Đang tải... (xem toàn văn)
NĂNG LƯỢNG TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU CÓ CƯỜNG ĐỘ BẤT KÌ CAO HỒ THANH XUÂN, LÝ DUY NHẤT, HOÀNG ĐỖ NGỌC TRẦM TÓM TẮT Năng lượng trạng thái cơ bản của nguyên tử hydr[.]
Cao Hồ Thanh Xuân tgk TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ NĂNG LƯỢNG TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU CĨ CƯỜNG ĐỘ BẤT KÌ CAO HỒ THANH XUÂN∗ , LÝ DUY NHẤT∗ ∗ , HỒNG ĐỖ NGỌC TRẦM∗∗ ∗ TĨM TẮT Năng lượng trạng thái nguyên tử hydro từ trường với cường độ lên đến 2.35×1014 G tính số xác đến – 15 chữ số thập phân Ở đây, toán xét đưa tốn dao động tử phi điều hịa bốn chiều qua phép biến đổi KustaanheimoStiefel nhờ mà phương pháp tốn tử FK áp dụng để giải phương trình Schrưdinger cho tốn Kết thu mở rộng đáng kể so với số liệu thu trước đây, đặc biệt vùng từ trường siêu cao có nhiều ứng dụng Phương pháp tốn tử FK cải tiến cho phép tính tốn cho trạng thái kích thích cao Từ khóa: phương pháp toán tử FK, nguyên tử hydro, từ trường, lượng trạng thái ABSTRACT Ground state energy of a hydrogen atom in a uniform magnetic field with arbitrary strength The ground state energy of a hydrogen atom in a uniform magnetic field are calculated numerically with precision of seven to fifteen decimal places for the field strength of up to 2.35 x1014 G Here, the Kustaanheimo-Stiefel transformation is used to transform the problem into that of a four-dimentional anharmonic oscillator, then the FK operator method (FK-OM) is developed for solving the Schrödinger equation of the latter The precision of the obtained numerical results are a significant progression in comparison with earlier works, especially in the practical zone of superhigh intensity of magnetic field FK-OM is also developed in order to calculate energy of excited states of hydrogen atom in a magnetic field in the next work Keyworks: FK operator method, hydrogen atom, magnetic field, ground state energy Mở đầu Bài toán nguyên tử hydro từ trường toán kinh điển học lượng tử, nghiên cứu thời gian dài; vậy, toán quan tâm liên quan đến nghiên cứu thực nghiệm phổ nguyên tử đặt từ trường mạnh lùn trắng nơtron vật lí thiên văn (xem cơng trình [3], [10] trích dẫn đó) ∗ ThS, Trường Cao đẳng Nông nghiệp Nam Bộ; Email: xuanthnb@gmail.com ∗∗ ThS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM ∗∗∗ TS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM Trong cơng trình nghiên cứu tác giả khác, phương trình Schrưdinger cho nguyên tử hydro từ trường giải nhiều phương pháp khác Phương pháp nhiễu loạn [3] áp dụng vùng từ trường nhỏ, phương pháp gần đoạn nhiệt [7] áp dụng cho vùng từ trường cao lượng liên kết lại sai với kết thực