GTLN, GTNN của hàm số và ứng dụng

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG I... Xét hệ tọa Đề các vuông góc Oxyz... EIJKLN với các điểm E, I, J, K, L, N là trung điểm các cạnh hình lập phương.Gọi O là hình chiế

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

I DẠNG 1: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Bài 1 (Đề dự bị TSĐH 2003 khối B) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của y x 4 1 x 6   23

trên đoạn 1;1

Cách 1 Đặt u x 20;1 Ta có y u 4 1 u 3   33u 12u 12u 43 2 

2

2

y 9u 24u 12 0 u 0;1 ;u 2 1

3

Nhìn bảng biến thiên ta có maxy 4;miny 4

9

Cách 2 Đặt

x sinu  y sin u 4cos u   sin u cos u 3cos u   sin u cos u 3 4    maxy 4

Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có

3

3









y sin u 4cos u sin u cos u y

Bài 2 (Đề thi TSĐH 2003 khối B) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của y x  4 x 2

4 x



x 0

x 4 x

 

 



Lập bảng biến thiên ta có maxy 2 2 ; miny 2

maxy 2 2 ; miny 2

Bài 3 a) Lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất của hàm số y x 32

x 1





 b) Cho a b c 1   Chứng minh rằng: a 12  b 12  c 12  10

x 1 x 1



x

Suy ra xlimy 1;limyx 1

      

x 2
2
y  +000y 2
2

x1/3
y  +000y 11

x01f 0 00f4

1

Nhìn bảng biến thiên ta có y x 32 10 maxy 10

x 1



 b) Theo phần a) thì x 3  10 x 12 Đặc biệt hóa bất đẳng thức này ta có

2

2

2

x a:a 3 10 a 1

x b:b 3 10 b 1

x c:c 3 10 c 1









Cách 2 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy đặt OAa;1 ;AB b;1 ;BC c;1

Khi đó

OC OA AB BC    a b c ; 3 

   

Do OA AB BC OA AB BC OC     

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

Từ đó suy ra a 12  b 12  c 12  10

Bài 4 Cho x y 12 2 Tìm Max, Min của  2

2

2 xy y S

2xy 2x 1





 

S

2xy 2x 1 2xy 2x x y 3x 2xy y

       Nếu y  0 thì S  0.

Với y  0, đặt x t

y 

2

2

2 2

2y t 1 2 t 1 S

3t 2t 1

y 3t 2t 1

 

Ta có:

2 3t 2t 1 2 t 1 6t 2 2 3t 6t 1

S

Nhìn bảng biến thiên suy ra: 2 6 S 2 6

Với t 3 6

3

 

  y 3 4 6 ;x 3 6 y

2





Với t 3 6

3

 

  y 3 4 6 ;x 3 6 y

2





Bài 5 (Đề 33 III.2, Bộ đề thiTSĐH1987 – 1995)Cho x y 12 2 Tìm Max, Min của A

 x 1 y y 1 x  

x y  1 y  1 x   2 x y   2 2 x y  2 2 Với x y 1

2

 

thì A  2 2

• Nếu xy 0   

x,y 0;1 A 0

   



  MinA1 với x 1;y 0

x 0;y 1

  



 



2

tt1t2
S00S0 0

Xét xy 0 : Đặt x y t   xy t 12 0

2

   t  1,1

A x 1 y 2xy 1 x 1 y    y 1 x  1 xy x y 2xy 1 x y xy    

 1 t t 12 2 t 12 1 t t 12

t 1 1 2 t 2 1

2  

 A2 f t  1 1 2 t 3 2t2 1 2 t 2 2

Ta có:     2

 

2 19 3 2

27



  Nhìn bảng biến thiên suy ra: 2    

A f t  A f t

1

2 19 3 2

27



 x y t  1 ;

2 1

t 1 xy

2





 x, y là nghiệm của u2 1 2u 2 3 0

1 2 15 2 2

x,y

6



Bài 6 Cho x,y,z 0,1  thoả mãn: x y z 3

2

   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S cos x y z  

Giải Do x,y,z 0,1  nên 0 x y z2 2 2 x y z 3

2 2

        và hàm số y cos  nghịch biến trên  0,

2

 nên để tìm MinS ta tìm Maxx y z2 2 2 Xét hệ tọa Đề các vuông góc Oxyz Tập hợp các điểm M x,y,z thoả mãn điều kiện   x,y,z 0,1  nằm trong hình lập phương cạnh 1 với các đỉnh là:

