Luận văn thạc sĩ Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán: Bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua dạy học nội dung đại số tổ hợp ở Trường Trung học phổ thông

DANH MỤC BẢNG Số hiệu 1.1 Đánh giá ý kiến của giáo viên về tìm hiểu và tiến hành thực hiện đổi mới dạy học, kiểm tra, đánh giá kết quả học tập theo định hướng phát triển năng lực của học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND THÀNH PHỐ HẢI PHÕNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND THÀNH PHỐ HẢI PHÕNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

CHUYÊN NGÀNH: LL & PP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN

MÃ SỐ: 8.140111

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Đức Mạnh

HẢI PHÕNG – 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nêu trong đề tài trung thực, có nguồn gốc rõ ràng và đƣợc trích

dẫn đúng quy định Đề tài nghiên cứu: Bồi dưỡng năng lực mô hình hoá toán họccho học sinh thông qua dạy học nội dung Đại số tổ hợp ở trường THPTđƣợc trình bày là do chính tác giả nghiên cứu và thực hiện

Đề tài này phù hợp với vị trí, đơn vị công tác của tôi và chƣa đƣợc triển khai thực hiện trong thực tiễn

Tác giả

Nguyễn Thị Ngọc Diệp

Em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo giảng dạy lớp Phương pháp

và lý luận dạy học Toán Khóa 3, các thầy cô giáo khoa Sau Đại học -trường Đại học Hải Phòng về sự dạy bảo tận tình và những định hướng sát thực

Xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các đồng chí Ban giám hiệu và tập thể giáo viên, các em học sinh khối 11 trường trung học phổ thông Nguyễn Bỉnh Khiêm - Hải Phòng đã ủng hộ, động viên, giúp đỡ và cộng tác trong quá trình điều tra, đánh giá và tổ chức thực nghiệm sư phạm cho đề tài luận văn

Luận văn này đã được em nỗ lực, say mê nghiên cứu và hoàn thiện, tuy nhiên khó tránh khỏi những khiếm khuyết nhất định Kính mong nhận được

sự chỉ bảo, góp ý của các thầy cô và các bạn!

Hải Phòng, ngày tháng năm 2020

Tác giả

Nguyễn Thị Ngọc Diệp

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT v

DANH MỤC BẢNG v

DANH MỤC BIỂU ĐỒ v

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do lựa chọn đề tài nghiên cứu 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

4 Phương pháp nghiên cứu 3

5 Cấu trúc của luận văn 4

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Tổng quan vấn đề nghiên cứu về năng lực mô hình hóa toán học 5

1.1.1 Nguồn gốc của năng lực 5

1.1.2 Khái niệm về năng lực, năng lực toán học 7

1.1.3 Khái niệm về năng lực mô hình hóa toán học 12

1.2 Nhu cầu bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh ở trường THPT 20

1.3 Cách tiếp cận và vấn đề mô hình hoá các bài toán từ một số tình huống thực tiễn vào quá trình dạy học nội dung Đại số tổ hợp 22

1.4 Thực trạng của việc dạy và học nội dung Đại số tổ hợp ở một số trườngTHPT theo hướng phát triển năng lực 23

1.4.1 Về nội dung, chương trình môn Toán ở THPT hiện hành 23

1.4.2 Kết quả khảo sát bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua dạy nội dung Đại số tổ hợp ở trường THPT 26

Kết luận chương 1 33

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN BỒI DƯỠNG CHO HỌC SINH NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌCTHÔNG QUA

