Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học phép dời hình

Vi thế, việc day cho học sinh các thuật toán hay quy trình tựa thuật toán để giải toán, cho các em làm quen với các phương pháp có tính chất thuật toán tức làphương pháp suy nghĩ, phương

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

; KHOA TOÁN - TIN

Luận văn tốt nghiệp

Chuyên ngành Phương pháp giảng dạy

- RÈN LUYEN TU DUY THUAT TOAN

CHO HOC SINH THONG QUA

DAY HOC PHÉP DOI HÌNH

Giáo viên hướng dẫn: TS Lê Văn Phúc

Sinh viên thực hiện: Đào Thị Thanh Xuân

Trang 2

Rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua day học phép đởi hình

LỜI CẢM ƠN

Đâu tiên, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thay Lẻ Văn Phúc, người

đã nhiệt tình hướng dân, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi xin chân thành cảm ơn các thay có trong khoa Toản, đặc biệt là các

thay cô trong tô Phương pháp giảng dạy đã nhiệt tình giảng day, cung cấp

cho tôi những tri thức quỷ bau trong thời gian qua.

Tôi xin gửi lời cam ơn đến Ban giám hiệu trường THPT Phan Đăng

Luu, Có Trấn Linh Giang và tập thé lớp ! 1A2 đã tạo diéu kiện cho tôi tiến

hành thực nghiệm

Tôi vô cùng biết ơn cha mẹ, anh chị em, các bạn của tôi đã giúp đồ tôi

trong suốt quá trình làm luận văn tốt nghiệp

Sinh viên thực hiện Đào Thị Thanh Xuân

SVTH: Đào Thị Thanh Xuân 1 GVHD: TS Lê Văn Phúc

Trang 3

Rèn luyện tư duy thuật tốn cho học sinh thơng qua dạy học đời hình

MỤC LỤC

LỚI CẢM ƠN, 0 20222 2111112211111212111 11221100112 211111111011117112111 711107211 Xe 1

CS | 2

EHẨN MƠ ĐẦU:s‹:s-c¡s<c 6c 22060020 cg G1050 LE26G0/06060L2384Ecca15066i2108866E §

oT Ta CGHON ĐỂ TÂN: ác: các ec Naa §

II MỤC DICH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỬU 55 5555 6

I, GIÁ THUYET KHOA HỌC 2222°2222SE22VSS2ZC2E223272152727212222c2 6

IV PHƯƠNG PHAP VÀ TO CHỨC NGHIÊN CỬU 6

X.GẨU TRI LUẬN VÀNG tát a0 240C cát 3ảa0800G8ậi 7

CHUONG I: TƯ DUY THUAT TỐN VA VAN DE REN LUYEN TƯ DUY

DULY gS |, evceteieicezeccgetigtis620i60600)G34200010108016 8

1⁄Á4OT SỐ KHÁT NI: ict cca a eases i 8

Bs 4, (0i, co ác lv, 00100 000109 50000V2/4221/90010X0AP)70073772)f0ý2.V/n))000:17, 100/551, 1T0TV7/tJPẠ, NET 8

2.1 Khái niệm thuật tốn ( algorit ) 0:sssesesessseseesssseesssnsessssnseeesesneeesessnee § 2.2 Các đặc trưng cơ bản của thuật tốn 10 2.3 Văn hĩa thuật tốn (văn hĩa aÏgoriU) - 555522222 H

3 Từ đạy thls VIẢTá642126G20ã0-02880\6024Gxesszxzkie H

3.2 Những hoạt động cơ bản của tư duy thuật tốn 11

3.3 Những đặc trưng của tư duy thuật toắn - 5< 12

3.4 Yêu cầu phát triển tư đuy thuật tốn 2-2-2222 12 3.5 Sự cần thiết phải phát triển tư duy thuật tốn ở học sinh phổ thơng 12

4 Quy tắc tựa thuật tốn 2-52 2St 2 2 2 10251107125172150 71536222122 13

5 Quy trình cĩ tính chất thuật toG ccccsscsesssecsssecsvescseesssecseesseestenseereseces 14

6 Vận dụng kiểu dạy học thuật tốn h6a cscsosesseesscesssecsessvessssessseeesereee l§

7 Ưu điểm và nhược điểm của kiểu day học thuật tốn hĩa l6

SVTH: Đảo Thị Thanh Xuân 2 GVHD: TS Lê Văn Phúc

Trang 4

Rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua đạy học phép đời hình

II TƯ DUY THUAT TOÁN ĐẶT TRONG MỖI QUAN HE VỚI TƯ DUY

1 TƯ dU GB « oresnnscaqessaxnasposss nanonoapssueossss ocsaxsavecenvns yeoneceshscosuanesuapsneenscaneesye 16 2- TỰ Sy SRE ADD (4ceocet06S0)05603/4G6)6(621422130402334550.344i3/4es4635: 17

3 Mỗi liên hệ giữa ba loại tư Muy oo eescececsecesnecssseesssecsnescsnessnscsennes 17

HI NỘI DUNG VA PHƯƠNG PHAP PHAT TRIEN, REN LUYEN TƯ DUY

THLE DA sa xkoeeikeeeeeeoreeaosesseoGse0644)002ã1040 504 17

Bs REET LUẬN ¡e0 066cc cgusniaas aaa secant eae nai 18

CHUONG II: NOI DUNG PHEP DOI HINH TRONG CHUONG TRINH SACH

GIAO KHOA Ở TRƯỜNG TRUNG HOC PHO THONG 19

LỆ THONG EY THVT sss sccsssssscsanssacsss 5 066000SG1/22662GCE.26EniA 19 1 Mở đầu vẻ phép biến hinh cssecscsessvecssssssnsesssescsvecssnsecssesrsseessseeneeerts 19 2 Phép tinh tiến và phép đời hình - 22 22s ecvrsreEvserrrkd 22 Sa 1 |, tu .n-ÿyÿysxywwsaasaatwsszee 26 4 Phép quay và phép đối xứng tâm neo 29 His HỆ THỐNG BÀI TẬP ess casts cic sic 2620260 1620G)402000200000 3x60 33 (BY ty LUẬN tu Quy 2 2002230632610 G0X2x0d0xxÄxo 35 CHƯƠNG Il: REN LUYEN TƯ DUY THUẬT TOÁN CHO HỌC SINH THONG QUA DẠY HỌC GIẢI CÁC BÀI TOÁN BANG PHÉP DOI HÌNH 36

LKHAI NGMBAI TOÁN k2 ssaccc tao eS ds bal 36 II Ý NGHĨA CUA VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ‹- 37

Ill DẠY HỌC GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẰNG PHÉP DOI HÌNH 37

1 Phân loại bài tập theo từng mục đích nhận thức 37

2 Cơ sở lý thyết và thuật toán giải từng loại bài tập cụ thẺ 38

2.1 Các kiến thức cần dùng để giải toán -.-2-ScsSecsexe 38 2.2 Phương pháp giải các dang toán bằng phép đời hình 39

2.2.1 Nhóm 1: Chứng minh các tính chất hình học, tinh các yếu tế trong

pd | RRC NCTE ee meet Dee ane eer Cet oe ere eee 39

SVTH: Dao Thj Thanh Xuan 3 GVHD: TS Lê Văn Phúc

Trang 5

Rén luyện tu duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học phép dời hình

2:7.3 Nhóm 3: Q09 esis ccc scares ie a et 54

PSly Là trị: Sa Gt al tc PO TUXAV ACO RIA ia EDR OCC Ie RSET FD 7/0 S9: 63 2.2.5 Giải các bài toán cực trị trong thực tế: -22-s52sc- 71

CHƯƠNG IV: THỰC NGHIỆM SƯ PHAM -.00 2 0.-:ccsescccsesssscssesesneseensnceeese 75

ï.MỤC DICH THUG NGHIÊM S220 pcan eateries 75

II NỘI DUNG THỰC NGHIIỆM - 22222 75

IIETDOARIHISOTHIERMHEV _-—_——~` 76

IV PHƯƠNG PHAP THỰC NGHIỆM 22 76

| Biển soạn tai liệu thực nghiệm sư pham -5-52-5-5- 76

2 Những bước tiến hanh trong giờ đạy 2-22 22s 22g 80

IV PHAN TICH, DANH GIA KET QUA THUC NGHIỆM 80

BL Nội dung kiểm tra 5+ «sec vrevvzvorveeccveosze 80

D ï tiến tích định ĐFNh assis css ascccvicsanssnarpenics paspanrcasaresas se cend 80

3:;Phân tích:định NUNG 6c421220122222266CG002-A000/12/02866 80

KT Vat: [| 83

LKET COU NHI NG CO a cmS==————-sez 83

TT; HAN CHE COA LUẬN VÀNG ƒccccccccccŸooiccsee 83

III HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIEP TUC ccccsssccecessseccsssesesessceseserseveret eevee 84

| 86

HIEIWE ne eT 100

SVTH: Dao Thị Thanh Xuân 4 GVHD: TS Lê Văn Phúc

Trang 6

Rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua day học phép doi hình

PHAN MO DAU

I LY DO CHON DE TÀI

> Nhiệm vụ của người giáo viên là mở rộng trí tuệ cho học sinh chứ không

phải lam đẩy trí tuệ của các em băng cách truyền thụ những tri thức đã có.Việc mở rộng trí tuệ cho học sinh đòi hỏi người giáo viên phải biết cáchdạy cho học sinh tự suy nghĩ để giải quyết van dé mà học sinh gặp phải

trong quá trình học tập vả trong cuộc sống mà ta gọi dé là tư duy

> Toán học có khả năng to lớn trong việc phát triển vả rèn luyện tư duy.

Việc giảng day toán học luôn nhằm mục đích phát triển trí tuệ, trước hết là

hình thành ở học sinh những phẩm chất tư duy can thiết Thông qua việc

học toán, học sinh sẽ học được cách suy nghĩ độc lập, suy luận chính xác,

chat chẽ, có một nên tang kiến thức và kĩ năng cơ ban, chắc chan

> Phát hiện và xây dựng các thuật toán là một trong những van dé quan

trọng của toán học từ xưa tới nay Trong sự phát triển của khoa học vàcông nghệ hiện đại, với vai trỏ đặc biệt của máy tính điện tử, vấn dé xâydựng các thuật toán dé giải toán trở nên cực kì quan trọng Vi thế, việc day

cho học sinh các thuật toán hay quy trình tựa thuật toán để giải toán, cho

các em làm quen với các phương pháp có tính chất thuật toán (tức làphương pháp suy nghĩ, phương pháp làm việc trong đó quy định rõ các

công việc can tiến hanh theo một trình tự chặt chẽ để hoàn thành công

việc) có ý nghĩa rất lớn, giúp các em đi vào lao động công nghiệp một

cách thuận lợi, về mặt kiến thức, kỹ năng, cũng như về mặt tư duy vả nhâncách (biết suy nghĩ logic theo một trật tự nhất định, có ý thức ky luật, biết

tôn trọng những quy tắc đã định )

> Toán học nói chung, hình học nói riêng đóng vai trò hết sức quan trọng

trong việc giảng dạy và học tập ở trường phổ thông Đặc biệt, các phépdời hình là một công cụ đắc lực trong việc giải các bài toán hình học

Việc day học phép biến hình nói chung va phép đời hình nói riêng “khong

những chỉ nhằm cung cap cho học sinh những công cụ mới dé giải toán

ma còn tập cho học sinh làm quen với phương pháp tư duy và suy luận

mới, biết nhìn nhận sự việc va các hiện tượng trong sự vận động va biến

Vv

Trang 7

Rẻn luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua day học phép đời hình

đổi của chúng để nghiên cứu, tim tôi, khám phá, tạo cơ sở cho sự ra đời

của những phát minh và sáng tạo trong tương lai”.