A(0, 1, 1); B(1, 1, 1); C(1, 0, 1); D(0, 0, 1); A(0, 1, 0); B(1, 1, 0); C(1, 0, 0); O(0, 0, 0) Mặt khác do x y z 3

2

   nên M x,y,z nằm trên mặt 

phẳng (P): x y z 3

2

  

Vậy tập hợp các điểm M x,y,z thoả mãn điều kiện giả 

thiết nằm trên thiết diện

t1t1t2
1001 1

y 3
/ 2

O

E 1

1 K

3
/ 2

J M z

x

I L

N

3
/ 2
1

O

EIJKLN với các điểm E, I, J, K, L, N là trung điểm các cạnh hình lập phương.

Gọi O là hình chiếu của O lên EIJKLN Ta có: O là tâm của

hình lập phương và cũng là tâm của lục giác đều EIJKLN

Mà OM2
= x y z2 2 2 nên OM lớn nhất  OM lớn nhất

 M trùng với 1 trong 6 đỉnh E, I, J, K, L, N Từ đó suy ra:

          Vậy Min S = Min

cos x y z cos

4

Bài 7 Cho x > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số      

6 6 6 3

3 3

f x



Giải

3

3

3

  Với x = 1 thì Minf(x) = 6

Bài 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P(x, y) = x2
+0 11y2
 6xy +0 8x  2
8y +0 2
1

Giải Biến đổi thành tổng các bình phương ta có

P(x, y) = (x  3
y +0 4)2
+0 2
(y  1)2
+0 3
 3

MinP(x, y) = 3
 y 1 0 y 1



II DẠNG 2: ỨNG DỤNG GTLN, GTNN ĐỂ GPT, GBPT

Đặt f x  4 x 2  44 x với 2 x 4    

f x

4 x 2 4 x 

Ta có: f x   0 x 2 4 x    x 3 Nhìn bảng biến

thiên suy ra: f x  f 3    2 x 2,4 

 Phương trình f x  4 x 2  44 x 2  có nghiệm

duy nhất x  3

4

x 0x0 1f  0f

(x0)

Bài 2. Giải phương trình: 3 5 6x 2x x    f x  3 5 6x 2 0x x   Ta có:

f x 3 ln3 5 ln5 6 

 f x  3 ln3x 25 ln5x 2 0   x  (x) đồng biến

Mặt khác (x) liên tục và f 0  ln3 ln5 6 0   , f 1 3ln3 5ln5 6 0     

 Phương trình (x)  0 có đúng 1 nghiệm x0  Bảng biến thiên

Nhìn bảng biến thiên suy ra: Phương trình   x x

f x 3 5 6x 2 0    có không quá 2
nghiệm

Mà f 0  f 1 0   nên phương trình (1) có đúng 2
nghiệm x 0 và x 1

2

m 2x 9 x m    m 2x 9 1 x 2      

2

x

m f x

2x 9 1

 

Ta có:  

2

2

9 2x 9

f x

2x 9 2x 9 1

    0  2x 9 92   x6

 

2

limf x lim

2

x x

    

 

2

limf x lim

2

     

Nhìn bảng biến thiên suy ra: Minf x  f 6  3

4



Để f x  m ,   x thì Minf xx   m m 3

4







2 2

   

 

2
2

x   

   x ,

2     4 4 nên đặt tgx t  1,1

2  

 cosx 1 t22

1 t



 ; sinx 2t2

1 t



 Khi đó (1) 

2 sinx cosx m 1 cosx

2

1 t   1 t     

(2
)

Ta có:    2  

f t 2 2t 1 t 2 2t     0 t 1;t 1  2  Bảng biến thiên

x66f 0+00



t11(t) 0(t)4

04

Nhìn bảng biến thiên suy ra: Để (2
) có nghiệm t  1,1 thì Minf tt 1,1   2m Maxf tt 1,1  

     

0 2m 4   0 m 2 

Vậy để (1) có nghiệm x ,

2 2

   

 

  thì m 0;2 

3 2

2

35 sinxcosy m m 6m

4 33 cosxsiny m 6m

4







(1) có nghiệm

(1) 

3

3 2

sinxcosy cosxsiny m 12m 17

1 sinxcosy cosxsiny m 2m

2







3

3 2

sin x y m 12m 17

1 sin x y m 2m

2







(2
)

Xét f m m 12m 17   3  Ta có:

f m 3m 12 0     m 2 0  Suy ra (m)  (2
)  1 ,

m  0

Mặt khác do sin x y   1 nên để hệ (2
) có nghiệm thì m 

2
, khi đó:    

sin x y 1

sin x y

2



 



Ta thấy hệ (3
) nhận x ;y

  làm nghiệm Vậy (1) có nghiệm khi m  2
.

