THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CÓ MỘT CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG I CHỦ ĐỀ 2.1 Thể tích khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy (hoặc hai mặt bên liền kề vng góc với đáy) MỨC ĐỘ Câu [2H1-2.1-3] [THPT Quảng Xương lần 2] Cho hình chóp S ABC có SA  ( ABC ) , ABC vng B , AB a , AC a Biết góc SB mp  ABC  300 Thể tích V khối chóp S ABC là: 2a a3 a3 a3 A V  B V  C V  D V  18 Hướng dẫn giải Chọn B S ABC 1 a2 a  AB.BC  a.a  SA  AB.tan 300  2 ; 1 a a 2 a3  VS ABC  SA.S ABC   3 18 Câu [2H1-2.1-3] [THPT Ngơ Sĩ Liên lần 3] Hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình chữ nhật cạnh AB a , AD a ; SA  ( ABCD) , góc SC đáy 60 Thể tích khối chóp S ABCD A 3a B 2a3 C 2a Hướng dẫn giải D 6a Chọn C S A a D a C   AC  AB  BC  a  a  B a  AC hình chiếu vng góc SC  ABCD   ,  ABCD   SC  , AC SCA   SC 60o      SAC vuông A   SA  AC tan SCA a tan 60o 3a  S ABCD  AB AD a.a a 2 1  VS ABCD  SA.S ABCD  3a.a 2  2a 3 TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN Câu PHƯƠNG PHÁP [2H1-2.1-3] [THPT chun Phan Bội Châu lần 2] Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với đáy Tam giác ABC vuông cân B SA  AC 2a Tính theo a thể tích khối chóp S ABC A a B 2 a 3 a Hướng dẫn giải C D a Chọn B Chọn C S 2a B A 2a C Vì tam giác ABC vng cân B  BA BC  AC a 2 Diện tích tam giác vng ABC là: S ABC  BA.BC a 2 Thể tích khối chóp S ABC là: V  AA.S ABC  a 3 Câu [2H1-2.1-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB a, AC a , SA vng góc với mp đáy Góc tạo  SBC  mặt đáy 300 Thể tích S ABC A a3 B a3 C a3 D a3 Hướng dẫn giải Chọn A Xét ABC vuông A TRANG TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP BC  AB  AC  BC  a AH BC  AB AC  AH    a2 BC a  AB AC a.a a  ; AH  BC a 3 Góc tạo  SBC   ABC  góc SHA Tan300  SA a a  SA  AH tan 300  AH 3 3 1 VS ACB  SA AB AC  a a.a  a 3 Câu [2H1-2.1-3] [Sở GD&ĐT Bình Phước] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a Cạnh bên SA vng góc mặt đáy, thể tích khối chóp S ABC a3 Tính độ dài đoạn SA A a B a a Hướng dẫn giải C D 4a Chọn A S C A B 3 a3  Đặt V  SA  2a   a SA   SA  a 4 Câu [2H1-2.1-3] [Sở GD&ĐT Bình Phước] Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh 2a , SA   ABC  Góc hai mặt phẳng  SBC   ABC  30o Thể tích khối chóp S ABC A a3 B a3 12 a3 Hướng dẫn giải C D a3 Chọn C TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP S A 2a 30o 2a C I B 2a  30  SIA Gọi I trung điểm BC Góc hai mặt phẳng  SBC   ABC  SIA AI nửa tam giác nên SA   2a a  2a   a 3  V  S SA Thể tích khối chóp S ABC a ABC 3 Câu [2H1-2.1-3] [THPT chun Hưng n lần 2] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh SA vng góc với đáy SA  y Trên cạnh AD lấy điểm M cho AM  x Biết x  y a Tìm giá trị lớn thể tích khối chóp S ABCM A a3 B a3 a3 Hướng dẫn giải C D a3 Chọn D Ta có  x  a ; y  a  x 1  x  a a  a a2  x2  x  a  VS ABCM  SA.S ABCM  y 3 Xét hàm số f  x   a  x  x  a  f  x    2x  ax  a a2  x2 TRANG TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP  x  a a f  x  0   nhận x  a x   a  3a  Max f  x   f     2 MaxVS ABCM Câu a3  [2H1-2.1-3] [THPT chuyên Hưng Yên lần 2] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a cạnh bên SA vng góc với mặt đáy Gọi E trung điểm cạnh CD Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBE  2a , tính thể tích khối chóp S ABCD theo a A VS ABCD a B VS ABCD  2a a 14 C VS ABCD  26 Hướng dẫn giải D VS ABCD  a3 Chọn D S H A D K B Kẻ AK  BE , AH  SK nên AH d  A,  SBE    BE  BC  CE  E C 2a a Mà BCE AKB  BC BE BC AB 2a   AK   AK AB BE TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN Nên 1 AK AH 2    SA  a  SA a AH AK SA2 AK  AH Do đó: VS ABCD Câu PHƯƠNG PHÁP a3  SA AB.BC  3 [2H1-2.1-3] [BTN 163] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , cạnh bên SA vng góc với đáy Biết hình chóp S ABC tích a Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  A d  6a 195 65 B d  4a 195 4a 195 C d  65 195 Hướng dẫn giải D d  8a 195 195 Chọn B Gọi điểm hình vẽ Ta có AI  BC , SA  BC suy BC  AK  AK d A, SBC   S K C A I B Ta có: V a , S ABC  Mà AI  a  SA 4a a Trong tam giác vuông SAI ta có Vậy d  AK  1  2 2 AK AS AI AS AI 4a 195  2 AS  AI 65 Câu 10 [2H1-2.1-3] [THPT Tiên Lãng] Cho hình chóp S ABC có ABC tam giác cạnh a SA vng góc với đáy Góc tạo mặt phẳng ( SBC ) mặt phẳng ( ABC ) 30 Thể tích khối chóp S ABC a3 A 24 a3 B 12 a3 C D a3 zzzzz zzzzz Hướng dẫn giải Chọn D  Gọi M trung điểm BC Suy SMA 30 a a  SA  AM tan SMA  tan 30  2 1 a a a3 VS ABC  SA.S ABC   3 24 TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP Câu 11 [2H1-2.1-3] [TT Hiếu Học Minh Châu] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách từ trọng tâm G tam giác SAB đến mặt phẳng  SAC  A a B a C a D a Hướng dẫn giải Chọn B Gọi M trung điểm AB , gọi AC cắt BD O d  G,  SAC   SG 2    d  G,  SAC    d  M ,  SAC   Ta có d  M ,  SAC   SM 3 Gọi H hình chiếu M AC 1 a Khi MH   SAC  nên d  M ,  SAC   MH  BO  BD  4 a a Vậy  d  G,  SAC     Câu 12 [2H1-2.1-3] [THPT THÁI PHIÊN HP] Cho hình chóp S ABC có cạnh SA SB SC a SA, SB, SC đơi vng góc với Tính theo a khoảng cách h từ điểm S đến mặt phẳng  ABC  A h  a a B h  a C h  Hướng dẫn giải D h  a Chọn A A I C S J B TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP Gọi I hình chiếu S lên mặt phẳng  ABC  Ta chứng minh I trực tâm tam giác ABC  SA  SB  SA  BC   SA  SC SI  BC  BC   SAI   BC  AI Tương tự BI  AC Nên I trực tâm tam giác ABC 1  2 SI SA SJ 1  2 Mà SJ SB SC 1 1 a   SI  Nên    SI SA SB SC a a Vậy d  S ,  ABC    Câu 13 [2H1-2.1-3] [THPT CHUYÊN BẾN TRE] Khối chóp S ABC có SA vng góc với  ABC  , đáy ABC tam giác vuông B Biết SB 2a , BC a thể tích khối chóp a3 Khoảng cách từ A đến  SBC  A 3a B a a Hướng dẫn giải D 6a C Chọn B BC  ( SAB ) nên BC  SB Tam giác SBC vuông B nên S SBC  a.2a a VS ABC  d ( A, ( SBC )).SSBC a   d ( A, ( SBC )).a  d ( A, ( SBC )) a 3 Câu 14 [2H1-2.1-3] [Cụm HCM] Cho khối tứ diện ABCD có ba cạnh AB , AC , AD