NỘI DUNG ĐẠI SỐ TỔ HỢP 34

2.1 Một số định hướng xác định các biện pháp sư phạm 34

2.1.1 Định hướng 1 34

2.1.2 Định hướng 2 34

2.1.3 Định hướng 3 34

2.2 Một số biện pháp sư phạm góp phần bồi dưỡng cho học sinh năng lựa mô hình hóa toán học 35

2.2.1 Biện pháp 1 Rèn luyện kĩ năng xây dựng mô hình hoá toán học cho một số tình huống 35

2.2.2 Biện pháp 2 Tổ chức cho học sinh triển khai, kiểm tra và điều chỉnh mô hình toán học 37

2.2.3 Biện pháp 3 Rèn luyện cho học sinh tự giải quyết một số tình huống đơn giản trong thực tiễn 39

2.3 Thiết kế và hệ thống bài tập có nội dung đại số tổ hợp nhằm bồi dưỡng cho học sinh năng lực mô hình hoá toán học 41

Kết luận chương 2 48

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 49

3.1 Mục đích thực nghiệm 49

3.2 Nội dung thực nghiệm 49

3.3 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 50

3.3.1 Đối tượng thực nghiệm 50

3.3.2 Tiến trình thực nghiệm 51

3.4 Đánh giá thực nghiệm 52

3.4.1 Đánh giá về mặt định tính 52

3.4.2 Đánh giá về mặt định lượng 54

Kết luận chương 3 59

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 61

DANH MUC TÀI LIỆU THAM KHẢO 63

DANH MỤC BẢNG

Số hiệu

1.1

Đánh giá ý kiến của giáo viên về tìm hiểu và tiến

hành thực hiện đổi mới dạy học, kiểm tra, đánh giá

kết quả học tập theo định hướng phát triển năng lực

của học sinh

26

1.2

Những định hướng cần thực hiện trong giảng dạy

Toán nhằm bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học

cho học sinh

29

3.1 Kết quả khả năng mô hình hóa của học sinh trước

3.2 Kết quả khả năng mô hình hóa toán học của học sinh

nhóm thực nghiệm trước và sau thực nghiệm 56 3.3 Kết quả điểm số bài kiểm tra của học sinh sau thực

DANH MỤC BIỂU ĐỒ

Số hiệu

1.1 Mức độ thường xuyên của dạy học theo mô hình hóa

1.2 Đánh giá của giáo viên về các hình thức dạy học theo

1.3

Thực trạng khai thác sâu hơn các mô hình hóa bài toán

có nội dung Đại số tổ hợp trong sách giáo khoa Toán

11 giúp học sinh thấy được những ứng dụng rộng rãi

của Toán học trong thực tiễn

30

1.4

Đánh giá về mức độ thường xuyên tổ chức các hoạt

động thực hành, ngoại khoá Toán học nhằm tạo điều

kiện cho học sinh vận dụng Toán học trong cuộc sống

của học sinh về mức độ sử dụng câu hỏi, tình huống có

vấn đề

31

3.1 Kết quả khả năng mô hình hóa của học sinh trước thực

3.2 Kết quả khả năng mô hình hóa của học sinh nhóm thực

MỞ ĐẦU

1 Lý do lựa chọn đề tài nghiên cứu

Dạy học là hoạt động giáo dục cơ bản trong các hoạt động giáo dục ở các cơ sở giáo dục nói chung, các trường phổ thông nói riêng Chất lượng và hiệu quả của hoạt động giáo dục này phụ thuộc chủ yếu vào năng lực nghề nghiệp với thành phần cốt lõi là năng lực dạy học của giáo viên Vì lẽ đó, chất lượng và phát triển năng lực dạy học của giáo viên trở thành vấn đề cốt lõi của ngành giáo dục và của mỗi đất nước

Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26 tháng 12 năm 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục

và Đào tạo nêu rõ: “Chương trình giáo dục trung học phổ thông giúp học sinh tiếp tục phát triển những phẩm chất, năng lực cần thiết đối với người lao động, ý thức và nhân cách công dân, khả năng tự học và ý thức học tập suốt đời, khả năng lựa chọn nghề nghiệp phù hợp với năng lực và sở thích, điều kiện và hoàn cảnh của bản thân để tiếp tục học lên, học nghề hoặc tham gia vào cuộc sống lao động, khả năng thích ứng với những đổi thay trong bối cảnh toàn cầu hoá và cách mạng công nghiệp mới” [6]

Đối với môn Toán được xem là môn học khá khô khan đi liền là công thức, định lý, quy tắc Do vậy, việc dạy học ứng dụng vào giải quyết vấn đề thực tiễn ít được nhắc đến Vì vậy, việc dạy cho HS phương pháp tư duy giải quyết các vấn đề xuất phát từ thực tiễn giữ vai trò tiên quyết trong bối cảnh hiện nay Đặc biệt, HS là tương lai của đất nước cần phải để các em thấy rằng vai trò của Toán học và vận dụng Toán học vào thực tiễn giữ vai trò vô cùng quan trọng Muốn vậy, các kiến thức cơ sở cần được trình bày theo quan điểm lấy thực tế làm gốc: Những vấn đề hay nhu cầu thực tế nào dẫn ra khái niệm tương ứng? Cách thức “mô hình hoá toán học” một vấn đề thực tế là như thế nào?

