Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Trích xuất thông tin cấu trúc của đơn lớp TMDC từ phổ năng lượng EXCITON hai chiều đặt trong từ trường đều

Sử dụng thuyết nhiễu loạn, tính năng lượng giải tích của excitontrong đơn lớp TMDC trong từ trường déu dưới tác dụng của thé Kratzer..... Đến thời điểm hiện tại, những ứng dụng vật liệu

BO GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHÓ HÒ CHÍ MINH

KHOA VAT LÝ

TRICH XUAT THONG TIN CAU TRUC CUA

DON LỚP TMDC TU PHO NANG LƯỢNG EXCITON HAI CHIEU DAT TRONG TỪ

TRUONG DEU.

KHOA LUAN TOT NGHIEP VAT LY

Thành pho Hồ Chí Minh - 2024

BO GIAO DUC VÀ ĐÀO TẠO

TRUONG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

KHOA LUAN TOT NGHIEP VAT LY

NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HỌC:

TS LÝ DUY NHÁT

Thành phó Hồ Chí Minh - 2024

Tp Hồ Chí Minh, ngày 10 tháng 5 năm 2024

Xác nhận của Giảng viên hướng dẫn

TS Lý Duy Nhất

Tp Hồ Chi Minh, ngày 10 tháng 5 nam 2024

Xác nhận của Chú tịch Hội đồng

TS Dang Khánh Linh

LỜI CẢM ƠN

Tôi chân thành gửi lời cảm ơn dau tiên đến Thay Lý Duy Nhất - Giảng viên

khoa Vật lý trường DH Sư phạm Thành phố H6 Chi Minh đã tận tâm hướng dẫntôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận và hoàn thành khóa luận.

Tôi cũng xin cam toàn thé đội ngũ giảng viên, ban lãnh đạo trường DH Su

phạm Thành phô Hồ Chi Minh, đặc biệt tới quý thầy cô Khoa Vật lý đã truyền

đạt kiến thức, tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong 4 năm học

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến GS.TSKH Lê Văn Hoàng tác giả

quyền sách “Bai giảng về Cơ học lượng tử” mà tôi tham khảo trong khóa luận

Thành phố H6 Chí Minh, ngày 10 tháng 5 năm 2024

Tác giả

Vòng Nguyên Nhật Mân

Bảng 1 DANH MỤC VIET TAT

ee Transition Metal Dichalcogenide

Kim loại chuyên tiếp dichalcogenide

Hai chiều

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 1: Múc năng lượng của một exciton được tạo ra trực tiếp [I3] ::¿::::: 4

Hình 2: Sự đa dạng của các loại exciton [ l Š] -.-.-‹-s«s- «<< s<ss2 6

Hình 3: (a) Mô hình exciton Mott-Wannier và (b) Mô hình exciton Frenkel

ID 4 D1 00000 0077000710 107 00070017 02/71/0077 0710/0007 0777 nổ 7

Hình 4: Minh họa cau trúc điển hình của dong vật liệu TMDC [I8] §Hình 5: Hiệu ứng màn chắn khi vật liệu chuyền từ ba chiều (3D) xuống hai

Eiiôfii( AED WW OY cee 56i606620621662 000020262606 EeppisisSi655102021110022)032103000210i1-21tf- 11

Hình 6: So sánh thé Keldysh, thé Coulomb và thé Kratzer như một ham

của tham số không thứ nguyên của r / % [9} ©52Scc<Sszrccscrerrsrsecrs 13

Hình 7: (a) Pho năng lượng phân cực của exciton tại các trang thái Is-5s

trong đơn lớp WS2 khi có từ trường (b) Phổ nang lượng trung bình của mỗi

trạng AN SZ Lussssssssasaaaisinsiiniiiiiiiiiitiiititiiiioiitiiitiiiitii1i111131301031816183815853859558 22