tế đến ba lần Năm 1984, Rưsner cộng [5] tính phổ lượng nguyên tử hydro cho dải rộng từ trường chương trình Hatree-Fock Fischer; nhiên, phương pháp lại hoạt động vùng từ trường trung bình, cịn vùng từ trường siêu cao khơng thấy thể kết Năm 1996, Kravchenko cộng áp dụng thành cơng phương pháp biến phân [7] để tìm nghiệm xác đến 10−12 cho toán nguyên tử hydro từ trường; nhiên, phương pháp chưa thể kết vùng từ trường siêu cao Năm 2007, tác giả Vieyra sử dụng phương pháp gần Born-Oppenheimer bậc không [8] kết hợp với phép biến phân, tìm nghiệm xác số cho trạng thái kích thích thấp vùng từ trường từ đến 4.42 ×1013 G , với độ xác 10-2 vùng từ trường lớn Năm 2009, tác giả Thirumalai [2] áp dụng phương pháp HatreeFock hai chiều cho nguyên tử hydro heli khoảng từ trường đến 4.70×1010 G , với độ xác 10-5 Năm 2014, Sasmal [9] dùng phương pháp thể tích giới hạn để tìm hàm sóng, lượng, cấu trúc nguyên tử hydro từ trường có cường độ khoảng từ đến 1.41×1012 G với độ xác 10−6 Các phương pháp kể chưa đáp ứng nhu cầu thực nghiệm vật lí thiên văn chưa thu phổ lượng nguyên tử hydro đặt vùng từ trường có cường độ lớn Để thu nghiệm số có độ xác cao cho tốn ngun tử hydro từ trường có cường độ bất kì, chúng tơi sử dụng phương pháp tốn tử FK [1] Phương pháp toán tử FK (FK Operator Method, viết tắt FK-OM) xây dựng từ năm 1980 nhóm nghiên cứu giáo sư Feranchuk Komarov áp dụng thành công cho loạt tốn vật lí chất rắn, lí thuyết trường, vật lí nguyên tử, phân tử (xem sách chuyên khảo [1] trích dẫn đó) Trong cơng trình này, FK-OM cải tiến kết hợp với phép biến đổi Kustaanheimo – Stiefel sử dụng để chuyển toán nguyên tử hydro ba chiều sang toán dao động tử phi điều hòa bốn chiều, đưa cơng thức cần thiết cho việc tính tốn yếu tố ma trận phương pháp đại số [1], phương pháp chéo hóa ma trận sử dụng để tìm nghiệm xác số Cấu trúc báo gồm ba phần chính: Phần thứ giới thiệu FK-OM áp dụng cho toán nguyên tử hydro từ trường có cường độ bất kì; phần thứ hai trình bày kết thu thảo luận; phần cuối kết luận dự kiến phát triển đề tài Nguyên tử hydro từ trường Phương trình Schrưdinger sử dụng phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel để tìm mức lượng nguyên tử hydro từ trường trình bày cơng trình [1, tr 252-258] Để sử dụng tính tốn cơng trình này, ý tưởng cơng thức trình bày lại phần Phương trình Schrödinger cho nguyên tử hydro từ trường viết hệ đơn vị nguyên tử có dạng: 1 ∂ˆ ˆ 2 Z ∂ ∂2 ∂ i ∂ + ) + Hψ = εψ , − H= (y x + − r , (1) ∂ y ∂ z2− γ x − y + γ 2 ∂y ∂x ∂x với: r = = 4πε / me = 0.529 A ; ; đơn vị độ dài bán kính Bohr a x2 y2 z 0 đơn vị lượng hai lần số Rydberg 2 Ry = / 2ma = 13.61eV ; tham số từ trường không thứ nguyên γ liên hệ với từ trường qua hệ thức B = 2mR γ / e với y γ = ứng với từ trường B = 2.35×109 G , Z điện tích hạt nhân nguyên tử hydro, báo Z = Thực phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel: x = ( u1u2 + v1v2 ) , y = ( u1v2 − u2v1 ) , z = u2 − u2 + v2 − v2 , 2v φ = arctan + arctan v2 u1 (2) , ≤ φ ≤ 2π , u2 đó, biến số góc φ đưa vào biến tọa độ thứ tư để thuận tiện cho tính tốn chuyển sang hệ tọa độ Vì góc φ khơng có ý nghĩa vật lí mà đưa vào để tương xứng với không gian bốn chiều nên hàm sóng phương trình Schrưdinger ∂Ψ không phụ thuộc vào φ : = , tương ứng với phương trình khơng gian (u, v) : ∂φ (3) ∂u ∂ = u , u , v , (v )0 v ∂v ∂u − − + 1 2 2 ∂u ∂v ∂u ψ ∂v 1 2 Để bảo tồn tính hermit Hamiltonian chuyển tọa độ, ta phải nhân thêm vào hai vế (1) thừa số ứng với Jacobian Từ ra: (2) rHˆ ψ (r) = rεψ (r) suy x2 + y2 = ( u1 + v1 ) r = u12 + v12 + u22 + v22 , ∂2 (u 2 + v2 ) , J= 2r phép biến đổi tọa độ (2): (4) (5) 2 ∂ ∂ ∂ r + + = ∂+ 2 + + , ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂v ∂v 2 ∂ ∂ 2 Cao Hồ Thanh Xuân tgk TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ i lˆ = − v z _ _ ∂ u ∂u _ _ − _ _ ∂ _ _ ∂ + u ∂v _ _ −v ∂v _ _ _ _ ∂ ∂u _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Phương trình (1) viết lại sau: 1 − ∆ − ∆ − ε − γ lˆ ( u2 + v2 + u2 + v2 ) uu vv z 1 2 8 2 đó: 2 2 2 + γ ( u +v +u +v ) u ,v ,v ∆u u = ∂ 22 ∂ ∂u + , 2 ∂ u2 1 ∆v v = 12 (u 2 + v2 ) (u 2 )0, = + v2 ) − Z ψ ( u , 2 (6) (7) 2 ∂ ∂ v2 + ∂ ∂ v2 Hai phương trình (1) (6) hồn tồn tương đương hàm sóng ψ ( u1, u2 , v1, v2 ) thỏa mãn điều kiện (3); nhiên, phương trình (6) đơn giản mặt cấu trúc, sử dụng phương pháp tính tốn đại số Do toán tử lˆ giao hoán với Hamiltonian phương trình (6), nên hàm riêng z Hamiltonian phương trình (6) hàm riêng của tốn tử ˆ lz tốn xét có bảo toàn moment động lượng quỹ đạo Gọi m trị riêng tốn tử lˆz , phương trình (6) viết lại sau: ( Hˆ − Z ) ψ ( u1, u2 , v1, v2 ) với: = 0, (8) 1 H2ˆ = − ∆ − ∆ − ε − γ m ( u + v + u + v ) uu vv 1 2 12 12 + γ ( u2 + v2 + u2 + v2 ) ( u + v2 ) v2 ) 1 2 1 (u 2 + (9) 2 Phương trình (8) phương trình Schrӧdinger dao động tử phi điều hịa bốn chiều Như vậy, thơng qua phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel, phương trình Schrӧdinger cho nguyên tử hydro ba chiều từ trường trở thành phương Số 12(90) năm 2016 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ trình Schrӧdinger dao động tử phi điều hịa bốn chiều Cần lưu ý Z đóng vai trò trị riêng ε trở thành tham số phương trình (8) Điều khơng ảnh hưởng đến việc sử dụng FK-OM để tìm nghiệm xác số phương trình (8), trình bày rõ phần sau Phương pháp toán tử FK FK-OM giải phương trình Schrưdinger cho tốn dao động tử