Khóa luận tốt nghiệp Sư phạm Vật lý: Ảnh hưởng của nhiệt độ lên mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong tương tác chắn đặt trong từ trường đều

Chương | - Cơ sở lý thuyếtSe 6 1.2 Chuyển động khối tâm của nguyên tử hydro trong từ trường đều...- 7 1.2.1 Hamiltonian cho hệ tọa độ khối tâm và chuyên động tương đôi của electron và D3

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRUONG DAI HỌC SƯ PHAM TP HO CHÍ MINH

KHOA VAT LY

TP HO CHÍ MINH

PHAM DUY KIEN

ANH HUONG CUA NHIET DO LEN MUC NANG

KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC

NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HOC

TS LY DUY NHAT

TP Hé Chi Minh — Nam 2023

BO GIÁO DỤC VA ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HÒ CHÍ MINH

KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyén nganh: Su pham Vat ly

Sinh viên thực hiện: Pham Duy Kiên

Chủ tịch hội đồng Người hướng dẫn khoa học

GS.TSKH LE VĂN HOANG TS LY DUY NHAT

Lời cảm ơn

Đầu tiên, tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc nhất đến TS Lý Duy Nhất, người đã tận

tình hướng dẫn và giúp tôi rút ra được rất nhiều điều hay qua các bài học về kiến thức,

kỹ năng nghiên cứu đến cách tư duy khoa học Nhờ có thay, tôi đã có thêm kiến thức,

sự tự tin khi tính toán và tiếp cận lý thuyết lượng tử, giúp tôi có thêm những góc nhìn

khác về Vật lý và lựa chon con đường cho tương lai của mình Quan trọng hơn hết,

dưới sự dẫn dat của thầy, tôi cảm thay có sự yêu thích trong nghiên cứu, đây có lẽ lảđiều quý giá mà tôi có được trên hành trình khám phá thế giới tự nhiên

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến anh Triệu Đoan An, người đã luôn đồng

hành và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình tôi thực hiện khóa luận Sự xuất hiện và tận tình chỉ bảo của anh là điều may mắn tôi có được trong suốt chặng đường nghiên cứu.

Bên cạnh đó, tôi muốn gửi lời cảm ơn đến các thầy cô và anh chị tô Vật lý lý thuyết

đã luôn động viên, giải đáp các kiến thức tôi chưa biết đến, giúp tôi an tâm và tiếp

tục vững bước trên hành trình nghiên cứu của mình.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm Thành

phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho tôi có môi trường học tập va nghiên cứu hiệuquả Cuối củng tôi luôn biết ơn gia đình bạn bè đã luôn dành thời gian lắng nghe va

chia sẻ, tạo điều kiện đề tôi đành thời gian cần thiết thực hiện khóa luận.

TP Hỗ Chi Minh, ngày 23 thang 4 nam 2023

Phạm Duy Kiên

Chương | - Cơ sở lý thuyết

Se 6

1.2 Chuyển động khối tâm của nguyên tử hydro trong từ trường đều - 7

1.2.1 Hamiltonian cho hệ tọa độ khối tâm và chuyên động tương đôi của electron và

D3) YếultmaifncöađộngHĂDE:asoooooooaoaanannoaaỶnnnnaaannnnnnnannan 24

VAy A2 Yếu tô ma trận của thé TUGUNGT csscssascassesssevsnssassavsassassesvecvscsvassavsasssnservasvenseavsevaes 25

2.2.3 Yếu tổ ma trận của Hamiltonian cccccecsesssesseessesseessesssessesssesseessesseessesssenseees 25 2.3 Nguyên tử hydro trong từ trường đều có màn chắn cccc-ccccccccccccs 26

2.3.1 Yếu tổ ma trận của thé năng có man chắn -cc5cccccccceeccrxercrcee 27

232 Yếu mairnclafữHŒỜBE occooeoooooooooioiiiiioiiiiononoisedasno 28 2.3.3 Năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường có màn chắn 32

Chương 3 - Ảnh hưởng của nhiệt độ lên mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro

"¬— ' 39

Hi TổngQ8Raaaoaoasrnn-aannainatngngtnonatoitoiiioititoiidtioitoitlontatoiaitagnana 39 3.2 _ Sự ảnh hưởng của yếu tổ nhiệt độ đến nguyên tử hydro :55: 555555: 40

3.3 Năng lượng cơ bán của nguyên tử hydro ở môi trường plasma trong từ trường 46

Sd Uy 50 Tài liệu tham kháo HH THỞ c Họ TT TT TT TT 10104400081114001 916 51

Phụ LUC c Ăn HHÙ HH HH HH HH HH TH 04084008484444444441144486 56

il

Danh sách bảng — hình vẽ

Danh sách bảng Bảng 1 Các giá tri năng lượng mức 1s, theo tham số màn chắn À trong hệ đơn vị nguyên tử

Kh Ci OS 9) =ỈỮ: canctcaittoittptitititidiiiiiiiiiiilii1313331361853ã38185313ã1853138385385ã585355ã581853ã818558558 36

Bang 2 Các giá trị năng lượng mức 1s, theo từ trường trong hệ đơn vị nguyên tử khi tham

sO man Chin VN 1n ố -::ÕỞỔÖ|ổ,.HHHb, ÔỎ 37 Bảng 3 Các gid trị năng lượng mức Ls, theo từ trường y trong hệ đơn vị nguyên tử khi