Môn Toán trong nhà trường phổ thông nói chung và nội dung chủ đề Đại số tổ hợp lớp 11 nói riêng luôn giữ vai trò quan trọng đối với sự phát triển nhận thức tư duy và kỹ năng của người học đồng thời đưa ra những mô hình toán học tổng quát để giải quyết những vấn đề thực tế Nội dung chương trình môn Toán phổ thông hiện hành đã thể hiện được những yếu tố thực hành, ứng dụng, tính cầu liên môn, theo chuẩn kiến thức và kỹ năng, trong đó nội dung Đại số tổ hợp đã cụ thể hóa nội dung cần học một cách đầy đủ, đảm bảo tính vừa sức, sự phát triển lôgic của kiến thức, hệ thống bài tập đa dạng, phù hợp với các trình độ, có nhiều bài tập có nội dung thực tiễn Nên khi xây dựng chương trình giảng dạy theo hướng chú trọng vào phát triển năng lực người học, nội dung dạy học không giới hạn trong kiến thức, kỹ năng chuyên môn mà mở rộng những nhóm nội dung nhằm phát triển các năng lực chung, cốt lõi (hợp tác, giao tiếp, giải quyết vấn đề, ) Phương pháp theo hướng phát triển năng lực người học không chỉ chú ý tích cực hóa học sinh về hoạt động trí tuệ mà còn chú trọng rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề gắn với những tình huống nảy sinh từ thực tế, từ cuộc sống và nghề nghiệp, đồng thời gắn hoạt động trí tuệ với những hoạt động thực hành, thực tiễn

Rất nhiều những vấn đề quan trọng của đời sống thực tế thuộc về những bài toán của lí thuyết Đại số tổ hợp Đại số tổ hợp gắn bó và liên hệ mật thiết với khoa học Xác suất và Thống kê Đại số tổ hợp đóng một vị trí quan trọng trong nhiều ngành khoa học như: y khoa, sinh học, nông nghiệp, kinh tế, Do vậy, các kiến thức về Đại số tổ hợp đã được đưa vào chương trình môn Toán ở trường THPT Các tri thức về khoa học Đại số tổ hợp đã được ứng dụng một cách rộng rãi Đến nay, các tri thức này được trình bày trong chương trình THPT một cách có hệ thống Cụ thể là Đại số tổ hợp được trình bày trong Chương 2 (Đại số và Giải tích 11)

Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Bồi dưỡng

năng lực mô hình hoá toán học cho học sinh thông qua dạy học nội dung

Đại số tổ hợp ở trường THPT” với mong muốn đưa đề tài này áp dụng vào

thực tiễn, nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường THPT

2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở xác định các thành tố đặc trưng của NL MHH toán học, trên

cơ sở đó đề xuất một số biện pháp tác động sư phạm ở nội dung dạy học Đại

số tổ hợp nhằm góp phần bồi dưỡng NL MHH toán học cho HS

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

- Các thành tố của NL MHH toán học cho HS

- Những nội dung kiến thức thuộc phần Đại số tổ hợp ở trường THPT

- Biện pháp tác động qua dạy học Đại số tổ hợp nhằm góp phần bồi dưỡng NL MHH toán học cho HS

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Những biện pháp sư phạm góp phần bồi dưỡng NL MHH toán học cho

HS thông qua dạy học nội dung Đại số tổ hợp ở trường THPT

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu các văn bản, đề tài, sách, tạp chí có liên quan đến vấn đề nghiên cứu

4.2 Phương pháp điều tra - quan sát

Khảo sát ý kiến của GV, HS về thực trạng các biện pháp bồi dưỡng NL

mô hình toán cho HS Đánh giá ý kiến của GV, HS về thực trạng làm cơ sở để

đề xuất giải pháp

Quan sát hoạt động dạy và học của GV, HS và đánh giá thái độ, tính tích cực của GV, HS trong dạy học

4.3 Phương pháp nghiên cứu trường hợp

Đánh giá những trường hợp điển hình về bồi dưỡng NLHS, NL MHH của HS

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦNBỒI DƯỠNG CHO HỌC SINH NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌCTHÔNG QUA NỘI DUNG ĐẠI SỐ TỔ HỢP

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Tổng quan vấn đề nghiên cứu về năng lực mô hình hóa toán học