phi điều hòa (8) thực qua bước sau: (1) Biểu diễn Hamiltonian qua toán tử sinh hủy Hˆ ( 1u ,1 u 1, v 2, v ; γ ( ) + ˆ ˆ+ ˆ ˆ + ; γ →H1ˆ 1aˆ ,2 aˆ +2 , aˆ 1, aˆ , b , b , b , b ) ; (2) Tách Hamiltonian thành hai thành phần: thành phần trung hòa Hˆ lại xem nhiễu loạn ˆ+ ˆ (aˆ1 +1aˆ 2, aˆ2 + aˆ 1 , b2 2b , thành phần + bˆ bˆ ; γ ) Vˆ ; (3) Giải phương trình Hˆ Ψ( 0) = để tìm E( n ) Ψ( )n n ma trận nghiệm gần bậc không; (4) Giải phương trình hàm riêng, trị riêng Hamiltonian để thu nghiệm số với độ xác cho trước Các bước mô tả thực cụ thể sau: Bước Viết Hamiltonian dạng đại số 0 Các toán tử sinh hủy dùng toán nguyên tử hydro từ trường tuân theo định nghĩa sau: αˆs ω = us ˆ + ∂ uˆ ∂ ; ω ˆ − ∂21ω us + ; αˆ s = (10) (2 )s ,= 1, ∂ 1 ∂ ˆ+ βˆ = ω vˆ ; β = ω vˆ − ; + s s 2∂vˆ ω 2ω ∂ vˆ s s s s đó, ω tham số tự đưa vào để tối ưu hóa trình tính tốn, giao hốn tử biểu thức (10) thỏa: αˆ (ω ), αˆ + + (ω) = δ , βˆ (ω ), βˆ (ω ) = δ (11) s t t st s st i + + + + Kết hợp (5) (10), ta viết được: lˆ = − ( α β − α β + α β − α β ) z Toán tử dụng toán aˆ =1 s 2 1 1 2 2 ˆ ˆ lz vừa thu khơng có dạng chéo hóa, để chéo hóa lz chúng tơi sử tử sinh, hủy sau: + αˆ − iβˆ ; aˆ +1 = αˆ + + iβˆ ; s s s s ( ) ( s ) ( s = 1, 2) bˆ = s ( αˆ + iβˆ s s ) + ; bˆ = s ( ) + αˆ + − i βˆ ; s (12) s Thay (12) vào (9), chúng tơi có dạng đại số Hamiltonian: Cao Hồ Thanh Xuân tgk TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ ω Hˆ = _ _ _ _ ( aˆ + aˆ _ _ 1 ( + ( _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2 1 2 1 2 +ˆ+ ˆ aˆ+a +ˆ+ ˆ +ˆ2 + aˆ +ˆaˆ + aˆ + bˆ + aˆ + bˆ b b + b b b b ˆ 1 1 2 1 2 + ˆ+ + ˆ+ ˆ+ 2ˆ 2 ˆ ˆ + + _ ) ) (13) ) 16ω aˆ1 aˆ1 + b1 b1 + aˆ2 aˆ2 + b2 b2 + + aˆ1 b1 + aˆ2 b2 + aˆ1 b1 + aˆ2 b2 + + + x aˆ + aˆ + bˆ bˆ + 1+ aˆ bˆ + aˆ + bˆ aˆ + aˆ + bˆ bˆ + 1+ aˆ bˆ + + aˆ+bˆ , ( 1 )( ) 1 1 1 2 2 2 2 dạng đại số toán tử lˆz : + lˆ = aˆ + aˆ − aˆ + aˆ − bˆ bˆ + + bˆ bˆ ( z (14) ) 1 2 1 2 Để đơn giản hóa tốn, chúng tơi dùng hệ thống toán tử mới: + + + Nˆ =+aˆ+ aˆ+ + bˆ bˆ +, Nˆ = aˆ+ aˆ + bˆ bˆ , Mˆ = ˆ ˆ ˆ aˆ + b , M = aˆ + b _ + + + + + bˆ bˆ + aˆ + aˆ + bˆ bˆ + − aˆ bˆ − aˆ bˆ − aˆ + bˆ − aˆ + bˆ 41 γm + −ε aˆ + aˆ 2ω +1 ˆ ˆ γ + + _ _ 1 1 2 2 1 (15) 2 Các toán tử thỏa hệ thức sau: Mˆ , Mˆ + = Nˆ 1 , + 1 = Nˆ 2Mˆ +1 , Mˆ 1 1 ˆ + = + 1, M + 2Mˆ , Nˆ 1 (16) Hamiltonian (13) biểu diễn qua toán tử (15) sau: ω + + Hˆ = Nˆ + Nˆ + − Mˆ − Mˆ − Mˆ − Mˆ ( ) + + 41 γm −ε ˆ N 2ω γ2 ˆ + ˆ ( 16ω ) 1 ˆ ) ˆ (17) + Mˆ + + Mˆ Mˆ + + Nˆ + Mˆ2 + ( 2 ˆ ˆ+ + + ˆ N1 + N2 + + M1 + M2 + M1 + M2 )(N ˆ ˆ ˆ +1+ M1 + M1 ˆ )(N ˆ+ +1+ M + M2 Bước Tách Hamiltonian (17) thành hai thành phần Theo bước FK-OM trình bày trên, cần phải tách riêng tốn tử trung hịa Hˆ tốn tử