Một số hệ phương trình bậc hai , hai ẩn số đặc biệtA.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.. Hệ hai phương trình, một phương trình bậc nhất, một phương trình bậc hai.. Cách giải : Từ phương trình bậc nhất,
Trang 1Một số hệ phương trình bậc hai , hai ẩn số đặc biệt
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Hệ hai phương trình, một phương trình bậc nhất, một phương trình bậc hai.
Cách giải : Từ phương trình bậc nhất, biểu diễn một ẩn qua ẩn còn lại Đem thế vào phương trình bậc hai rồi
giải phương trình nhận được
Ví dụ : Giải hệ phương trình :
= + +
= +
3
3 2
2
x
y x
2 Hệ phương trình đối xứng của hai ẩn
a) Hệ đối xứng loại I : có dạng
=
= 0 ) , (
0 ) , (
y x g
y x f
trong đó f(x , y) , g(x , y) là các hàm hai biến x, y mà nếu ta đổi x thành y và y thành x thì chúng không thay đổi Tức là:
f(x , y) = f(y, x) và g(x , y) = g(y , x)
Cách giải : Đặt ẩn phụ S = x + y , P = x.y Giải hệ phương trình với các ẩn phụ, sau đó tìm các
nghiệm với ẩn số x, y Hệ đã cho có nghiệm theo x, y với điều kiện là
S2 – 4P ≥ 0
Ví dụ : Giải hệ phương trình :
=
−
−
= + +
1 2
11
2
y x xy
y xy x
b) Hệ đối xứng loại II : có dạng
=
=
) 2 ( 0 ) , (
) 1 ( 0 ) , (
y x g
y x f
nếu đổi x thành y và đổi y thành x thì phương trình này của hệ trở thành phương trình kia của hệ và ngược lại Tức là:
f(y , x) = g(x, y) và g(y , x) = f(x , y)
Cách giải : Trừ từng vế hai phương trình (1) và (2) của hệ ta thu được phương trình mới biến đổi về
dạng : (x - y).h(x, y) = 0 (3)
Phương trình (3)
=
=
⇔
0 ) ,
( y x h
y x
+ Với x = y thay vào (1) hoặc (2) thì được phương trình một ẩn x (hoặc y)
+ Với h(x , y) = 0 ta giải tìm x theo y hoặc tìm y theo x rồi thay vào (1) hoặc (2) thì thu được phương trình một ẩn, giải tìm ẩn đó rồi tính ẩn còn lại
Ví dụ : Giải hệ phương trình :
a)
+
=
+
=
x y y
y x x
8 3
8 3 3
3
; b)
+
= +
= +
2 2 5 5
3
y x y x
y x
c) Hệ đẳng cấp bậc hai theo hai ẩn
Hệ có dạng :
=
=
) 2 ( )
, (
) 1 ( )
, (
n y x g
m y x f
,trong đó m, n là số đã biết và các biểu thức
f(x , y) và g(x , y) có tất cả các số hạng đều là bậc hai theo hai ẩn x , y
Cách giải:
+ kiểm tra x = 0 hoặc y = 0 có thoả mãn là nghiệm của hệ hay không
+Xét trường hợp x≠0 (hoặc y≠0) Ta đặt y = kx (hoặc x = ty) sẽ đưa đến việc xác định k (hoặc t) và giải tiếp một phương trình theo ẩn x (hoặc ẩn y)
Ví dụ : Giải hệ phương trình
= + +
= + +
17 3
2
11 2
3
2 2
2 2
y xy x
y xy x
Trang 2B CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN
Bài 1 Cho hệ phương trình : (I)
−
= +
= +
2 2
x
m y x
với m là tham số
a) Giải hệ (I) với m = 1 Kq: (-1;2), (2;-1)
b) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm Kq: [−2; 2]
Bài 2 Xác định giá trị của m để hệ phương trình sau đây có nghiệm duy nhất :
= +
= + +
1 2
x
m xy y x
