§ 5 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
Đối với hệ phương trình bậc hai hai ẩn ta sẽ nghiên cứu 2 dạng sau đây
Dạng 1: Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai (hai ẩn)
Hệ có
dạng sau :
( )
( )
ax+by = c 1
0; ' ' ' 0; , , , ', ', ', ', ', '
Ví dụ 1 :
2 2
2 1 (1) ( )
x y I
x y x
− =
− − =
Làm cách nào để giải bài toán ?
Giải :
(1) ⇔ = y 2 x − 1 (3) Thế (3) vào (2) ta được :
3 x − (2 x − 1) − − = x 1 0
Hệ (I) có nghiệm là : (1;1) ; (2;3)
2
x x
=
⇔ =
Thế x =1 vào (3) ta có y = 1; x = 2 ta có y = 3
Làm thế nào để tính được y ?
Trang 22 2
( )
I
− =
− − =
Giải
2 1 ( )
y x I
= −
⇔ − − − − =
2
⇔
1 2
x x
⇔ =
=
1 1 2 3
x y x y
Trang 3§ 5 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN Dạng 2: Hệ gồm hai phương trình bậc hai (hai ẩn)
Loại 1: Hệ có dạng
a x y bxy c x y d a b
a x y b xy c x y d a b
Các em có nhận xét gì về mối liên quan các ẩn x , y của hệ ? Nếu thay thế x bởi y và y bởi x thì các phương trình có thay đổi gì không ?
Ví dụ 2(SGK)
Giải hệ phương trình sau:
( )
2
II
Làm thế nào để giải
được phương trình ? Tại sao đặt x+y = S và xy = P ? Đặt ẩn phụ x + y = S; xy = P
Hệ (II) trở thành hệ 2
ẩn S;P là loại hệ gì ?
2
Giải hệ này ta được các cặp nghiệm nào ?
2
2
6 (*)
S P
S S
+ =
⇔ + =
Phương trình (*) có nghiệm là mấy ?
2 2 3
S S
= −
⇔ =
= −
2 0 3 5
S P S P
Trở về ẩn x , y của hệ ban đầu ta được hệ tương đương ?
2 ( ) 0
( )
3 ( ) 5
x y
IIa xy
II
x y
IIb xy
Làm thế nào để giải hệ phương trình này ?
Trong bài pt bậc 2 ta đã học dạng toán biết tổng , tích 2 số ?Điều kiện để hệ (IIa),(IIb) có nghiệm ?
Giải hệ (IIa) : x,y là nghiệm của pt: X2 - 2X=0 1
2
0 2
X X
=
⇔ =
Do đó hệ (IIa) có 2 cập nghiệm là : ( 0;2) ; (2;0)
Hệ (IIb) Vô nghiệm
Vậy hệ (II) có 2 cập nghiệm là : (0;2) ; (2;0)
Trang 42 2 4
( )
2
x xy y
II
xy x y
+ + =
+ + =
2
;
x y S xy P
II x y xy
x y xy
+ = =
⇔ + − =
+ + =
Giải
2
; 4 2
x y S xy P
S P
+ =
2
; 2
6 0
x y S xy P
+ − =
; 2
2 3
S S
2 0 ( )
3 5
S P II
S P
=
=
⇔
= −
=
2
3 5
xy
0 2 2 0
x y x y
Trang 5§ 5 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
ax
Các em nhận xét gì về mối tương quan giữa x , y của các phương trình của hệThay x bởi y và thay y bởi x thì pt thứ nhất biến thành pt thứ hai
Ví dụ 3: (SGK)
Giải hệ pt :
( ) ( )
2
2
III
Làm thế nào để giải hệ pt ?
Lấy (1) trừ (2) ta có ( x2 − y2) 2( − x y − = − − ) ( x y ) ⇔ ( x y x y − )( + − = 1) 0
0
1 0
x y
x y
− =
⇔ + − = Từ 2 pt trên ta biến đổi thàn 2 pt
đơn giản hơn Vậy hệ (III) tương đương với hệ pt nào ?
Do đó
2
2
0
( ) 2
( )
1 0
( ) 2
x y
IIIa
x x y III
x y
IIIb
x x y
− =
− =
⇔ + − =
− =
Hệ (IIIa) và hệ (IIIb) là dạng hệ pt gì ?
Giải hệ (IIIa)
2 3 0
x y
=
− =
x x
=
0 0 3 3
x y x y
=
=
⇔ =
=
Giải hệ (IIIb) 2 1
2
= −
1
1 0
= −
1
1 5 2
1 5 2
x x
= −
−
=
⇔
+
=
1 5 2
1 5 2
1 5 2
1 5 2
x y x y
−
=
= +
⇔ +
=
−
=
Vậy hệ có 4 cặp nghiệm là : (0;0);(3;3); 1 5 1; 5
1 5 1 5
; ;
2 2
Trang 6( ) ( )
2
( )
x x y III
y y x
Giải:
2 2
1
x x y
y x
− =
⇔ =
= −
2
2 2
2 ( )
2( )
III
⇔
2
2
3 0 1
1 0
=
− =
⇔ = −
− + =
0 0 3 ( )
3 (1 5) / 2 (1 5) / 2
x y x III
y x y
=
=
=
⇔ =
= ±
=
0 3 ( )
1 (1 5) / 2
x x III
x
=
=
=
⇔
= −
= ±
Trang 7§ 5 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
Trắc nghiệm khách quan
Cho hệ pt :
2 2
13 4
4 13
= +
= +
Có 2 cặp nghiệm là : (17;17) ; (-3;12)
Hệ pt này có tất cả bao nhiêu cặp nghiệm ?
A 4 ; B 3 ; C 2 ; D 5
Qua bài trắc nghiệm trên các em có nhận xét gì về các cặp nghiệm của ví dụ 2,ví dụ 3 ?
Chú ý
1) Các hệ phương trình có dạng 2 ; loại 1 và loại 2 được gọi chung là hệ đối xứng (đối với 2 ẩn)
2) Nếu một hệ đối xứng có cặp nghiệm là ( a;b) thì cũng có cặp nghiệm là (b;a)
Tóm lại
* Giải dạng 1 : Dùng phép thế đưa hệ về phương trình bậc2
* Giải dạng 2 :- Loại 1 : Ta đặt ẩn phụ x + y = S ; x.y = P được hệ đơn giản hơn
•- Loại 2 : Ta lấy 2 phương trình trừ đi nhau được phương trình đơn giản hơn
Bài tập : 45; 46; 47; 48; 49 Trang 100 (SGK)
3) Hệ pt có thể có bậc cao hơn (ôn tập chươngIII)
4) Điều kiện hệ có nghiệm,có nghiệm duy nhất ( chứa tham số)(ôn tập chương III)