nhiễu loạn Vˆ từ Hamiltonian (17) Tuy nhiên, cách chọn Số 12(90) năm 2016 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ hàm sóng sở hàm riêng dao động tử điều hòa bốn chiều ứng với toán tử sinh hủy (12), việc tách Hamiltonian (17) khơng cịn cần thiết hàm sóng sở hàm riêng Hˆ Bộ hàm sở dạng hàm riêng dao động tử điều hòa bốn chiều viết sau: n n n n (ω) = ( aˆ ) n1 ( aˆ ) n2 ( ) bˆ n3 n1 !n2 !n3 !n4 ! ( bˆ ) n4 0(ω) , với: ni = 0,1, 2, (i = 1, 4) Bộ hàm sở (18) có tính trực giao chuẩn hóa từ điều kiện: 10 (18) aˆ s (ω ) 0(ω ) Do lˆ z bˆ (ω) 0(ω) = 0; 0(ω) 0(ω) = = 0; (19) s bảo toàn nên hàm riêng Hamiltonian phương trình (8) hàm riêng của lˆ : z lˆ n n n n (ω) n1 n n n = z n n n n (ω) , (20) ta có: (21) n1 − n3 + n4 − n2 = 2m, với m trị riêng lˆz Mặt khác, từ điều kiện tự biến số φ , ta có: ( ˆaˆ +ˆ aˆ ) − aˆ + aˆ + + b b − bˆ bˆ + 1 2 1 (ω) 2 n n n n (ω ) = ( n − n + n − n 4 ) nn n n = 0, (22) hay: (23) n1 + n2 = n4 + n3 Bộ hàm sở thỏa điều kiện (18), (21), (23) có dạng: 00m , Mˆ n1 n,n , = m Mˆ n2 ( ) n1 !n2 !n1 m !n2 m ! ( đó: m = bˆ + bˆ + )m ( m ≥ ) m = ( aˆ + aˆ + )m (24) m < Bộ hàm sở (24) hàm đối xứng trụ với: (25) n = n1 + n2 + m , số lượng tử (n = m , m +1, ) , m số lượng tử từ ±2, ) , ( m = 0, ±1, n1 n2 số nguyên lớn không Chúng liên quan đến số lượng tử quỹ đạo l theo công thức: l = 2n2 + m (26) Biểu thức (26) cho thấy, m số chẵn l chẵn, số lẻ l lẻ m ≤ l m Khi đổi chỗ n n hàm sở (24) khơng thay đổi dạng, nên ta viết hàm sở dạng đối xứng phản đối xứng sau: n,n ,m + =1 n , n , m =1 2 ( ( n,n ,m + n ,n,m );n ≥n, n,n ,m − n ,n,m );n >n 1 2 2 1 1 2 (27) Nếu chọn hàm sở tốn hàm (27) thì: l ≤ n Sau có hàm sở, chúng tơi tính yếu tố ma trận Hamiltonian (17) Yếu tố ma trận viết tường minh sau: ω (28) H = D γm + γ2 −ε + K j j ,k k , R j j ,k k j j ,k k j j ,k 2ω k 16ω3 đó: 2 2 = j1 j2 m D j1 j2 ( Nˆ ,k1k2 R ( = j jm Nˆ K j1 j2 = j1 j2 m ( Nˆ + Nˆ j1 j2 ,k1k2 + Nˆ ,k1k2 ( x Nˆ + 1+ Mˆ +2− Mˆ − Mˆ +2+ Mˆ +2+ Mˆ + Mˆ )( + Mˆ + Nˆ + Mˆ Nˆ 2 + ˆ − M1ˆ − M + + + Mˆ + Mˆ + + 1 2 + + Mˆ2 ) kk m , ) kk m , (29) + ˆ + M1ˆ + M + 1+ Mˆ ) + ) kk m Các kết tính cho thấy, ma trận D, R ma trận có năm đường chéo, ma trận K ma trận có 21 đường chéo, phần tử khác không Điều thuận lợi cho việc giải phương trình tìm nghiệm số bước sau Bước Tìm nghiệm gần bậc khơng Năng lượng gần bậc không cho trạng thái lượng tử là: ε (0) 3( k + ) ( m +1) + m ( m + 3) k + 6k k = + + 2 2 8ω ω k1k2m γm γ + 2 − k1 + k2 Zω (30) + m +1 γ □ ω , biểu thức trở thành: Trong trường hợp từ trường nhỏ ε (0) k1k2m = ω γ m Zω , + − 2 n+1 ∂ε với ω xác định từ điều kiện: ω= Z n+1 ; ε k(0)k =− m Z (31) (0) k1k m ∂ω = [1, tr 270] Ta thu được: ( n + 1) +γm (32) Biểu thức (32) cho phép tìm nghiệm gần bậc khơng nguyên tử hydro từ trường Để tìm nghiệm gần bậc lớn không nguyên tử hydro từ trường, chúng tơi tính thêm bổ cho lượng hàm sóng lí thuyết nhiễu loạn Từ trường có cường độ lớn cần thực tính tốn với bậc bổ cao để thu nghiệm với độ xác mong muốn Bước Giải phương trình trị riêng, vector riêng ma trận Hamiltonian để thu nghiệm xác số Trong cơng trình khác nhóm, tác giả sử dụng phương pháp tốn tử FK sơ đồ vịng lặp chương trình tính số phù hợp để giải tốn thu kết Trong cơng trình này, chúng tơi tính trực tiếp cách chéo hóa ma trận Hamiltonian tương ứng Trước tiên biểu diễn hàm riêng phương trình (8) theo dạng tổ hợp tuyến tính hàm sở đối xứng ψ +(s) = s n− m ∑∑C (s) k1 ,n−k1 − − k1, n k1 − + m,m , m n= m k1 =0 ψ − s (s) = n− m (s) k1 ,n −k1 − m ∑∑C n= m k1=0 − k1 , n − − m , m , k1 (33) k2 = n − k1 − m , với s bậc bổ Khi bậc bổ s →∞ ψ (∞) hàm riêng =ψ n,k ,m n,k ,m xác Hamiltonian phương trình (8) Tuy nhiên, giải xác số (s) chọn s số hữu hạn đủ lớn để sai số trị riêng ( s ) ε − ε ( s −1) < ∆ ε , (s) ∆ ε cho trước Thay hàm riêng (33) vào phương trình (8), ta phương trình hàm riêng trị riêng ma trận Hamiltonian (8): γm (34) ( HR − Z ) X = ε − RX, 2ω R với: H ma trận vng có yếu tố ma trận là: ω γ2 R + = H j j ,k k Dj j K j j ,k k , 16ω3 2 2 (35) ,k1k2 R ma trận vng có yếu tố ma trận R biết biểu thức (29), X j j ,k k 12 hàm riêng, Z trị riêng, Z = nói phần Chương trình tính viết ngôn ngữ FORTRAN, kết hợp sử dụng thư viện Intel® Math Kernel Library (Intel® MKL), chúng tơi giải xác số phương trình (34), tìm phổ lượng, hàm sóng nguyên tử hydro từ trường với độ sai số ∆ε (s) cho trước Kết tính số có độ xác từ đến 15 chữ số, thảo luận phần sau 3 Kết thảo luận 3.1 Vai trò tham số tự ω Tham số tự ω đóng vai trị quan trọng q trình tìm nghiệm xác số phương trình (35), với giá trị cường độ từ trường ngoài, giá trị khác tham số ω cho tốc độ hội tụ khác Tuy giá trị ω chọn từ điều kiện ∂ ε k(0)k ∂ ω = , điều kiện viết gần bậc không m theo ý nghĩa lượng tốn khơng phụ thuộc vào giá trị tham số ω , kết tính số cho thấy giá trị ω chọn theo điều kiện chưa tối ưu, cường độ từ trường ngồi lớn giá trị ω xa với giá trị tối ưu tham số tự Trong cơng trình này, ω chọn tùy ý cho tốc độ hội tụ tốn nhanh kết tính số đạt độ xác cao Chúng tơi nhận thấy ứng với giá trị tham số từ trường γ có vùng giá trị tham số tự ω làm cho nghiệm xác số hội tụ nhanh giá trị xác, chúng tơi gọi “miền giá trị tối ưu ωopt ” Nếu chọn tham số tự miền giá trị ωopt , bậc bổ giảm tối thiểu nên thời gian tính tốn rút ngắn tài ngun máy tính tiết kiệm tối đa Để minh họa, xét trường hợp cụ thể trường hợp γ = 200a.u., phụ thuộc ω