đơi vng góc tích V Gọi S1 , S2 , S3 theo thứ tự diện tích tam giác ABC , ACD , ADB Khi khẳng định khẳng định đúng? TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN A V  S1S2 S3 B V  PHƯƠNG PHÁP S1S2 S3 S1S2 S3 C V  3 Hướng dẫn giải D V  S1S2 S3 Chọn C 8S1S S3 1 1 1 1 V  AB AD AC  AB AD AC  AB AC AD AC AB AD  2 V 2S1S S3 Câu 15 [2H1-2.1-3] [SỞ GD ĐT HÀ TĨNH] Cho hình chóp tứ giác S ABCD , đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy góc SC  ABCD  45 Thể tích khối chóp S ABCD A a3 B a a3 Hướng dẫn giải C D a3 Chọn C S D A 45 B C Ta có S ABCD a.a a Đường chéo AC a  Vì tam giác SAC vng A SCA 45 nên SA  AC a a3 Thể tích khối chóp S ABCD V  a a  3 Câu 16 [2H1-2.1-3] [THPT Lý Nhân Tơng] Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình thoi cạnh a 3, ABC 120o , SC  ( ABCD) Mặt bên  SAB  tạo với đáy góc 45 Khoảng cách SA BD tính theo a bằng: a a 3a 2a A B C D 10 10 Hướng dẫn giải Chọn C TRANG TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN PHƯƠNG PHÁP S J B H C I O A D Gọi I trung điểm CD , kẻ CJ / / BI , J  AB ta có SJC 45o nên SC CJ BI  3a Kẻ OH  SA OH đoạn vng góc chung SA BD nên OH d ( BD, SA) Từ tam giac vng đồng dạng ta có : OH  OA.SC 3a  SA 10 Câu 17 [2H1-2.1-3] [THPT Hồng Quốc Việt] Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng cân B , AB a ; SA vng góc mặt phẳng  ABC  , Góc mặt phẳng  SBC  mặt phẳng  ABC  A a 30 Gọi M trung điểm SC , thể tích khối chóp S ABM 36 a3 B 18 a3 C 18 Hướng dẫn giải a3 D Chọn A a a3  0    SBC  ;  ABC   30  SBA 30  SA   VSABC  18 VSABM a3   VSABM  VSABC 36 Câu 18 [2H1-2.1-3] [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5] Cho hình chóp S ABC có SA ^ ( ABC ) , SA = a ¼ ACB = 600 Biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC a Tính độ dài cạnh AB A AB = a B AB = a a C AB = 2 Hướng dẫn giải D AB = a Chọn B TRANG 10 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP S Δ M K A C I B Gọi I giao điểm ba đường trung trực tam giác ABC Khi kẻ đường thẳng D qua I vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Þ SA / / D Trên trục D lấy K cho KA = KS , kẻ KM ^ SA với M trung điểm SA Suy K tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC có KA = a bán kính Xét tam giác vng KMA M Þ MK = AK - MA2 = AK - SA2 a = = AI Theo định li sin ta có AB a = AI Þ AB = AI sin C = sin C Câu 19 [2H1-2.1-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 04] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , hai mặt bên  SAB   SAD  vng góc với mặt phẳng đáy Biết góc  SCD   ABCD  450 Gọi H K trung điểm SC SD Thể tích khối chóp S AHK là: A a3 24 B a3 C a3 D a3 12 Hướng dẫn giải Chọn A  SAB   SAD  vng góc với mặt phẳng đáy  SA   ABCD    450  SA  AD a   SCD  ,  ABCD   SDA 1 a a3 VS ACD  SA.SSCD  a  3 VS AHK SH SK 1 a3    VS AHK  VS ACD  VS ACD SC SD 4 24 Câu 20 [2H1-2.1-3] [THPT Quảng Xương lần 2] Cho hình chóp S ABC có SA  ( ABC ) , ABC vng B , AB a , AC a Biết góc SB mp  ABC  300 Thể tích V khối chóp