1.1.1 Nguồn gốc của năng lực

Khái niệm NL (competency) có nguồn gốc tiếng Latinh "competentia” Ngày nay, khái niệm NL được hiểu nhiều nghĩa khác nhau NL được hiểu như

sự thành thạo, khả năng thực hiện của cá nhân đối với một công việc NL cũng được hiểu là khả năng, công suất của một doanh nghiệp, thẩm quyền pháp lý của một cơ quan Khái niệm NL được dùng ở đây là đối tượng của tâm lý, giáo dục học Có nhiều định nghĩa khác nhau về NL

Theo từ điển tâm lý học (Vũ Dũng, 2000) cho rằng: “NL là tập hợp các tính chất hay phẩm chất của tâm lý cá nhân, đóng vai trò là điều kiện bên trong, tạo thuận lợi cho việc thực hiện tốt một dạng hoạt động nhất định” [14]

Còn Weinert (2001) định nghĩa: “NL là những khả năng và kỹ xảo học được hoặc sẵn có của cá thể nhằm giải quyết các tình huống xác định, cũng như sự sẵn sàng về động cơ, xã hội và khả năng vận dụng các cách giải quyết vấn đề một cách có trách nhiệm và hiệu quả trong những tình huống linh hoạt” [20]

Theo X.L Rubinstein coi NL là điều kiện cho hoạt động có ích của con người: "NL là toàn bộ những thuộc tính tâm lí làm cho con người thích hợp với một hoạt động có ích lợi xã hội nhất định” [34]

Theo Bernd Meier, Nguyễn Văn Cường thì: “NL là khả năng thực hiện có trách nhiệm và hiệu quả các hành động, giải quyết các nhiệm vụ, vấn đề trong những tình huống khác nhau thuộc các lĩnh vực nghề nghiệp, xã hội hay cá nhân trên cơ sở hiểu biết, kỹ năng, kỹ xảo và kinh nghiệm cũng như sự sẵn sàng hành động” [10]

Còn so với kĩ năng, NL lại có phạm vi nghĩa rộng hơn Về điều này, ta

có thể tham khảo D.S Rychen và L.H Salganik: “NL không chỉ là kiến thức

và kĩ năng, nó nhiều hơn thế NL bao gồm khả năng đáp ứng các yêu cầu phức tạp dựa trên việc huy động các nguồn lực tâm lý (bao gồm cả kĩ năng và thái độ) trong một hoàn cảnh cụ thể Ví dụ, khả năng giao tiếp hiệu quả là một

NL dựa trên kiến thức của mỗi cá nhân về ngôn ngữ, kĩ năng thực hành và thái độ hướng tới những người mà ta đang giao tiếp”[40]

Trong đề tài này, Chương trình giáo dục phổ thông mới quan niệm về

NL như sau: “NL là khả năng thực hiện thành công hoạt động trong một bối cảnh nhất định nhờ sự huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… NL của cá nhân được đánh giá qua phương thức và kết quả hoạt động của cá nhân đó khi giải quyết các vấn đề của cuộc sống” [6]

Nghiên cứu về năng lực đến giai đoạn hiện nay có thể đề cập đến một hướng tiếp cận như sau:

- Một là, NL có nguồn gốc từ di truyền, bẩm sinh, đó là điều kiện cần

thiết ban đầu cho sự phát triển NL Tuy nhiên, đây chỉ là điều kiện về mặt sinh học đó là có cơ thể khỏe mạnh, có thể chất Để có NL cần nhiều điều kiện khác như tư duy, trí nhớ, tưởng tượng, kiến thức [20]

- Hai là, tính xã hội, lịch sử là nguồn gốc của NL Có thể thấy, NL là

tổng hòa các mối quan hệ xã hội Khi sinh ra, con người chưa có NL nhất định trong quá trình trưởng thành NL được hình thành qua học tập, lao động, kinh nghiệm sống [20]

- Ba là, NL có nguồn gốc từ hoạt động và là sản phẩm của hoạt động

NL là sản phẩm của hoạt động Cấu thành NL được hiểu từ kiến thức, kĩ năng, thái độ Ba yếu tố trên hợp thành trong quá trình tạo ra sản phẩm Đối với NL tốt có sản phẩm tốt, và ngược lại NL thể hiện những đặc tính cá nhân liên quan đến công việc đạt hiệu quả cao Trong khi đó, McClelland (1973),

mô tả “NL như là một đặc tính cơ bản để thực hiện công việc” NL là một số kiến thức, kỹ năng, khả năng, tính cách, động cơ liên quan đến công việc, sự

thể hiện trong công việc và một số những kết quả quan trọng khác trong cuộc sống Đây chính cơ sở nền tảng để cấu thành và phát triển NL [20]