Kq : 2 4
2 2
Bài 3 Giải hệ phương trình :
a)
+
=
−
+
=
−
x y x y
y x y x
2 2
2 2 2 2
2 2
= +
−
−
= +
−
13 3
3
1 3
2 2
2 2
y xy x
y xy x
Kq: (0;0) v (-3;-3) Kq: (1;2), (2;1), (-1;-2), (-2;-1)
Bài 4 Giải hệ phương trình :
a)
−
= + +
= + +
3 2 2
3 2 2
y xy x
y xy x
; b)
= +
− +
= +
−
− +
0 3 6
3
0 2 2
4 2 2
2
y x xy x
y x xy x
Kq: ( 3;− 3),(− 3; 3), ( 1; 1)− − Kq: (-2;14/9), (-3;2)
Bài 6 Giải hệ phương trình :
a)
=
− +
= +
−
3
13 2 2
xy y x
y xy x
; b)
+
= +
= +
2 2 3 3
1
y x y x
y x
Kq: (4;1),(1; 4),(2+ 3; 2− 3),(2− 3; 2+ 3) Kq: (0;1), (1;0)
Bài 7 Giải hệ phương trình :
a)
= +
= + +
30 ) (
11
y x
xy
y xy
x
; b)
=
−
−
−
= +
− +
3 8 9 2 3
1 4 3 2 2
2 2
y x y x
y x y x
; c)
= +
= +
12
4 2
2y xy x
y x
KQ: (5;1), (1;5), (2;3), (3;2) : (0;3 13), ( 4;3 13)
Bài 8 Giải hệ phương trình :
a)
− +
=
− +
=
y y
x y
x x
y x
16 7
16 7
2 2 3
2 2 3
=
−
−
= + + +
+
6 ) 1 ).(
1 (
3 1
1 2 2
y x
y y x x
; c)
−
=
−
= +
y y x x
y x
3 3
1
Kq: (0;0), (4;4) Kq: (-1;-2); (-2;-1) Kq: (1/2;1/2), (0;1), (1;0)
Bài 9 Giải hệ phương trình :
a)
= +
= + +
6
5
2
x y
x
y
x y x
; b)
= +
+
= +
78
1 7
xy y xy x
xy x
y y
x
(quy đồng); c)
=
+ +
=
+ +
49
1 1
5
1 1 )
(
2 2 2
2
y x y
x
xy y
x
(nhân ra-đặt a âp)
Kq: (2,;1), (3/2;1/2) Kq: (4;9), (9;4) Kq: : ( 1;7 3 5),(7 3 5; 1)
Trang 3Bài 10 Giải hệ phương trình :
a)
−
=
−
=
−
1 1
1 1 4 3 3
y x
y x y
x
; b)
+
=
+
− +
= +
− +
y
x x
x y y y
x x
5 4
) 2 )(
1 4 2 ( ) 2 )(
1 4 2 (
2
2 2
Kq: (1;1), (2;2 ) Kq: (1;1), (4;4) * Chia hai vế pt (1) cho (x+1).(y+2)
C BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 11 Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình :
= +
= +
m y x
y x
2
13 5 3
Bài 12 Chứng minh rằng hệ phương trình :
+
= +
+
= + +
m m xy y x
m y xy x
2 2 2
1 2
luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m
Bài 13 Giải hệ phương trình :
a)
= + +
= + + +
0 8
0 2 6 2 2
y x
y x y x
; b)
=
−
−
= +
18 ) 1 )(
1 (
65 2 2
y x
y x
; c)
= + + +
= + + +
0 1 3
0 3 2 2 2
2 2
y y xy
x y xy x
Kq: (-6;-2), (-4;-4) Kq: (7;4), (4;7), (-1;-8), ( 8;-1) Hd: pt(2) nhân 2ø cộng pt(1) đưa ra (x+2y)
Bài 14 Giải hệ phương trình :
a)
+
= +
= +
2 2 3 3
1
y x y x
y x
; b)
=
− +
=
− +
3
13 2
2
xy y x
xy y x
; c)
= +
−
−
= +
−
13 3
3
1 3
2 2
2 2
y xy x
y xy x
Bài 15 Giải hệ phương trình :
a)
= +
=
− +
− 13
4 1 4
y x
y x
; b)
=
− + +
=
− + +
3 2 1
3 2 1
x y
y x
; c)
=
−
=
−
26
2 3
x
y x
Bài 16 Giải hệ phương trình :
a)
=
− + + + +
− + + +
= + + + + + + + + +
2 1
1
18 1
1
2 2
2 2
y y
x y x y
x x
y y
x y x y
x x
; b)
=
−
=
−
28
12 2
2
xy x
y xy
Bài17 Giải hệ phương trình :
a)
= +
−
=
−
2
2 2
3 3
2 2
y x
y y x x
; b)
= +
= +
6
9 1
2 2
3 3
x
y x y
y x
; c)
+
=
+
=
y
x x x
y y
4 4
Bài 18 Giải hệ phương trình :
−
=
− +
−
= + +
) 2 ( 7 2 4
2 19 2
4 2 2
2 2
2
y x xy y
x