S ABC là: 2a a3 a3 a3 A V  B V  C V  D V  18 Hướng dẫn giải Chọn B TRANG 11 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP 1 a2 a S ABC  AB.BC  a.a  SA  AB.tan 300  2 ; 1 a a 2 a3  VS ABC  SA.S ABC   3 18 Câu 21 [2H1-2.1-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB a, AC a , SA vng góc với mp đáy Góc tạo  SBC  mặt đáy 300 Thể tích S ABC A a3 B a3 C a3 D a3 Hướng dẫn giải Chọn A Xét ABC vuông A BC  AB  AC  BC  a AH BC  AB AC  AH    a2 BC a  AB AC a.a a  ; AH  BC a 3 Góc tạo  SBC   ABC  góc SHA Tan300  SA a a  SA  AH tan 300  AH 3 3 1 VS ACB  SA AB AC  a a.a  a 3 Câu 22 [2H1-2.1-3] [Sở GD&ĐT Bình Phước] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác a3 cạnh 2a Cạnh bên SA vuông góc mặt đáy, thể tích khối chóp S ABC Tính độ dài đoạn SA a 4a a a A B C D 3 4 Hướng dẫn giải Chọn A TRANG 12 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP S C A B 3 a3  Đặt V  SA  2a   a SA   SA  a 4 Câu 23 [2H1-2.1-3] [Sở GD&ĐT Bình Phước] Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh 2a , SA   ABC  Góc hai mặt phẳng  SBC   ABC  30o Thể tích khối chóp S ABC A a3 B a3 12 a3 Hướng dẫn giải C D a3 Chọn C S A 2a 30o B 2a C I 2a  30  SIA Gọi I trung điểm BC Góc hai mặt phẳng  SBC   ABC  SIA 2a AI nửa tam giác nên SA   a 3 a3  2a  Thể tích khối chóp S ABC V  S ABC SA  a  3 Câu 24 [2H1-2.1-3] [BTN 163] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , cạnh bên SA vng góc với đáy Biết hình chóp S ABC tích a Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  A d  6a 195 65 B d  4a 195 4a 195 C d  65 195 Hướng dẫn giải D d  8a 195 195 Chọn B Gọi điểm hình vẽ TRANG 13 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP Ta có AI  BC , SA  BC suy BC  AK  AK d A, SBC   S K C A I B Ta có: V a , S ABC  Mà AI  a  SA 4a a Trong tam giác vng SAI ta có Vậy d  AK  1  2 2 AK AS AI AS AI 4a 195  2 AS  AI 65 Câu 25 [2H1-2.1-3] [BTN 161] Hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình chữ nhật cạnh AB a, AD a , SA   ABCD  , góc SC mặt phẳng đáy 60 Thể tích khối chóp S ABCD bằng: A 3a B 3a C a Hướng dẫn giải D a Chọn C SA   ABCD  nên AC hình chiếu vng góc SC lên mặt phẳng  ABCD  Xét ABC vng B , ta có AC  AB  BC  a  2a a Xét SAC vuông A ,  SA   ABCD    SA  AC Ta có:  tan SCA  SA   SA  AC.tan SCA  AC.tan 60 a 3 3a AC Vậy thể tích hình chóp S ABCD VS ABCD 1 SA.S ABCD 1 3a.a.a a 3 TRANG 14 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP Câu 26 [2H1-2.1-3] [THPT Thanh Thủy] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA   ABCD  , AC 2 AB 4a Tính thể tích khối chóp S ABC biết góc mặt phẳng  SBD  A  ABCD  30 4a B 4a 2a 3 Hướng dẫn giải C D 4a 3 Chọn C  BC  AC  AB  12a 2a  Ta có AC 4a, AB 2a   AC BD 4a, AO  2a   ( với O giao điểm AC BD ) Suy AOB cạnh 2a  AB  AO OB 2a   AM  OB  OB  SM mà  SBD    ABCD  BD Gọi M trung điểm OB    OB  SA   Suy  SBD  ,  ABCD   SMA  30   2a a SA  tan 30   SA tan 30 AM  a a AM Ta có AM  1 1 2a 3 (đvtt)  VS ABC  SA AB AC  a .2a.2a  3 Câu 