2= 01010/00 ON ¿iiiiiiiiiii110140121401011121211111161818181858583643163616135833538181838187833885383353318131833538188184 3§ Bang 4 Các giá trị năng lượng mức 1s, theo từ trường 7 trong hệ đơn vị nguyên tử theo

HRI@I AG Ty (íiciii216000020101010000100111101G61036191581835858388180S8183S55338838338586858383533858368535382538583585538855 48

Danh sách hình vẽ Hình 1, Sự phụ thuộc mức năng lượng cơ bản theo nhiệt độ trong từ trường 49

ili

Lời mở đầu

Nguyên tử hydro là một vấn đề được các nhà khoa học chú ý và quan tâmtrong nghiên cứu nên việc khảo sát là rất quan trọng trong cơ học lượng tử Các kếtquả nghiên cứu đối với nguyên tử hydro thường được dùng đẻ kiểm chứng phươngpháp mới trước khi áp dụng cho các nguyên tử phức tạp hơn Hiện nay, nhiều công

trình đã được thực hiện cho nguyên tử hydro đôi với thé Coulomb [1], [2], [3] Bên

cạnh đó, nguyên tử hydro trong từ trường cũng la van dé rat được quan tâm suốt mộtthời gian dài cho đến ngày nay [4] [5], [6] Đây là vấn dé mang tính đột phá đối với

nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm trong sự hình thành và phát triển cơ học lượng

tử.

Chuyên động khối tâm của nguyên tử hydro là vấn đề được quan tâm và dé

cập suốt một thời gian dài Chuyên động khối tâm của nguyên tử hiđro trong từ trường

có dạng như thế nào? Khi không có từ trường và có từ trường, nó sẽ chuyên độngthăng đều hay có những dao động nhỏ Tài liệu [7] chỉ ra rằng có nhiều loại chuyển

động khối tâm Vì chuyên động điện tử thông thường chỉ một phạm vi giới hạn của không gian có sẵn cho tọa độ khối tâm Ở đó tồn tại nhiều yếu tố khác nhau theo các

giá trị của độ lớn từ trường, năng lượng và động lượng góc Khi bắt đầu sự hỗn loạn

trong chuyển động điện tử, sự hỗn loạn ở chuyển động khối tâm được quan sát thay.

Sự thật rằng tọa độ của khối tâm không xuất hiện ở Hamiltonian và khối lượng

của lúc đầu hạt nhân lớn so với electron có thé bỏ qua, dẫn đến giả định rằng khối

tâm là không liên quan và có cường độ gần như không đáng kể Tuy nhiên, với sự có

mặt của từ trường, tâm khối lượng và chuyên động bên trong của nguyên tử hydro

được liên kết chặt chẽ va sự liên kết nảy dẫn đến hiện tượng thú vị [5] Vì hanh vicủa tâm khối hoàn toàn được xác định bởi chuyên động bên trong, do đó day là một

câu hỏi hap dan dé đặt ra điều gì xảy ra với chuyển động nguyên tử nếu khối tâm

chuyên động trải qua quá trình chuyên đôi từ đều đặn sang hỗn loạn [7]

Nguyên tử hiđro trong từ trường đều vẫn một trong những bài toán hấp dẫnnhất chưa có lời giải trong cơ học lượng tử phi tương đối tính “sơ cấp” Mặc dù với

sự tiên bộ trong sự phát triển của cơ học lượng tử nhưng chỉ có một số lượng tử thực

tế van dé cơ học đã được giải quyết chính xác cho đến bây giờ Những van dé này là

phô năng lượng của một nguyên tử hydro va của ion phân tử hydro, các mức năng lượng của một dao động điều hòa cho phô của một electron tự do trong một từ trường déu, cái gọi là mức Landau, và nguyên tử hydro trong điện trường ngoài.

Trong những năm gan đây, người ta ngảy càng quan tâm nhiều hơn đến việc

ứng dụng lý thuyết nhiễu loạn vào các bài toán cơ bản của lượng tử Lý thuyết nhiễu

loạn được thiết kế dé giải quyết một cách có hệ thông với ảnh hưởng của nhiều loan

nhỏ trên các hệ thông vật lý khi ảnh hưởng của nhiễu loạn về mặt toán học quá khó

để tính toán chính xác, và các thuộc tính của hệ không nhiễu đã biết Do đó nó thường

là công cụ thích hợp dé xử lý các tác động của các trường bên ngoài, với tương tác

tầm xa giữa các nguyên tử và phân tử, và với kích thước nhỏ những nhiễu loạn bền

trong chăng hạn như những nhiều loạn siêu tinh vi cấu tạo của các vạch quang phô

Lý thuyết nhiễu loạn đã được sử dụng cho những mục đích kế từ khi bắt đầu cơ học lượng tử, nhưng nó chỉ mới gần đây rằng nó đã được áp dụng một cách nghiêm túc vào cái có thê được gọi là nên tang bai toán “it vật thé” của cơ học lượng tử, trong đó

nhiễu loạn là không nhỏ ; cụ thé là lực day electron va Coulomb nhiều tâm trường

trong phân tử.