Như vậy, các hướng nghiên cứu trên đã đề cập đến nhiều hướng nghiên cứu khác nhau Trong đó, cơ sở đầu tiên của NL về mặt di truyền và mang tính lịch sử, xã hội và thông qua hoạt động xã hội Ba yếu tố đó cấu thành và phát triển NL mang tính cá thể con người

1.1.2 Khái niệm về năng lực, năng lực toán học

1.1.2.1 Khái niệm về năng lực

- Theo Nguyễn Anh Tuấn (2002): “ NL tự nhiên là loại NL được nảy sinh trên cơ sở những tư chất bẩm sinh di truyền, không cần đến tác động của giáo dục Nó cho phép con người giải quyết được những yêu cầu tối thiểu, quen thuộc đặt ra cho mình trong cuộc sống” [50] Theo tác giả quan trọng hóa NL mang nguồn gốc tự nhiên, mà đánh giá thấp vai trò của giáo dục, hoạt động của chủ thể

Các nhà nghiên cứu Xô viết với quan điểm, NL là những thuộc tính tâm

lí cá nhân trong hoạt động, đã có nhiều công trình nghiên cứu về NL trí tuệ, tiêu biểu là A.G Côvaliov, B.M Chieplôv, N.X Lâytex,… Như B.M Chieplôv, coi NL là những đặc điểm tâm lí cá nhân có liên quan với kết quả tốt đ p của việc hoàn thành một hoạt động nào đó Ông đã đề cập hai khía cạnh cơ bản liên quan đến khái niệm NL “Thứ nhất, NL là những đặc điểm tâm lí mang tính cá nhân Mỗi cá thể khác nhau có NL khác nhau về cùng một lĩnh vực Không thể nói rằng: Mọi người đều có NL như nhau Thứ hai, khi nói đến NL, không chỉ nói tới các đặc điểm tâm lí chung mà NL còn phải gắn với một hoạt động nào đó và được hoàn thành có kết quả tốt (tính hướng đích)” [52] Chú trọng đến tính có ích của hoạt động, X.L Rubinstein coi NL

là điều kiện cho hoạt động có ích của con người: “NL là toàn bộ những thuộc tính tâm lí làm cho con người thích hợp với một hoạt động có ích lợi xã hội nhất định” [39] Có thể tựu chung các quan điểm này tương tự quan điểm triết

học C Mác: Không tuyệt đối hoá vai trò của yếu tố bẩm sinh di truyền đối với

NL mà nhấn mạnh đến yếu tố hoạt động và học tập trong việc hình thành NL

Trong mỗi lĩnh vực nghiên cứu, các nhà nghiên cứu có cách hiểu khái niệm “năng lực” khác nhau H Gardner [26], đã đề cập đến khái niệm “NL qua việc phân tích 8 lĩnh vực trí năng của con người, đó là: Ngôn ngữ, lôgic -toán học, âm nhạc, không gian, vận động cơ thể, giao tiếp, tự nhận thức, hướng tới thiên nhiên Để giải quyết một vấn đề (problem) “có thực” trong cuộc sống thì con người không thể huy động duy nhất một mặt trí năng nào

đó mà kết hợp các mặt trí năng liên quan với nhau Sự kết hợp đó tạo thành

NL cá nhân

Theo nhà tâm lí học Nga V.A.Krutetxki thì: “NL được hiểu như là: Một phức hợp các đặc điểm tâm lí cá nhân của con người đáp ứng những yêu cầu của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện thành công hoạt động đó” [54]

Phần lớn định nghĩa về NL của các tài liệu nước ngoài quy NL vào

phạm trù khả năng (ability, capacity, possibility)

- Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế Thế giới (OECD) quan niệm

NL là “khả năng đáp ứng một cách hiệu quả những yêu cầu phức hợp trong một bối cảnh cụ thể” [50]

- Chương trình Giáo dục Trung học (GDTH) bang Québec, Canada năm 2004 xem NL “là một khả năng hành động hiệu quả bằng sự cố gắng dựa trên nhiều nguồn lực” [50]

- Denyse Tremblay cho rằng NL là “khả năng hành động, thành công

và tiến bộ dựa vào việc huy động và sử dụng hiệu quả tổng hợp các nguồn lực

để đối mặt với các tình huống trong cuộc sống.” [21]