Hình 8: Năng lượng của exciton 2D trong đơn lớp WS2 tại các trang thái

ls, 2s được tính toán và so sánh với thực nghiệm .- - Sex 34

DANH MỤC CAC BANG BIEU

Bang 1 DANH MỤC VIET TẤTT 2 - 5c 22 2222 zccvzvrvrvrxecrsee 4

Bang 2: Bán kính trung bình không thứ nguyên của excton 2D trong đơn

lớp WS2 ứng với mỗi trạng thái nm theo phương trình (2.22) - 19

Bang 3: Ban kính trung bình bình phương không thứ nguyên cua exciton

2D trong đơn lớp WS2 ứng với mỗi trạng thái nm theo phương trình (2.23) 20

Bang 4: Kết quả tính toán năng lượng vùng cắm và năng lượng liên kết của

OXCLUOH 2D OS đGRI0BINVNE: coioiiiiiiiciiiiibibiieitiiiaioiiii40121040461535562583856505636153 24

Bang 5: So sánh phô nang lượng thực nghiệm (Hình 7.b) của exciton tạitrạng thái Is trong đơn lớp 2D WS2 đặt trong từ trường đều bang hai phươngpháp nhiều loạn gần đúng .- ¿5c 6 S223 3 EE112211215212 2122121 xe, 32

Bang 6: Kết qua tính toán khối lượng hiệu dụng của exciton 2D, tham số

điện môi trung bình và bán kính trung bình bình phương trong đơn lớp WS2 34

Bang 7: Năng lượng exciton 2D của đơn lớp WS2 các trạng thái

Is,2s,3s,4s đặt trong từ trường đỀU 0s St TS TEETH T121 11111111211 crervee 47

1.2, Don lớp Transition metal dichalcogenides — TMDC 7

1.3 Tach khối tâm cho bài toán exciton 2D .c.csescsescssessseesseesseeenseensveesees 8

1.3.1 Tach khối tâm cho bài toán exciton 2D khi không có từ trường

RBODIIEAG NT: sanaigtsi225212021315151215153515255221235053582158ã5505589878535981505388534g375353855ã535585 §

1.3.2 Tách khối tâm cho bài toán exeiton 2D đặt trong từ trường đều 9

1.4 Thế Coulomb bị chắn trong đơn lớp TMDC, hàm thé Keldysh và

hàm thé Kratzer ccccccccseccececececececececscecscsrscecesssesesesescavavavavavavsvsvavevavevevevavacaces 10

CHƯƠNG 2: EXCITON 2D TRONG DON LỚP TMDC DƯỚI TAC

DUNG THE ERAT ZRR ssssissssisissssiasssaissansascanisaracnsininaainnaeniainnnnainiass 15

2.1 Exciton 2D trong đơn lớp TMDC với tương tác thé Kratzer 152.2 Pho năng lượng của exciton 2D trong đơn lớp TMDC dưới tương tác

Kral Zeer ehddẦỖỒ 21

CHƯƠNG 3: EXCITON 2D TRONG DON LỚP TMDC DAT TRONG

TỪ TRƯỜNG ĐỀU DƯỚI TAC DUNG THE KRATZER 25

3.1 Sử dụng thuyết nhiễu loạn, tính năng lượng giải tích của excitontrong đơn lớp TMDC trong từ trường déu dưới tác dụng của thé Kratzer 25

3.1.1 Phương pháp lý thuyết nhiễu loạn đừng . - 26

3.1.2 Phương pháp hypervirial perturbation - -«-«-<««~« 28

3.2 Phô năng lượng của exciton 2D trong đơn lớp TMDC đặt trong từ

8u g0 32

KET QUA VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU s- 5-5 5< 36

MỞ ĐÀU

1 Công nghệ bán dẫn là một xu hướng của khoa học hiện đại, được ứng

dụng ngày càng nhiều trong cuộc sống văn minh của con người Ngành công

nghiệp công nghệ bán dẫn bao gồm việc nghiên cứu và sản xuất các linh kiện,mạch điện tử được làm bằng vật liệu bán dan và có kích thước nhỏ cỡ nano; với

mục đích đáp ứng được nhu cầu một thiết bị điện tử nhỏ gọn và truyền thông tinnhanh Do đó có mỗi quan hệ chặt chẽ với khoa học vật liệu [1].