Yukawa [8] đã khái quát hóa lập luận vào năm 1935; nếu tương tác của một

proton và một neutron có thê được mô tả bằng một trường lực, thì trường nảy phải có liên kết với nó một loại lượng tử mới, sự trao đôi của nó sẽ mang lại tương tác Những lượng tử như vậy được đặt tên là meson [9] vào năm 1939 Lý thuyết Yukawa là suy

đoán và thu hút ít sự chú ý cho đến khi phát hiện ra [10] cái mả ngày nay chúng ta

gọi là k-meson (hay muon) trong các tia vũ trụ vào năm 1939, Các nhà khoa học tiễn

hanh xác định những thứ nay với meson của Yukawa nhưng tinh toán đã sớm chỉ rarằng các tính chất của muon không phủ hợp với những tính chất được yêu cầu bởimeson của Yukawa Khó khăn vẫn chưa được giải quyết cho đến khi phát hiện ra T-

meson (hay pion) vào năm 1947, có những đặc tính phù hợp Cac muon bay giờ được

phân loại với các fermion nhẹ (hoặc lepton), trong khi pion là một meson thật và hau

hết trong số đó không có spin.

Đề có thé mô ta trọn vẹn những ảnh hưởng của môi trường lên nguyên tử

hydro, ta không thé chi kê đến tương tác Coulomb giữa electron và hạt nhân ma thé

2

man chắn cũng cần được chú ý và tính toán [11] Năm 1935, mô hình thế man chắn

thế Yukawa [8] được đưa ra, từ đó việc nghiên cứu các vấn đề vẻ thé Yukawa [12]

và nguyên tử hydro trong thé này đã được thực hiện một cách rộng rãi [13], [14] Bêncạnh đó có thé ké đến một số dạng thé được dé xuất nhằm thay the Coulomb như: théKratzer [15], thế Morse [16], Keldysh [17]

Trong cơ học lượng tu, phương trình Schrödinger có vai trò vô cùng quan

trọng Day la phương trình giúp chúng ta có thêm hiểu biết về động lực học của mộthat trong môi trường vi mô Chính vì thế, việc giải quyết phương trình Schrédingervới một thể năng tương tác cụ thé là điều cần thiết Nhiều công trình liên quan đếnviệc giải phương trình Schrödinger kết hợp một số mô hình thế năng đã được thực

hiện dé tìm hàm riêng, trị riêng có thể được kế đến như [18], [19], [20] Một trong

những thé năng có thê kẻ đến là Yukawa Thể Yukawa được giới thiệu lần đầu tiên

vào năm 1935 bởi Hideki Yukawa dé mô tả và tính toán tương tác của các hạt cơ bản

[8] Thể năng này xuất hiện khi có một kẽ hớ trong mô tả về mô hình nguyên tử của

James Chadwick được tạo thành từ các proton và neutron chứa bên trong hạt nhân

nhỏ Từ đó, the Yukawa đóng vai trò quan trọng trong việc tính toán các chuan hóa

trạng thái giới hạn và mức năng lượng của các nguyên tử trung tính.

Hon hai mươi năm nghiên cứu vật lý nguyên tử trong từ trường mạnh là cần

thiết trước khi các tác giả khác nhau nhận ra tam quan trong của khôi lượng khối tâm

(CM) hiệu chỉnh trong quang phô của nguyên tử hydro [21] Khó khăn phát sinh từ

thực tế là các hiệu ứng CM theo thứ tự khối lượng electron-proton tỷ lệ, và do đó hau như không đáng kê, đối với tông nang lượng của từ hóa nguyên tử Tuy nhiên, chúng thay đôi đáng kế năng lượng liên kết của hệ thong khi tham số trường giảm.

Đối với nguyên tử hydro trung tính, quá trình phân tách dẫn đến một

Hamiltonian tương đối vẫn phụ thuộc vào hằng số chuyển động CM, động lượng tông

quát K [22] Vì lý do này, quá trình này thường được gọi là giá tách Nếu K song song với trường việc hiệu chỉnh CM rất đơn giản và có thê được cho ở đạng khép kín như

là một hàm của năng lượng nguyên tử hydro trong x4p xi khối lượng proton vô hạn

[23].

Plasma xảy ra phô biến trong tự nhiên Thật vậy, hầu hết các vật chất đã biết

trong Vũ trụ ở trạng thái ion hóa và nhiều plasma xuất hiện tự nhiên, chăng hạn như

3

các khu vực bề mặt của Mặt trời, các đám mây khí giữa các vì sao và khí quyền Trái

đất, thé hiện các hiện tượng động lực học plasma đặc biệt phát sinh từ tác dung của lực điện và lực từ Khoa học về vật lý plasma đã phát trién dé cung cap su hiéu biét

về các plasma xuất hiện tự nhiên này và dé thực hiện nhiệm vụ tông hợp hạt nhân có

kiêm soát Khoa học plasma đã hiện đã được sử dụng trong một số ứng dụng thực tế

khác, chăng hạn như khắc chip bán dẫn tiên tiến và sự phát triển của laser tia X nhỏ

gọn Nhiều công cụ khái niệm được phát triển trong quá trình nghiên cứu cơ bản vẻ trạng thái plasma, chăng hạn như lý thuyết về sự hỗn loạn của Hamilton, đã tìm thấy nhiều ứng dụng bên ngoài lĩnh vực plasma.