- Còn theo F.E.Weinert, NL là “tổng hợp các khả năng và kĩ năng sẵn

có hoặc học được cũng như sự sẵn sàng của HS nhằm giải quyết những vấn

đề nảy sinh và hành động một cách có trách nhiệm, có sự phê phán để đi đến giải pháp” [44]

Đặng Thành Hưng cho rằng “NL chính là một tổ hợp các đặc điểm tâm

lí của một con người (còn gọi là tổ hợp thuộc tính tâm lí của một nhân cách),

tổ hợp đặc điểm này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy” [20]

Phan Anh Tài, cho rằng: “Thật ra NL nào đó của một con người thường

là tổng hòa của kiến thức, kĩ năng, tình cảm - thái độ được thể hiện trong một hành động và tình huống cụ thể” [44]

Với cách tiếp cận tích hợp các tác giả Nguyễn Thị Hương Trang, lại cho rằng: “NL là tổng hợp những thuộc tính độc đáo của cá nhân phù hợp với những yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định, nhằm đảm bảo việc hoàn thành có kết quả tốt trong lĩnh vực hoạt động ấy” [51]

Tài liệu hội thảo chương trình giáo dục phổ thông (GDPT) tổng thể trong chương trình GDPT mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo (Bộ GDĐT) xếp

NL vào phạm trù hoạt động khi giải thích: “NL là sự huy động tổng hợp các

kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí để thực hiện một loại công việc trong một bối cảnh nhất định” [44]

Điều đó cho thấy, NL được hình thành và phát triển qua hoạt động Muốn có kiến thức, hình thành kỹ năng và có động cơ thái độ thì con người cần tham gia lao động, học tập, sản xuất từ đó tích lũy kiến thức, rèn luyện kĩ năng và cải thiện, nâng cao NL

Một số tài liệu khác gọi NL là đặc điểm, phẩm chất hoặc thuộc tính cá

nhân Ví dụ:

- Cách hiểu của Từ điển giáo dục: “NL là đặc điểm của cá nhân thể hiện mức độ thông thạo - tức là có thể thực hiện một cách thành thục và chắc chắn - một hay một số dạng hoạt động nào đó” [19]

Cách hiểu của Từ điển tiếng Việt: NL là “phẩm chất tâm lí và sinh lí

tạo cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao” [55]

- Cách hiểu của Đặng Thành Hưng: “NL là thuộc tính cá nhân cho

phép cá nhân thực hiện thành công hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể” [20]

Từ phân tích phạm trù NL của các hướng nghiên cứu trên, trong phạm

vi đề tài chúng tôi đồng nhất khái niệm NL theo chương trình giáo dục phổ thông tổng thể do Bộ GDĐT ban hành: “NL là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể” [6]

1.1.2.2 Khái niệm năng lực toán học

Theo V.A.Krutetxki thì khái niệm NL toán học sẽ được giải thích trên hai bình diện [54]:

1) Năng lực nghiên cứu toán học: “Như là các NL sáng tạo (khoa học),

các NL hoạt động toán học tạo ra được các kết quả, thành tựu mới, khách

quan và quý giá”

2) Năng lực học tập toán học: “Như là các NL học tập theo chương

trình giáo dục phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao các kiến

thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng”

Theo A.A.Stoliar, “dạy Toán có thể xem như dạy cho HS hoạt động toán học, mà đi liền với mỗi hoạt động sẽ có những NL tương ứng Học toán bao gồm các hoạt động liên quan đến Số học, Đại số, Hình học, … nên ta có thể phân chia NL thành các NL học Số học, NL học Đại số, NL học Hình học… Mặt khác, toán học có tính trừu tượng cao và tính lôgic chặt chẽ nên

hoạt động học toán liên quan chặt chẽ với tư duy toán học”

Theo Kônmôgôrốp thì trong thành phần của năng lực toán học có: “NL

biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, NL tìm được con đường giải các phương trình không theo các quy tắc chuẩn, NL tính toán Trí tưởng tượng hình học hay tri giác hình học Nghệ thuật suy luận lôgic theo các bước

đã được phân chia một cách đúng đắn kế tiếp nhau, đặc biệt hiểu và có kĩ năng vận dụng đúng đắn quy nạp toán học, là tiêu chuẩn của sự trưởng thành lôgic hoàn toàn cần thiết đối với nhà toán học”