> Như vậy ta thấy rằng phép biến hinh cụ thé là phép đời hình 1a một mảng

trí thức rat quan trọng trong chương trình phô thông, có rất nhiều ý nghĩa

và ứng dụng.

Với lý do đó, chủng tôi chọn để tài “RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT

TOÁN CHO HỌC SINH THONG QUA DẠY HỌC PHÉP DOI HÌNH"

làm đẻ tải nghiên cứu cho khóa luận này.

Il MỤC DICH VÀ NHIEM VỤ NGHIÊN CUU

Trong luận văn, chúng tôi tập trung nghiên cứu và trình bảy các vấn dé sau:

> Tìm hiểu tư duy toán học nói chung va tư duy thuật toán nói riêng.

> Tìm hiểu vấn dé tư duy thuật toán thé hiện như thé nào ở trường phố

thông qua việc phân tích sách giáo khoa.

Phân loại và dé xuất các phương pháp giải một số dang toán quan trọng sử

dụng phép dời hình.

> Kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các phương pháp đã nêu.

Vv

Il GIÁ THUYET KHOA HOC

Nếu xác lập được một số phương pháp hữu hiệu giải bài tập nhằm rèn luyện

tư duy thuật toán cho học sinh trên cơ sở lý luận và thực tiễn thông qua day

học phép dời hình trong mặt phẳng sẽ góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy

toán nói riêng và chất lượng giáo dục nói chung.

IV PHƯƠNG PHÁP VÀ TÔ CHỨC NGHIÊN CỨU

Đề đạt được mục dich dé ra, chúng tôi tiến hành các nghiên cứu sau:

> Nghiên cửu, tổng hợp một số tai liệu vé phương pháp dạy và học toán.

>» Đọc va nghiên cứu kĩ sách giáo khoa, sách bài tập sách giáo viên sách

nâng cao và tổng hợp các công trình nghiên cứu có liên quan đến để tài.

SVTH: Đảo Thị Thanh Xuân 6 GVHD: TS Lê Van Phúc

Trang 8

Rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua day học phép dời hình

z Xây dựng hệ thống lý thuyết va bài tập dé tiến hành thực nghiệm học sinh

nhằm làm rõ tình hình day học khái niệm phép đời hình ở trường phd thông theo phương pháp dạy học kiểu thuật toán hóa.

Thiết kế giáo án dạy học kiểu thuật toán hỏa Tiến hảnh kiểm tra chứng

minh tính kha thi và hiệu quả của chúng bảng những giờ dạy và đánh giá

cụ thể ở trường pho thông.

V CÁU TRÚC LUẬN VĂN

Luận văn gồm các phan chính:

>

`

Phần mở đầu: Nêu lý do chọn đẻ tải, mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu,

phương pháp và tổ chức nghiên cứu, cấu trúc luận văn

Chương I: Tư duy thuật toán và vấn để rèn luyện tư duy thuật toán.

Ở chương nảy, chúng tôi làm rõ các khái niệm va một số vấn dé liên quan

đến tư duy thuật toán.

Chương Il: Nội dung phép dời hình trong chương trình sách giáo

khoa ở trường trung học phỗ thông Ở chương nay, chúng tôi phân tích

sự trình bảy nội dung các phép dời hình trong sách giáo khoa phổ thông hiện hành Tir đó rút ra một số nhận xét về hệ thống lý thuyết và bai tập

được trình bày trong sách giáo khoa.

Chương Ill: Rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạyhọc giải các bài toán bằng phép dời hình Ở chương này, trước hết

chúng tôi làm rõ vai trò của việc giải bài tập Sau đó, phân loại và đề xuất các phương pháp ứng với từng dạng toán nhằm rẻn luyện tư duy thuật

toán cho học sinh thông qua việc dạy học giải bài tập bằng phép dời hình

Gắn liền với những phương pháp đã nêu, chúng tôi xây dựng một hệ thống

bải tập tương ứng.

Chương IV: Thực nghiệm sư phạm Chúng tôi tiến hành thực nghiệm sư

phạm để kiểm tra tính khả thi vả hiệu quả của những phương pháp đã nêu Phần kết luận: Tóm lược những kết quả thu được, những hạn chế và

hướng nghiên cứu mới mở ra từ luận văn.

Trang 9

Rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua day hoc phép dời hình

Theo tam /ý học đại cương, tu duy là một qua trình tâm ly phản anh những

thuộc tinh bản chất, những mdi liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy

luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan, mà trước đó ta

chưa biết.

Theo giáo dục học môn toán, tư duy là quá trình tâm lý nhờ đó ma con

người phản ánh được các đối tượng và các hiện tượng của hiện thực qua những dấu hiệu căn ban của chúng, con người vạch ra được những mỗi

liên hệ khác nhau trong mỗi đối tượng và hiện tượng và giữa các đối

tượng hiện tượng với nhau.

Theo Jy luận day học hiện đại, tư duy là quá trình biến đối thông tin, là

quá trình xác lập các mối liên hệ giữa các tri thức thực tại và xây dựng các

Tư duy được thể hiện dưới ba dang từ thấp lên cao theo sự phát triển của lứa

tuổi Trong luận văn này, chúng tôi chi để cập chủ yếu về “tu duy thuật toán

và rén luyện tư đuy thuật toán”.

2 Thuật toán

2.1 Khái niệm thuật toán ( algorit )

> Trong *Phương pháp day học món toán (phan đại cương) - Nguyễn Bá

Kim (chú biên)" : “Thuat toán được hiểu như một quy tắc mô tả những chi

dẫn rõ ràng và chính xác để người (hay máy) thực hiện một loạt thao tác

nhằm đạt được mục đích đặt ra hay giải một lớp bai toán nhất định Dây

chưa phải 1a một định nghĩa chỉnh xác ma chi là một cách phát biểu giúp

ta hình dung khái niệm thuật toán một cách trực giác."

SVTH: Đào Thị Thanh Xuân § GVHD: TS Lê Văn Phúc

Trang 10

Rén luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học phép đời hình

> Trong “Giáo trình phương pháp dạy học toản (phan đại cương)

-TS Trần Khánh Hung”; “Algorit là một tập hợp các quy tắc, xác định một

thủ tục (phương pháp) hữu hiệu để giải mọi bài toán thuộc một lớp cho

trước."

> Trong “Phương pháp dạy học môn toán ở trường phô thông (các tình

huong điện hình) - Lê Văn Tiến”, thuật toán được định nghĩa như sau:

* Theo nghĩa chặt: Thuật toán là một day sắp thứ tự các thao tác can thực

hiện trên một số hữu hạn các dit liệu, và dam bao rằng sau một số hữu hạn bước sẽ đạt được kết quả nào đó Hơn nữa, quy trình này độc lập với di

- Bước 2: Lay số lớn trừ đi số nhỏ, ta được một hiệu sé.

- Bước 3: Lay số nhỏ và hiệu số trên làm a và b mới, rồi quay về bước 1

Rõ rang quy trình này kết thúc sau một sé hữu hạn bước.

- Thuật toán giải phương trình bậc nhất, bậc hai một dn.

- Thuật toán giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai hai an

œ”+bx+e=0 (I)

ax+by+c=0

đen (2)

(1) không phụ thuộc vào a, b, c.

(2) không phụ thuộc vào a, b, c, a’, b’, c`.

RO rang quy trình độc lập với đữ liệu.

* Theo nghĩa rộng: Thuật toán là một dãy hữu han các bước can thực hiện

theo một thứ tự nhất định dé giải quyết một kiểu nhiệm vụ nào đó

* Ví dụ: Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình.

- Bước 1: Chọn an số Đặt điều kiện cho ấn số Biểu điển các đại lượng

chưa biết qua ấn số và những đại lượng đã biết

SVTH: Đào Thị Thanh Xuân 9 GVHD: TS Lẻ Văn Phúc

Trang 11

Rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học phép đời hình

- Bước 2; Lập phương trình thé hiện mối liên hệ giữa các đại lượng.

- Bước 3: Giải phương trình.

- Bước 4: Kiểm tra kết quả, lời giải

> Trong “Giáo dục học môn toán (giáo trình của trường ĐHSP) ”: “Algorit

là một bản quy định chính xác, ma mọi người đều hiểu như nhau vẻ việc

hoàn thành những thao tác nguyên tố theo một trình tự xác định nhằm giải

quyết một bài toán bất kì thuộc một loại hay một kiếu nào đó” Đây cũng

là cách định nghĩa mà tác giả Hoàng Chúng đã nêu ra trong “Phương

pháp day học toan hoc”.

2.2 Các đặc trưng cơ bản của thuật toán

> Theo tác giả Trần Khánh Hưng, ba đặc trưng cơ bản của algorit là:

® Tinh phé dung: thé hiện ở khả năng dam bảo thực hiện không chỉ một bài

toán cụ thé nao đó mà là một lớp các bài toán cùng loại.

* Tinh tién định: bao dam cho algorit chỉ được hiểu theo một cách duy nhất,

cho một kết qua duy nhất và việc thực hiện algorit không phụ thuộc mong

muốn của bat cứ người nao sử dụng.

* Tinh hiệu quả: đảm bảo tính hữu hạn của algorit, tức là sau một số bước

hữu hạn đã quy định phải chỉ ra được kết quả hoặc chỉ ra rằng algorit

không áp dụng được cho lớp bài toán này.

> Theo tác giả Lê Văn Tiến, các đặc trưng cơ bản của thuật toán là:

⁄ Theo nghĩa chặt:

s_ Tính hữu hạn: số bước cần thực hiện, sế dữ liệu và cả số thao tác can làm

trong mỗi bước đều phải hữu hạn

=" Tính xác định: thê hiện ở sự rõ ràng, không mập mờ và thực thi được của

các thao tác cân thực hiện trong mỗi bước.

s Tinh đúng đắn: với dit liệu vào cho trước, sau một số hữu hạn các bước

được thực hiện thi thuật toán phải đảm bảo dem lại kết quá và kết quả này

la duy nhất.

Y Theo nghĩa rộng:

s Mỗi chi dẫn trong mỗi bước có thể chưa mô tả một cách xác định hành

động cần thực hiện.

s (6 thể có những bước không thực thi được

Trang 12

Rẻn luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học phép đời hình

s - Kết quả thực hiện mỗi bước có thé không duy nhất (không đơn trị)

® Việc thực hiện hết một dãy hữu hạn các bước không dam bao chắc chăn

đem lại kết quả.

> Theo * Toán học và những suy luận có lý ”, thuật toán có các đặc trưng

sau:

* Don trị: các bước trong thuật toán phải đơn trị.

s Kế: thúc: sau một số hữu hạn các bước thì thuật toán phải đi đến kết quả

* - Đúng đắn: giải quyết ding đắn vấn dé được đặt ra

* Phổ dụng: cho phép giải quyết một lớp các bai toán củng loại, cỏ cùng cấu

trúc nhưng dữ liệu khác nhau.

= Hiệu qua: thuật giải thực hiện nhanh, tốn ít thời gian.