Plasma là đạng môi trường vật chất có vai trò quan trọng đối với các ứng

dụng trong đời sống, vật lý hạt nhân [24], thiên văn va vũ trụ được Irving Langmuir

mô tả lần đầu trong những năm 1920 [25] Ngày nay, khoa học về vật lý plasma ngàycàng phát triển, cung cấp vẻ sự hiểu biết về plasma trong tự nhiên [26] va các van đềliên quan đến hạt nhân nguyên tử [27] Có lẽ ứng dụng thú vị nhất của plasma chăng

hạn như ứng dụng mà chúng ta sẽ nghiên cứu vẻ việc sản xuất điện năng từ phản ứng tông hợp nhiệt hạch Một ion deuterium va một ion tritium va chạm với năng lượng

trong phạm vi hàng chục keV có xác suất hợp nhất đáng ké va tạo ra hạt alpha (hạt

nhân heli) và một neutron, có năng lượng dư 17,6 MeV (hạt alpha - 3,5 MeV, nơtron

- 14,1 MeV) Một cách day hứa hẹn dé tiếp cận năng lượng này là tạo ra plasma có

mật độ trong khoảng 10”; ` và hạt trung bình năng lượng hàng chục keV Thời gian đặc trưng cho năng lượng nhiệt chứa trong một plasma như vậy để thoát ra các bẻ mặt vật chất xung quanh phải vượt quá khoảng năm giây, để năng lượng được tạo ra

trong các hạt alpha có thê duy trì nhiệt độ của plasma.

Trong môi trường plasma, khi thế màn chắn đóng vai trò quan trọng, các kếtquả liên quan đến mức năng lượng cơ bản cho bải toán nguyên tử hydro được phát

triển cho trường hợp tông quát hơn khi tính đến thế màn chắn Yukawa [5] Phố năng

lượng của nguyên tử hydro nhúng trong môi trường plasma với mô hình thé chắn

Coulomb tông quát dạng mũ và cosin (MGECSC) trong từ trường đều cũng được

trình bay trong [4] Tuy nhiên, các kết quả chưa thẻ hiện được sự chênh lệch mức

năng lượng cơ bản khi nguyên tử hydro có hiệu ứng nhiệt độ Với những lí do trên,

chúng tôi dy đoán chuyên động khối tâm và mức năng lượng cơ bản sẽ bị ảnh hưởng

4

bởi nhiệt độ thông qua từ trường đều với thế man chắn Yukawa Cấu trúc luận văn

gồm 3 chương như sau:

e Chương | - Cơ sở lý thuyết: Ở chương nay, chúng tôi trình bảy các bước

tách khối tâm của nguyên tử hydro Đồng thời lý thuyết nhiễu loạn cũng sẽ được đềcập dé ứng dụng cho các chương tiếp theo

e Chương 2 - Nguyên tử hydro trong từ trường có màn chắn: Trong chương

nảy, chúng tôi giải phương trình hảm riêng, trị riêng của nguyên tử hydro Bên cạnh

đó, việc tính toán các yếu tố ma trận liên quan được trình bay giải tích một cách chitiết

e Chương 3 - Ảnh hưởng của nhiệt độ lên mức năng lượng cơ bản của

nguyên tử hydro: Ở chương cuối, chúng tôi tính toán hiệu ứng nhiệt độ, qua đó tìm

ra sự thay đôi nang lượng khi nhiệt độ thay đi.

Chương 1 - Cơ sở lý thuyết

II Tổng quan

Khi xét đến chuyên động của nguyên tử hydro, cần chú ý đến chuyên động củakhối tâm vi trong [28] đã đưa ra những kết quả cho thay chuyên động khối tâm bị ảnh

hưởng bởi khôi lượng hiệu dụng qua các phép tính nhiễu loan bậc 2 Phỏ năng lượng

của nguyên tử hydro lả liên tục ứng với chuyên động tự do của khối tâm và gián đoạnkhi chuyển động khỗi tâm là tương đối Tuy nhiên, khi xét đến yếu t6 từ trường ngoài,

sự liên kết giữa chuyển động tự đo và tương đôi của khôi tâm đã ảnh hưởng tinh chat

phô năng lượng Với sự có mặt của từ trường, động lượng của khôi tâm không còn bảo toản hay có thé nói, nhiệt độ liên quan đến chuyên động khối tâm có thé anh hưởng đến phô năng lượng của nguyên tử hydro Cho nên, khảo sát sự ảnh hưởng này

là điều cần thiết.