Năm 2004, đánh dấu mốc quan trong của ngành khoa học vật liệu [2]; khi

Novoselov và cộng sự khám phá ra graphene thông qua việc bóc tách than chì

bằng băng dính Graphene một vật liệu hai chiêu (two-dimensional - 2D) vớinhững tính chất vượt trội hơn so với vật liệu ba chiều (three-dimensional — 3D)như tính dẫn nhiệt, dẫn điện, độ bên kéo Những năm sau đó, hầu hết các nghiêncứu về vật liệu 2D tập trung vào graphene [3]; cho đến năm 2010 Heinz [4] và Wang [5] nghiên cứu độc lập đã phát hiện ra sự ưu việt của TMDC (transition

metal dichalcogenides) hơn các vật liệu 2D thông thường khác, răng TMDC sở

hữu vùng cam năng lượng Điều này có ý nghĩa ta có thé hiệu chỉnh dai nanglượng thông qua điều chỉnh số màng mỏng dé tạo ra thiết bị quang điện tử chính

xác, thay vì thay đôi thành phần hóa học, giam giữ lượng tử, pha tạp nen

Đồng thời cũng chỉ ra nguyên nhân phát xạ quang phát quang(photoluminescence) mạnh mẽ trong TMDC, liên quan đến một hệ lượng tử gồm

electron và lỗ trồng, hay còn gọi là exciton Bởi những lý do trên, từ năm 2010việc nghiên cứu exciton trong TMDC trở thành một xu hướng khoa học Đến

thời điểm hiện tại, những ứng dụng vật liệu TMDC trong việc san xuất điện tử,quang điện tử, cảm biến và lưu trữ năng lượng [6], [7], [8] đã cho thấy sự thành

công của quá trình nghiên cứu exciton trong TMDC.

Một trong những phương pháp dé nghiên cứu exciton phô biến trong

TMDC chính là giải nghiệm phương trình Schrédinger [9] Việc giải phương

trình sẽ cho ta biết được các đặc tính của hệ lượng tử, từ đó ta có thé điều chỉnh

năng lượng vùng cam và dự báo được việc ứng dung vật liệu Như công trình

năm 2022 của nhóm tác giả Lý Duy Nhất đã trích xuất được chiều dai màn chan,hang số điện môi trung bình, khối lượng lượng rút gọn, thông qua việc tính toán

exciton 2D trong đơn lớp WSe2, xét cả trường hợp chịu ảnh hưởng bởi nhiệt từ

[10] Chính vì những lý do trên, tôi chọn tên dé tài của luận văn: ' Trích xuấtthông tin cau trúc của đơn lớp TMDC từ phô năng lượng exciton hai chiều đặttrong từ trường đều"

2 Mục tiêu của luận văn là sử dụng hàm thé tương tác trong exciton 2D có

thé tính toán giải tích dé giải quyết bài toán Từ đó sử dụng phô năng lượngexciton 2D trích xuất các thông tin của TMDC Sau cùng sẽ sử dụng thông tintrích xuất trên dự đoán ning lượng exciton đặt trong từ trường đều với cường độtrung bình Luận văn nay sẽ tập trung vào chất WS từ đó đưa ra các kết quảthông tin trích xuất, phô năng lượng exciton dự đoán Căn cứ vào mục tiêu đề ra,luận văn gồm có những nội dung cơ bản sau:

- Tìm hiểu tong quan về dé tài

- Tìm hiểu và lựa chọn hàm thé có khả năng tính toán giải tích cho bài toán exciton 2D,

- Giải bài toán exciton 2D trong trường hợp không có từ trường ngoài và có

từ trường ngoài.

- Sử dụng phô năng lượng exciton 2D trích xuất thông tin đơn lớp WS>

- Đưa ra dự đoán phô năng lượng của exciton trong đơn lớp WS.

Cấu trúc bài luận văn gồm ba chương, không kẻ đến mở đầu và kết luận:

Chương 1 - Cơ sở lý thuyết

Trong chương này, chúng tôi mô tả sơ lược về exciton và vật liệu TMDC.Tiếp đó chúng tôi đưa ra phương trình Schrödinger cho exciton trong trường hợp

có và không có từ trường ngoài Cuối cùng, tôi trình bày tông quan về hàm thé

màn chăn Kratzer, va dang hàm thé Kratzer tôi sử dung trong luận van.

to

Chương 2 - Exciton 2D trong đơn lớp TMDC dưới tác dụng thếKratzer:

Ở chương này, chúng tôi trình bày trình tự giải phương trình Schrödingercho exciton 2D bằng tính toán giải tích trong trường hợp không có từ trườngngoài tác dụng Từ đó sử dụng phô năng lượng exciton 2D thực nghiệm của đơnlớp WS), trích xuất năng lượng liên kết exciton và năng lượng vùng cam từ phô

năng lượng của đơn lớp WS¿.

