặt phẳng (SBC)theo a và . H ớng dẫn giải: Vũ Văn Tuyền NT- NĐ a/ Cm : )(SACBC góc =SCA Ta có )( )( SBCAF cmtBCAF SCAF b/Kẻ OH // AF vì )()( SBCOHSBCAF nên khoảng cách từ O (SBC) là: == sin 2 1 2 1 aAKOH . Ví dụ 3 :Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vvới cả ba góc nhọn. Trên đờng thẳng (d) vuông góc với (P) tại A ,lâý điểm M . Dựng BK AC, BH CM . Đờng thẳng KH cắt (d) tại N. a/ CMR : BN CM . b/ CMR : BM CN. c/ Hãy chỉ ra cách dựng điểm M trên (d) sao cho đoạn MN ngắn nhất. H ớng đẫn giải: a/ Ta có MCBK AMBK gtACBK )( mà BNMCBHNMCMCBH )( , Vũ Văn Tuyền NT- NĐ b/ Ta có NCBKMACBK AMBK ACBK )( (1) Trong tam giác MNC có MCHNMNAC , (vì )(NHBMC ) K là trực tâm nên NCMK (2) Từ (1),(2) ta có MBNCMBKN C )( . c/ Vì K là trực tâm của tam giác CMN nên ta có: AMK đồng dạng với ACN ACAKANAM = . (không đổi). Vậy khi M di động trên (d) tích AM.AN không đổi nên MN=AM+AN nhỏ nhất khi AM=AN= ACAK. . III/Bài tập tự giải : Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA (ABC). Đặt SA =h. a/ Tính khoảng cách từ A đến (SBC) theo a,h. b/ Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là trực tâm tam giác SBC. CMR : OH (SBC). Bài 2 : Cho tam giác ABC đều cạnh a. Trên đờng thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm M. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC ; K là trực tâm của tam giác BCM . a/ CMR : MC (BHK), HK (BMC). b/ Khi M thay đổi trên (d). Tìm giá trị max của thể tích tứ diện KABC. Đ/s : 48 3 a Bài 3 : Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác vuông ABC, vuông tại A , cạnh SB vuông góc với đáy (ABC). Qua B kẻ BH SA , BK SC. Chứng minh rằng SC (BHK) và hãy tính diện tích tam giác BHK. Biết rằng AC= a , Bc = a 3 ,SB = a 2 . Đ/s : 10 5 2 a S BHK = . Kết luận : Dới đây là ý kiến rút ra tử bản thân tôi và sẽ có nhiều thiếu sót rất mong các đồng nghiệp tham khảo và đóng góp ý kiến cho ý kiến trên để có sự hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn. Ngời viết: Phạm Văn Bằng . a.sin . 22 2 22222 sin sin1 sin 11 111 aaaSHSA AK + =+=+= 2 sin1 sin. + = a AK 2 2 2 222 sin1 sin1 + = + == a SK a AKSASK * KIAKSIAKSHCAK HCAK SHAK ,)( AKKISISSIVAKISI AKSI AISI AKISAKI 6 1 . 3 1 )(. ớng dẫn giải: a/ BC AA 1 BC SA BC SA 1 nên SA 1 là đờng cao nên S,K,A 1 thẳng hàng. b/ Cm CC 1 (SAB) do ( CC 1 AB ; SA AB ) )'( ' 1 1 CCCSB CCSB CCSB Vũ. 6 1 . 3 1 )( == mà + === 2 sin1 sin. , 2 2 2 1 a AK a SCSI theo cm t: )sin1(2 cos. )sin1(2 cos 2 2 22 222 + = + == a KI a SISKKI Nh vậy : )sin1(24 2sin 2 3 + = a V SAKI (đv thể tích). Ví