Việc tách chuyên động khối tâm của nguyên tử hydro cho hệ trung hòa về điện

và trong không gian ba chiều đã được thực hiện trong công trình [29] và [22] Áp dụng kết quả đó, [5] thu được Hamiltonian cho chuyển động tương đối của electron

và hạt nhân trong trường hợp tông quát Qua đó, công trình đã chỉ ra một cách định tính phô năng lượng của nguyên tử hydro có thể bị ảnh hưởng bởi nhiệt độ thông qua

tương tác với từ trưởng Trong chương nay, các tính toán vả lập luận quan trọng trong[5] sẽ được trình bày lại nhằm phục vụ cho các nội dung tiếp theo

Thông qua các phép biến đồi, Hamiltonian của chuyên động tương đổi electron

~ hạt nhân trong từ trường có thé bị ảnh hưởng bởi nhiệt độ Sự xuất hiên của yeu tô

nhiệt độ còn có khả năng làm thay đổi phd năng lượng của nguyên tử hydro, Do đó,

với các ngưỡng nhiệt độ khác nhau, các mức năng lượng có thẻ không còn giá trị

chính xác mà thay vào đó là một ngưỡng giá trị xuất hiện Từ đó chúng tôi quyết địnhnhiệt độ có thé được xem lả thành phan nhiều loạn lam ảnh hưởng phé năng lượngcủa nguyên tử hydro Dé hạn chế sai số ở mức thấp, lý thuyết nhiễu loạn không suybiến cũng sẽ được đẻ cập và trình bày ở chương này dựa vào các tài liệu liên quan

[30], [31] [32].

1.2 Chuyển động khối tâm của nguyên tử hydro trong từ trường

+ 2m, Đụ * 2m, Liêu 2m, LÔ) Ay + A,p, ) V (lf = |):

Ở đây Ƒ (|7 — 7, |) là thé tương tác giữa electron va hạt nhân Trong phương trình

(1.2), e la điện tích nguyên tố, 7 va ? là các toán tử tọa độ, ô, và 2, là các toán tử

động lượng, m, và m, là khối lượng hiệu dụng của electron, hạt nhân và A; A, la

thé vector do từ trường ngoài tac động vao electron va hạt nhân tương ứng.

Thay thé vector A va A, bằng vector cường độ từ trường thông qua biểu thức

Từ (1.7), (1.8) và (1.9) ta có thể sử dụng hệ tọa độ khối tâm và tương đối

(RF ) cho Hamiltonian (1.6) Việc tính toán va lập luận được trình bay ở Phụ lục A

của [5] một cách chỉnh xác và chỉ tiết Kết quả sau khi tính toán thu được như sau:

lượng rút gọn của hệ electron — hạt nhân va P, p lần lượt là động lượng khối tam va

động lượng chuyên động tương đối của hệ electron — hạt nhân

Ở đây, do ồ không báo toàn, LÊ A] + 0 nên ta không thé tach 2 số hạng cuối

của phương trình (1.10) theo các biến # và # theo cách đặt như (1.7) Dé làm đượcđiều này, ta phải dùng đến một khái niệm mới đó là vector giả động lượng

1.2.2 Vector gia động lượng

Chúng tôi giới thiệu và sử dụng vector giả động lượng với mục đích tách

Hamiltonian (1.10) theo các biển tọa độ Dé thực hiện được, chúng tôi sẽ chứng minh

vector giả động lượng bảo toan hay nói cách khác đại lượng nảy sẽ giao hoán với Hamiltonian và kết quả là chúng có cùng hàm riêng.

Ta có thẻ định nghĩa vector giả động lượng như sau

Các tính toán chứng minh P giao hoán với các số hạng trong (1.13) được trình bay

chỉ tiết trong [5] (tr 24 — 27) Từ đó ta thu được

[Ã,]=[ 8ñ, +8, th, th +Ñ, +Ñ, +h, +h, |=0 (1.14)

a

Kết qua từ phương trình (1.14) đã chứng minh được vector gia động lượng Ê,

và Hamiltonian # giao hoán nhau.

1.2.3 Tach biến Hamiltonian thông qua vector giả động lượng

Do toán tử giá động lượng PB có tính bảo toàn nên chuyên động tương đối của

electron và hạt nhân được mô tả thông qua hàm sóng ó(F) sẽ được tách chính xác

trong phần này

Phương trình hàm riêng, trị riêng của ô, là

ñx(R.7)= Kz(R7) (1.15) Dựa vào khái niệm toán tử P, từ (1.11), ta có thé thay (1.15) là phương trình vi

phân cấp I theo biển # còn biến 7 được coi là tham số Suy ra hàm riêng có dang:

5 ifs e- 5

z|R,7]= f(F]exp‡4—' K+—Bx? |R 1.16

z(.r)= /(F) TH ; r] | (1.16)

với /(#} là một hàm bat kì.

Dựa vào hệ quả (1.14) và việc chọn f(?) ham (1.16) và trị riêng K có thé là

ham riêng, trị riêng cua Hamiltonian // Từ đó các toán tứ vi phan trong Hamiltonian

chi theo biến ? và biển R được xem là tham số Hàm sóng của hệ electron — hạt nhân

được viet như sau:

h 2

w{(R.7) ==p|T[# +š87 8v)

Ham sóng (7) thỏa mãn phương trình

U'HUy(¥)= Ew(*),

trong do

ì Ps

Ham y(7)1a ham sóng chuyên động tương đối giữa electron và hạt nhân chi phụ

thuộc vào Z nên Hamiltonian #7, „ của chuyển động này được viết

ñ,„=0'H0, (1.17)

và phương trình Schrödinger cho chuyển động tương đối là

Hw (F) = Ew(?), (1.18)

trong đó E là năng lượng toàn phần của nguyên tử hydro.

Dựa vào (1.13) và (1.17), ta thu được

l„ =U" (hy +h, +h, +h, +h, +, +h, +h, \U.