Chương 3 — Exciton 2D trong đơn lớp TMDC đặt trong từ trường đềudưới tác dụng thé Kratzer:

Ở chương cuối cùng này, chúng tôi sẽ giải bài toán exciton 2D dat trong từtrường déu, so sánh giữa hai phương pháp nhiễu loạn, phương pháp nhiễu loạndừng với phương pháp hypervirial perturbation Từ đó lựa chọn đê giải bài toánexciton 2D trong đơn lớp WS) đặt trong từ trường đều và sẽ áp dụng kết quả vừagiải được trích xuất khối lượng hiệu dụng, hằng số điện môi, bán kính kỳ vọng

của exciton tại trang thái 1s 2s 3s từ phô năng lượng của đơn lớp WS: Sau cùng

sẽ đưa ra dự đoán phô năng lượng exciton trong đơn lớp WS>.

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYET

Trong chương này, chúng tôi mô tả sơ lược về exciton và vật liệu TMDC.Tiếp đó chúng tôi đưa ra phương trình Schrödinger cho exciton trong trường hợp

có và không có tir trường ngoài Cuối cùng, tôi trình bày tông quan về ham thé

màn chắn Kratzer, và dang hàm thé Kratzer tôi sử dụng trong luận văn

(conduction band) khi hấp thụ một photon có năng lượng lw > £,„.; với một lỗ

trồng vị trí mà nó đề lại trong tình thé, chất cách điện, chat bán dẫn, và một số

chất lỏng Trong một số điều kiện đặc biệt như lực đây của các electron lân cận

yếu, lực tương tác tĩnh điện giữa electron và lỗ trống đủ lớn, v.v thì lúc này

xuất hiện hiệu ứng giam giữ lượng tử (quantum confinement effects) giữa lỗtrông và electron và hình thành exciton

Conduction band continuum

Sự chuyền đôi quang hoc từ đỉnh dai hóa tri (valence band) được biểu thị băng

các mũi tên; mũi tên dài nhất tương ứng với năng lượng vùng cấm (energy gap).Nang lượng liên kết của exciton là #,,, được hiéu là nang lượng electron tự do

chat bán dan thấp chiêu (low-dimensional) và khối lượng hiệu dung (effective

mass) của exciton nhỏ.

1.1.2 Phân loại và tính chất

Exciton sẽ được phân loại tùy thuộc vào mục đích ta nghiên cứu Trong quá

trình phân loại, những đặc điểm cũng như tính chất của mỗi loại exciton sẽ được

nêu rõ.

*Phan loại theo mức độ hoạt động quang hoc (optically active)

Trong quá trình nghiên cứu về exciton, có những ý tưởng lợi dụng spin của

exciton dé chuyển đôi mã bit [14], ứng dụng trong lĩnh vực lưu trữ thông tinlượng tử Người ta mong muốn một mô hình exciton ôn định và kiểm soát đượcmột khoảng thời gian dé truyền tai thông tin

Exciton sáng (bright exciton BE) với tính chất nhạy với hoạt động quanghọc, nên thời gian sống của BE còn khá ngắn và dé bị ảnh hưởng bởi môi

trường.

Exciton tối (dark exciton DE) do cau trúc cam dong lugng

(momentum-forbidden) và cam spin (spin-(momentum-forbidden), nên có tính chất hầu như không hoạt

động với quang học vì vậy thời gian sống của DE đài hơn DE và ít bị ảnh

hưởng bởi môi trường.

Hình 2: Sự da dạng của các loại exciton [15].

Sự phân tán điện tử xung quanh các điểm K và A đối xứng cao trong vùngBrillouin Bên cạnh các exciton sáng (màu vàng) - tức là cả electron và lỗ trốngđều có cùng spin và động lượng còn có các exciton tối (không hoạt động về mặt

quang hoc) Các trạng thái tối có thé bị cắm quay (màu xanh) hoặc động lượng(màu tím) Ngoài ra, do những thay đổi cục bộ trong cấu trúc vùng, các trạngthái trong vùng cam có thẻ xuất hiện dẫn đến sự hình thành các kích thích cục bộ

(màu nâu).