Két luận: Đặc trưng của khái niệm algorit là việc giải quyết van đẻ phải theo

một trình tự nhất định nào đấy Như vậy ta thấy ring, việc giải toán theoalgorit là một quy trình được điều khiển chặt chẻ, không thé tùy tiện, quy

trình đó có thể được mọi người thực hiện (hoặc thực hiện bằng máy) và với

các dữ kiện đã cho bao giờ cũng đưa đến cùng một kết quả Mặt khác, algorit

được dùng không chỉ để giải một bài toán cụ thể nào đó, mà để giải hàng loạt

những bài toán cùng loại hay cùng kiểu, đo đó có thể coi các algorit như lả

các phương pháp hoạt động chung của con người.

2.3 Văn hóa thuật toán (văn hóa algorit)

Theo “ Hình thành văn hóa thuật toán cho học sinh trong việc giảng day toán, giáo dục - B.M Monakhôv (chủ biên) ”: Văn hóa thuật toán là tập hợp những

ý niệm, kĩ năng, thói quen về thuật toán cân phải hình thành va phát triển

trong mỗi con người để sống và làm việc trong xã hội hiện đại

3 Tư duy thuật toán

3.1 Khái niệm tư duy thuật toán

Tư duy thuật toán là cách suy nghĩ để giải quyết một loại công việc nao đó

theo một trình tự nhất định Tư duy thuật toán liên hệ chặt chẽ với khái niệm

thuật toán.

3.2 Những hoạt động co bản của tu duy thuật toán

> Thực hiện thuật toán: thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định

phù hợp với một thuật toán cho trước.

SVTH: Đào Thị Thanh Xuân HH GVHD: TS Lẻ Văn Phúc

Trang 13

Rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua day hoc phép dời hình

> Phan tích hoạt động: phân tích một hoạt động thanh những thao tác thành

phân được thực hiện theo một trình tự xác định.

> Tường minh hỏa hoạt động: chính xác quá trình tiến hành một hoạt động.

> Khải quát hóa hoạt động: khái quát hóa một hoạt động trên những đối

tượng riêng lẻ thành một hoạt động trên một lớp đối tượng

> Tối ưu hóa hoạt động: so sánh những con đường khác nhau cùng thực

hiện một công việc và phát hiện con đường tối ưu.

3.3 Những đặc trưng của tư duy thuật toán

>» Cỏ "con mắt algorit", tức là khả năng phát hiện được các algorit có trong

sách, trong thực tiễn có liên quan Từ đó dẫn đến xây dựng “tir điển

algorit".

> Biết phân tích và tông hợp.

> Có khả năng mô hình hóa.

> Thực hiện angorit.

3.4 Yêu cầu phát triển tư duy thuật toán

> Trong tư duy giải quyết vấn dé, chúng ta luôn chú trọng đến vai trò va

chức năng của tư duy sáng tạo và tư duy phê phán trong việc giải quyết

các bài toán không quen thuộc và chưa biết cách giải Nhưng trong cuộc

sống hàng ngày, con người cũng thường phái đối mặt với tư duy có tính

quy tắc, nó đảm bảo cho người sử dụng đạt đến kết quả một cách chắc

chắn mà ta gọi là tư duy thuật toán.

>» Trong quá trình day học, việc rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh sẽ

góp phan nâng cao chất lượng dạy học toán Việc phát triển và rèn luyện

tư duy thuật toản sẽ tạo điểu kiện để củng cố các kiến thức đã có, rèn

luyện các kĩ năng toán học cụ thể, thúc đấy sự phát triển các tư duy bậc

cao, hình thành tính chính xác các bước của một thuật toán, hình thành

khả năng lap trình máy tinh, hình dung quá trình tự động hóa, hình thành

tư duy phương pháp dé giải quyết một van đẻ

3.5 Sự cần thiết phải phát triển tư duy thuật toán ở học sinh phổ thông

> Tư duy thuật toán giúp học sinh hình dung được việc tự động hóa trong

những lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người, góp phần khắc phục

sự ngăn cách của nhà trường và xã hội tự động hóa Nó giúp học sinh thay

được nền tảng của sự tự động hóa, cụ thể là nhận thức rd đặc tính hình

Trang 14

Rén luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua đạy học phép đời hình

thức, thuần túy máy móc của quá trình thực hiện thuật toán, đó là cơ sở

cho việc chuyển giao một số chức năng của con người cho máy thực hiện.

> Tư duy thuật toán giúp học sinh làm quen với cách làm việc trong khi giải

toán bang máy tỉnh điện tử vi thiết kế thuật toán 14 một khâu rất cơ bản

của việc lập trình Tư duy thuật toán tạo điều kiện cho học sinh thực hiện

tốt khâu nảy Tư duy thuật toán giúp học sinh học tập tốt những môn học

ở nhà trường phé thông, rõ nét nhất 14 môn toán.

> Tư duy thuật toán cũng góp phan phát triển những năng lực trí tuệ chung

như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa và hình thành những phẩm chat của người lao động mới như tính ngăn nắp, kỉ luật, tính phê phán vả thói quen tự kiểm tra.

> Việc dạy cho học sinh các algorit để giải toán, cho các em làm quen với

các phương pháp có tính algorit (tức là phương pháp suy nghĩ, phương

pháp làm việc, trong đó quy định các công việc cần tiến hành theo một trình tự chặt chẽ để hình thành công việc) có ý nghĩa rất lớn, giúp các em

di vào lao động công nghiệp một cách thuận lợi, về mặt kiến thức, kĩ

năng cũng như về mặt tư duy và nhân cách (biết suy nghĩ logic theo một

trật tự nhất định, có những ý thức ki luật, biết tôn trọng những quy tắc đã

djnh ).

4 Quy tắc tựa thuật toán

Cùng với những quy tắc, phương pháp có tính chất thuật toán, trong trường phổ thông, học sinh còn được học những quy tắc, phương pháp không hoàn

toàn theo một trình tự chính xác nhất định như thuật toán Chúng ta gọi đó là quy tắc tựa thuật toán Những quy tắc thuật toán này có thể được truyền thụ

theo các con đường sau:

e Thông báo tường minh trong quá trình hoạt động.

với những quy tắc, phương pháp đó.

Những quy tắc phương pháp trên chi là những gợi ý giải quyết vấn dé chứ

không phải là thuật toán đảm bao dẫn tới thành công Vi vậy hướng dẫn học

sinh sử dụng, cân rèn luyện ở họ tính mềm déo, linh hoạt, biết điều chỉnh

phương hướng thay đổi phương pháp khi cẩn thiết Điều quan trọng là tới

Trang 15

Rén luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua day hoc phép đời hình

một lúc ndo đó, học sinh sẽ tự phát hiện ra sự lim đường, biết thay đổi

phương hướng và cudi cùng sẽ dẫn tới thành công.

* Vi dụ: Bài toán tim giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên (a,b)

- Bước 1: Tìm đạo hàm y’ của ham số.

- Bước 2: Giải phương trình y` = 0.

- Bước 3: Tìm nghiệm của y' trong (a,b).

- Bước 4: Lập bang biến thiên của hàm số trong (a,b)

- Bước Š: Kết luận.

5 Quy trình có tính chất thuật toán

Cùng với các thuật toán, trong quá trình dạy học chúng ta thường hướng dẫn

cho học sinh day toán theo một quy trình nào đó Chang hạn như quy trìnhbến bước của Polya để giải một bài toán, quy trình giải toán bằng cách lậpphương trình bằng phương pháp tọa d6 , mỗi quy trình giúp ta giải quyết

một loại công việc nào đó đều có một ý nghĩa nhất định Quy trình giải một

bài toán của Polya được những học sinh vận dụng theo cách riêng của mình,

nhưng thực tiễn đã cho thấy quy trinh đó đạt được các mức độ hiệu quả khác

nhau Tuy rằng các quy trình đó không hướng dẫn học sinh các giải toán một

cách ti mi theo từng bước mà chỉ là những định hướng suy nghĩ, gợi ý thao

tác, song do tầm khái quát và dung nạp được nhiều kinh nghiệm quý báu nên

quy trình này tỏ ra có hiệu quả và được mọi người chấp nhận

* Ví đụ: Quy trình xác định giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).

- Bước |: Xác định mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d).

- Bước 2: Tìm giao tuyển (a) của (P) và (Q)

- Bước 3: Nếu (a) // (d) thì kết luận (đ) // (P).

- Bước 4: Nếu (a) không // với (đ) thi tìm giao điểm A của (a) va (đ)

- Bước 5: Kết luận giao điểm của (d) vả (P) là A

Quy trình có tính chất thuật toán như tên gọi của nó, đó không phải là các

thuật toán nhưng nó có một số đặc điểm giống với thuật toán và khi áp dụngcác quy trình này, học sinh có thể tự mình giải được nhiễu bai toán tương tự

nhau.

SVTH: Đào Thị Thanh Xuân l4 GVHD: TS Lê Văn Phúc

Trang 16

Rẻn luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học phép đời hình

6 Vận đụng kiểu dạy học thuật toán hóa

Dạy học thuật toán hóa là day học sinh hoạt động theo tư duy thuật toán Nó

được vận dụng trong những trường hợp sau:

> Đối với những bai dạy (khái niệm định lý, quy tac giải ) có chứa thuật

toán giải, người giáo viên cần rèn luyện cho học sinh những khả nang sau:

* Hoc sinh biết rút ra thuật toán giải dưới sự hướng dẫn của giáo viên

s Nhận xét lớp bài toán có cùng thuật toán giải đã xây dựng.

* - Giải theo thuật toán đã vạch.

* Ví dụ: Giải phương trình ax’ + bx +e = 0(1)

1 Nếu a = 0: Trở về giải va biện luận phương trình bx + ¢ = 0

2 Nếu az0: Tính A =ð” =4ac

® A<0:(1) vô nghiệm

> Đối với những nội dung toán học không chứa săn thuật toán giải thi:

s Tap cho học sinh xây dựng một quy trình nhận biết, chứng minh hay cách

giải.

* - Nhận biết loại bài tập này hay nội dung nào thuộc quy trình trên

* Tập giải theo hướng ma quy trình đã vạch.

* Ví dụ: Cho biết một hàm số lượng giác của góc a (0° <a <180°) Tìm cáchàm số lượng giác còn lại

Quy trình giải như sau:

Trang 17

Rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua day học phép dời hình

— sau đó tinh

Ì + tan” œ

- Nếu biết tana ta tính cosa từ cos°z=

sing = cosứ tan ø

7 Ưu điểm v iễm của kiểu day học t

> Ưu điểm

Học sinh nằm được cấu trúc logic của khái niệm, năm được thuật toán giải.phát triển được tư duy logic, tư duy thuật toán, hiểu và vận dụng kiến thức tốthơn Ngoài ra, còn giáo dục cho học sinh ý thức tổ chức ki luật, ý thức hành

động tuân theo một trật tự nhất định, đờ tốn nhiều thời gian Rèn luyện

được cho học sinh các phẩm chat trí tuệ, các thao tác tư duy

> Nhược điểm

Dạy học thuật toán hóa cẩn kết hợp với các phương pháp khác, các kiếu day học khác để phát huy tính linh hoạt, sáng tạo của học sinh Hơn nữa, trong

nhiêu bài toán đòi hỏi tính tim tỏi sáng tạo của học sinh khá cao, trong phạm

vi này đạy học thuật toán hóa tỏ ra kém hiệu lực hơn các kiểu dạy học khác.

II TƯ DUY THUAT TOÁN PAT TRONG MOI QUAN HỆ VỚI TƯ DUY

LOGIC VÀ TƯ DUY SÁNG TẠO

1 Tư duy logic

> Tư duy logic là tư duy chính xác theo các quy luật logic và hình thức logic

không phạm sai lầm trong lập luận, biết phát hiện ra các mặt mâu thuẫn.

