Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong từ trường theo phương pháp toán tử

Sử dung phương pháp toán tử dé giải quyết bài toán nguyên tir hydro trong từ trường, thiếtlập 46 thị mô tả sự phụ thuộc của mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro với c

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

KHOA VAT LY

cœ4Í:Ì

HUỲNH NGUYEN THANH TRÚC

MUC NANG LƯỢNG CƠ BẢN CUA.

NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG TỪ TRƯỜNG

THEO PHƯƠNG PHÁP TOÁN TU

Thành Phổ Hô Chi Minh, thang 5 năm 2009

Trang 2

Dé tai: Mite nang lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường

LOI CẢM ON

Trong quá trinh thực hiện va hoàn thành khỏa luận nay, ngoài những nỗ lực của bản thân,

em đã nhận được sự quan tâm giúp do và động viên của qui thay cô trong khoa Vật Lý trưởng

DH Sư Pham TP Ho Chí Minh

Em xin được bay tỏ lòng biết on chân thành, sâu sắc tới TS Nguyễn Van Hoa — giáo viên

hưởng dan luận văn này — thay đã tận tình hướng dan, truyền thy cho em những kiến thức bồ

ích, đóng góp những kinh nghiệm qui bau để em thực hiện khỏa luận này đồng thời thay da

truyền cho em lòng nhiệt tình trong nghiên cửu khoa học

Em không thể nào quên công lao của TSKH Lê Van Hoàng đã đưa ra những ÿ kiển, góp ý

vỏ cùng có ¥ nghĩa giúp em hoàn chính phương pháp trong khóa luận nay.

Xin cam ơn gia đình, người thân, ban bè đã hỗ trợ về mặt tỉnh thân cho Trúc hoàn thànhkhóa luận nay.

M61 lan nữa em xin chân thành cam ơn.

Huynh Nguyễn Thanh Trúc

GVHD: TS Nguyễn Văn Hoa Trang: | SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc

Trang 3

MỞ ĐẦU

1 Tinh hình nghiên cứu

Ngày nay, Vat lý thực nghiệm đã có những bước phát triển mạnh mẽ, đòi hỏi phải conhững tính toán lý thuyết chính xác Trong khi đó, phương pháp gần đúng chủ yếu sử dụng

cho hệ vi mô là phương pháp nhiều loạn không sử dụng được cho bài toán không có nhiễu

loạn.

Trước tinh hình đó, việc tìm ra một phương pháp mới hiệu quả, có phạm vi áp dụng rộng

rãi rat được quan tâm trong những năm gan đây Và phương pháp toán tử với những tính toánthuan đại số, được xây dựng cho nhóm các bài toán nguyên tử là một phương pháp đang được

các nha Vật lý lý thuyết quan tâm nghiên cứu

Ý tưởng về phương pháp toán tử xuất hiện vào những năm 1979 Tuy nhiên phương pháp

toán tử (Operator Method) được đưa ra dau tiên vào năm 1982 đo nhóm nghiên cứu của giáo

sư Kamarov L I thuộc trường đại học tông hop Belarus và được áp dụng thanh công cho mộtnhóm các bai toán trong vật lý chất rắn, vật lý nguyên tử, lý thuyết trường

Qua việc nghiên cứu và khai thác trong nhiều bài toán cụ thể, phương pháp toán tử đã tỏ ra

la một phương pháp nôi trội hơn hắn phương pháp truyền thông như:

e Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông thường phải tính tích

phân các hàm đặc biệt Trong suốt quá trình tính toán, ta sử dụng các phép biến đôi đại số và

những chương trình tính toán như Maple, Mathematica, dé tự động hóa quá trình tính toán

Với phương pháp toán tử, bước đầu đã giải quyết một phần những khó khăn về phươngpháp của Vật lý lý thuyết, góp phan vào sự phát triển không ngừng của nén khoa học kỹ thuậttoàn cau

2 Lý do chọn đề tài

Qua học phần cơ học lượng tử, em được tiếp cận bài toán nguyên tử hydro với cách giải

chính xác thông qua việc xây đựng dang va tìm trị riêng, ham riêng của toán tử moment xung

lượng, toán tử Legendre; tìm ra ham cau va ham bán kính dé xác định hàm sóng của nguyên tử

hydro, cùng với bai toán nguyên tử hydro trong từ trưởng (hiệu ứng Zeeman) đã được giải

quyết khá hoàn chỉnh thông qua lý thuyết nhiễu loạn:

GVHD: TS Nguyễn Văn Hoa Trang: 2 SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc

Trang 4

_———>—ŸẼ—E Nếu nguyên tử hydro được đặt trong từ trường ngoài thật yếu thì tương tác Coulomb giữa

hạt nhân nguyên tử vả electron trong nguyên tử hydro la tương tác chính vả tương tác giữa

electron trong nguyên tử hydro với từ trường là thé nhiều loạn

Nếu nguyên tir hydro được đặt trong từ trường thật mạnh thi tương tác giữa electron trong

nguyên tử hydro với từ trưởng là tương tác chính và tương tác Coulomb giữa hạt nhân nguyên

tử và electron trong nguyên tử hydro là thể nhiễu loạn Bài toán này đã được Landau giải

quyết,

Tuy nhiên với bài toản nguyên tử hydro trong từ trưởng trung bình thì đã vượt quá phạm vi

áp dụng của lý thuyết nhiễu loạn vì không thê coi tương tác Coulomb giữa hạt nhân nguyên tử

với clectron trong nguyên tử hydro hay tương tác giữa clcctron trong nguyên tử hydro với từ

trường lả thể nhiễu loạn

Phương pháp toán tử có ưu điểm vượt trội so với phương pháp truyền thông là có thê áp

dụng cho trường ngoài có cường độ bat kỳ Do đó, luận văn tốt nghiệp với đẻ tai: “MUC

NANG LƯỢNG CƠ BAN CUA NGUYÊN TU HYDRO TRONG TỪ TRƯỜNG THEO

PHƯƠNG PHÁP TOÁN TU” là bước đầu thử nghiệm của phương pháp toán tử tim ra mộthướng giải quyết cho bài toán nguyên tử hydro trong từ trường trung bình

3 Mục tiêu của đề tài

e Bước dau xây dựng phương pháp toán tử: cơ sở hình thanh, wu điểm,

e Giải quyết bài toán nguyên tử hydro trong từ trưởng có cường độ bat ky, bước đầu làbai toán nguyên tử hydro,

4 Phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được

Từ những khó khăn của lý thuyết nhiễu loạn khi giải quyết bài toán nguyên tử hydro trong

từ trường trung bình và những ưu điểm vượt trội của phương pháp toán tử so với phương phápnhiễu loạn, nên phương pháp toán tử là phương pháp chính được sử dụng trong quá trình thực

hiện luận văn này.

Trong suốt quá trình tính toán thực hiện luận văn, đề đơn giản em đã chọn hệ đơn vị không

thứ nguyên, tức =zm, =e=c =a, =1, trong đó a, là bán kính Bom.

Qua phương pháp toán tứ, khi giải quyết bài toán nguyên tử hydro trong từ trường trunhbình, kết quả dự kiến sẽ đạt được:

Trang 5

e© Tim ra môi quan hệ giữa mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro với cường độcủa từ trường vẽ đỏ thị mô tả sự phụ thuộc nảy va so sánh kết quả thu được với kết quả thuđược bằng lý thuyết nhiễu loạn trong trường hợp từ trưởng yếu

e Tim ra gia trị của từ trường ion hóa nguyên tử hydro.

5 Cấu trúc của luận văn

Từ mục tiêu vả dự kiến kết quả đạt được, em xây đựng cấu trúc luận văn gồm 3 phan

chính:

e Phan mở dau: Nêu lên tình hình nghiên cứu van dé, lý do chọn dé tài, phương pháp

nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được

e Phan nội dung: gồm 3 chương

>» Chương 1: NHỮNG CƠ SỞ LƯỢNG TỪ CUA BÀI TOÁN NGUYEN TỪ HYDRO.Chương này trình bay những kết quả mà cơ học lượng tử đã đạt được vẻ bai toán nguyên tửhydro, mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong tử trường qua lý thuyết nhiễu loạn

>» Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TU CHO BÀI TOÁN NGUYEN TỪ HYDRO

Giới thiệu phương pháp toán tử thông qua ví dụ ve bài toán đao động tử phi điều hòa, baitoán về mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro

> Chương 3: MUC NANG LƯỢNG CƠ BAN CUA NGUYÊN TU HYDRO TRONG

TU TRUONG

Sử dung phương pháp toán tử dé giải quyết bài toán nguyên tir hydro trong từ trường, thiếtlập 46 thị mô tả sự phụ thuộc của mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro

với cường độ từ trường, tử đó so sánh với đồ thị thu được bằng lý thuyết nhiễu loạn, tìm ra

được giá trị từ trường ion hóa nguyên tứ hydro.

e Phần kết luận: Tóm tắt lại kết quả đã đạt được của luận văn, hướng phát triển sắp tới

của đề tải.

Trang 6

NỘI DUNG

CHUONG 1: CƠ SỞ LÝ THUYET LƯỢNG TU VE NGUYEN TU’

HYDRO

1 Ly thuyết lượng tử về nguyên tir hydro

1.1 Trị riêng của phương trình Schrodinger trong bài toán nguyên tử hydro

Nguyên tử hydro gồm một electron chuyền động trong trường thé của hạt nhân có điện tích

Ze Ta đưa bài toán hai hạt: electron và hạt nhân trong nguyên tử hydro về bài toán một hạt cókhối lượng rút gọn /, với:

mom b= (1.1)

r la khoảng cách từ electron đến hạt nhân

Có thé coi nguyên tử hydro là trường hợp riêng của bai toán thé xuyên tâm, do đó có thé áp

dụng các kết quả nhận được trong bải toán về trường thế xuyên tâm Nghiệm tổng quát của

phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian đối với thé xuyên tâm có dạng:

ự(r,9,ø)= 3` Cor Ry (PY; (0.9) (1.3)

“lu

Trong đó: R(r) là hàm bán kính được xác định khi giải phương trình ban kính.

V" là ham cau theo hai biến Ø và ø

Toán từ Hamilton trong bài toán nguyên tử hydro có dang:

Trang 7

nguyên tir hydro, dao động tử điều hòa, hạt trong hỗ thé vuông góc), kết qua của co học lượng

tử cho ta trị riêng chính xác của phương trình Schrodinger (1.7) trong bai toán nguyên tử

1/ Biểu thức (1.8) cho phép xác định năng lượng của electron trong nguyên tử hydro Theo

biểu thức (1.8) thì năng lượng của electron là gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bình phương các số

nguyên Tính gián đoạn nảy chính là hệ quả của điều kiện hữu hạn đối với hàm sóng ở vô cực:

rR „(F) > 0 khi r => œ (1.9) Như vậy, năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức cơ ban (at = 1) là:

E, = -——.— = -13,6 eV (1.10)

: 1

Nêu xét trong hệ không thứ nguyên 2 =m, =e=c=a,=1 thi: E, =- 3

GVHD: TS Nguyễn Văn Hoa Trang: 6 SVTH: Huỳnh Nguyen Thanh Trúc

Trang 8

2/ Đối với thé Coulomb, Z hữu han, ta có một số võ hạn các trạng thái liên kết EF <0, bắt

_ MZ *e"

2n?

đầu ứng với năng lượng E, = ==-13,6 eV và kết thúc ứng với năng lượng không, lúc

nay electron thoát khỏi trường the Coulomb của hạt nhân và tré thành electron tự do

3/ Ứng với một giá trị đã cho của ø thì / có thể có những giá trị / = 0, 1, 2, , 2 - 1 Như

vay có tất cả gia trị của / / gọi là lượng tử SỐ qui đạo và nó xác định độ lớn của moment

xung lượng

L= jl—1Đh

4/ Ba số nguyên m, /,„m xác định một hàm riêng Virg (Ps 9.9) = R.(r)Ÿ,"(6,Ø) gọi là ba sốlượng tử, 7 là số lượng tử chính, m gọi là số lượng tử từ ứng với một giá trị đã cho của / thì m

có thé nhận các giá trị m=-Í, —l+l —I, 0, Leu, 2-1, 1 Tất cả có (241) giá trị của m.

Lượng tử số m xác định độ lớn hình chiều moment xung lượng trên trục z

Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức cơ bản n= 1 không bị suy bien.

