Hệ thức Vi - Et và ứng dụng

Lê Quỹ: THCS Việt Thống - Quế Võ - Bắc Ninh CHUYÊN ĐỀ : ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN ax2 + bx + c = (a≠0) (*) −b − ∆ −b + ∆ Có hai nghiệm ; x1 = x2 = 2a 2a −b − ∆ − b + ∆ −2b −b Suy ra: x1 + x2 = = = 2a 2a a (−b − ∆ )(−b + ∆ ) b − ∆ 4ac c x1 x2 = = = = 4a 4a 4a a −b Vậy đặt : - Tổng nghiệm S : S = x1 + x2 = a c - Tích nghiệm P : P = x1 x2 = a Như ta thấy hai nghiệm phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với hệ số a, b, c Đây nội dung Định lí VI-ÉT, sau ta tìm hiểu số ứng dụng định lí giải tốn Cho phương trình bậc hai: I NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH : Dạng đặc biệt: Xét phương trình (*) ta thấy : a) Nếu cho x = ta có (*)  a.12 + b.1 + c =  a + b + c = c a − ta có (*)  a.( − 1)2 + b( − 1) + c =  a − b + c = b) Nếu cho x = −c Như phương trình có nghiệm x1 = −1 nghiệm lại x2 = a Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm phương trình sau: 1) x + x + = (1) 2) x + x − 11 = (2) Ta thấy : −3 Phương trình (1) có dạng a − b + c = nên có nghiệm x1 = −1 x2 = −11 Phương trình (2) có dạng a + b + c = nên có nghiệm x1 = x2 = Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm phương trình sau: 35 x − 37 x + = x + 500 x − 507 = x − 49 x − 50 = 4321x + 21x − 4300 = Cho phương trình , có hệ số chưa biết, cho trước nghiệm tìm nghiệm cịn lại hệ số phương trình : Vídụ: a) Phương trình x − px + = Có nghiệm 2, tìm p nghiệm thứ hai Như vây phương trình có nghiệm x1 = nghiệm cịn lại x2 = b) Phương trình x + x + q = có nghiệm 5, tìm q nghiệm thứ hai c) Cho phương trình : x − x + q = , biết hiệu nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình Hệ thức Vi Et ứng dụng Lê Quỹ: THCS Việt Thống - Quế Võ - Bắc Ninh d) Tìm q hai nghiệm phương trình : x − qx + 50 = , biết phương trình có nghiệm có nghiệm lần nghiệm Bài giải: a) Thay x1 = v phương trình ban đ ầu ta đ ợc : 4−4p+5 = ⇒ p = 5 T x1 x2 = suy x2 = = x1 b) Thay x1 = v phương trình ban đ ầu ta đ ợc 25 + 25 + q = ⇒ q = −50 −50 −50 = = −10 T x1 x2 = −50 suy x2 = x1 c) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1 − x2 = 11 theo VI-ÉT ta có x1 + x2 = , ta  x1 − x2 = 11  x1 = ⇔ giải hệ sau:   x1 + x2 =  x2 = −2 Suy q = x1 x2 = −18 d) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1 = x2 theo VI-ÉT ta có x1 x2 = 50 Suy  x = −5 2 x2 = 50 ⇔ x2 = 52 ⇔   x2 = Với x2 = −5 th ì x1 = −10 Với x2 = th ì x1 = 10 II LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1 ; x2 Ví dụ : Cho x1 = ; x2 = lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm  S = x1 + x2 = Theo hệ thức VI-ÉT ta có  x1 ; x2 nghiệm phương trình có dạng:  P = x1 x2 = x − Sx + P = ⇔ x − x + = Bài tập áp dụng: x1 = vµ x2 = -3 x1 = 3a vµ x2 = a x1 = 36 vµ x2 = -104 x1 = + vµ x2 = − 2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước: V í dụ: Cho phương trình : x − x + = có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn : y1 = x2 + 1 y2 = x1 + x1 x2 Hệ thức Vi Et ứng dụng Lê Quỹ: THCS Việt Thống - Quế Võ - Bắc Ninh Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: 1 1 1 x +x S = y1 + y2 = x2 + + x1 + = ( x1 + x2 ) +  + ÷ = ( x1 + x2 ) + = + = x1 x2 x1 x2 2  x1 x2  1 1 P = y1 y2 = ( x2 + )( x1 + ) = x1 x2 + + + = +1+1+ = x1 x2 x1 x2 2 Vậy phương trình cần lập có dạng: hay y − Sy + P = 9 y2 − y + = ⇔ y2 − y + = 2 Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình x + x − = có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Khơng giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 = x1 + (Đáp số: y + 1 y2 = x2 + x2 x1 y − = hay y + y − = ) 2/ Cho phương trình : x − x − = có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn y1 = x14 y2 = x2 (có nghiệm luỹ thừa bậc nghiệm phương trình cho) (Đáp số : y − 727 y + = ) 3/ Cho phương trình bậc hai: x − x − m = có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 ; y2 cho : a) y1 = x1 − y2 = x2 − (Đáp số b) y1 = x1 − y2 = x2 − a) y − y + − m = b) y − y − (4m − 3) = ) III TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có Tổng S Tích P hai số hai nghiệm phương trình : (điều kiện để có hai số S2 − 4P ≥ ) x − Sx + P = Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = − tích P = ab = − Vì a + b = − ab = − n ên a, b nghiệm phương trình : x + x − = giải phương trình ta x1 = x2 = −4 Vậy a = b = − a = − b = Bài tập áp dụng: Tìm số a b biết Tổng S Tích P S = P=2 S = − P=6 S = P = 20 S = 2x P = x2 − y2 Bài tập nâng cao: Tìm số a b biết a + b = a2 + b2 = 41 a − b = ab = 36 a2 + b2 = 61 v ab = 30 Hướng dẫn: 1) Theo đề biết tổng hai số a b , để áp dụng hệ thức VI- ÉT cần tìm tích a v b Hệ thức Vi Et ứng dụng Lê Quỹ: THCS Việt Thống - Quế Võ - Bắc Ninh 81 − ( a + b ) 2 T a + b = ⇒ ( a + b ) = 81 ⇔ a + 2ab + b = 81 ⇔ ab = = 20  x1 = Suy : a, b nghiệm phương trình có dạng : x − x + 20 = ⇔   x2 = Vậy: Nếu a = b = a = b = 2) Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đ ặt c = − b ta có : a + c = a.c = − 36  x1 = −4 Suy a,c nghiệm phương trình : x − x − 36 = ⇔   x2 = Do a = − c = nên b = − a = c = − nên b = 2 2 Cách 2: Từ ( a − b ) = ( a + b ) − 4ab ⇒ ( a + b ) = ( a − b ) + 4ab = 169  a + b = −13 ⇒ ( a + b ) = 132 ⇒   a + b = 13  x1 = −4 *) Với a + b = −13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x + 13x + 36 = ⇔   x2 = −9 Vậy a = −4 b = −9  x1 = *) Với a + b = 13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x − 13 x + 36 = ⇔   x2 = Vậy a = b = 3) Đã biết ab = 30, cần tìm a + b:  a + b = −11 T ừ: a2 + b2 = 61 ⇒ ( a + b ) = a + b + 2ab = 61 + 2.30 = 121 = 112 ⇒   a + b = 11  x1 = −5 *) Nếu a + b = −11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình: x + 11x + 30 = ⇔   x2 = −6 Vậy a = −5 b = −6 ; a = −6 b = −5  x1 = *) Nếu a + b = 11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình : x − 11x + 30 = ⇔   x2 = Vậy a = b = ; a = b = IV TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối toán dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức Biến đổi biểu thức để làm xuất : ( x1 + x2 ) x1 x2 2 2 Ví dụ a) x1 + x2 = ( x1 + x1 x2 + x2 ) − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 3 2 b) x1 + x2 = ( x1 + x2 ) ( x1 − x1 x2 + x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3x1 x2    2 2 c) x14 + x2 = ( x12 ) + ( x2 ) = ( x12 + x2 ) − x12 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2  − x12 x2   Hệ thức Vi Et ứng dụng Lê Quỹ: THCS Việt Thống - Quế Võ - Bắc Ninh 1 x1 + x2 d) + = x1 x2 x1 x2 x1 − x2 = ? Ví dụ Ta biết ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 ⇒ x1 − x2 = ± 2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 Từ biểu thức biến đổi biến đổi biểu thức sau: 2 x1 − x2 ( = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) =…….) 3 x1 − x2 4 x1 − x2 2 ( = ( x1 − x2 ) ( x1 + x1 x2 + x2 ) = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2  =…… )   2 2 ( = ( x1 + x2 ) ( x1 − x2 ) =…… ) 3 2 2 6 x1 + x2 ( = ( x1 ) + ( x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 − x1 x2 + x2 ) = …… ) Bài tập áp dụng 6 x1 − x2 5 x1 + x2 7 x1 + x2 1 + x1 − x2 − Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x − x + 15 = Khơng giải phương trình, tính 2 x1 + x2 x1 x2 + x2 x1 1 + x1 x2 (34)  34   ÷  15  ( x1 + x2 ) 8  ÷  15  (46) b) Cho phương trình : x − 72 x + 64 = Khơng giải phương trình, tính: 1 + x1 x2 9  ÷ 8 2 x1 + x2 (65) c) Cho phương trình : x − 14 x + 29 = Khơng giải phương trình, tính: 1 + x1 x2  14   ÷  29  2 x1 + x2 (138) d) Cho phương trình : x − x + = Khơng giải phương trình, tính: 1 + x1 x2 (3) − x1 − x2 + x1 x2 (1) 2 x1 + x2 (1) x1 x + x2 + x1 + 5  ÷ 6 e) Cho phương trình x − x + = có nghiệm x1 ; x2 , khơng giải phương trình, tính Q= HD: Q = x12 + 10 x1 x2 + x2 x1 x2 + x13 x2 x12 + 10 x1 x2 + x2 6( x1 + x2 ) − x1 x2 6.(4 3) − 2.8 17 = = = 3 2 x1 x2 + x1 x2 x1 x2 ( x1 + x2 ) − x1 x2  5.8 (4 3) − 2.8 80     Hệ thức Vi Et ứng dụng Lê Quỹ: THCS Việt Thống - Quế Võ - Bắc Ninh V TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHƠNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ Để làm toán loại này, ta làm theo bước sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a ≠ ∆ ≥ 0) - Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v P = x1 x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo x1 x2 Từ đưa hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2 Ví dụ 1: Cho phương trình : ( m − 1) x − 2mx + m − = có nghiệm x1 ; x2 Lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho chúng không phụ thuộc vào m Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì : m ≠ m ≠ m − ≠ m ≠  ⇔ ⇔ ⇔  V' ≥ 5m − ≥  m − (m − 1)(m − 4) ≥ m ≥  Theo hệ th ức VI- ÉT ta có : 2m    x1 + x2 = m −  x1 + x2 = + m − (1)   ⇔   x x = m −  x x = − (2)   m −1 m −1   Rút m từ (1) ta có : 2 = x1 + x2 − ⇔ m − = m −1 x1 + x2 − (3) Rút m từ (2) ta có : 