Quy luật logic của tư duy là mối liên hệ bản chất tắt yếu bên trong của các

tư tướng trong quá trình tư duy Các quy luật cơ bản là:

*- Luật lí do đẩy đủ: “tat cd những gì tổn tại đều có lí do để tồn tại"

> Hình thức logic của tư duy là phương thức liên kết giữa các thành phần

của tư tưởng với nhau.

`

SVTH: Đảo Thị Thanh Xuân l6 GVHD: TS Lê Văn Phúc

Trang 18

Rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua day học phép đời hình

2 Tư duy sáng tạo

Tư duy sang tạo là tư duy có tính khởi đầu hiệu quả va sản sinh ra một sản

phẩm phức tạp Tư duy sáng tạo có tính xác minh trực giác va tướng tượng.

Các khối tư duy sáng tạo bao gdm những kĩ nang như tổng hợp các ý tưởng,

tông quát các ý tưởng, áp dụng các y tưởng.

3 Mối liên hệ giữa ba loại tư duy

> Nhiều người cho rằng tư duy thuật toán là kiểu tư duy rập khuôn, máy

móc, không linh hoạt Đó là một nhận xét sai lắm Đứng trước một bài

toán có sẵn thuật toán, học sinh không phái chỉ đơn thuần lả áp dụng thuật

toán một cách máy móc Trước tiên học sinh phải nhận biết và lựa chọn

được thuật toán nảo nhanh nhất tốt nhất và không phải bải toán nảo cũng

có thé áp dụng trực tiếp và chính xác các bước của thuật toán Có rit nhiều

bài toán đòi hỏi phải có sự biến đổi khéo léo mới có thế áp dụng được

thuật toán và cũng phải linh hoạt trong việc thay đổi thuật toán cho phùhợp với yêu cầu của đề bải

* Ví dụ; Trong trưởng hợp giải vả biện luận phương trình bậc hai nếu hệ số

az 0 thì ta bỏ qua không biện luận hệ số a nữa mà đi thẳng đến việc tính biểu

thức A va A nếu có dang hằng đẳng thức thi ta có thé kết luận ngay phương

trình có hai nghiệm mà không cn biện luận 2 trường hợp A > 0 và A < 0.

> Nếu không có tư duy logic và tư duy sáng tạo, học sinh sẽ rit khó khăn

trong việc giải toán vì mac di đã có sẵn thuật toán nhưng học sinh không

biết vì sao lại làm như thể, tại sao lại thực hiện những bước như thế và

như vậy học sinh sẽ không giải được các bài toán khác không hoản toản

giếng bài toán mẫu.

II NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP PHÁT TRIEN, REN LUYEN TU’

DUY THUÁT TOÁN

Nội dung và phương hướng phát triển, rèn luyện tư duy thuật toán là rèn

luyện cho học sinh năm hoạt động sau:

s Thực hiện thuật toán: tập luyện cho học sinh thực hiện những thao tác

theo một trình tự xác định phi hợp với một thuật toán cho trước.

* Vi dụ: Khi giái va biện luận phương trình bậc hai, việc đầu tiên lá học sinh phải xét hệ số a #0 hay a = 0 Nếu a = 0 thi bài toán trở thành bai toán biện

Trang 19

Rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua đạy học phép đời hình

luận phương trình bậc nhất Nếu az 0 thì tính A và biện luận ba trường hợp

của A.

“ Phản tích hoạt động: tập cho học sinh biết phân tích một hoạt động thành

những thao tác thành phần theo một trình tự xác định.

® Tưởng mình hóa thuật toản: rèn luyện cho học sinh mô tả chính xác một

quá trình hoạt động tức lả rèn luyện khả năng diễn đạt ngôn ngữ dé mô ta

chính xác một quá trình.

* Khái quát hóa hoạt động: rèn luyện cho học sinh khải quát hóa một hoạt

động trên những đối tượng riêng lẻ thành một hoạt động trên một lớp đôi

tượng.

® Chọn thuật gidi tối wu: tập cho học sinh biết so sánh những thuật giải khác

nhau (thực hiện củng một công việc) và phát hiện thuật giải tối ưu qua

việc rèn luyện cho họ ý thức tiết kiệm thao tác khi xây dựng thuật toán.

* Ví dy: Nếu so sánh các phân số 9/5, 9/7, 9/4 thì không nên quy đồng mẫu

số ma so sánh ngay các mẫu số vì ở đây các tử số của các phân số đã bing

nhau

IV KET LUẬN

Qua việc nghiên cứu và tư duy thuật toán và vai trò của thuật toán, quy trình

tựa thuật toán trong việc dạy học toán ở trường phổ thông có thể rút ra một số kết luận như sau:

s Việc hình thành rẻn luyện va phát triển tư duy thuật toán, hiểu và vận

dung các thuật toán, quy trình tựa thuật toán và việc học tập môn toán, các

môn khoa học tự nhiên khác cần phải được tiến hành thường xuyên từthấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp (tăng số bước)

s Thông qua việc day học thuật toán, tư đuy thuật toán lam cho học sinh có

ý thức làm việc có kế hoạch, vạch ra trình tự khi giải quyết một công việctrong thực tế của minh (chăng hạn như lên thời gian biểu hằng ngày, lên

kế hoạch học tập ).

SVTH: Đảo Thị Thanh Xuân 18 GVHD: TS Lẻ Van Phúc

Trang 20

Rén luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua day học phép đời hình

CHƯƠNG II

NỘI DUNG PHÉP DỜI HÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO KHOA Ở

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHÓ THÔNG

Chúng tỏi sẽ tiến hành phân tích sách giáo khoa hiện hành là sách giáo khoa

Hình học 11 Nang cao của nhóm tác giá Doan Quynh Văn Như Cương

-Phạm Khắc Ban - Tạ Mân Trong phản phân tích chúng tôi cũng có so sánh

với sách giáo khoa Hình học 11 - Cơ bản va sách giáo khoa Hình học 10

® Phép quay và phép đối xứng tâm

Theo chúng tôi thi đây là một cách trình bày hợp lí, logic.

I Mở đầu về phép biến hình

> Trong chương trình cải cách giáo dục phổ thông ở Việt Nam, việc dạy

-học chủ đẻ “phép biến hình” được phân thành hai giai đoạn: giai đoạn một

ở cấp THCS, giai đoạn hai ở cấp THPT Ở cấp THCS việc dạy - học chú

đẻ “phép biển hình” chi dừng lại ở cấp độ hiểu khái niệm luôn gan liên với

những hình dang hình học cụ thể nhằm chuẩn bị cho việc dạy - học chủ

để này ở cấp THPT Sau đó ở cấp THPT, khái niệm phép biến hình đượcđưa vao chương trình với tư cách 1a ánh xạ điểm Việc chuyền từ xem xét

hinh trong tong thé sang xem hình như tập hợp điểm là một sự thay đôi

quan niệm không dé dé có thể hình dung là học sinh sẽ gập khó SVTH: Đào Thị Thanh Xuân | r.„,:-;l9 : GY

| TF Hi KC HỊ M NH |

Trang 21

Rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh thong qua dạy học phép dời hình

khan trong bước chuyên nảy Dé có thé tiếp thu được khái niệm phép biến

hinh với tư cách là ảnh xạ điểm học sinh cần phải nắm vững những kiến

thức vẻ khái niệm “hàm số" (đã được học ở chương trình lớp 10).

> Như đã phân tích ở trên, trước khi đưa vao định nghĩa khái niệm phép

biển hình, SGK đã nhắc lại khái niệm “ham số” như sau “Néu có một quy tắc dé với mỗi xe Ñ, xác định được một số duy nhất ye Ñ thi quy tắc đó gọi

là một hàm số xác định trên tập số thực R” Từ khái niệm “ham số” này,

SGK da dẫn đến định nghĩa khái niệm phép biến hình trong mặt phẳngbằng cách thay sé tec bằng điểm thuộc mat phẳng Với cách dẫn dit như

vậy, học sinh có thẻ thấy được khái niệm hàm số và khái niệm phép biển

hình gan tương tự như nhau.

> Sau khi trình bay định nghĩa khái niệm phép biển hình, để học sinh hiểu

kỹ hơn khái niệm phép biến hình trong mật phẳng SGK cỏ trình bày một

số phép biến hình cụ thé, chang hạn như: phép chiếu (vuông góc) lên đường thing d, phép tịnh tiễn theo vectơ z, phép đồng nhất.

> Khi học sinh đã có biểu tượng ban đâu về phép biến hình trong mặt phằng,

SGK trinh bày về ký hiệu và thuật ngữ phép biến hinh Qua đó, học sinh

có thế thấy được sự tương tự giữa ký hiệu ảnh M' của một điểm M qua

phép biến hình F: M' = F(M) va ky hiệu y= f(x) trong khái niệm hàm

số.

> Sau cùng, SGK có đưa ra hoạt động sau nhằm giúp học sinh hiểu rõ hơn

về khdi niệm phép biến hình trong mặt phẳng:

1) Hãy vẽ một đường tròn và một đường thẳng d rồi vẽ ảnh của đường tròn

đó qua phép chiéu lên d.

2) Hãy về mot vectơ u và một tam giác ABC rải lin lượt vẽ ảnh A.B’ C’

của các đỉnh A, B, C qua phép tịnh tién theo vectơ u Nhận xét gi vẻ hai tam

giác ABC và 4'B'C'?

1) Trong phần ký hiệu và thuật ngữ, SGK có trình bảy anh của một hình H qua phép biến hình F được xác định từ các điểm A/'= F(M).MeH, Như

vậy các hình hình học ở đây được xem xét như một tập hợp điểm Dựa vào

đó để có thé xác định được anh của một đường tròn qua phép chiếu lên d.

học sinh xác định ảnh của từng điểm trên đường tron qua phép chiều lên d.

SVTH: Đào Thị Thanh Xuân 20 GVHD; TS Lé Văn Phúc

Trang 22

Rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua day hoc phép đời hình

2) Như đã trình bay trong vi dy 2 ta can xác định các điểm A', B', C' theo

quy tắc AA’ = 88'=€CC`'=w Hoạt động này được học sinh thực hiện một cách

dé dang dựa vào mệnh đẻ vẻ phép đặt vectơ (ma học sinh đã được học ở lớp I0): “Cho điểm O va vectơ u, khi đó tồn tại duy nhất một điểm A sao cho:

OA =u" Sau đó quan sát hình vẽ, học sinh nhận xét ABC và A'B'C' là hai

tam giác bằng nhau Học sinh có thể chứng minh được nhận xét này bằngcách xuất phát từ đẳng thức: Ad” = BB’ = CC' =u,

hình trong mật phẳng rất tự nhiên Điều này giúp học sinh thấy rd sự tương

đồng của khái niệm ham số và khái niệm của phép biến hình trong mặt phẳng.Đối với SGK hình học 11 cơ bản, người ta đưa ra mô hình phép biến hình cụ

thể đó là phép chiếu vuông góc lên đường thẳng d rồi sau đó đưa ra địnhnghĩa phép biến hình tổng quát trong mặt phẳng Cách trình bày như vậy đi từ

cái cụ thể rồi đến các tổng quát Tuy nhiên trước khi đưa ra khái niệm phépbiến hình trong mặt phẳng, SGK hình học 11 cơ bản nên đưa thêm nhiều môhình phép biến hình cụ thể hơn Với cách trình bay của SGK hình học 11 cơbản, quan điểm hàm chưa được thể hiện rõ như cách trình bày của SGK hình

học 11 nâng cao Trở lại cách trình bảy của SGK hình học 11 nâng cao, sau

khi đưa ra định nghĩa khái niệm phép biến hình trong mặt phẳng, SGK đưa racác ví dụ vẻ các phép biến hình cụ thể nhằm cing cố khái niệm vừa học.Trong phan đó, SGK có dé cập tới phép tịnh tiến lả một phép biến hình để

chuẩn bị cho bài sau Tiếp theo SGK trình bay ký hiệu va thuật ngữ của phép

biến hình Trong phần này, SGK có đưa ra cách ký hiệu M' là ảnh của M qua

phép biến hình F, va đưa ra cách xác định ảnh của một hình H qua phép biến hinh F Sau cùng, SGK đưa vao hai hoạt động nhằm củng cố kiến thức của

học sinh Tuy nhiên, SGK cần đưa thêm vào một số ví dụ vẻ một quy tắc xác

định điểm ma không phải là phép biến hình dé làm nồi bật quan điểm hàmtrong khái niệm phép biển hình trong mặt phẳng Trong SGK hinh học 11 cơ

ban thi có ví dụ này.

