PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI-LT VÀ BT CƠ BẢN

Tài liệu ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Đại số PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ A/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN: I/ Khái niệm phương trình bậc hai một ẩn số: Phương trình bậc hai một ẩn số (x) là phương trình có dạng: ax 2 + bx + c = 0 (với a, b, c ∈ R và a ≠ 0) II/ Cách giải phương trình bậc hai một ẩn số: 1. Dạng khuyết c (c=0) – Dạng ax 2 + bx = 0: ax 2 + bx = 0 ⇔ x.(ax+b)=0 ⇔ 0 0 0 x x b ax b x a =  =   ⇔   + = = −   2. Dạng khuyết b (b=0) – Dạng ax 2 + c = 0: * Trường hợp c>0: phương trình vơ nghiệm (vì khi đó ax 2 + c > 0 ∀ x ) * Trường hợp c<0, ta có: ax 2 + c = 0 ⇔ 2 2 ax c x c a c x a c x a  = −   =− ⇔ = − ⇔  = − −   3. Dạng đầy đủ – Dạng ax 2 + bx + c = 0 (với a, b, c ≠ 0 : - Bước 1: Xác định hệ số a,b,c. - Bước 2: Lập ∆ = b 2 - 4ac (hoặc ∆' = b' 2 – ac) rồi so sánh với 0 (Trong trường hợp ∆>0 (hoặc ∆'>0) ta tính ∆ (hoặc tính '∆ ) - Bước 3: Xác định và kết luận nghiệm theo bảng sau: C«ng thøc nghiƯm tổng qt C«ng thøc nghiƯm thu gän ∆ = b 2 - 4ac -NÕu ∆ > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt: a b x 2 1 ∆+− = ; a b x 2 2 ∆−− = - NÕu ∆ = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp : a b xx 2 21 − == - NÕu ∆ < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiƯm ∆' = b' 2 - ac (víi b’ = 2 b 2b') - NÕu ∆' > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt: a b x '' 1 ∆+− = ; a b x '' 2 ∆−− = - NÕu ∆' = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp: a b xx ' 21 − == - NÕu ∆' < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiƯm * Chú ý: Nếu a.c < 0 thì phương trình bậc hai ln có hai nghiệm phân biệt (trái dấu) III/ Định lí Vi-ét: 1/ Vi-ét thuận: NÕu x 1 , x 2 lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 (a≠0) th×: 1 2 1 2 . b S x x a c P x x a −  = + =     = =   2/ Vi-ét đảo: Hai sè u vµ v thỏa mãn u + v = S; u.v = P thì u,v là nghiệm của ph¬ng tr×nh: x 2 - Sx + P = 0 (§iỊu kiƯn: S 2 - 4P ≥ 0) 3/ NhÈm nghiƯm cđa ph ¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0): Trường T H C S Cát Nhơn Tài liệu lưu hành nội bộ Tài liệu ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Đại số */ NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm: x 1 = 1 ; x 2 = c a */ NÕu a - b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm: x 1 = -1 ; x 2 = c a − * Chú ý: NÕu x 1 , x 2 lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 (a≠0) th×: ax 2 + bx + c = a(x-x 1 )(x-x 2 ) IV/ Giải các phương trình quy được về phương trình bậc hai: 1/ Phương trình tích: ( ) 0 ( ). ( ) 0 ( ) 0 A x A x B x B x =  = ⇔  =  2/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu: - Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình (là ĐK của ẩn để tất cả các mẫu đều khác 0) - Bước 2: Qui đồng và khử mẫu hai vế - Bước 3: Giải phương trình nhận được trong bước 2 - Bước 4: Đối chiếu giá trị ẩn vừa tìm được với ĐKXĐ và kết luận nghiệm 3/ Phương trình trùng phương: ax 4 + bx 2 + c = 0 ( a ≠ 0 ) + Đặt : x 2 = y ≥ 0 , ta có PT đã cho trở thành : ay 2 + by + c = 0 (*) + Giải phương trình (*) + Chọn các giá trị y thỏa mãn y ≥ 0 thay vào: x 2 = y ⇔ x= y± + Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu 4/ Phương trình sau khi đặt ẩn phụ quy về phương trình bậc hai: + Đặt ẩn phụ, đặt điều kiện của ẩn phụ nếu có. + Giải phương trình ẩn phụ. + Chọn các giá trị ẩn phụ thỏa mãn điều kiện thay vào chỗ đặt để suy ra giá trị ẩn ban đầu. + Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu. V/ Cách giải một số dạng tốn về phương trình bậc hai: Bµi to¸n 1: T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã nghiƯm.  