3 = − x1 x2 ⇔ m − = m −1 − x1 x2 (4) Đồng vế (3) (4) ta có: = ⇔ ( − x1 x2 ) = ( x1 + x2 − ) ⇔ ( x1 + x2 ) + x1 x2 − = x1 + x2 − − x1 x2 Ví dụ 2: Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình : ( m − 1) x − 2mx + m − = Chứng minh biểu thức A = ( x1 + x2 ) + x1 x2 − không phụ thuộc giá trị m Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì : m ≠ m ≠ m − ≠ m ≠  ⇔ ⇔ ⇔  V' ≥ 5m − ≥  m − (m − 1)(m − 4) ≥ m ≥  Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó : Hệ thức Vi Et ứng dụng Lê Quỹ: THCS Việt Thống - Quế Võ - Bắc Ninh 2m   x1 + x2 = m −    x x = m −  m −1  thay v A ta c ó: 2m m−4 6m + 2m − − 8(m − 1) + −8 = = =0 m −1 m −1 m −1 m −1 Vậy A = với m ≠ m ≥ Do biểu thức A khơng phụ thuộc vào m Nhận xét: - Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm - Sau dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đồng vế ta biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số Bài tập áp dụng: A = ( x1 + x2 ) + x1 x2 − = Cho phương trình : x − ( m + ) x + ( 2m − 1) = có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho x1 ; x2 độc lập m Hướng dẫn: Dễ thấy ∆ = ( m + ) − ( 2m − 1) = m − 4m + = ( m − ) + > 2 phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có  m = x1 + x2 − 2(1)  x1 + x2 = m +  ⇔  x1 x2 +  x1.x2 = 2m −  m = (2)  Từ (1) (2) ta có: x1 + x2 − = x1 x2 + ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 − = 2 Cho phương trình : x + ( 4m + 1) x + ( m − ) = Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 cho chúng không phụ thuộc vào m Hướng dẫn: Dễ thấy ∆ = (4m + 1) − 4.2(m − 4) = 16m + 33 > phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có  x1 + x2 = −(4m + 1) 4m = −( x1 + x2 ) − 1(1) ⇔   x1.x2 = 2(m − 4) 4m = x1 x2 + 16(2) Từ (1) (2) ta có: −( x1 + x2 ) − = x1 x2 + 16 ⇔ x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 17 = VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO Đối với toán dạng này, ta làm sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a ≠ ∆ ≥ 0) Hệ thức Vi Et ứng dụng Lê Quỹ: THCS Việt Thống - Quế Võ - Bắc Ninh - Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn tham số) - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Ví dụ 1: Cho phương trình : mx − ( m − 1) x + ( m − 3) = Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2 Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó nghiệm x1 x2 l : m ≠   m ≠  m ≠ m ≠ ⇔ ⇔ ⇔  2 ∆ ' = ( m − 1) ≥  m ≥ −1 ∆ ' = ( m − 2m + 1) − 9m + 27 ≥   ∆ ' = 3 ( m − 21)  − 9(m − 3)m ≥     6(m − 1)   x1 + x2 = m  Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:   x x = 9(m − 3)  m  v t gi ả thi ết: x1 + x2 = x1 x2 Suy ra: 6(m − 1) 9(m − 3) = ⇔ 6(m − 1) = 9(m − 3) ⇔ 6m − = 9m − 27 ⇔ 3m = 21 ⇔ m = m m (thoả mãn điều kiện xác định ) Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2 2 Ví dụ 2: Cho phương trình : x − ( 2m + 1) x + m + = Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm x1 & x2 : ∆ ' = (2m + 1) − 4(m + 2) ≥ ⇔ m + 4m + − m − ≥ ⇔ 4m − ≥ ⇔ m ≥  x1 + x2 = 2m + Theo hệ thức VI-ÉT ta có:   x1 x2 = m + từ giả thiết x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = Suy 3(m + 2) − 5(2m + 1) + = ⇔ 3m + − 10m − + =  m = 2(TM ) ⇔ 3m − 10m + = ⇔   m = ( KTM )  Vậy với m = phương trình có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = Bài tập áp dụng Cho phương trình : mx + ( m − ) x + m + = Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 − x2 = Hệ thức Vi Et ứng dụng Lê Quỹ: THCS Việt Thống - Quế Võ - Bắc Ninh 2 Cho phương trình : x + ( m − 1) x + 5m − = Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức: x1 + x2 = Cho phương trình : x − ( 3m − ) x − ( 3m + 1) = Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 − x2 = Hướng dẫn cách giải: Đối với tập dạng ta thấy có điều khác biệt so với tập Ví dụ ví dụ chỗ + Trong ví dụ biểu thức nghiệm chứa sẵn tổng nghiệm x1 + x2 tích nghiệm x1 x2 nên ta vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m + Cịn tập biểu thức nghiệm lại khơng cho sẵn vậy, vấn đề đặt làm để từ biểu thức cho biến đổi biểu thức có chứa tổng nghiệm x1 + x2 tích nghiệm x1 x2 từ vận dụng tương tự cách làm trình bày Ví dụ ví dụ 16 BT1: - ĐKX Đ: m ≠ & m ≤ 15 −( m − 4)   x1 + x2 =  m (1) -Theo VI-ÉT:  m+7 x x =  m   x1 + x2 = x2 ⇒ 2( x1 + x2 ) = x1 x2 (2) - Từ x1 − x2 = Suy ra:  2( x1 + x2 ) = x1  - Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình sau: m + 127m − 128 = ⇒ m1 = 1; m2 = −128 BT2: - ĐKXĐ: ∆ = m − 22m + 25 ≥ ⇔ m ≤ 11 − 96; m ≥ 11 + 96  x1 + x2 = − m (1)  x1 x2 = 5m − - Theo VI-ÉT:   x1 = − 3( x1 + x2 ) ⇒ x1 x2 = [ − 3( x1 + x2 ) ] [ 4( x1 + x2 ) − 1]  - Từ : x1 + x2 = Suy ra:  x2 = 4( x1 + x2 ) − (2) ⇔ x1 x2 = 7( x1 + x2 ) − 12( x1 + x2 ) − m = - Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 12m(m − 1) = ⇔  (thoả mãn ĐKXĐ) m = BT3: - Vì ∆ = (3m − 2) + 4.3(3m + 1) = 9m + 24m + 16 = (3m + 4) ≥ với số thực m nên phương trình ln có nghiệm phân biệt 3m −   x1 + x2 =  (1) - -Theo VI-ÉT:   x x = −(3m + 1)   8 x1 = 5( x1 + x2 ) + ⇒ 64 x1 x2 = [ 5( x1 + x2 ) + 6] [ 3( x1 + x2 ) − 6]  - Từ giả thiết: x1 − x2 = Suy ra: 8 x2 = 3( x1 + x2 ) − (2) ⇔ 64 x1 x2 = 15( x1 + x2 ) − 12( x1 + x2 ) − 36 Hệ thức Vi Et ứng dụng Lê Quỹ: THCS Việt Thống - Quế Võ - Bắc Ninh m = - Thế (1) vào (2) ta phương trình: m(45m + 96) = ⇔   m = − 32 (thoả mãn ) 15  VII XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Cho phương trình: ax + bx + c = (a ≠ 0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm … Ta lập bảng xét dấu sau: Dấu nghiệm x1 ± ± + − x2 m S = x1 + x2 P = x1 x2 trái dấu P0 + S>0 dương, P>0 − S0 Ví dụ: Xác định tham số m cho phương trình: ∆ ∆≥0 ∆≥0 ∆≥0 ∆≥0 Điều kiện chung ∆ ≥ ; P < ∆≥0 ;P>0 ∆≥0 ;P>0;S>0 ∆ ≥ ; P > ; S < x − ( 3m + 1) x + m − m − = có nghiệm trái dấu Để phương trình có nghiệm trái dấu ∆ = (3m + 1) − 4.2.(m − m − 6) ≥ ∆ = ( m − 7) ≥ 0∀m ∆ ≥  ⇔ ⇔ ⇔ −2 < m <  m −m−6 P=