SVTH: Đào Thị Thanh Xuân 21 GVHD: TS Lê Van Phúc

Trang 23

Rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua đạy học phép dời hình

2 Phép tịnh tiến và phép dời hình

> Phép tịnh tiến la một phép biển hình rat quan trọng va cỏ khá nhiều ứng

dụng trong việc giải các bài toán hình học phẳng Do đó, việc năm vững

khải niệm và tinh chat của phép biến hinh la một yêu câu tat yếu đối với

mọi học sinh.

> Nội dung bai này được SGK chia thành năm phan:

* inh nghĩa phép tịnh tiền.

* Cae tinh chất của phép tịnh tiến.

* - Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

s Ung dụng của phép tịnh tiến.

* Phép dời hình.

> Định nghĩa phép tịnh tiến đã được dé cập trong bai 1, nên trong bài này

SGK chỉ việc nhac lại định nghĩa đó “Phép tịnh tiên theo vectơ u là một

phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho MM’ =u", và đưa ra

ky hiệu của phép tịnh tiến theo vectơ w là: 7- Trong định nghĩa trên ta

cần phải làm rõ quan điểm hàm ở chỗ “Phép tịnh tiến là một phép biếnhình” Điều đó có nghĩa là nếu M’ và M” lần lượt là ảnh của M qua phéptịnh tiến 7 thì M’ và M” phải tring nhau Thật vậy, theo định nghĩa phép

——

tịnh tiến ta có: lim “os Ma = MM* => M'= M" Do đó, phép tinh

tiến là một phép biến hinh

> Đối với phép đồng nhất thì với M' là ảnh của M thì M’ và M phải trùng

nhau Suy ra A/Aƒ'=0 Từ đẳng thức này chứng tỏ phép đồng nhất là phéptịnh tiến theo vectơ 0

> Tiếp theo SGK trình bảy các tính chat của phép tịnh tiến Trước phan này,

SGK có đưa ra hoạt động sau: Giả sử phép tịnh tiền vectơ u biến hai điểm

M N lần lượt thành hai điểm M' N' Có nhận xét gì vé hai vectơ MN và

M'N'? So sánh độ dài hai vecto đó?

> Phân tích: Theo giả thiết ta có: HỆNG 2G 22 Và theo định

nghĩa của phép tịnh tiến ta có: hy => MM'=NN'=> MN=M'N',

NN’ =u

SVTH: Dao Thị Thanh Xuân 22 GVHD: TS Lê Van Phúc

Trang 24

Suy ra hai vectơ MN và 4#'N" có độ dai bằng nhau Dé thực hiện tốt hoạt

động này, học sinh can phải nắm vững định nghĩa của phép tịnh tiến Câuhỏi của hoạt động được thiết kế rat hay va hợp ly nhằm hướng học sinh

chất bảo toàn khoảng cách của phép tịnh tiến, một tính chất đặc trưng vả

quan trọng của phép dời hình Và tính chất này được phát biểu thành định

lý | như sau: “Néu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N lần lượt thành hai

điểm M' và N' thì M'N' = MN.” Có thé dién tả bằng lời tính chất trên như

sau: “Phép tịnh tiễn không lảm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bắt

> Tiếp theo, SGK trình bảy định lý 2 với nội dung như sau: “Phép tịnh tiến

biển ba điểm thắng hàng thành ba điểm thang hàng và không làm thay đổi

thứ tự ba điềm dé” Thực chat, định lý này có thé được xem như là một hệ

quả trực tiếp của định lý 1 Định lý 1 là cơ sở để chứng minh định lý 2

Cách chứng minh đã được SGK đưa vào rất chỉ tiết và rõ ràng.

Sau đó từ định lý 2, SGK đã suy ra hệ quả rất quan trọng sau: “Phép tink

tién biển đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến đường tròn thành đường tron có

cùng bán kính, biến góc thành góc bằng nó ” Phân tích hệ quả trên ta có

thé dự đoán rằng học sinh có thể hiểu được dé dang phan “Phép tinh tiếnbiến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳngthành đoạn thẳng bằng nó” được suy từ định lý 2 vì nội dung định lý 2

dé cập đến tính thẳng hang của ba điểm Ma đường thẳng, tia, đoạn thẳngđược xác định từ yếu tố thẳng hàng của các điểm Do đó, việc hiểu phầnnày không gây khó khăn mấy cho học sinh

> Tuy nhiên, phần “Phép biến hình biến tam giác thành tam giác bằng nó.

biển đường tròn thành đường đường tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng nó ” thì không phải học sinh nao cũng có thể hiểu được dé

dang vì các đối tượng ở đây không có yếu tố thắng hàng như đã dé cập ở

định lý 2 Từ đó có thể làm cho học sinh hoang mang và khó khăn trong

việc tiếp thu hệ quả này Tuy nhiên có thể cho học sinh thấy phần này được suy từ phan | của hệ quá.

* Cụ thể như tam giác ABC biến thành tam giác A'B'C' bằng nó qua phép

tịnh tiến, ta có thé đưa ra chứng minh ngắn gọn như sau: Theo phin | của

hệ quả thì các đoạn thắng AB, BC, CA qua phép tịnh tiến lần lượt biến

thành các đoạn thẳng A'B', B'C', C’A’ bằng với chủng Và có thé thấy

X

Trang 25

Rén luyện tư duy thuật toán cho hoc sinh thông qua đạy học phép đời hình

rằng A’, B’, C’ không thẳng hàng vì nếu thing hàng thi ta suy ra A, B, C

cũng thang hàng Điều nay trai với giả thiết Từ đó suy ra điều phải chứng

minh.

® Còn đối với đối tượng hình tròn, ta có thé tiến hành như sau: trước hết ta

tìm ảnh O' của tâm O của đường tròn (O;R) qua phép tịnh tiên Sau đó,

lay M là một điểm tùy ý trên đường tròn nay và tìm ảnh M' của M qua

phép tịnh tiến Khi đó theo định lý | ta có: O'M'=OM = # Vì O cố định,

vectơ tịnh tiến cố định nên điểm O' cỗ định Như vậy M’ cách O° một khoảng cố định bằng R nên khi M chạy trên (O;R) thì M' chạy trên

(O';R) Từ đó có điều phải chứng minh

* Đối với đối tượng góc, ta có thẻ tiến hành như sau: giả sử ta cần tìm ảnh

của góc xOy qua phép tịnh tiến Trên tia Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm A

và B Sau đó ta tim ảnh O°, A’, B` của O, A, B qua phép tịnh tiến Theo

trên ta suy ra hai tam giác OAB và O'A'B' bảng nhau Và do đó:

AOB = 4'Ø"B' Từ đó có điều phải chứng minh.

> Nhu vậy, ta thấy việc chứng minh phần 2 của hệ quả không dé dang may

đối với mọi học sinh, Do đó khi trình bảy hệ quả này, ta cần phải chứngminh rõ ràng cho học sinh thấy rõ được đây chính là hệ quả được suy từ

các định lý trên.

> Sau khi trình bày các tính chất của phép tịnh tiến, SGK trinh bày biểu thức

tọa độ của phép tịnh tiến: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho phéptịnh tiến theo vecto uw Biết tọa độ của u=(a;b) Giả sử 4Z(x;y) biển

thành điểm ⁄'(x:y') Sau đó SGK đưa ra kết quả sau: wie Va

công thức trên được gọi là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến theo vecto

u(a;b) Biểu thức tọa độ này có ý nghĩa rất quan trọng trong việc tim ảnh

của một điểm của một đường thẳng qua phép tịnh tiến trong mặt phẳng

toa độ.

> Sau phẩn nay, SGK đưa vao hai bài toán có ứng dụng của phép tịnh tiến

* Bai toán !: Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O;R) và một điểm

A thay đổi trên đường tròn đó Chứng minh rằng trực tâm tam giác ABC

nằm trên một đường tron cế định

Cách giải bài toán này đã được SGK trình bày rắt chỉ tiết và rd ràng Đối

với bai này, nêu giải bằng phương pháp tông hợp thì không dé dang chút

` Á

Trang 26

Rèn luyện tư duy thuật toan cho học sinh thông qua day hoc phép đời hình

nào Nhưng nếu giải bằng phép tịnh tiến, lời giải trở nên rõ rằng va đơngiản Do đó học sinh có the hiểu được dé dàng Qua bai tập nay, học sinh

có thé thấy được phần nào ưu điểm của phép tịnh tiền

* Bài toán 2: Hai thôn nằm ở hai vị trí A và B cách nhau một con sông (xem

rằng hai bờ sông là hai đường thắng song song) Người ta dự định xây mộtchiếc cầu MN bắc qua sông (cố nhiên cầu phải vuông góc với bờ sông) vảlàm hai đoạn đường thăng từ A đến M vả từ B đến N Hãy xác định vị tríchiếc cầu MN sao cho AM + BN ngắn nhất,

> Sau đó SGK có đưa ra nhận xét: Bai toán sẽ rất don giản nếu con sông rất

hẹp, hẹp đến mức hai bờ sông a và b xem như trùng với nhau Rỏi SGK

yêu cầu học sinh giải quyết bài toán trong trường hợp đặc biệt đó Khi hai

bờ sông a và b trùng nhau thi hai điểm M và N trùng nhau Khi đó ta có:

AM + BN = AN + BN > AB Do đó AM + BN ngắn nhất khi N thuộc đoạn thẳng AB Nhận xét va hoạt động SGK đưa ra rất hay nhằm hướng dẫn

ngầm cho học sinh la sử dụng phép tịnh tiến để giải bài toán trên Từ

trường hợp đặc biệt đó, SGK có hướng dẫn học sinh có thể đưa bải toán từ

trường hợp tổng quát sang trường hợp đặc biệt bằng cách sử dụng phép

tịnh tiến theo vectơ MN Khi đó điểm A biến thành điểm A' sao cho:AA'=MN và do đó: A’N = AM và bài toán được chuyển về trường hợpđặc biệt mà ta đã biết cách giải Bài toán 2 là một bài thực tế rất hay Lúc

đầu học sinh có thể lúng túng trong lúc giải Nhưng với các hoạt động

được thiết kế rất chỉ tiết trong SGK, học sinh cỏ thé tìm được lời giải bài

toán một cách dé dang.

Như vậy, trong phần này SGK đưa vào hai bài toán dé cho học sinh thấy

được ứng dụng cia phép tịnh tiến Bài | là một bai hình học thuần tuý,còn bài 2 là một bài toán thực tế Việc đưa vào hai loại bài tập khác nhaunày có thé tạo hứng thú cho học sinh và học sinh có thé thấy được tim

ứng dụng của phép tịnh tiến trong toán học và trong thực tế.