Cã hai kh¶ n¨ng ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 cã nghiƯm: 1. Hc a = 0 vµ b ≠ 0 2. Hc a ≠ 0 vµ ∆ ≥ 0 (∆' ≥ 0) TËp hỵp c¸c gi¸ trÞ m lµ toµn bé c¸c gi¸ trÞ m tho¶ m·n ®iỊu kiƯn 1 hc ®iỊu kiƯn 2. Bµi to¸n 2: T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a, b, c phơ thc tham sè m ) cã 2 nghiƯm ph©n biƯt.  §iỊu kiƯn cã hai nghiƯm ph©n biƯt    >∆ ≠ 0 0a (hc    >∆ ≠ 0 0 ' a ) Bµi to¸n 3: T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã 1 nghiƯm.  §iỊu kiƯn cã mét nghiƯm:    ≠ = 0 0 b a hc    =∆ ≠ 0 0a (    =∆ ≠ 0 0 ' a ) Bµi to¸n 4: T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã nghiƯm kÐp.  §iỊu kiƯn cã nghiƯm kÐp:    =∆ ≠ 0 0a (hc    =∆ ≠ 0 0 ' a ) Bµi to¸n 5: T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) v« nghiƯm. Trường T H C S Cát Nhơn Tài liệu lưu hành nội bộ Tài liệu ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Đại số  §iỊu kiƯn v« nghiƯm: a 0 b 0 c 0 =   =   ≠  hc    <∆ ≠ 0 0a (    <∆ ≠ 0 0 ' a ) Bµi to¸n 6: T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a, b, c phơ thc tham sè m ) cã hai nghiƯm cïng dÊu.  §iỊu kiƯn cã hai nghiƯm cïng dÊu:      >= ≥∆ 0 0 a c P hc      >= ≥∆ 0 0 ' a c P Bµi to¸n 7 : T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 (a, b, c phơ thc tham sè m) cã 2 nghiƯm d¬ng.  §iỊu kiƯn cã hai nghiƯm d¬ng:          >−= >= ≥∆ 0 0 0 a b S a c P hc          >−= >= ≥∆ 0 0 0 ' a b S a c P Bµi to¸n 8 : T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã 2 nghiƯm ©m.  §iỊu kiƯn cã hai nghiƯm ©m:          <−= >= ≥∆ 0 0 0 a b S a c P hc          <−= >= ≥∆ 0 0 0 ' a b S a c P Bµi to¸n 9 : T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a, b, c phơ thc tham sè m) cã 2 nghiƯm tr¸i dÊu.  §iỊu kiƯn cã hai nghiƯm tr¸i dÊu: P < 0 (hc a.c<0). Bµi to¸n 10: T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 (*) ( a, b, c phơ thc tham sè m) cã mét nghiƯm x = x 1 . TÝnh nghiƯm x 2 ?  C¸ch gi¶i: - Thay x = x 1 vµo ph¬ng tr×nh (*) ta cã: ax 1 2 + bx 1 + c = 0 → m - Thay gi¸ trÞ cđa m vµo (*) → x 2 (hc x 2 = S - x 1 hc x 2 = 1 x P ) Bµi to¸n 11 : T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a, b, c phơ thc tham sè m) cã 2 nghiƯm x 1 , x 2 tho¶ m·n c¸c ®iỊu kiƯn: a. γβα =+ 21 xx b. kxx =+ 2 2 2 1  §iỊu kiƯn chung: ∆ ≥ 0 (hc ∆' ≥ 0) (*) Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã:        == = − =+ )2(. )1( 21 21 P a c xx S a b xx a. Trêng hỵp: γβα =+ 21 xx Trường T H C S Cát Nhơn Tài liệu lưu hành nội bộ Tài liệu ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Đại số Gi¶i hƯ      =+ − =+ γβα 21 21 xx a b xx Thay x 1 , x 2 vµo (2) → m Chän c¸c gi¸ trÞ cđa m tho¶ m·n (*) b. Trêng hỵp: 2 2 2 1 2 1 2 1 2 x x k (x x ) 2x x k+ = ⇔ + − = Thay x 1 + x 2 = S = a b− vµ x 1 .x 2 = P = a c vµo ta cã: S 2 - 2P = k → T×m ®ỵc gi¸ trÞ cđa m tho¶ m·n (*) B/ BÀI TẬP: Dạng 1: Giải phương trình: Bài 1: Giải phương trình a) 2x 2 + 5x = 0 b) x - 6x 2 = 0 c) 2x 2 + 3 = 0 d) 4x 2 -1 = 0 e) 2x 2 + 5x + 2 = 0 f) 6x 2 + x + 5 = 0 g) 2x 2 + 5x + 3 = 0 h) 2 25x 20x 4 0− + = i) 2 3x 2 3x 2 0− − = j) ( ) 2 3x 3 2 x 2 0+ − − = k) ( ) 2 x 2 3 x 2 3 0− + + = Bài 2: Giải phương trình a) 3x 4 + 2x 2 – 5 = 0 b) 2x 4 + x 2 – 7 = 0 c) 4 2 3x 5x 2 0− − = Bài 3: Giải phương trình a) 16 x 3 – 5x 2 – x = 0 b) ( ) ( ) 2 2 2 2 x 3x 5 2x 1 0+ − − − = c) − + = − − + 3x 2 6x 5 x 5 x 5 4 d) ( ) ( ) 2 x 3x 5 1 x 3 x 3 x 2 − + = − − + e) 7 16 2 1 2 1 = − − + xx Bài 4: Giải phương trình a) x – 7 x 1 