*Phân loại theo loại vật liệu nghiên cứu

Khi nghiên cứu vẻ vật liệu, người ta chia thành hai loại: Wannier— Mott exciton

và Frenkel exciton đề thuận tiện cho việc nghiên cứu về vật liệu

Trong chất điện môi: Frenkel Exciton, Hình 3.b được quan sat trong tinhthé với hằng số điện môi tương đối nhỏ, khối lượng hiệu dụng lớn và liên kết

mạnh với mạng tinh thẻ Những exciton này thê hiện năng lượng liên kết tươngđối lớn, thường vào cỡ 0.1—1 eV

Trong chat bán dẫn: Wannier - Mott exciton, Hình 3.a thường di chuyên tự

do trong tỉnh thé, với hằng số điện môi và bán kính tác dụng lớn hơn nhiều so

với Frenkel exciton Vì lý do đó, Wannier- Mott exciton có nang lượng liên kết

yếu, rơi vào khoảng 10—30 meV Tuy nhiên trong những vật liệu 2D, lực tương

tác tĩnh điện Coulomb giữa electron và lỗ trống tăng lên đáng kê khoảng 500meV [16] Nguyên nhân ta sẽ thảo luận sau ở phan 1.4 thé Coulomb bị chắn

1,2 Don lớp Transition metal dichalcogenides —- TMDC

Các đơn lớp TMDC có cấu trúc phân tử được hình thành từ một nguyên tử kim loại chuyên tiếp M liên kết cộng hóa trị với hai nguyên tử chalcogen X.

Trong đó, M thường là các nguyên tử như: W, Mo, Ti, Hf, Re, và X thường là

các nguyên tử như: S, Te, Se Các đơn lớp TMDC liên kết với nhau thông qua

lực tương tác yếu Van Der Waals tạo nên cầu trúc TMDC hoàn chỉnh, kết cấu

trên.

Hình 4: Minh họa cấu trúc điển hình của dong vật Hiệu TMDC [18].

Với kết cấu đặc biệt trên, từ vật liệu ba chiều ban dau, ta có thé dé dang

tách TMDC khối 3D thành các hệ TMDC thấp chiêu hơn như: đơn lớp 2D: các

hệ một chiều: ống nano (nanotubes), dai nano (nanoribbons), đai nano

(nanobelts); thậm chí là hệ không chiều, các chấm lượng tử (quantum dots)

1.3 Tách khối tâm cho bài toán exciton 2D

Trong phan này, ta sẽ thực hiện tách khối tâm cho bài toán exciton 2D

trong hai trường hop, trường hợp không có từ trường tác dụng và trường hợp có

từ trường đều, cường độ trung bình tác dụng

1.3.1 Tach khối tâm cho bài toán exciton 2D khi không có từ trường ngoài

Hamiltonian (1.1) chỉ gồm hai thành phan chỉ chứa bién R và r độc lập với nhau.

1.3.2 Tach khối tâm cho bài toán exciton 2D đặt trong từ trường đều

Phương trình Schrédinger cho exciton khi đặt trong từ trường có dạng

Lạ, (cn,xeÃ, = ñV,+eÄ,) +V()|ự=Eự (1.10)

Trong đó A, =2{ °x B) là thé vecto thir i (electron và lỗ trống) VŒ) là thé

tương tác Coulomb giữa electron va lỗ trống, e là điện tích nguyên tổ Ta có

phương trình (1.10) khi đặt trong từ trường đều theo phương Oz, 8 = (0.0.8)

Phương trình (1.12) gồm thành phan chi chứa biến R và chi chứa biến z Đối với

thành phan đầu tiên, năng lượng và hàm sóng có thé được giải giống với phươngtrình (1.5) Thành phần thứ hai thì tro nên phức tạp hơn và được giải bằng nhiều

phương pháp khác nhau như phương pháp nhiều loạn hoặc phương pháp toán tử.