Sau cùng, SGK để cập đến phép đời hình Không chỉ có phép tịnh tiến là

có tinh chất “bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm” ma còn có nhiều phép bien hình khác cũng có tính chất đó Và ta gọi các phép biến hình như vậy

là phép dời hình Sau đó SGK trình bảy định nghĩa của phép đời hình dựa

trên tính chất của phép tịnh tiến và trình bày tính chất của phép dời hình

(giếng như tính chất của phép tịnh tiến) Như vậy, phép tịnh tiến là một

phép đời hình đặc biệt nên từ các tính chất của phép tịnh tiến ta có thể đưa

ra các tính chất của phép đời hình tổng quát

` Á

v

Trang 27

3 Phép đối xứng trục

> Bài đối xứng trục va đổi xứng tâm đã được đưa vào chương trình toán lớp

8 nhưng các khái niệm này được trình bay gan liên với các hình hình học

đặc biệt Ở cấp độ này thuật ngữ “phép” chưa xuất hiện Do đó học sinh

phan nào đã có biểu tượng ban đầu vẻ phép đổi xứng trục và đối xứng

tâm Tuy nhiên, bai phép đối xứng trục phép đối xứng tâm được đưa vao chương trình lớp 11 ở cấp độ cao hơn Phép đối xứng trục, đối xứng tâm

được trình bày một cách hệ thống là các phép dời hình Do đó hai phép

này có những tinh chất của phép đời hình.

> Trong bai này, SGK dé cập đến các van dé sau:

® Dịnh nghĩa của phép đối xứng trục.

* Định lý.

= Trục đối xứng của một hình.

* Ap dung.

Trước khi đưa ra định nghĩa phép đối xứng trục, SGK nhắc lại kiến thức

sau: “Điểm M' gọi là đối xứng với điểm M qua đường thẳng a nếu a là

đường trung trực của MM’.” Nếu M nằm trên a thì ta xem M đối xứng vớichính nó qua a Đây chính là kiến thức cơ sở để chuẩn bị bước vào địnhnghĩa phép đối xứng trục Phép đối xứng qua đường thẳng a được định

nghĩa như sau: “Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến

môi điểm M thành điểm M' đối xửng với M qua a.”

> Sau đó, SGK đưa ra ký hiệu vả thuật ngữ của phép đối xứng trục Phép

đối xứng qua đường thing a thường được ký hiệu là Ø„ Phép đối xứng

qua đường thắng còn gọi đơn giản là phép đối xứng trục Đường thẳng a

gọi là trục của phép đổi xứng, hay đơn giản là trục đối xứng Dé cúng cố

kiến thức vừa mới học, SGK thiết kế các hoạt động sau:

1) Qua phép đối xứng trục D, , những điểm nào biến thành chính nó?

> Theo định nghĩa ta thấy qua phép đối xứng trục Ð,„ điểm M biến thành

chính nó nếu M đối xửng với chính nó qua a Điều này chỉ xảy ra khi M

nằm trên a (theo phan kiến thức đã trình bảy ở trên).

2) Nếu phép đổi xửng trục Ð, biển điểm M thành điểm M' thì nó biến điểm

M' thành điểm nao? Nếu nó biến hình H thành hinh H' thi no biến hình H"

thành hình nào?

`

SVTH: Đảo Thị Thanh Xuân 26 GVHD: TS Lẻ Văn Phúc

Trang 28

> Theo giả thiết ta có: M' = DM), suy ra M' đối xứng với M qua a Do đỏ

M cũng đổi xứng với M' qua a Từ đó suy ra 2, biển M' thành M Do đó

nêu nó biến hình H thành hình H' thì nó biến hình HH thành hình H Hoạtđộng trên được đưa vào nhằm mục địch cing có kiến thức của học sinh

vừa mới học xong.

> Sau khi trình bày định nghĩa phép đối xứng trục, SGK đưa ra một định lý

sau: "Phép đổi xứng trục la một phép đời hình” Dé chứng mình định lýnày, SGK thiết kế hoạt động sau: “Gia sử Ð, là phép đối xứng qua đường

thẳng a, Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy ma Ox là đường thing a (Xem hình 7

trang 11- SGK hình học 11 nâng cao) Lay hai điểm tùy ý 4(x,:y,) và

B(x„:v,„) hãy viết toa độ của 4' = DAA) và 8' = DAB) rôi dùng côngthức tinh khoảng cách dé chứng minh A'B' = AB.” Phan hoạt động “hay

viết tọa độ của A’ = D,(A), và B’ = Ð,(B)" buộc học sinh phải đưa ra biếu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox Từ đó, SGK có đưa thêm hoạt

động yêu câu học sinh đưa ra biểu thức tọa độ của phép đổi Xứng qua trục

Oy.

> So với biểu thức tọa độ của phép tịnh tién, biểu thức tọa độ của phép đi

xứng trục có phẩn đơn giản hơn Đồng thời qua hoạt động trên, học sinh

còn được làm quen với việc img dụng phương pháp tọa độ để giải toán

hình học Bằng cách chọn hệ trục tọa độ thích hợp, ta có thể giải được một

lớp các bai toán phức tap.

> Tiếp theo SGK trình bày trục đối xứng của một hình Trước khi vào định

nghĩa trục đối xứng của một hình, SGK đưa ra bến hình A, D, P, Q để học

sinh quan sát Sau đó SGK có dé cập đến tinh “can xửng” của một hình

“Hinh thứ nhất và thứ hai có tính “cân xứng” vi với mỗi hình, có thể tìmthấy một đường thẳng sao cho phép đối xứng qua đường thẳng đó biến

hình ấy thành chính nó Các đường thắng đó gọi là trục đối xứng của mỗi

hinh Hai hình còn lại không “can xứng” vì chúng không có những đường

thing như vậy.” Cách trình bay như vậy giúp học sinh có thé dé dàng hinh

dung được hình ảnh trục đổi xửng của một hình và có thé kiểm tra tínhcân xứng của một hình dựa vào quan sát Sau đó, SGK đưa ra định nghĩa

trục đối xứng của một hình: “Đường thăng d gọi lả trục đổi xứng của hình

H nếu phép đối xứng trục Ð; biến H thành chính nó, tức lá DAH) = H."

Qua định nghĩa này, hình H là một đại lượng bắt biến qua phép đối xứng

trục Dy (đ là trục đối xứng của nó) Ngoài ra ta can lam rõ : DH) = H

nghĩa là với mọi điểm M thuộc hình H qua phép đối xứng trục Dy cho ra

Trang 29

Reén luyện tư duy thuật toán cho học sinh thong qua day hoc phép đời hình

ảnh M' cũng thuộc hình H Nhắn mạnh được điều này cũng có nghĩa lả làm nổi bật quan niệm xem hình là một tập hợp điểm Sau khi đưa vào

định nghĩa trục đối xứng của một hinh, SGK cũng lưu ÿ học sinh la “mot

hình có thé không cỏ trục đối xứng cũng có thé có một hay nhiễu trục đốixứng" Sau đó SGK có đưa ra hoạt động kiểm tra xem một số hình, hình

nao có trục đổi xứng và nếu có thì có mấy trục Hoạt động nảy cũng nhằmmục địch củng cố kiến thức vừa học Dé giảm bớt sự nhàm chán của tiếthọc SGK có đưa thêm vào hoạt động vui cho thấy dựa vào trục đôi xứngcủa một hình, ta có thé thu được một số hinh có trục đối xứng khá kỷ thú

> Sau cùng dé thấy được ứng dụng của phép đối xứng trục, SGK đưa ra bài

toán thực tế khá thú vị (xem SGK hình học L1 nâng cao - trang 12) Sau

đó SGK phát biểu bài toán đó đưới dang toán học thuẫn túy như sau: “Cho

hai điểm A va B năm về một phia của đường thing d (xem hình 9 SGK

hinh học l1 nâng cao - trang 13) Hãy xác định điểm M trên d sao cho

(AM + MB) bé nhất.” Ở đây có thé dat ra câu hỏi là tại sao không đưa bài

toán học thudn túy trên ngay từ đầu mà phải thông qua bài toán thực tế rồi

phải mô hình hóa chuyển tải về bài toán học thuần túy Liệu làm như vậy

có phí nhiều thời gian vô ích? Câu trả lời là không Sở đĩ SGK trình bảy

như vậy có thể vì những lý do sau: thứ nhất là để giảm tính khô khan trong

tiết học và tạo hứng thú cho học sinh, thứ hai là bai toán có dạng như vậy

rất sát với thực tẾ cuộc sống của con người nên nhu cầu giải quyết nó là

rat cao, thứ ba lả rèn luyện cho học sinh khả năng giái quyết các bài toántrong thực tế bằng cách mô hình hoá chúng chuyển vẻ các bải toán hình

học thuần tuý, tir đó có thể thấy rõ được tim quan trọng của toán trong

thực tế cuộc sống.

> Để có thẻ giải quyết bài toán học thuần tuý trên, SGK có đưa ra hoạt động

là hãy xét trường hợp A và B nằm ở hai phía của đường thắng d Trong

trường hợp đó, điểm M can tim là điểm nào? Rd rang bài toán trong

trường hợp này ta có thé giải một cách để dàng Sau đó trở lại với bai toán ban đầu (A, B nằm cùng phía của đường thắng d), SGK có gợi ý là sử

dụng phép đối xửng trục đẻ chuyển bai toán ban dau vẻ bài toán trongtrường hợp hai điểm ở khác phía của đường thing d mà ta đã biết cách

giải Cụ thé ta giải bài toán như sau:

Lấy B’ = DAB) Vị B và đường thẳng đ là hai đại lượng cố định nên B' có

định.

la có: MAI + MB = MA + MB'2 AB’

Trang 30

4 Phép quay và phép đối xứng tâm

`

“

Vv

Dang thức xảy ra khi M nằm trên AB’

Vậy (M4+ AB) = AB’ khi M năm trên AB’.

Do đó M 1a giao điểm của AB’ với đường thăng d

Từ đó suy ra cách xác định điểm M (cách dựng điểm M)

Như đã phân tích ở bài 3, bài đổi xứng trục và đối xứng tâm đã được đưa

vào chương trình lớp 8 nhưng chỉ đừng lại ở cấp độ hiểu khái niệm luôn

gắn liên với những hình dạng hình học cụ thé Do đó, học sinh phan nao

đã có biểu tượng ban đầu vẻ đối xứng trục và đối xứng tâm Tuy nhiên, phép quay là một khái niệm tương đối mới và lạ đối với học sinh.

Nội dung của bài này được SGK chia thành bốn phần như sau:

Định nghĩa phép quay.

Định lý.

Phép đối xứng tâm.

Ứng dụng của phép quay.

Trong SGK hình học 10 (sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000 — chương trình

cũ), các tác giả SGK có đưa ra định nghĩa sau: “Cho hai đường thẳng a và

b cắt nhau tại O Với mỗi điểm M, ta xác định điểm M'' nhw sau: trước hết, ta lấy M’ đối xứng với M qua a, sau đó lầy điểm M'' đối xứng với M’qua b Phép đặt điểm M'' tương ứng với điểm M như vậy gọi là phép quay

quanh điểm O Điểm O gọi là tâm của phép quay” Trong định nghĩa trên,

khái niệm phép quay được định nghĩa thông qua tích của hai phép đối

xứng trục (hai trục cắt nhau) Tuy nhiên khái niệm tích hai phép biển hình

không được đưa vào chương trình phổ thông nhưng SGK có đưa ra nhận

xét rằng phép quay trong định nghĩa trên có được bằng cách thực hiện liên

tiếp hai phép đối xứng trục: trước hết là Ð, và sau đó là phép Dy Vi tíchcủa hai phép biển hình không có tinh giao hoán nên SGK có nêu ra chú ý

rit rõ là thir tự thực hiện hai phép đổi xứng trục Ð, và Dy là rat quan trọng.