0− = b) x 5 5 x 1 0+ − − = c) ( ) ( ) 2 2 2 2x x 13 2x x 12 0+ − + + = d) ( ) ( ) 2 2 2 8x 2x 11 2 8x 2x 11 3 0− + + − − + + − = e) ( x – 6) 4 + (x – 8) 4 = 16 f) (x 2 – 3x – 1 ) 4 – 13x 2 (x 2 – 3x – 1) 2 + 36x 4 = 0 Dạng 2: Khơng giải phương trình tính tổng, tích hai nghiệm; tính nghiệm còn lại khi biết trước một nghiệm của PTBH: Bài 1: Cho phương trình: 2 x 8x 15 0− + = , khơng giải phương trình hãy tính: a) 1 2 x x+ b) 1 2 .x x c) 2 2 1 2 x x+ d) ( ) 2 1 2 x x+ e) 1 2 1 1 x x + f) 1 2 2 1 x x x x + Bài 2: Cho phương trình: 2 x 3x 15 0+ + = , khơng giải phương trình hãy tính: a) 1 2 x x+ b) 1 2 .x x Bài 3: a) Cho phương trình: 2 x 2mx 5 0− + = có một nghiệm bằng 2, hãy tìm m và tính nghiệm còn lại. b)Cho phương trình: 2 x 5x q 0+ + = có một nghiệm bằng 5, hãy tìm q và tính nghiệm còn lại. Dạng 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm: Bài 1: Tìm hai số u và v biết: a) u+v=3 và u.v=2 b) u+v= -3 và u.v=6 c) u-v=5 và u.v=36 d) u 2 +v 2 =61 và u.v=30 Bài 2: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là: a) 1 8x = và 2 3x = b) 1 5x = và 2 7x = − c) 1 1 2x = + và 2 1 2x = − Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để thỏa mãn về sự có nghiệm của phương trình bậc hai: Bài 1: Cho phương trình: 2 x 2x m 1 0− + − = , tìm m để phương trình: Trường T H C S Cát Nhơn Tài liệu lưu hành nội bộ x 1 , x 2 Tài liệu ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Đại số a) Có hai nghiệm phân biệt. b) Có nghiệm kép. c) Vơ nghiệm. d) Có hai nghiệm trái dấu. e)Có hai nghiệm x 1 và x 2 thỏa mãn 2 2 1 2 5x x+ = Bài 2: Cho phương trình: 2 3x 2x m 1 0− − + = , tìm m để phương trình: a) Có nghiệm . b) Có hai nghiệm trái dấu. c) Có hai nghiệm dương. Dạng 5: Chứng minh phương trình bậc hai ln có hai nghiệm phân biệt (có nghiệm kép; vơ nghiệm) với mọi tham số: Bài 1: a) Chứng minh rằng phương trình: 2 2 x 2x m 4 0− − − = ln có hai nghiệm phân biệt ∀ m. b) Chứng minh rằng phương trình: ( ) 2 x 2 m 1 x m 4 0− + + − = ln có hai nghiệm phân biệt ∀ m. c) Chứng minh rằng phương trình: ( ) 2 x 2 m 2 x 4m 12 0+ + − − = ln có nghiệm ∀ m. d) Chứng minh rằng phương trình: ( ) 2 2 2 2 2 2 c x a b c x b 0+ − − + = vơ nghiệm với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Dạng 6: Tốn tổng hợp: Bài 1: Cho phương trình: ( ) 2 x 2 m 1 x 4m 0− + + = . a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó. b) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại. c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. d) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x 1 và x 2 thỏa mãn: x 1 = 2x 2 . e)Xác định m để phương trình có hai nghiệm x 1 và x 2 thỏa mãn: 2 2 1 2 5x x+ = . f) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x 1 và x 2 sao cho A= 2 2 1 2 1 2 2 2 .x x x x+ − đạt giá trị nhỏ nhất. Trường T H C S Cát Nhơn Tài liệu lưu hành nội bộ . tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Đại số PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ A/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN: I/ Khái niệm phương trình bậc hai một ẩn số: Phương trình bậc hai một ẩn số (x) là phương trình có dạng:. các phương trình quy được về phương trình bậc hai: 1/ Phương trình tích: ( ) 0 ( ). ( ) 0 ( ) 0 A x A x B x B x =  = ⇔  =  2/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu: - Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình. (*) + Giải phương trình (*) + Chọn các giá trị y thỏa mãn y ≥ 0 thay vào: x 2 = y ⇔ x= y± + Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu 4/ Phương trình sau khi đặt ẩn phụ quy về phương trình bậc hai: +