27 [2H1-2.1-3] [Cụm HCM] Cho khối tứ diện ABCD có ba cạnh AB , AC , AD đơi vng góc tích V Gọi S1 , S2 , S3 theo thứ tự diện tích tam giác ABC , ACD , ADB Khi khẳng định khẳng định đúng? A V  S1S2 S3 B V  S1S2 S3 S1S2 S3 C V  3 Hướng dẫn giải D V  S1S2 S3 Chọn C TRANG 15 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP 8S1S S3 1 1 1 1 V  AB AD AC  AB AD AC  AB AC AD AC AB AD  2 V 2S1S S3 Câu 28 [2H1-2.1-3] [Sở Bình Phước] Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng Biết SA   ABCD  A a3 SB SC  a Tính thể tích khối chóp S ABCD B a3 a3 Hướng dẫn giải C D a3 12 Chọn A Đặt cạnh hình vng x  AC x Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông SAB SAC ta có: SA2 SB  AB SC  AC  2a  x 3a  x  x a 1 a3 Khi thể tích khối chóp V  SA.S ABCD  a.a  3 Câu 29 [2H1-2.1-3] [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5] Cho hình chóp S ABC có SA ^ ( ABC ) , SA = a ¼ ACB = 600 Biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC a Tính độ dài cạnh AB A AB = a B AB = a a C AB = 2 Hướng dẫn giải D AB = a Chọn B S Δ M K A I C B Gọi I giao điểm ba đường trung trực tam giác ABC Khi kẻ đường thẳng D qua I vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Þ SA / / D Trên trục D lấy K cho KA = KS , kẻ KM ^ SA với M trung điểm SA Suy K tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC có KA = a bán kính Xét tam giác vng KMA M TRANG 16 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN PHƯƠNG PHÁP Þ MK = AK - MA2 = AK - SA2 a = = AI Theo định li sin ta có AB a = AI Þ AB = AI sin C = sin C Câu 30 [2H1-2.1-3] [THPT Hùng Vương-PT] Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt đáy, SB tạo với mặt phẳng  SAD  góc 30o Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V  a3 B V 2a 3 C V  2a D V  a3 Hướng dẫn giải Chọn A S A B D C  AB  AD  AB   SAD  nên SA hình chiếu SB lên mặt phẳng  SAD    AB  SA BA   SA a 300 ; tan 300   SB,  SAD   BSA SA 1 a3 V  SA.S ABCD  a 3.a  3 Câu 31 [2H1-2.1-3] [THPT Quoc Gia 2017] Cho khối chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , a SA vng góc với đáy khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  Tính thể tích V khối chóp cho A V  a3 B V  a3 C V  a3 D V a Hướng dẫn giải Chọn A Kẻ AH vng góc SB Ta có AH  ( SBC ) nên AH khoảng cách từ A đến mp  SBC  1 1 1  2     Ta có 2 2 AH SA AB SA AH AB a a3 Suy SA a Thể tích cần tính V  a.a.a  3 TRANG 17 ... 2] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a cạnh bên SA vng góc với mặt đáy Gọi E trung điểm cạnh CD Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBE  2a , tính thể tích khối chóp S ABCD... [2H1-2.1-3] [SỞ GD ĐT HÀ TĨNH] Cho hình chóp tứ giác S ABCD , đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy góc SC  ABCD  45 Thể tích khối chóp S ABCD A a3 B a a3 Hướng... 2] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh SA vng góc với đáy SA  y Trên cạnh AD lấy điểm M cho AM  x Biết x  y a Tìm giá trị lớn thể tích khối chóp S ABCM A a3 B a3