vào logarit sai số trường hợp mơ tả Hình Hình cho thấy vùng omega tối ưu ứng với s = 50 ω(50) op = 30.0 ± 1.6; ứng với s = 70 ω(70) op = 30.3 ± 1.5; ứng với s = 90 ω(90) op = 32.6 ± 1.6 Sự phụ thuộc t giá trị ωopt vào từ trường γ mơ tả Hình Hình cho thấy bậc bổ thay đổi từ 50 đến 90 ln có vùng “giao cắt” vùng giá trị ωopt tương ứng, giá trị ω chọn lựa từ vùng ωopt để rút ngắn thời gian tính tốn đến mức tối ưu Hình Sự phụ thuộc ω vào logarit sai số Δε trường hợp γ = 200 a.u Hình Sự phụ thuộc tham số tự tối ưu ωopt vào từ trường γ trạng thái Các kết khảo sát tham số tự tối ưu ωopt tích hợp vào chương trình tính tự động viết ngơn ngữ FORTRAN 3.2 Năng lượng trạng thái Để khảo sát lượng trạng thái bản, xác định giá trị ωopt ứng với giá trị tham số từ trường γ thay đổi số bậc bổ để tìm nghiệm số xác lượng liên kết Eb tương ứng với giá trị cụ thể γ Để tiện việc so sánh với tác giả khác, sử dụng định nghĩa lượng liên kết sau: Eb = γ − 2ε Các kết tính số chúng tơi đạt độ xác từ đến 15 chữ số, thể Bảng Từ số liệu so sánh bảng, thấy nghiệm thu FK-OM cho phép thu nghiệm với độ xác cao cơng trình trước đó; đồng thời, phương pháp cho phép xác định lượng vùng từ trường siêu cao – vùng có ý nghĩa ứng dụng, đáp ứng nhu cầu thực nghiệm [4] γ 0.02 0.04 0.10 0.14 0.20 0.40 1.00 1.40 2.00 4.00 10.00 14.00 20.00 100.00 400.00 1000.00 2000.00 4000.00 10000.00 40000.00 100000.00 Bảng Năng lượng liên kết nguyên tử hydro trạng thái Eb ref[8] ref[7] ref[2] 1.01980008817880 1.01981 1.03920140353701 1.03921 1.09505296080219 1.09505296 1.09505296 1.09511 1.13039620598641 1.13041 1.18076313006953 1.18081 1.32921075973643 1.32931 1.66233779346632 1.662332 1.66233779 1.66241 1.83233152537548 1.83240 2.0444278153302 2.04452 2.5615960321042 2.56163 3.4955943274362 3.4948 3.49559433 3.49565 3.922425139980 3.92256 4.430797030878 4.43081 7.579608472 7.564 7.57960847 11.703302320 15.3248464 15.23 15.32484649 18.609529440 22.408240 28.27800 27.96 38.81758 44.90045 ref[5] 1.0198002 1.0392012 1.0950533 1.1303963 1.1807633 1.3292114 1.6623387 1.8323329 2.0444281 2.5615961 3.4955942 3.9224252 4.4307972 11.70230 18.60896 22.40829 Kết luận Trong cơng trình này, chúng tơi áp dụng thành công FK-OM kết hợp với phép biến đổi Kustaanheimo – Stiefel để tìm nghiệm xác số cho trạng thái nguyên tử hydro từ trường với độ xác Chúng tơi xây dựng chương trình tính tốn tự động ngơn ngữ lập trình FORTRAN, tích hợp kết khảo sát để chọn vùng giá trị tối ưu tham số tự ω nhằm thu nghiệm cho toán với tốc độ cao, cho phép thu lượng cho nguyên tử hydro miền biến đổi từ trường từ khơng đến siêu cao ( 2.35×1014 G ), với độ xác cao (độ xác tương đối 10−15 cho vùng từ trường yếu trung