Nhân phân phối va tính toán với từng số hạng Việc này đã được [5] trình bay trong

Phu lục B một cách chi tiết, kết quả Hamilton cho chuyên động tương đối electron

-hạt nhân thu được như sau

thông qua biêu thức — (eBx K jr Từ đó ta có thé thay, trị riêng K là yếu tổ anh

hưởng đến Hamiltonian của chuyên động tương đổi giữa electron và hạt nhân Hay

nói cách khác, với một cường độ từ trường đủ lớn, phô năng lượng của nguyên tử

12

hydro có thể bị ảnh hưởng Mối liên hệ giữa nhiệt độ và động năng chuyên động khối

" aa R : > 3 sả +43 :

tâm có thé liên hệ qua công thức oi = ater hay K = J3Mk,T với k, là hang so

2¡

Boltzmann.

Qua việc trình bay những tính toán va lập luận ở trên, chúng tôi đã đưa ra một

cách định tính sự ảnh hướng của nhiệt độ lên chuyên động khối tâm vả từ đó phô

năng lượng nguyên tử hydro có thé bị thay đổi Những tính toán và lập trình chỉ tiết

về điều nay sẽ được trình bay ở các phan tiếp theo

1.3 Lý thuyết nhiễu loạn không suy biến

Trong cơ học lượng tứ, việc giải các bài toán cho phương trình Schrödinger

dẫn đến lời giải chính xác là rat ít Do đó cần phải có những phương pháp gan đúngđược xây dựng để áp dụng nhằm giảm sai số đến mức thấp nhất Một trong cácphương pháp được sử dụng nhiều cho đến nay là phương pháp nhiều loạn Lý thuyết

nhiều loạn được đưa ra lan đầu tiên khi tính toán chuyển động của các hành tinh gặp

khó khăn, dan dan được áp dụng cho co học lượng tử và vật lý nguyên tử Trong phan nay, chúng tôi sẽ trình bay phương pháp lý thuyết nhiều loạn không suy biến dé phục

vụ cho như cau giải hàm sóng và năng lượng của nguyên tử hydro trong từ trường có

man chắn Dựa vào cuốn sách [30], những nội dung và tính toán quan trọng sẽ được

H=H,+V, (1.21)

, + va , ` ` Ps ,

trong đó: HH, có nghiệm riêng chính xác, được xem là thành phan chính của

Hamiltonian Thành phần V được xem là yếu tô nhiều loạn vì có thé coi V rất bé so

với A, Mat khác, khi xét đến các thành phan HA, và V thì chúng đều phải là toán tử

13

Hermite Với các điều kiện trên, phương pháp lý thuyết nhiễu loạn xây dựng nghiệm

riêng gần đúng cho Hamiltonian H được trình bảy như sau

Đầu tiên, ta thêm tham số nhiễu loạn / vào (1.21) dé chứng tỏ toán tử V có

độ lớn bé hơn H, một bậc Sự xuất hiện của tham số này có vai trò quan trọng trong

việc so sánh và lược bỏ những số hạng nhỏ ra khỏi phương trình Khi bài toán được

giải trọn vẹn, ta chỉ việc cho tham số nảy bằng 1

H =H, + pV (1.22)

Ham sóng va năng lượng theo tham số nhỏ / được viết đưới dang phương trình

y= PO BAP s BAPE +,

Ở đây, ta chi xét trường hợp năng lượng gián đoạn và không suy biến Các số hạng

AY”: AE”? lần lượt được xem là các bỗ chính bậc s (s = 1,2, ) vào hàm sóng va

năng lượng.

- Đối với gần đúng bậc không, ta có

Hw! = cu, (1.24)

với toán tử A, có nghiệm riêng chính xác tương ứng các ham riêng @, và các trị

riêng £, tương ứng (7 =I,2,3 V}) Từ đó ta có được hàm sóng va năng lượng bo

.ụu = El") + PAE",

Thế (1.26) vào phương trình Schrédinger, kết hợp (1.22) và khai triển ta thu được

14

AS + BH AY + g0) + #PAyw"

Trong hệ thức (1.27) vì có giá trị nhỏ nên số hạng chứa /” có thể bỏ qua Các

thành phần có gần đúng bậc không có thẻ được loại bỏ dựa vào (1.24) và chỉ giữ lạithành phan bậc một Cuối cùng phương trình ta thu được có dạng

(4, -£ a9 +/w® = acy”, (1.28)

Nhân ‘¥'"” cho hai về của (1.28), sau đó lấy tích phân toàn miễn không gian

*ức

AE" = fv" (H,- 6° lav des [ r0 lay (1.29)

Ta xét thành phan thứ nhất của công thức (1.29)

- Đi với gần đúng bậc hai, ta có

we) = yn + pay’? + pay”

E* = ETM + PAE” + BAETM =

Thế (1.35) vào phương trình Schrodinger, kết hợp (1.22) và khai triển ta thu được

HY + BHAY" + BAY” + gÉw + BV AV” + BV Ave!

= Eel + BE Ay"! + Pe ap?

+ BAE UP" + PAEMAP! + PAE APO!