5/ Giá trị tuyệt đối cla mức năng lượng cơ bản Ea cho biết năng lượng ion hóa nguyên tửhydro Năng lượng này là công cần thiết dé đưa electron từ trạng thái liên kết có năng lượngthấp nhất ra ngoải nguyên tử trở thành electron tự do

1 Nhu vậy, năng lượng ion hóa nguyên tử hydro trong hệ không thứ nguyên là E, = me

2 Mức năng lượng cơ bản của nguyên tir hydro trong từ trường

2.1 Toán tử Hamilton của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường

Toán tử Hamilton của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường có dang:

2 : `

H=z|ð-Š3] vữa 9 (pds AB) +A +U (LIL

2, e 2u ec c | Trong đó: p là vector động lượng

Trang 9

Khi nguyên tử hydro được đặt trong từ trường nhỏ thì năng lượng tương tác của electron

trong nguyên tử hydro với từ trường là thé nhiễu loạn

Toán tử Hamilton của electron trong nguyên tử có dạng:

H=H,+V (1.13)

Trang 10

là toán từ Hamilton cho bài toán nguyên tử hydro khi không có trường ngoài:

Với khối lượng rút gọn trong bài toán hệ hai hạt electron và hạt nhân trong nguyên tử

hydro và: /@=——S—“—, vì m, &m,, nên w=m,, Nên toán tử Hamilton cho bài toán

được viết lại thành:

2.2.1 Nang lượng bậc không

Theo lý thuyết nhiễu loạn, năng lượng bậc không của mức năng lượng cơ bản của electron

trong nguyên tử hydro trong từ trường yếu chính là năng lượng ở mức cơ bản #=Í của

electron trong nguyên tử hydro khi không có từ trường.

Vậy, năng lượng bậc không của mức năng lượng co bản của electron trong nguyên tử

hydro trong từ trường yếu là:

2 4

gi = M2 _ 13,6 ev

2h

2.2.2 Bồ chính năng lượng bậc một

Theo lý thuyết nhiễu loạn, bô chính bậc một của mức nang lượng cơ bản của electron trong

nguyên tir hydro trong từ trường yếu có dạng:

E¿" = (wi a) = f(vie) Pumav Vv

ý" là ham sóng của nguyên từ hydro ở mức co bản khi không nhiễu loạn

Trang 11

Vậy, mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro trong từ trường theo lý

thuyết nhiễu loạn xét đến bộ chính bậc một là:

, là ?

m,Ze* dÈBÌe

E, = EY + Ey == 2n! + 4m cÌ

Trong hệ đơn vị không thứ nguyên fh =m, =e=€=đ = 1, mức năng lượng cơ ban của

nguyên tử hydro trong từ trường theo lý thuyết nhiễu loạn xét đến bỏ chính bậc một có dạng:

hydro có dạng là ham bậc hai của từ trường Z.

2.2.3 Điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu loạn cho bài toán nguyên tử hydro trong từ trường

Nang lượng cơ bản cua clcctron trong nguyên tử hydro ở biểu thức (1.15) thu được băng lý

thuyết nhiễu loạn, do đó nó chỉ đúng với những từ trường yếu sao cho độ địch chuyển mức

năng lượng cơ bản nhỏ hơn rất nhiều so với trị số hiệu mức năng lượng cơ bản và mức kíchthích thứ nhất, nghĩa là:

hiệu mức năng lượng cơ ban và mức kích thích thứ nhat.

Trang 12

2.3 Nhận xét kết quả thu được về mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từtrường cho bởi lý thuyết nhiễu loạn

Bang phương pháp nhiễu loạn, ta thu được kết quả của bài toán nguyên tử hydro trong từtrường:

nhân nguyên tử va electron trong nguyên tử hydro là tương tác chính và tương tác giữa

electron trong nguyên tử hydro với từ trường là thế nhiễu loạn

trong nguyên tử hydro với từ trường là tương tác chính va tương tac Coulomb giữa hạt nhân

nguyên tử và electron trong nguyên tử hydro là thé nhiễu loạn Bài toán này đã được Landaugiải quyết hoàn chỉnh

Như vậy dựa vào lý thuyết nhiễu loạn ta hoàn toàn có thể giải quyết bài toán nguyên tử

hydro trong từ trường thật mạnh hoặc that yếu,

Tuy nhiên, phương pháp nhiễu loạn truyền thống gặp phải khó khăn khi giải quyết bải toán

nguyên tử hydro đặt trong từ trường trung bình vì không thé coi tương tác Coulomb giữa hat

nhân nguyên tử với clcctron trong nguyên tử hydro hay tương tác giữa clectron trong nguyên

tử hydro với từ trường là thể nhiễu loạn

Bằng phương pháp toán tử với ưu điểm là có thể áp dụng cho bài toán trường ngoài có cường độ bat kỳ, ta có the giải quyết được khó khăn trên của phương pháp nhiễu loạn truyền

thông vé bài toán nguyên tử hydro trong từ trường trung bình

GVHD: TS Nguyễn Văn Hoa Trang: II SVTH: Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc

Trang 13

CHƯƠNG2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TU CHO BÀI TOÁN NGUYÊN

TU HYDRO

1 Hình thức luận toán tw sinh hủy

1.1 Bài toán dao động tử phi điều hòa một chiều

I.I.I Toán tử Hamilton trong bài toán dao động tứ phi điều hòa

Toán tử Hamilton của bài toán đao động tử điều hòa một chiều không có nhiễu loạn có

riêng W“°x) bị lượng tử hóa có dang: EC’ = & ‹ 1" với m= f, 1, 2, và các mire năng

lượng nay không suy biên

Khi truyền cho dao động tử thêm một nang lượng V(x) = ax’, toán tử Hamilton trở thành;

!) ho 1 2 v2 2

H = b= MO x +ax (2.1)

2m ex? 2

1.1.2 Giải bài toán dao động tử phi điều hoa bằng lý thuyết nhiễu loạn truyền thông

Trong phương pháp nhiễu loạn truyền thống để giải bài toán dao động tử có thêm phân

ƒ

¿ + ¿ ok pa L,

năng lượng bé V(x) = #x (a bé), ta đặt bien số mới: ế = |F=x.

VaKết quả tính toán trong cơ học lượng tử cho ta năng lượng của dao động tử điều hòa khi có

thêm phần năng lượng bé V(x) = ax? (# bé) la:

( Ế

E,=! m1 s}io += | ot - (2.2)

\ mo” 2| mới |

Với n=0, 1, 2,

1.1.3 Giải bài toán dao động tử phi điều hòa bằng phương pháp toán tử

Bây giờ ta xét bài toán dao động tử phi điều hòa, được truyền thêm phan năng lượng

V(x) = oX* bằng cách đặt toán tử sinh â* vả toán tử hủy @ có dang như sau:

Trang 14

" "ma ~(a } —2a a-1)

Toán tử Hamilton trong bài toán dao động tử phi điều hòa có dang:

Trang 15

N n) = @'a\n}=n\n)Nang lượng ở mức co bản của dao động tử phi điều hòa là:

Trong biểu thức năng lượng ở mức cơ bản của dao động tử phi điều hòa fi, m, @ = const

nên E, là một hàm theo tham số «

Vi E, là mức năng lượng thấp nhất của dao động tử nên:

Trang 16

Dé tài: Mite năng lượng cơ bản của nguyên tứ hydro trong từ trường

Ta thu được kết quả của bài toán dao động tử phi điều hòa được truyền thêm phan nang

lượng V(x)= zx” là:

E, = hol m Ah ' - (2.17)

Với n=1, 2, 3,

1.1.4 Nhận xét về các cách giải bài toán dao động tứ phi điều hòa

So sánh kết quả biểu thức năng lượng của đao động tử khi được truyền thêm phần nănglượng bé V(x) = ax? (ø bé) khi giải bằng phương pháp nhiễu loạn truyền thông và kết quả

thu được bang phương pháp toán tử, ta nhận thấy biêu thức giá trị năng lượng ở mức øé thu

được bằng phương pháp nhiễu loạn chính là sự khai triển của biểu thức năng lượng bằng

Ta thay điều kiện dé có thé áp dụng lý thuyết nhiễu loạn truyền thống là 0< a <

Trong khi đó đối với phương pháp giải bài toán bằng phương pháp toán tử cho kết quả bài toán

một cách chính xác và hệ số @ có thé là bat kỳ Đó chính là lợi thé rat lớn của phương pháp

2 Phương pháp toán tử trong bài toán nguyên tử hydro

2.1 Toán tử Hamilton trong bài toán nguyên tử hydro

Toán từ Hamilton trong bai toán nguyên tử hydro trong hệ đơn vị không thứ nguyên ? = Í,

Trang 17

+ 7 là toán tử động nang, với: T=- 1 2 = + 2 = +t = | (2.20)

2.2 Biểu diễn toán tử

Ta định nghĩa các toán tử sinh vả toán tử hủy như sau:

: le, ( Lê) „ fof 1ê

Trong đó ø,, O,, Q, là các tham số thực đương cân tìm.