bình, 10 −7 cho vùng từ trường cao siêu cao) Kết mở rộng đáng kể so với số liệu thu trước đây, độ xác lẫn miền giá trị từ trường, đặc biệt vùng từ trường siêu cao có nhiều ứng dụng Nghiên cứu có ý nghĩa việc phát triển phương pháp cho trạng thái kích thích tốn cho việc mở rộng nguyên tử có nhiều điện tử Ghi chú: Nghiên cứu tài trợ Quỹ Phát triển Khoa học Công nghệ Quốc gia (NAFOSTED,) đề tài mã số 103.01-2014.44; PGS TSKH Lê Văn Hoàng đặt vấn đề cho nghiên cứu hướng dẫn chúng tơi q trình thực cơng trình TÀI LIỆU THAM KHẢO Feranchuk, I D., Ivanov A., Le, Van-Hoang & A Ulyanhenkov (2015), Nonperturbative description of quantum systems, Springer - Switzerland Thirumalai, A and Heyl, J S (2009), “Hydrogen and Helium atoms in strong magnetic fields”, Phys Rev A 79 (012514), pp 1-13 Gani, V.A et al (2003), “A Hydrogen Atom in a Superstrong Magnetic Field and the Zeldovich Effect”, J Exp Theor Phys 96, pp 890–914 Rudel, H., Wagner, G., Herold, H & Geyer, F (1994), Atoms in Strong Magnetic Fields, Springer - Verlag, Berlin Rösner, W., Gunner, G., Harold, H & Ruder, H (1984), “Hydrogen atoms in arbitrary magnetic field: I Energy levels and wave functions”, J Phys B 17, pp 2952 Hoang, D Ngoc-Tram, Nguyen, P Duy-Anh, Hoang, Van-Hung & Le, Van-Hoang (2016), “Highly accurate analytical energy of a two-dimensional exciton in a constant magnetic field”, Physica B 495, pp 16-20 7 Kravchenko, Yu P., Lieberman, M A & Johansson, B (1996), “Exact Solution for a Hydrogen atom in a magnetic field of arbitrary strength”, Phys Rev A 54, pp 287305 López Vieyra, J C & Pilón, H O (2007), “Hydrogen atom in a magnetic field: electromagnetic transitions of the lowest states”, Rev Mex Fis 54, pp 49-57 Sasmal, G P (2014), “On computation for a hydrogen atom in arbitrary magnetic fields using finite volume method”, J At Mol Sci 5, pp 187-205 10 Schmelcher, P & Schweizer, W (2002), Atoms and Molecules in Strong External Fields, Kluwer Academic Publisher (Ngày Tòa soạn nhận bài: 12-10-2016; ngày phản biện đánh giá: 21-11-2016, ngày chấp nhận đăng: 16-12-2016) ... FK-OM áp dụng cho toán nguyên tử hydro từ trường có cường độ bất kì; phần thứ hai trình bày kết thu thảo luận; phần cuối kết luận dự kiến phát triển đề tài Nguyên tử hydro từ trường Phương trình... khoảng từ trường đến 4.70×1010 G , với độ xác 10-5 Năm 2014, Sasmal [9] dùng phương pháp thể tích giới hạn để tìm hàm sóng, lượng, cấu trúc nguyên tử hydro từ trường có cường độ khoảng từ đến... mức lượng nguyên tử hydro từ trường trình bày cơng trình [1, tr 252-258] Để sử dụng tính tốn cơng trình này, ý tưởng cơng thức trình bày lại phần Phương trình Schrưdinger cho ngun tử hydro từ trường