+ PAEOW + PAEOAV" + BAEOAYTM,

(1.36)

Trong hệ thức (1.36), các thành phần có bậc cao hơn hai và các thanh phan có gầnđúng bậc không, bậc một sẽ được loại bỏ Cuối cùng phương trình ta thu được có

dạng

(A, - z®law® tị? = AE" )ayy") = AB@hp (1.37)

Nhân ‘¥°" cho hai về của (1.37), sau đó lấy tích phân toàn miền không gian ta được

AE! = { pir (A, = ;9lawØ + i} wÿ = AE" ay, (1.38)

Thanh phan thứ nhất của công thức (1.38) tương tu như công thức (1.30) Kết qua

dẫn đến thành phần này bằng không Đối với thành phần thứ hai, áp dụng hệ quả thu

được tir (1.31) va (1.34) dẫn đến biéu thức bô chính bậc hai của năng lượng

AEM =-Y_* 4, (1.39)

Tiếp theo, bô chính bậc hai của ham sóng có thê được khai trién theo bộ hàm cơ sở

N ay!) _ Seo,

a , a os ` h £ Â _ +4

hay bô chính bậc hai của ham sóng có thé viet lại

N ⁄ NUON (an (a j “AI

a (

Ở mục nảy, trạng thái nang lượng gián đoạn và hàm sóng được chúng tôi trình

bay qua phương pháp lý thuyết nhiều loạn cho trường hợp không suy biến Day lànhững cơ sở lý thuyết cần cho các lập trình và tính toán ở các phần bên đưới Thông

qua phương pháp này, chúng tôi hi vọng việc khảo sát ảnh hưởng của nhiệt độ lên

phé năng lượng của nguyên tử hydro có thé đạt độ chính xác cao

17

Chương 2 — Nguyên tử hydro trong từ trường có

màn chăn

2.1 Tổng quan

Nguyên tử hydro là một chủ đề được các nhả khoa học quan tâm trong lĩnh

vực cơ học lượng tử và việc nghiên cứu nguyên tử này rất quan trọng Các kết quả nghiên cứu đối với nguyên tử hydro thường được dùng dé kiểm chứng phương pháp mới trước khi áp dụng cho các nguyên tử phức tạp hơn Hiện nay, nhiều công trình

đã được thực hiện cho nguyên tứ hydro đối với thé Coulomb [1] [2], [3] Bên cạnh

đó, nguyên tử hydro trong từ trường cũng là vẫn đề rất được quan tâm suốt một thời

gian dai cho đến ngày nay [4], [5], [6] Day là van dé mang tính đột phá đối với nghiêncứu lý thuyết và thực nghiệm trong sự hình thành và phát triển cơ học lượng tử

Đề có thé mô tả trọn vẹn những ảnh hưởng của môi trường lên nguyên tử

hydro, ta không thé chỉ kê đến tương tác Coulomb giữa electron va hạt nhân mà thé

man chan cũng cần được chú ý và tính toán [11] Năm 1935, mô hình thé màn chắn

thé Yukawa [8] được đưa ra, từ đó việc nghiên cứu các van dé về thế Yukawa [12]

và nguyên tử hydro trong thé này đã được thực hiện một cách rộng rãi [13] [14] Bên

cạnh đó có thé kẻ đến một số dạng thé được đẻ xuất nhằm thay thế Coulomb như: théKratzer [L5] thế Morse [16], Keldysh [17]

Trong cơ học lượng tử, phương trình Schrédinger có vai trò vô cùng quantrọng Đây lả phương trình giúp chúng ta có thêm hiểu biết về động lực học của một

hạt trong môi trường vi mô Chính vi thế, việc giải quyết phương trình Schrédinger

với một thé năng tương tác cụ thé là điều cần thiết Nhiều công trình liên quan đếnviệc giải phương trình Schrödinger kết hợp một số mô hình thé nang đã được thực

hiện đẻ tìm hàm riêng, trị riêng có thể được kẻ đến như [18], [19], [20] Một trong

những thé năng có thê kê đến là Yukawa Thế Yukawa được giới thiệu lần đầu tiên

vào năm 1935 bởi Hideki Yukawa dé mô tả và tính toán tương tác của các hạt cơ bản

[8] Thế năng nay xuất hiện khi có một kẽ hở trong mô tả về mô hình nguyên tử của

James Chadwick được tạo thành từ các proton va neutron chứa bên trong hạt nhân

18

nhỏ Từ đó, thế Yukawa đóng vai trò quan trọng trong việc tính toán các chuẩn hóa

trạng thái giới hạn và mức năng lượng của các nguyên tứ trung tính.

Mặt khác, sự quan tâm đến nguyên tử hydro thông qua tương tác các hạt trong

từ trường [33] có thé màn chắn [4], [6] cũng là vấn đề được các nhà khoa học chú ý.Một số công trình liên quan đến phô năng lượng nguyên tử hydro [34], [35] trong từ

trường có thé man chan có thé kế đến như [13], [36] Cùng với phép biến đổi

Kustaanheimo — Stiefel cho nguyên tử hydro, trong chương này, chúng tôi sẽ trình

bay ham sóng và năng lượng bang phương pháp giải tích Sau đó dựa vào phép biển

đổi này, mở rộng cho bài toán nguyên tử hydro trong từ trường đều có thé màn chắn,

cụ thé là thé Yukawa Từ đó có thé tính toán được các yêu tô ma trận cần thiết dé

phục vụ cho chương tiếp theo.