Ta viết lại các toán tử sinh và hủy ở (2.23) như sau:

_— ^

â =.l%|a 1 ê â'= | a 1 ê

“V2 ø@ôz} * V2 o, 0a

Với a, Ø =1, 2, 3 tương ứng với các thanh phan trên các trục Ox, Oy, Oz.

Cac hệ thức giao hoán:

Ta định nghĩa toán tử số hạt: N.=địa

/£

a, |n,) = n\n, - 1)

n,)=(n, + L)|n„ + 1)n,)= H„ n,)a

Từ bicu thức của các toán tử sinh, hủy, toán tử SỐ hạt, ta có:

Trang 18

— ——————————————————————————

DŨNG: x fa?) Í ^

3a =50,(@ +(8;} )-50 (28, +1)

a “ao (# +(â;} +2, +1]

Các giao hoán tử trên chính là công cụ chính cho việc tinh toán đại số.

Biểu điễn các thanh phần trong toán tử Hamilton HW qua các toán tử sinh và hủy.

2.2.1 Toán tử động nang

Để biểu diễn toán tử thế năng qua các toán tử sinh, hủy, toán tử số hạt, thay

eo 1 ˆ a.\? 1 ¬ ` ` à ^ Am.T0, (a: + (a>) Ì- —®, (28 + 1) vào thành phan động nang trong toán tử Hamilton,

Trang 19

_———>—ŸẼ—E Dé đơn giản cho việc tính toán ta đưa biểu thức của toán tử $, về dạng chuẩn, tức là biển

đôi sao cho toán tử hủy luôn vẻ phía phải của biêu thức, toán tử sinh luôn ở phía trái của biểu

Tiến hành khai triển Taylor các toán từ S*, $*, Ê- trên, ta thu được:V ư ư ư

' Phụ lục A: Dang chuẩn hóa của toán tử

Trang 20

Biéu thức của toán tử S_:

man 1+2n, J cam! ol!

2,

: H =—=—®”—

Đề đơn giản trong tính toán, ta đặt: 14 27,

=~In(1+ 27,)

Toán tử $- được viết lại thành:

§,=Y=,)"(4:) Y= iO)" (N yy td (A A.) (2.34)

+ ,$* là toán tử chỉ chứa những số hạng trung hòa, toán tử 4Š“ khi tác dụng lên vector trạng

thai sẽ thu được trang thái không đỗi toán tử hd có dang:

$2 =1+ 3 a , _- or (2.36) S40.) (8, ¥(4) wy" (4) (A)

Trang 21

+ ist là toán tử chứa những số hạng không trung hòa, khi tác dụng lên vector trang thai sẽ

làm thay đôi trạng thai đang xét, với - có đạng:

xã Lam (4.) Sho tơi ett Jwn! wi A

Toán tử Hamilton trong bài toán nguyên tử hydro được chia thành hai thành phan:

+ Thanh phan toán tử chỉ chứa các toán tử trung hòa, xem như loại toán tử Hamilton H,

trong bai toán không nhiễu loan, với:

2.3 Năng lượng của nguyên tử hydro ở mức cơ ban n, = 0

Trong trường hợp không có trường ngoài, bai toán nguyên tử hydro có tính chất đối xứng

trên các trục Ox, Oy, Oz nên 2, = @, = @, =O.

Toán tử Hamilton loại không nhiễu loạn và toán tử nhiễu loạn được viết lại thành:

Trang 22

2.3.1 Nang lugng bậc không

Năng lượng bac không trong bài toán nguyên tử hydro chính lả năng lượng ở mức cơ bản

trong bai toán nguyên tử hydro loại không nhiễu loạn

Do toán tử nhiễu loạn V chi chứa các phan tử không trung hỏa, khi toán tử nhiễu loạn V

tác dụng lên một một vector trạng thái sẽ làm thay đôi trạng thái đang xét, nên thành phần nằm

trên đường chéo chính trong ma trận của toán tử nhiễu loạn bằng không

Trang 23

Vậy, bô chính năng lượng bậc một của mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên

tử hydro là:

ERP = Ứy sạ =0 (2.41)

2.3.3 Bồ chính năng lượng bậc hai

Bồ chính năng lượng bậc hai được xác định bởi biêu thức:

(Vy 0 nếu k, chan

Suy ra bô chính năng lượng bậc hai trong bài toán nguyên tử hydro là:

Trang 24

Do tính chat đối xứng nên:

Trang 25

Trang 26

¢ Các thành phan ma trận của toán từ nhiều loạn (000|/ |440), (000) |404),

Trang 27

Các thành phan năng lượng cia electron trong nguyên tứ hydro loại không có nhiễu

loạn có trong biêu thức bé chính năng lượng bậc hai

Trang 28

Khi không có trường ngoài, ta được:

Khi không có trường ngoài, các thành phần ma trận:

Khi không có nhiễu loạn, năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức ES) trở

Khi không có trường ngoài, các thành phân ma trận:

„|8) = (6|S |6) =ˆ 1+ 30;” + 90; + 207°

lê, (1+ 27)°

Vậy ta thu được kết qua:

15 bite Vie Stef +9074 +207" mm 22291ZVa

Vm 4 mm 4 24024/z

Khi không có nhiều loạn, năng lượng của clectron trong nguyên tử hydro ở mức

ES), ES, BE, ES), EP), EG) trở thành:

Trang 29

7 ` ì v a ^ J = pie) fe) le)

¢ Các thành phan năng lượng loại không có nhiêu loạn Ewas Eqgys EvyKhi không có trường ngoài, các thành phần ma trận:

& (ai _ 1+ 567° + 4202* + 5607° + 707)”

(815, |8) =(815,|8)- (16,8) ee

Vậy, ta thu được kết qua năng lượng của electron trong nguyên tử hydro loại không nhiễu

a : , (ot fo} for.

loạn ở mức Ej5s Eves Exes:

¢ Cúc thành phan năng lượng loại không có nhiều loạn E\3}, Ei}, Exh,

Khi không có nhiễu loạn, năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức

EN, Eis Eras Ea Egi, EG) trở thành:

Trang 30

Ef, ES, ES? trở thành:

° Các thành phẩm năng lượng loại không có nhiều loạn ở mức

Eve (1, = 10.n, =n_=0), Evie: Ext :

Khi không có trường ngoài, các thành phan ma trận:

ES}, Ex, Em E1 ESL, EG) trở thành:

Trang 31

Khi không có nhiễu loạn, nang lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức

Khi không có nhiều loạn, năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức

ES, Eắ› Eos

Khi không có nhiễu loan, năng lượng của electron trong nguyên tử hydro ở mức

ES), Et, Evnv Est, ES), Eg! trở thành:

E® = B®) = BS) = EW = EB) = ES)

ase se F|200)` ng, Ri P|azz)Ì

3k i jon Ì, dù -aloo

“ ng 3(a0|?|sujƑ sol? oo 6| _

Eo EO E®)_ ETM EO E® ESE rs

Em; Evo Eww Em Exon Ess

Trang 32

Trang 33

Vi toán tử nhiễu loạn P chi chứa các số hạng không trung hòa nên:

Trang 34

( Esco ~ Eso )( Esse ~ Ess) (E4Z12.„.(E8EA„)

-Các thành phan ma trận của toán tử nhiễu loạn V có trong biểu thức bố chính năng

Trang 35

Trang 36

Po Ziel - v3 I2)

Từ biểu thức năng lượng co bản của electron trong nguyên tử hydro, nhận xét:

e Biéu thức mức lượng cơ bản E, của electron trong nguyên tử hydro 1a một ham theo

tham số thực đương @

có được Cực tiêu hóa năng lượng cơ bản giúp ta tìm được tham số œ:

dE,

do

Kết quả tính toán cho ta giá trị của tham số thực dương: @ = 0.7052485481

=0 (2.44)

Thay giá trị tham số @ = 0.7052485481 vào biểu thức tính các bố chính năng lượng của

mire năng lượng cơ ban của electron trong nguyên tử hydro, ta có:

¢ Mite năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro khi không có bỏ chính:

ES” = -0.419014992.

¢ Gia trị bô chính năng lượng bậc hai của mức cơ ban: E£' = -0.065378§1600.

e Giá trị bỏ chính năng lượng bậc ba của mức cơ bản: E‡" = -0.00922414030

Năng lượng ở mức cơ bản của electron trong nguyên tử hydro khi xét đến bô chính bậc ba

là: E, = Ei? + EX + ES” =-0.493617293.

Trang 37

2.3.5 Nhận xét kết qua thu được VỀ mức nang lượng cơ bản của nguyên tw hydro bằng

phương pháp toán từ:

Bang phương pháp toán tử, kết qua thu được của mức năng lượng cơ bản của electron trongnguyên tử hydro khi chưa có bô chính là £/”' = -0.419014992 kha gần với kết quả thu được

cúa bai toán chính xác là E, == 0.5.