1.4 Thế Coulomb bị chắn trong đơn lớp TMDC, hàm thế Keldysh và hàmthế Kratzer

Khi bóc tách đơn lớp 2D từ khối vật liệu TMDC 3D; do hệ chiêu khônggian giảm, các đường sức điện đáng lẽ phải nằm hoàn toàn trong vật liệu, lúc

này đã trải rộng ra ngoài Điều này dẫn đến một chuỗi sự kiện: hằng số điện môithay đôi, hiệu ứng màn chắn lên cặp electron và lỗ trống bị suy giảm, nănglượng liên kết exciton tăng lên đáng kê Nên hàm thé tương tác tĩnh điệnCoulomb không còn chính xác nữa Lúc này đề giải bài toán exciton 2D trong

đơn lớp TMDC, ta phải sử dụng một hàm the tuong tac tinh dién khac, hay dugc

đề cập đến như việc hiệu chỉnh lại ham thé Coulomb sao cho chính xác: tên hàm

10

thé trên ngoài việc được đặt theo tên của tác giả, còn được gọi chung là thé

Hình 5: Hiệu ứng màn chắn khi vật liệu chuyén từ 3D xuống 2D [20]

(a) Các đường sức điện thay đổi khi vật liệu chuyển từ trạng thái 3D xuống trạng

thái 2D, dẫn đến sự khác nhau giữa hằng số điện môi ¢,, và #¿„ (b) Đồ thị

năng lượng exciton tại các trạng thái lượng tử chính; trong đó cham xanh biểudiễn số liệu thực nghiệm, tam giác ngược viên đỏ biểu diễn kết quả tính toán lý

thuyết với hàm thé Keldysh, đường màu đỏ hàm thé tương tác của nguyên tửhydro 2D có dạng 1/r miêu tả tốt ở các trạng thái n =3-—>5 và sai lệch đáng kêtại các trạng thái lượng tử chính »=1,2 do hiệu ứng màn chắn có sự suy giảm

1]

mạnh (c) Sơ đồ miêu tả exciton tại trạng thái Isva 2strong môi trường điệnmôi không đồng nhất.

Ham thé màn chắn được sử dụng phô biến dé giải quyết bài toán exciton2D, cho ra kết quả tốt so với thực nghiệm (Hình 5.b), là hàm thế Rytova-

Keldysh [21].

9;(sse)==2 |4 SP-x|* | (1.13)

2K, Ny h

Phương trình thế tương tác trên được viết ở dạng không thứ nguyên, trong đó: «

là hằng số điện môi trung bình, z„ là độ dai màn chắn có liên quan tới độ phân

cực y,, của đơn lớp 2D TMDC, z, =2zz,„ bán kính r thông qua hàm Struve

H, va Bessel Y„ bậc không.

Thế Kratzer cũng là dạng thế Coulomb màn chắn như Keldysh, được đặt

tên theo nhà vật lý lý thuyết người Đức B Adolf Kratzer [22] Ông tìm ra nhằm

mục đích mô tả phô dao động quay của halogenua Ngày nay, hàm thé Kratzer

được sử dụng dé nghiên cứu các bài toán nguyên tử, hóa học lượng tử, nhiệt

động lực học Tuy các phân tử tương tác với nhau nhiều dạng thế Kratzer [23]như: hàm thế Kratzer-Euse, thế Kratzer đã sửa đôi (MKP) Nhưng chung quy lại

WS, thông qua phô năng lượng exciton, và chúng tôi chọn sử dụng hàm thê này

Hình 6: So sánh thé Keldysh, thé Coulomb và thé Kratzer như một hàm

của tham so không thứ nguyên của r/7, [9]

13

So sánh thế Keldysh (màu tím), thé Coulomb (màu xanh), và thé Kratzer với

ở =0.21 (mau đỏ), như một hàm của tham số không thứ nguyên của r/ z„ Hình

chữ nhật màu xám mô tả vùng có khoảng cách nhỏ hơn hằng số mạnga=3.2§Á của đơn lớp 2D WSe, trong hBN (r„=l0Ä ).