y x xy y
x
; b)
= +
= +
3 3
3
2 2
35 1
30
x y
x
x xy
y
Trang 4Bài 19 Giải hệ phương trình :
a)
= + + +
= + +
13 ) 1 ( ) 1 (
24 ) 2 )(
2 (
2
x
y x xy
; b)
= +
= +
x y
y x
2 1
2 1 3
3
; c)
= +
= +
97
5 4
x
y x
Bài 20 Giải hệ phương trình :
a)
−
= +
−
= +
+ +
3 2
5 2
1 4
2 2
y x
x
y x
xy x
; b)
= +
= +
y x y
x y x
3 1 2
3 1 2
; c)
= + + +
= + + +
4 1 1
4 1 1
2 2 2 2
y x y x
y x y x
Bài 21 Giải hệ phương trình :
a)
−
=
+
−
= +
−
6
1
1 1
1
3
x y
y
y x
x
; b)
= +
−
=
−
1
3 3
4 4
3 3
y x
y y x x
; c)
+
−
=
−
+
=
−
2
y x y x
y x y
x
Bài 1: Giải và biện luận các hệ phương trình sau (ẩn số là x và y)
1a)
+
= + +
−
=
−
1 2 )
6 2 (
4 4
m y x m
m my x
; 1b)
−
= +
−
= +
2
1 2
my x
y mx
2a)
= +
−
= +
−
2 )
2 (
3 2
) 1 (
my x m
y m x m
; 2b)
= +
= +
−
1 2
) 1 (
my x
m y x m
3a)
=
−
−
=
−
m y m mx
m n my nx
4 2
2
; 3b)
=
−
=
−
2
2
n y nx
m my x
4a)
= + +
−
= + +
−
m y n m x n m
n y n m x n m
) ( ) (
) 2 ( ) 2 (
; 4b)
= +
+
= +
mn my
nx
n m ny mx
2
2 2
Bài 2: 1) Cho hệ phương trình :
= +
−
−
= +
−
−
0 2 ) 1 (
0 3 6 ) 2 (
y m mx
my x m
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m
b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối với m
2) Cho hệ phương trình :
=
−
−
=
− +
2 )
1 (
9 ) 2 ( 6
my x m
y m mx
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m
b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối với m
Bài 3: Tìm m là số nguyên để mỗi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x;y) với x, y đều là các số
nguyên Lúc đó tìm (x;y) :
HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN SỐ Hệ phương trình dạng
= +
= +
' ' 'x b y c a
c by ax
Trang 51a)
=
− + +
=
− + + + +
0 4 ) 2 ( 2
0 2 )
1 3 ( ) 1 (
y m x
m y m x m
; 1b)
=
−
− +
=
− +
0 1 2
0 3
m my x
m y mx
2a)
−
= +
+
= +
1 2 2
1 2
m my x
m y mx
; 2b)
+
= +
= +
1
3 2
m y x
m y mx
Bài 4: Tìm m và n để hai hệ phương trình sau tương đương với nhau :
= +
+
= + 3
1 2
y x
n y mx
và
= +
+
= + 3 3
2
y x
m y x
Bài 5: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất :
=
− +
=
− +
=
− +
0
0 1
0 1
m y x
my x
y mx
Bài 1)Giải và biện luận các bất phương trình sau theo tham số m
Bài 2)Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của phương trình 2x2-11x+13=0 Không giải phương trình , hãy tính giá trị các biểu thức sau :
2
3
2
4
2
4
1 1
2 2 2 2
x
x x x
x
− +
−
Bài 3)Chứng tỏ rằng kb2 = (k+1)2.ac là điều kiện cần và đủ để phương trình ax2+bx+c=0 (a≠0) có hai nghiệm thoả mãn nghiệm này bằng k lần nghiệm kia
Bài 4)Tìm m và n để hai số m ,n là nghiệm của phương trình x2+mx+n=0
Bài 5)Cho a,b là nghiệm của phương trình x2+px+1=0 và b,c là nghiệm của phương trình
x2+qx+2=0 Chứng minh rằng : (b-a)(b-c)=pq-6
Bài 6)Cho hai phương trình x2+p1x+q1=0 (1) và x2+p2x+q2=0 (2) biết p1p2=2(q1+q2)
Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm
Bài 7)Cho hai số α;β là các nghiệm của phương rình x2+px+q=0 Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm số là (α +β)2 &(α −β)2
Bài 8)Cho phương trình x2+4x+m+1=0 (1)
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI-TAM THỨC BẬC HAI-BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Trang 61.Định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn hệ thức 2 7
1
2 2 2 2
2
x
x x x
2.Định m để phương trình (1) có đúng một nghiệm âm
3.Chứng tỏ rằng nếu phương trình (1) có một nghiệm dương x1 thì phương trình :
(m+1)x2+4x+1=0 cũng có một nghiệm dương
1
1
x Bài 9)Cho phương trình 2x2+2(m+1)x+m2+4m+3=0
1.Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm lớn hơn hay bằng 1
2.Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
A = x1x2 −2(x1 +x2)
Bài10)Cho hai phương trình x2+3x+2a=0 (1) và x2+6x+5a=0 (2).Tìm tất cả các giá trị của
a để mỗi phương trình đều có hai nghiệm phân biệt và giữa hai nghiệm của phương trình này có đúng một nghiệm của phương trình kia
Bài11)Tìm các giá trị nguyên của a,b để phương trình : x2+ax+b=0 có hai nghiệm x1và x2 thoả mãn điều kiện :
<
<
−
<
<
−
2 1
1 2
2
1
x x
Bài12)Xác định m để phương trình mx2+(2m+1)x-1=0 có ít nhất một nghiệm dương
Bài13)Giả sử x1,x2 là các nghiệm của phương trình x2+2mx+4=0 Hãy tìm các giá trị của m để
2
1 2 2
2
+
x
x x
x
Bài14)Tìm các giá trị của a để hiệu hai nghiệm của phương trình : 2x2-(a+1)x+a+3=0 bằng 1
Bài15)Hãy tìm các giá trị của k để các nghiệm của phương trình :2x2-(k+2)x+7=k2 trái dấu
nhau và là nghịch đảo của nhau về giá trị tuyệt đối
Bài16)Giả sử a,b là hai số thoả mãn a>b>0 Không giải phương trình abx2-(a+b)x+1=0 Hãy
tính tỉ số giữa tổng hai nghiệm và hiệu hai nghiệm của phương trình
Bài17)Tìm các giá trị của m để phương trình :
1.x2 +2(m+1)x+9m−5=0 có cả hai nghiệm đều âm
2.(m−2)x2 −2mx+m+3=0 có cả hai nghiệm đều dương
Bài18)Giải và biện luận phương trình : (m−1)x4 −2(2m−1)x2 +8=0
Bài19)Cho phương trình (m+2)x2 −2(m−1)x+m−2=0
1.Xác định m để phương trình có một nghiêïm x=-1 và tìm nghiệm còn lại
2.Xác định m để phương trình có đúng một nghiệm dương
Bài20)Xác định m để phương trình (x-2)[x2-2(m+1)x+m2+5]=0 có ba nghiệm phân biệt
Trang 7Bài22)Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt :
1.(m+3)x4-3(m-1)x2+4m=0 ; 2 (m-1)x4+(2m-3)x2+m-1=0
Bài23)Cho phương trình : x2-2(m-1)x+m2-3m+4=0
1.Xác định m để ptrình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
2
2
1 +x =
3.Xác định m để biểu thức 2
2
2
x + đạt giá trị nhỏ nhất Bài24)Cho phương trình (m2 −4)x2 +2(m+2)x+1=0.Tìm m để phương trình có đúng 1 nghiệm
Bài25)Cho phương trình x2 −(m+5)x+m=0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x1−x2
trong đó x1,x2 là hai nghiệm của phương trình