Khi bài toán có xét thêm bô chính năng lượng bậc hai thì giá trị năng lượng của mức cơ bản

trong phương pháp toán tử tiến đến gan giá trị năng lượng ở mức cơ bán trong bài toán chính

xác.

Tiếp tục thực hiện việc thêm vào bổ chính năng lượng bậc ba, kết quả thu được bangphương pháp toán tử gan như trùng với phương pháp giải bai toán nguyên tử hydro chính xác

vẻ mức năng lượng cơ bản của electron trong nguyên tử hydro Và giá trị bô chính bậc ba nhỏ

hơn rất nhiều so với giá trị bô chính bậc hai

Điều này chứng tỏ tính hội tụ của chuỗi bỗ chính Nếu tiếp tục thêm vào các giá trị bỗ

chính bậc cao hơn, ta sẽ thu được giá trị năng lượng ở mức cơ bản của nguyên tử hydro theo

phương pháp toán tứ chính băng giá trị thu được trong bài toán chính xác

Dựa trên kết qua thu được vé mức năng lượng cơ ban cia nguyên từ hydro theo phươngpháp toán tử, cho phép ta khang định tinh đúng din của phương pháp toán tử Điều này chính

là cơ sở bước đầu tin tưởng vào phương pháp toán tử dé áp dụng vào bài toán xét mức năng

lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong tử trường.

Trang 38

CHUONG 3: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TU CHO BÀI TOÁN NGUYÊN

TU HYDRO TRONG TỪ TRƯỜNG DEU

1 Toán tử Hamilton trong bài toán nguyên tử hydro trong từ trường đều

Khi nguyên tử hydro đặt trong từ trường hướng theo trục Oz, toán tử Hamilton có dạng:

A là thé vector ứng với từ trưởng đồng nhat B= const có dang: A= 51 BF |

O mức năng lượng cơ bản L, =0, biểu thức toán từ Hamilton của bai toán nguyên tử

hydro đặt trong từ trường khi xét trạng thái cơ bản có dang:

Trang 39

2 Biểu diễn toán tử Hamilton của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường đều qua

toán tử sinh, toán tử hủy.

Ta có các toán tử sinh, hủy:

fo, 1 ê 1 ô }

a> |—+ œ+——— |2 a-——

\ 2 0, 0a “V2 @, Ca }

Với a, /Ø =1, 2, 3 tương ứng với các thành phan đang xét trên các trục Ox, Oy, Oz.

Suy ra: f=! Ai +A, +2N_ + 1)

20,

= = 3% (¿ : +(4:)] 2%, (2Ä + 1)

Toán tir Hamilton được chia thành hai thành phan:

Thành phần H, chứa các toán tử trung hoa khi tac dung lên một vector trạng thai sẽ thu

được trạng thái không đổi, xem như dang toán tử Hamilton không nhiễu loạn

+ Thanh phan V chứa các toán từ không trung hòa xem như toán tử nhiều loạn, khi tác

dụng lên một vector trang thái sẽ làm thay đôi trang thai đang xét

Trang 40

$= nh) (Na) nho (AL) r3 n2 (4) 3m02 (Ne) +wl nt!

3 Mức năng lượng cơ bản của nguyên tir hydro trong từ trường

Khi nguyên tử hydro đặt trong từ trường đồng nhất, các thành phan @, trén các hệ trục tọa

độ Ox, Oy, Oz mắt tính đôi xứng, tuy nhiên các giá trị @,, @,, @, sai khác nhau rat it, nên ta

(1 B Ì(z:,/zev (a) )-2 ea? +(a2)

3.1 Năng lượng bac không

Năng lượng bậc không trong bai toán nguyên tử hydro trong từ trường chính là năng lượng

ở mức cơ bản trong bài toán nguyên tử hydro không nhiễu loạn.

Tiêu đề	Mức Năng Lượng Cơ Bản Của Nguyên Tử Hydro Trong Từ Trường Theo Phương Pháp Toán Tử
Tác giả	Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc
Người hướng dẫn	TS. Nguyễn Văn Hoa
Trường học	Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh
Chuyên ngành	Vật Lý
Thể loại	khóa luận tốt nghiệp
Năm xuất bản	2009
Thành phố	Thành Phố Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	127
Dung lượng	69,43 MB