Đề thuận tiện trong việc biểu diễn và giải phương trình Schrédinger chúng

tôi đặt ¿Ý = = Lúc này ham thế Kratzer (1.15) có dạng:

CHƯƠNG 2: EXCITON 2D TRONG ĐƠN LỚP TMDC DƯỚI TÁC

DUNG THẺ KRATZER

Ở chương nay, chúng tôi trình bày trình tự giải phương trình Schrödingercho exciton 2D bang tính toán giải tích trong trường hợp không có từ trườngngoài tác dụng Từ đó sử dụng phô năng lượng exciton 2D thực nghiệm của đơnlớp WS», trích xuất năng lượng liên kết exciton và năng lượng vùng cam tir phô

năng lượng của đơn lớp WS¿.

2.1 Exciton 2D trong đơn lớp TMDC với tương tác thé Kratzer

Chuyên phương trình (1.5) về dang không thứ nguyên với hàm thé Kratzer

không thứ nguyên V(r) -— , $0 và =x? +y’,

Kr 2r°

F A2 ^? 2

= —†+— -— +99, ly(x,y)= Eự(x,y) (2.1)

( 2\(@c Oy) Kr 2r

Trong đó, thứ nguyên độ dài a, =47e,h* / we* tương ứng bán kính Bohr hiệu

dụng và thứ nguyên của năng lượng là /, = we* /16Z°e¿l?.

Trong đơn lớp TMDC với giếng thé trung tâm, có nhiều phép biến đôi đẻ

mô tả phương trình (2.1) như: Kustaanheimo — Stiefel, Levi-Civita[25] Trong

nghiên cứu này, chúng tôi sử dụng phép biến đổi chuyên từ không gian R(+ y)

sang không gian tọa độ cực RỶ(z,ø)

Trong đó, P(g) = exp(img)/ V2 là hàm cau phụ thuộc vào y, m là số lượng

tử từ và R(r) là hàm bán kính Thay hàm sóng (2.4) vào phương trình (2.3), thu được phương trình

Phuong trình (2.6) có dang giống với phương trình Schrédinger dao động điều

hòa tuyến tính hai chiều Chúng tôi dùng phương pháp giải tích để giải ra

nghiệm chính xác [19].

Nghiệm phương trình của phương trình (2.6) trong điều kiện hữu hạn tại

hàm sóng vô cùng có dạng

R(r)=Ce Ý***'reg(r) (2.7)

Thay (2.7) vào (2.6) ta được phương trình vi phân cấp 2

re"(r) +(2é +1—2 -2ErÌs ‘(r) lễ- -2E(I+ 2£) Jen =0 (2.8)

KK 5

Qua phép biến đôi

r—Ar, A=—= r (2.9)

2V-2E Phuong trình trên có dạng gọn hơn như sau

là không Do đó, hàm g(z) trong phương trình trên sẽ được tìm dưới dạng chuỗi

lũy thừa theo z là

16

gữ)= doar’, (2.11)

Jed

Dem thé (2.11) vào (2.10) và đồng nhất các hệ số dưới mỗi bậc lũy thừa r’

„ ta thu được hệ thức truy hồi cho các hệ số khai triển

với ø là số lượng tử chính Khi j>n —|m|- 1, ham (2.11) trở thành da thức

bậc n —|m|—1.Ma A “SE và & =m” +& Ta thu được biêu thức năng

lượng dạng không thứ nguyên

Đa thức ad wi(") trong phương trình trên là da thức Laguerre liên kết được

định nghĩa theo Wolfram MathWorld Từ phương trình (2.4) (2.7) (2.17) ta thu được hàm bán kính không thứ nguyên

R„(r)=N, -esn(~5)z SI(F), (2.18)

với N,_ là hệ số chuẩn hóa

Từ hai phương trình (2.4) và (2.18), ta được hàm sóng không thứ nguyên

Ự⁄„(, 0) = Fare exo =r bad (r) (2.19)

Hàm cau đã (g) đã chuẩn hóa, nên ta có điều kiện dé chuan hóa hàm

x| đệ? +12En —12£|m|— 6£ + 6n” - 12n|m|— 6n + 6|m|ˆ + 64m] + 2] ` x[ 8° + 48£”n ~ 482" |m|~ 242" + 60ến” 120ển|mị

Bảng 2: Bán kính trung bình không thứ nguyên của excton 2D trong đơn

lớp WS2 ứng với môi trạng thai nm theo phương trình (2.22)