2.2 Phép biến đổi Kustaanheimo - Stiefel cho bài toán nguyên tử

Don vị độ dài ta chọn là bán kính Bohr a, = 4zc,h i me =0.5292A; đơn vị năng

lượng là năng lượng Hartree bằng 2Ry trong đó Ry =13.605 eV được gọi là hằng số

Rydberg năng lượng.

Qua phép biến đôi Kustaanheimo-Stiefel

x=2yveosg; y=2uvsing; z=y" -v’,

Phương trình (2.1) được viết lại

Thế (2.4) vào (2.3), ta thu được

| oe tle @& 1ô

SpA ZW yep ty lS gpag Y(¿i,v) = 0.

Or eeu pe Cy? vêw v2

Ta thấy phương trình (2.6) có thé tách biến, do đó

Yˆœ)+LY)+ (-+42 +8Ey2 re) =0 (2.8)

sóng tiệm cận Hàm sóng của hệ sẽ được việt dưới dạng

Thế (2.10) vào phương trình (2.8) ta thu được phương trình cho ham £(t})

Nghiệm của phương trình trên được biểu điển dưới dang chuỗi

VY pn (4,999) = he 2 (uv) Là (on?) Dl (au? elmo (2.22)

Dé tim hệ số C.,,, ta có điều kiện chuẩn hóa hàm sóng

Tam fee" (on) [ae (cov?) | a (cor?) jew (our) [ delay) d (con?)

2 sti : LÍc op (a2) "![»( (aye )Ƒ d (ou?) fe om (ov2)""| 1 [ LTM (av? lï d(av?).

Ap dụng tính chất tích phân của hàm Laguerre liên kết ta thu được

23

2.2.1 Yếu tố ma trận của động năng

Yếu to động năng trong hệ tọa độ (¿.v.@) từ phương trình (2.5)

W2 + al v)8eo( ur + dnt foe = 'PeTM dg (2.24)

tr 2 lê &# lê

=ốn ‘ LAI to LAG —— Ss -JÏ el | 8(4° +" aa ôm bv 12)

2

+ - 5 ao +v")dudv.

Surv

24

Do ø phụ thuộc vào n và & nên kết hợp phương pháp biến phân có điều tiết va tính chất tích phân của hàm Laguerre, ta sẽ tính các yếu tố ma trận thành phần cúa động năng Việc tính toán chi tiết và các kết quả được trình bày ở Phụ lục Kết quả cuối

cùng thu được như sau

2.2.2 Yếu tố ma trận của thé năng

Yếu tô ma trận của thé năng có dạng

2.2.3 Yếu tố ma trận của Hamiltonian

Kết hợp (2.25) và (2.26) ta thu được kết quả yeu tố ma trận của Hamiltonian

_ø` ~ o °

= n(w+|mÌ)ổ,‹„ O¢24 Omen! * ry] (K+1)(k+|m]+1)6,., 0,019,

o 3 ea

oO 4 t—lntk+lml+1—-— |b ổ, xổ, 0,

an | |+ oo Dek RS mm

25

2.3 Nguyên tử hydro trong từ trường đều có màn chắn

Phương trình Schrödinger cho nguyên tử hydro trong từ trường có xét đến thế màn chắn Yukawa trong hệ đơn vị nguyên tử được viết dưới dạng:

trong đó 4 là tham số man chắn Do mối liên hệ với bán kính Debye theo hệ thức D=1/2 [37] nên tham số 2 phụ thuộc vào nhiệt độ và mật độ của plasma Đơn vị

độ dài là bán kính Bohr a, = 4Ze„Ÿ / m.e* = 0.5292 A: đơn vị năng lượng là Hartree

E,= hr tm đ =27.2leV và đơn vị từ trường B, = hi! ea: = 2.3505x10°T

Qua phép biến đôi Kustaanheimo-Stiefel

2.3.1 Yếu tố ma trận của thế năng có màn chấn

Yếu tổ thé nang có man chắn trong hệ tọa độ (¿:.v.@) từ phương trình (2.30)

N,= Í ¿ 0+5} Aled pind (a „ (e° )¿ (v? )

2.3.2 Yếu tố ma trận của từ trường

Yếu tổ từ trường trong hệ tọa độ (¿:.v,@) từ phương trình (2.30)

a m ] 2.22

=—y¥+— ve PM 1”

2§

Tính toán tương tự (2.24) Yếu tố ma trận của từ trường có dạng

My = On {fom tm (HV Votm (Hs v)§¿n(¿” + *)dudv,

M;= 176 Son AL Pein (vk V Wok (dev) 8p ved pds

= 00

ÁN: = 77 ban [Yor (2.0 Yat (AY) Ser vd uch

Dựa vào kết quả (A.5) va tính toán tương ty, ta tính được M Ị

nr’ Ob kom an! — a (k +I)( (k +|m|+ 1ð, Om ms

— K(k +|m))5y Dp 15 am (2+ 1)(2+ |] +1) 8 ner Dee Dn’

amy

amy 24

M,= n+k+|m|+1)6,

n(n+|ml)é, .i 05 “0,

man’

Tiếp theo ta sẽ tính biéu thức M,

=47°S nm conten eề vn (ø ' y? (av?) av

„ pen i ( ow je" yin | (eu kếa 7

trong đó

29