Bài26)Tìm m để phương trình (2m−1)x2 +(m2 −1)x+m+2=0 có hai nghiệm x1,x2 sao cho :
x1< 1 < x2
Bài27)Tìm m để phương trình (m+4)x2 +(m2 −m)x+2m=0 có hai nghiệm x1,x2 sao cho :
x1 <−1 x≤ 2
Bài28)Tìm m để phương trình (m+1)x2 −(2m−1)x+m=0 có nghiệm thoả điều kiện −2 x≤ 1<x2
Bài29)Tìm m để phương trình 4x2 −(3m+1)x−m−2=0 có hai nghiệm thuộc khoảng (-1;2)
Bài30)Tìm các giá trị của m để phương trình (m+1)x2-3mx+4m=0 :
1 Có một nghiệm thuộc (-1;1), còn nghiệm kia nhỏ hơn -1
2 Có nghiệm lớn hơn 1
Bài31) Tìm m để phương trình (m−2)x2 −2(m+3)x+4=0 có hai nghiệm ,trong đó có một nghiệm lớn hơn 3 còn nghiệm kia nhỏ hơn 2
Bài32)Tìm các giá trị của m để số -4 nằm giữa hai nghiệm của phương trình :
(m+3)x2-2(m-1)x+4m =0
Bài33)Tìm các giá trị của m để phương trình (m-5)x2-(m-9)x+m-5=0 có:
1 Hai nghiệm lớn hơn -3
2 Hai nghiệm nằm giữa -2 và 3
Bài34)Cho phương trình (3m-5)x2-2(3m+2)x+4m-1=0 Xác định m để phương trình có :
1 Hai nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn -1
2 Một nghiệm thuộc khoảng (-1;0) và nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;0]
Trang 8Bài35)Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x :
1
2
2
≤ +
−
− +
≤
−
x x
mx
1
4 2
2
<
+
−
− +
≤
−
x x
mx x
Giải các hệ phương trình sau : 1)
= +
= +
+
30 )
(
11
y
x
xy
y
xy
x
=
−
−
−
= +
− +
3 8 9 2 3
1 4 3 2 2
2 2
y x y x
y x y x
; 3)
= +
= +
12
4 2
2y xy x
y x
4)
− +
=
− +
=
y y
x
y
x x
y
x
16 7
16 7
2 2
3
2 2
3
=
−
−
= + + +
+
6 ) 1 ).(
1 (
3 1
1 2 2
y x
y y x x
; 6)
−
=
−
= +
y y x x
y x
3 3
1
7)
=
+
= +
+
6
5
2
x
y
x
y
x
y
x
; 8)
= +
+
= +
78
1 7
xy y xy x
xy x
y y
x
với x,y>0 ; 9)
=
+ +
=
+ +
49
1 1
5
1 1 )
(
2 2 2
2
y x y
x
xy y
x
10)
−
=
+
−
= +
+ +
3 2
5 2
1 4
2 2
y
x
x
y x
xy
x
; 11)
= +
= +
y x y
x y x
3 1 2
3 1 2
; 12)
= + + +
= + + +
4 1 1
4 1 1
2 2 2 2
y x y x
y x y x
13)
=
+
=
− +
−
13
4 1 4
y
x
y x
; 14)
=
− + +
=
− + +
3 2 1
3 2 1
x y
y x
; 15)
=
−
=
−
26
2 3
x
y x
16)
=
− + + + +
− +
+
+
= + + + + + + +
+
+
2 1
1
18 1
1
2 2
2 2
y y
x y x y
x
x
y y
x y x y
x
x
; 17)
=
−
=
−
28
12 2
2
xy x
y xy
18)
= +
−
=
−
2
2 2
3
3
2 2
y
x
y y x
x
; 19)
= +
= +
6
9 1
2 2
3 3
x
y x y
y x
−
=
− +
−
= + +
) 2 ( 7 2 4
2 19 2
4 2 2
2 2
2
y x xy y
x
y x xy
y x
HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN SỐ (ÔN CHUNG CHO LTĐH)
Trang 9
= +
=
+
3 3
3
2 2
35 1
30
x y
x
x xy
y
; 22)
= + + +
= + +
13 ) 1 ( ) 1 (
24 ) 2 )(
2 (
2
x
y x xy
; 23)
+
=
+
=
y
x x x
y y
4 4
24)
=
+
=
+
x y
y x
2 1
2 1
3
3
; 25)
= +
= +
97
5 4
x
y x
26*)
−
=
+
−
= +
−
6
1
1 1
1
3
x
y
y
y x
x
; 27*)
= +
−
=
−
1
3 3
4 4
3 3
y x
y y x x
; 28*)
+
−
=
−
+
=
−
2
y x y x
y x y
x
29*)
−
=
−
=
−
1 1
1 1 4 3
3
y x
y x y
x
; 30*)
+
=
+
− +
= +
− +
y
x x
x y y y
x x
5 4
) 2 )(
1 4 2 ( ) 2 )(
1 4 2 (
2
2 2