SVTH: Đào Thị Thanh Xuân 29 GVHD: TS Lé Văn Phúc

Trang 31

Rén luyện tur duy thuật toán cho học sinh thông qua đạy học phép dời hình

Như vậy, ở đây SGK đã sử dụng tính chất của phép quay: “Tích của hai

phép đối xứng trục có hai trục cắt nhau là một phép quay, vả ngược lại

phép quay có thể được phân tích thành tích của hai phép đối xứng trục với

hai trục cắt nhau” để định nghĩa phép quay Với cách định nghĩa như vậy.

ta sẽ tránh được khái niệm góc định hướng (vì khái niệm nảy học sinh vẫn

chưa được học trong chương trình cũ) va do đó sẽ không gặp khó khan khi chứng minh phép quay là một phép dời hình Thật vậy với cách định nghĩa

trên thi phép quay [4 tích của hai phép đối xứng trục nên nó không làm

thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bat kỳ, vả do đó nó là một phép dời

hình Tuy nhiên với cách định nghĩa như vậy thì học sinh vẫn chưa hình dung được tại sao gọi phép biến hình trên la phép quay Do đỏ khi dạy.

can phải làm cho học sinh hiểu rõ tại sao lại gọi phép biến hình (trong

định nghĩa trên) là phép quay: nếu điểm M biến thành M' thi OM = OM’

va góc MOM" luôn có giá trị không đối, bằng hai lần gócœ hợp bởi hai trục đối xứng - góc 2z không đổi đó gọi là góc quay.

Đôi với chương trình mới, học sinh đã được học khái niệm góc lượng giác

va hệ thức Charles nên SGK hinh học 11 nâng cao đưa ra định nghĩa phép

quay như sau: “7rong mặt phẳng cho một điểm O cố định và góc lượng giác không đổi Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biển mỗi điểm M khác O thành điểm M' sao cho: OM = OM' và (OM,OM')=ø

được gọi là phép quay tâm O góc quay @” Trong định nghĩa này, học

sinh có thé dé dàng nhận thấy có hai đại lượng cé định không đổi đó là

tâm O và góc quay ø Vì thé học sinh có thể hình dung được tại sao gọi

phép biến hình trong định nghĩa trên là một phép quay,

> Sau đó, SGK có đưa ra ký hiệu của phép quay là @ và nếu muốn chỉ rd

tâm quay O va góc quay ø thi ta ký hiệu phép quay đó là Q,,,, Và để học sinh có thể hình dung rõ về khái niệm phép quay, SGK có đưa ra hình

10 (trang 14) đó là hình ảnh của một lá cờ (C) quay quanh O một góc là

90° thành lá cờ (C’).

> Sau khi định nghĩa phép quay, SGK thiết kế hoạt động sau: “Phép dong

nhất cỏ phải là phép biến hình hay không? " Hoạt động này được đưa vào

với mục đích nhằm củng cổ kiến thức vẻ khái niệm phép quay Ta có điểm

(OA.ØM')=0 Do đó, theo định nghĩa phép quay thì ta thấy phép đồng

nhất chỉnh là phép quay với góc quay lả 0.

Xí

Trang 32

> Sau khi năm vững định nghĩa của phép quay, SGK có đưa ra định lý sau:

"Phép quay là một phép đời hình " Như đã phân tích ở trên, để chứng

minh được định lý nảy thi nhất thiết phải sứ dụng tới khái niệm góc định

hướng và hệ thức Charles Ma những kiến thức nảy học sinh đã được cung cap trong chương trình lớp 10 Do đó, học sinh sẽ it gặp khó khăn đối với

cách chứng minh được đưa ra trong SGK.

> Sau phan chứng minh định lý, SGK có đưa ra hoạt động sau: “Cho hình

ngũ giác đều ABCDE tâm O (xem hình 12 trang 15) Hãy chỉ ra một số

phép quay biến ngũ giác đó thành chính nó" Dau tiên, ta can nhắc lại cho

học sinh khi nào một phép biến hình F biến một hình H thành chính nó Ta

đã biết qua phép biến hình F, một hinh H biến thành chính nó nếu mọi

điểm M thuộc H qua phép hinh F cho ra anh M' cùng thuộc H` Do đó ta

có thé gợi ý cho học sinh 1a nên tìm các phép quay biến các điểm của ngũ

giác ABCDE thành các điểm của ngũ giác đó (có thể thứ tự các điểm thay đôi) Bên cạnh đó dé ý rằng các tam giác OAB, OBC, OCD, ODE, OEA là

các tam giác đều tử đó ta có thể chỉ ra các phép quay sau:

* Phép đồng nhất (vì theo hoạt động trên phép đồng nhất là một phép quay

với góc quay là 0).

s Phép quay Ø ,„ biển A, B, C, D, E lần lượt thành E, A, B, C, D Do đó

3

phép quay này biển ngũ giác ABCDE thành chính nó

w Phép quay @ , biến A, B, C, D, E lan lượt thanh B, C, D, E, A Do đó

(0-1)

phép quay này biến ngũ giác ABCDE thành chính nó

Như vậy ta thấy hoạt động nảy củng có kiến thức của học sinh rất tốt.

> Trong SGK hình học II ban cơ bản, sau khi trình bày định nghĩa của phép

quay SGK nêu ra các tính chất của nó Tuy nhiên, SGK hình học 11 nâng

cao lại không trinh bảy các tính chất của phép quay một cách rd rang.

Thực chất các tính chất của phép quay được hiểu một cách ngẫm an qua

định lý "Phép quay là một phép đời hinh” Bởi vi phép quay là một phép

đời hình nên nó có các tính chất của phép đời hình “biến ba điểm thing

hàng thành ba điểm thẳng hàng, bien đường thang thành đường thăng

biển đoạn thang thành đoạn thang bang nó biến tam giác thành tam giác

bing nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.” Do đó sau

khi chứng minh xong định lý trên, ta cân lưu ý với học sinh rằng: từ định

lý trên ta suy ra phép quay có các tính chất của phép dời hình Với cách

SVTH: Dao Thị Thanh Xuân 31 GVHD: TS Lẻ Van Phúc

Trang 33

Rén luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua đạy học phép đời hình

trình bảy như vậy, ta không can nêu lên các tinh chất của phép quay maqua định lý trên học sinh có thé tự rút ra các tính chất đó một cách dé

đảng Đối với SGK hình học 11 cơ ban thì các tinh chất của phép quay

được néu ra rat rõ rang nhưng lại không được chứng minh (có thé vi tinhphức tap của phép chứng minh nên nó không được đưa vào) Việc chứng

minh trực tiếp các tinh chat của phép quay (được nêu trong SGK hinh 1]

cơ bản) tương đối phức tap va lại cũng không can thiết vì phép quay Iamột phép đời hình nên các tính chat đỏ được suy trực tiếp từ các tính chat

của phép đời hình Tuy nhiên cách trình bảy của SGK hinh học 11 cơ bản

như vậy cỏ phan hơi áp đặt đối với học sinh Học sinh chấp nhận các tính

chất đó ma không được chứng minh chặt chẽ Có lẽ dé tránh sự lặp đi lặplại và tính rườm rà phức tạp trong việc khảo sát cấu trúc các phép biến

hình, SGK hình học II nang cao đã đưa vào định nghĩa va tính chất của

phép đời hình ngay sau phép tịnh tiến Do đó khi khảo sát các tính chấtcủa phép quay, phép đối xứng tâm ta chỉ việc suy trực tiếp từ phép dờihình Chính vì vậy mả ta chỉ việc nêu ra các tỉnh chất đó mà không cầnphải chứng minh, bên cạnh đỏ học sinh có thé dé dang tiếp thu được một

cách tự nhiên.

> Sau khi tìm hiểu xong phép quay, phép đối xứng tâm được SGK đưa vào

như là một trường hợp đặc biệt của phép quay đó là phép quay với góc

quay x Khi đó, nếu O là tâm quay thì mỗi điểm M được biến thành M’sao cho O là trung điểm của MM’ Bởi vậy, phép quay đặc biệt này côn cótên gọi là phép đối xứng qua điểm O Từ đó SGK đưa ra định nghĩa của

phép đối xứng qua điểm O như sau: “Phép đối xứng qua điểm O là một phép biển hình biển mỗi điểm M thành điểm M' đỗi xứng với M qua O, có

sau:

s- Thứ nhất lả tạo được tính liên tục của bài học.

* Thứ hai la giúp học sinh thấy được mối quan hệ giữa phép đổi xứng tâm

va phép quay.

*® Thứ ba là ta cỏ thé suy ra được các tinh chất của phép đối xứng tâm thông

qua tính chất của phép quay ma không can phải chứng minh lai, vi phép

đổi xứng tim chính là một phép quay đặc biệt Do đó, SGK hình học 11

nâng cao không trình bày các tính chất của phép đối xửng tâm Trong khi

đó, SGK hình học |! cơ bản trình bảy rất day đủ từ định nghĩa đến tính

chất của các phép đời hình (phép tịnh tiến, đối xứng trục, phép quay, phép

Trang 34

đối xứng tâm) Tuy nhiên cách trình bày như vậy có thể tạo cảm giác

nhàm chán cho học sinh, đông thời học sinh có cảm giác là các phép dời

hình được trình bày một cách rời rạc, không thấy được mối liên hệ giữacác phép dời hình đó Thêm vào đó nếu thiết kế không khéo các bai day sẽ

trở nên nặng nẻ, rap khuôn theo cùng một mẫu (trình bày tir định nghĩa, ký hiệu, tính chat, biểu thức tọa độ ứng dung ).

HH HE THONG BÀI TAP

> Nhìn chung phần bài tập của SGK khá phong phú Hệ thống bai tập đưa ra

ớ các bai phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay, phép đối xứng

tâm với những dạng tương tự như sau:

s Chứng minh các tính chất hình học tinh các yếu tố trong một hình

* Dyng hình

* Tim quỹ tích

"Cực trị

> Ngay từ khi nghiên cứu tính chất của phép tiến, phép đối xứng trục, phép

quay, phép đối xứng tâm, giáo viên cẩn hình thành cho học sinh một số tri

thức vẻ phương pháp để ửng dụng vào giải toán Trong quá trình giải bài

tập cần củng cỗ những tri thức đó, đúc kết thành những phương pháp

chung cho từng lớp bài toán.

Các bài tập về các dạng toán quỹ tích, dựng hình đã nêu trong SGK là cácphương tiện góp phần tích cực bồi dưỡng năng lực tư duy hàm cho họcsinh Vi vậy khi giải các bài toán quỹ tích hay dựng hình giáo viên cần

tổng kết về mặt phương pháp cho học sinh:

hình

Trước tiên ta thực hiện một phép dời hình thích hợp Sau đó sử dụng các

tính chất của phép dời hình này đẻ giải quyết các yêu cầu của bải toán

SGK không dùng cụm từ “dyng hình” Thay vào đó là cụm từ “xác định

một hình", hay “tim một hình" Bài toán thường quy vẻ việc tim các điểm

M, có thé phát biểu dưới dang: “Tim điểm M thỏa man 2 điều kiện (ø,)và

`

SVTH: Đào Thị Thanh Xuân 33 GVHD: TS Lẻ Văn Phúc

Trang 35

(@,)” Dé giải bài toán, ta tim quỹ tích L; của điểm M thỏa mãn điều kiện

(z,) quỹ tích Ly thỏa mãn điều kiện (ø,) Khi đó, giao của Ly va Ly là

những điểm cân tìm Trong SGK, thường điều kiện (z,)được cho một

cách trực tiếp là: điểm M nằm trên một đường cho trước nao đó Nhu vậy

bài toán thường có dạng “Tim điểm M năm trên một đường L cho trước

và thỏa mãn điều kiện (a)” Khi đó quỹ tích các điểm M có tính chất

(a) được tìm thấy bang cách áp dụng các phép đời hình.