2

x 3x 0

x 2x x 2 m 4m 0





(1) có nghiệm

(1) 

0 x 3

f x x 2x x 2 m 4m

  





(2
) Ta có:    

2

2

3x 4x 4 x 0;2

f x

3x 4x 4 x 2;3



 

(x)  0  x 2

3

 Nhìn bảng biến thiên suy ra:

x 0;3

Maxf x f 3 21

Để (2
) có nghiệm thì Maxf xx 0;3    m 4m2

    m 4m 212 

 3
 m  7

III DẠNG 3: ỨNG DỤNG GTLN, GTNN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Bài 1. Chứng minh rằng: lnx x x > 0

6

x02
3
f 0 f0CT82
1 m02
 0171

x04f  0f

2
 2
ln2

BĐT  f x   x lnx 0  x > 0 Ta có: f x  x 2 0 x 4

2x



 Bảng biến thiên Nhìn bảng biến thiên suy ra: f x  f 4   2 2ln2 0

Bài 2. Chứng minh rằng: 1 xln x   1 x 2 1 x 2 ,   x

BĐT  f x   1 xln x  1 x 2 1 x 2  0   x

Ta có: f x  ln x  1 x 2  0 x 0  Bảng biến

thiên

Nhìn bảng biến thiên suy ra: f x  f 0    (đpcm)0

Bài 3. Cho a,b,c 02 2 2

a b c 1





CMR: T 

2 2 2 2 2 2

3 3

b c c a a b  2

Ta có: T  2 2 2  2 2  2 2  2 2

1 a 1 b 1 c a 1 a b 1 b c 1 c Xét f x  x 1 x  2 với x > 0 suy ra f x  1 3x2 0 x 1 0

3

Nhìn bảng biến thiên  f x  2 x 0

3 3

  

Khi đó :

2 2 2

f a f b f c

Bài 4. Cho 3
 n lẻ Chứng minh rằng: x  0 ta có:

1 x x2 xn1 x x2 x3 xn 1

Đặt u x  1 x x2 xn ; v x  1 x x2 x3 xn

           Ta cần chứng minh

f x u x v x < 1

Ta có:

 

 













 f x  u x v x u x v x        u x  xn v x u x v x      xn

        



  Do 3
 n lẻ nên (x) cùng dấu với (2
x)  Bảng biến thiên của (x) Nhìn bảng biến thiên suy ra: f x  f 0    1 x 0  (đpcm)

x0f  0f

0

x0f 0f1 xf 0f

BÀI TẬP VỀ NHÀ

  x sinA x sinB

x sinC x sinC

4 4 2 2

y

2 2

x y S

x xy 4y





 

p

   có nghiệm x1, x2
Tìm p  0 sao cho

4 4

1 2

S x x  nhỏ nhất

f x cos 2x 2 sinx cosx   3sin2x m Tìm Max, Min của (x) Từ đó tìm

m để 2

[f(x)] 36 x

x 2x 2   4 x 2x 2 2x 4x m     có 4 nghiệm phân biệt

2 3x 1 2x 1 mx 2x 1

 có nghiệm duy nhất

4



4 2

   



 

3cos x 5cos3x 36sin x 15cosx 36 24a 12a      0

2

2

3x 2x 1 0

x 3mx 1 0





có nghiệm

b Cho a b c 12   CMR: a 82  b 82  c 8 6 62 

8

Bài 20 Chứng minh rằng: sinx 1sin2x 1sin3x 1sin4x 2, x ,3

2 3 4 3  5 5 

cosC

2 sin2x

3x x



 x  0,

2



 

2 x y z   x y y z z x  3 , x,y,z 0,1 

n

n



  ; 2 n  