* Vé bảitập quỳ tích:

Để tim quỹ tích của điểm M thỏa man tính chất (a), ta làm như sau: xácđịnh một phép dời hình f sao cho điểm M có tính chất (@)khi và chỉ khi

M là ảnh của điểm N qua phép dời hình f Khi đó, nếu quỹ tích của N là

hình H thi quỹ tích của M là f{H).

Trong SGK có các bài tập vẻ cực trị hình học, chẳng hạn: “Cho đường thing d và 2 điểm A, B Tìm trên đường thing d một điểm M sao cho độ

dài đường gấp khúc AMB ngắn nhất trong trường hợp A, B nam vẻ mộtphía đối với d”, Dé giải bài toán này ta ding phép đối xứng trục d và dựavào tính chất “tổng 2 cạnh của tam giác luôn lớn hơn cạnh thứ ba” Tổngquát, ta có mệnh dé “độ dai đoạn thẳng luôn bé hơn độ đài mọi đường gắp

khúc nối hai đầu mút của nó” Suy ra, muốn giải dạng toán tìm các điểm

sao cho tổng độ dai các đoạn thing (hoặc chu vi) nhỏ nhất ta có thé dùng

phép dời hình để chuyển những đoạn thẳng liên quan về một đường gapkhúc có hai đầu mút cỗ định rồi sử dụng tinh chất vừa nêu

Trang 36

Rẻn luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học phép dời hình

LH KẾT LUẬN

> Phép dời hình được đưa vao ngay chương |, đâu SGK hình học 11 Điều

này chứng tỏ, mang kiến thức này đã thực sự được chú trọng được xem

xét có hệ thong va chặt chẽ.

> Với thời gian phân bé cho phép đời hình không nhiều, SGK đã cung cap

cho học sinh một khối lượng không nhỏ kiến thức vẻ phép đời hình, Các

tác gid không có tham vọng trình bảy lý thuyết đẩy đủ vẻ các phép dờihình Mục đích chủ yếu làm cho học sinh có sự hiểu biết bước đầu vẻ

phép dời hình Day là kiến thức khó nhưng nó được ứng dụng nhiều trong

giải toán.

> Ngoài ra, khái niệm hàm học sinh mới được học trong phan đại số, đó là

ánh xạ giữa các tập số Lan đâu tiền học sinh được tiếp cận khái niệm ham với các điểm trong mặt phẳng Đó là một khó khăn lớn của học sinh khi

lĩnh hội va của giáo viên khi truyền đạt Nhưng SGK cũng đã làm rõ sự

tương ứng này.

Vẻ phản bai tập tương đối đây đủ, rõ rang, không yêu cầu cao đối với học

sinh Các bai tập cho dưới dang vận dụng lý thuyết để chứng minh một số tính chất hình học, tìm quỹ tích, dựng hình, cực trị, tính toán Hy vọng

rằng với những kiến thức vả phương pháp thuật toán ma giáo viên cung

cấp cho học sinh sẽ giúp học sinh giải bài tập sử dụng các phép đời hình tốt hơn.

v

Trang 37

Rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua đạy học phép dời hình

CHƯƠNG IH

RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT TOÁN

CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY

HỌC GIẢI CÁC BÀI TOÁN BANG

PHÉP DỜI HÌNH

I KHÁI NIEM BÀI TOÁN

Phan biệt hai khái niệm bài tập — bai toán một cách rõ nét là một việc khá khó

khăn và phức tạp Do đó, hiện nay đang có nhiều quan niệm khác nhau vẻ các

khái niệm này Sau đây là ba quan niệm chủ yếu:

> Quan niệm thứ nhất xem bài tập là một trưởng hợp riêng của bài toán.

- Bài toán là tat cả những câu hỏi can giải đáp về một kết quả chưa biết can

tìm từ một sé dữ kiện, hoặc vẻ phương pháp cần khám phá, mà theo phương pháp này sẽ đạt được kết quả đã biết ( từ điển Petit Robert )

- Bài toán là câu hỏi cần giải đáp bằng các phương pháp logic, hợp lí trong

lĩnh vực khoa học Bài tập ở học đường, đó là tìm câu trả lời cho một câu hỏi

đặt ra, bắt đầu bằng các dữ kiện đã biết ( Le Petit Larrousse, 1999 )

> Quan niệm thứ hai xem bài toán là trường hợp riêng của hài tập.

- Một bài toán là một bai tập nghiên cứu, mà đối với người muốn giải quyết

nd, đó là một thách thức Nó đòi hỏi những năng lực và khả năng hiểu, vận

dụng những kiến thức vào những tình huống mới lạ Nghia lả trong trưởng

học thì bài toán được hiểu là bải tập.

> Quan niệm thứ ba phân biệt hai khái niệm bài toán và bài tập.

- Để giải bài tập chi cần yêu cầu áp dụng máy móc các kiến thức, quy tắc hay

thuật toán đã học Nhưng đối với bài toán, để giải được phải tìm tòi giữa các

kiến thức có thé sử dụng và việc áp dụng dé xứ lý tình huống còn có một

khoảng cach, vì các kiến thức đó không dẫn trực tiếp đến phương tiện xử lý

thích hợp Muốn sử dụng được những điều đã biết, cẳn phải kết hợp, biến đổi

chúng và làm cho chúng thích hợp với tình huống ( Trần Thúc Trình, 2003 ).

Trang 38

[rong phạm vi luận văn này, chúng tôi dựa vào quan niệm thứ hai Trong

phạm vi day học, chúng ta đồng nhất hai khái niệm bài toán và bai tập.

II Ý NGHĨA CUA VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN

> Việc giải các bài toán đóng vai trò trung tâm trong hoạt động day học Đó

là cơ hội tết nhất dé rén luyện các thao tác tư duy như: phân tích, so sánh,

tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa va phát triển các phẩm chất tư

duy như: tinh linh hoạt, tính độc lập, tinh sang tạo, đồng thời củng có,

đảo sâu, hệ thống hóa lại kiến thức, Việc giải các bài toán còn là phương

tiện chuẩn đoán biểu tượng của học sinh về các khái niệm toán học va lamột hình thức rất tốt dé dẫn đắt học sinh tự mình đi tìm kiến thức mới vậndụng những kiến thức đã học vào các vấn đẻ cụ thẻ, vào thực tế, vào các

vấn đề mới Ngoài ra, đây còn là cơ hội để hình thành ở học sinh thể giới

quan duy vật biện chứng, các phẩm chat đạo đức, thâm mỹ.

> Đó là một hình thức tốt để giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự kiểm

tra mình về năng lực, về mức độ tiếp thu và vận dụng những kiến thức đã

học.

Việc giải toán có tác dụng lớn gay hứng thú học tập cho học sinh, phát

triển trí tuệ và rèn luyện giáo dục cho học sinh về nhiều mặt.

> Trong việc lựa chọn bài toán và hướng dẫn học sinh giải toán cẩn phải chú

ý đầy đủ đến tác dụng về nhiều mat của bài toán Một số giáo viên thường

chưa chú ý phát huy tác dụng giáo dục, tác dụng phát triển của bài toán

mà chi chú trọng cho học sinh làm nhiều bài tập, biến việc làm toán thành

một gánh nặng, một công việc buôn tẻ đối với học sinh Xuất phát từ đặcđiểm tâm lý của học sinh, theo nguyên tắc phát huy cao độ tính tự giác vàtích cực của học sinh trong học tập, nên chú trọng nhiều hơn nữa đến việc

lựa chọn một hệ thống bài toán để hướng dẫn học sinh giải và từng bước

đi đến kiến thức mới, thay thé cho việc giảng của giáo viên

Ill DAY HỌC GIẢI CÁC BÀI TOÁN BANG PHÉP DOI HÌNH

1 Phân loại bài tập theo từng mục đích nhận thức

® - Nhóm J: Chứng minh các tính chất hình học, tính các yếu tế trong hỉnh.

Trang 39

2 Cơ sở lý thyết và thuật toán giải từng loại bài tập cụ thể

2.1 Cá

> Định nghĩa các phép đời hình cụ thé phép tịnh tiễn, phép đổi xứng trục

phép quay và phép đôi xứng tâm

" Phép tịnh tiền T ( theo vectơ uy:

M'=T.(M) œ MM'=u

s Phép đổi xứng trục Dy trục là đường thăng d ):

M' = Dy(M ) cd là trung trực của MM’.

* Phép quay Qo ọ, ( tâm O; góc quay @)'

OM =OM `

Re ae ELS —

* Phép đối xing tâm Đo ( tâm là điểm O )

M' = Do( M ) «O là trung điểm của MM’.

Cách xác định phép dời hình thích hop:

* Khi có một đường thẳng cố định hay trong bài xuất hiện các trục đối xứng

như: tam giác cân, tam giác đều, hình thoi, hình chữ nhật, hình thang cân,

hình vuông, đường tròn thì ta nghĩ đến việc sử dụng phép đối xứng trục

để giải bài toán đó.

s _ Phép đối xứng tâm thường được vận dụng khi trong bai toán xuất hiện các

trung điểm là điểm cé định hoặc khi xuất hiện các hính có tâm đối xứng

như: đường tròn, hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông hình thoi

s_ Đối với phép quay thì khi trong bài toán có xuất hiện tam giác cân, tam

giác đều, hình vuông, đa giác đều hoặc đường tròn thì cũng có thể nghĩ

đến việc sử dụng các đỉnh của tam giác hay tâm của đường tròn làm tâm

của phép quay.

® Khí trong bài toán có xuất hiện hình bình hành, hình vuông hình chữ

nhật, hình thoi hoặc có vectơ nào đó cố định thì ta nghĩ đến phép tịnh

tiền.

Vv

Trang 40

2.2.1 Nhóm 1; Chứng minh các tính chất hình học, tính các yếu tố trong

một hình

Phương pháp:

Để giải loại toán này, ta thường thực hiện theo hai bước sau:

Bước 1: Thực hiện một phép dời hình thích hợp.

Bước 2: Sử dụng các tính chất của phép dời hình này để giải quyết các

yêu cầu của bài toán,

+ Sử dung phép tịnh tiến:

* Bail:

Từ định B của hình bình hành ABCD ké các đường cao BK và BH của nó.

Biết rằng KH = a, BD = b Tính khoảng cách từ B đến trực tâm H của

ABKH theo ava 6.

Tiêu đề	Rèn Luyện Tư Duy Thuật Toán Cho Học Sinh Thông Qua Dạy Học Phép Dời Hình
Tác giả	Đào Thị Thanh Xuân
Người hướng dẫn	TS. Lê Văn Phúc
Trường học	Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh
Chuyên ngành	Toán - Tin
Thể loại	luận văn tốt nghiệp
Năm xuất bản	2008
Thành phố	Thành Phố Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	118
Dung lượng	31,67 MB