Theo V.A.Krutetxki thì cấu trúc của năng lực toán học bao gồm những

thành phần sau [54]:

- Về mặt thu nhận thông tin: Đó là kiến thức về tri giác toán học, NL nắm rõ vấn đề, nhiệm vụ, và cách thức giải toán

- Về mặt chế biến thông tin, đó là:

+ Khả năng nắm rõ các khái niệm về số học, quy tắc, công tác, NL suy nghĩ với các kí hiệu toán học;

+ NL khái quát đối tượng giữa các phép toán của toán học, đối tượng của toán học cũng như các cặp phạm trù

+ NL thay đổi nhanh chóng và dễ dàng hướng suy nghĩ, dạng tư duy thuận chuyển qua tư duy nghịch

- Về mặt lưu trữ các thông tin, đó là khả năng lưu giữa thông tin về các đặc điểm cũng như các quy tắc, phép đếm, so sánh, trong toán học

- Về thành phần tổng hợp chung, đó là khuynh hướng toán học của trí

tuệ Nhưng cần hiểu rằng tư duy, trí nhớ, khả năng, trí nhớ về các công thức,… có thể nằm ngoài NL toán học Tức là NL toán có thể không bao hàm

tất cả các đặc điểm tâm lý

Cũng theo V.A.Krutetxki: Có 8 đặc điểm hoạt động trí tuệ của HS có

NL toán học là: “Khả năng tri giác có tính chất hình thức hóa tài liệu toán học, gắn liền với sự thâu tóm nhanh chóng các cấu trúc hình thức của chúng

trong một bài toán cụ thể vào trong một biểu thức toán học Khả năng tư duy

có tính khái quát hóa nhanh và rộng” [54]

Bên cạnh đó, người học thể hiện sự tư duy lôgic lành mạnh như: Đặt ra bài toán ở nhiều dữ kiện, khía cạnh khác nhau Sự xem xét cách giải các bài toán theo nhiều khía cạnh khác nhau Từ đó tìm lời giản tối ưu cho học toán Yêu cầu lời giải chính xác, nhanh chóng, hợp lý và đơn giản [30]

1.1.3 Khái niệm về năng lực mô hình hóa toán học

Từ những năm 70 của thế kỉ trước đã xuất hiện ý tưởng về việc sử dụng phương pháp MHH toán học MHH toán học là quá trình tạo ra các mô hình

để giải quyết vấn đề toán học MHH toán học được xây dựng bằng cách phiên dịch các vấn đề từ thực tiễn thông qua phương tiện ngôn ngữ viết sang ngôn ngữ biểu tượng, kí hiệu; nói cách khác, MHH là loại đi các tính chất không bản chất của vấn đề và được trình bày dưới dạng ngôn ngữ toán học

Phương pháp MHH được sử dụng trong nhiều ngành khoa học GI Sarantsev đã nhấn mạnh rằng, một trong những thành phần của giáo dục toán học đó là hình dung mới về đối tượng toán học; mục đích cơ bản của giáo dục toán học là hình thành kĩ năng xây dựng mô hình toán học của các hiện tượng thực tế đơn giản, nghiên cứu hiện tượng theo mô hình đã đưa ra, giúp HS làm quen với hoạt động sáng tạo MHH là một trong những phương pháp quan trọng để tích cực hóa hoạt động nhận thức của người học Về phương pháp luận của việc sử dụng phương pháp MHH trong quá trình dạy học được xem xét bởi nhiều tác giả: I.G.Kodryanu, G.I.Ruzavin, V.A.Shtoff, N.M.Amosova, E.Yu.Vernik, N.G.Salmina Về quy trình MHH toán học được Chan Chun Ming Eric mô tả gồm 04 giai đoạn [56]:

- Giai đoạn thứ nhất là đánh giá bài toán đã có và những điểm cần tìm

từ đó xây dựng các giả thuyết, tìm kiếm cách thức giải toán và những yếu tố ảnh hưởng

- Giai đoạn thứ hai là xác định mối liên quan giữa các giả thuyết đã cho, xác định định nghĩa, áp dụng công thức, hàm sẽ tiến hành giải

- Giai đoạn thứ ba vận dụng các phương pháp, công cụ toán học để MHH nội dung và phân tích mô hình

- Giai đoạn 4 là đánh giá điểm đạt, chưa đạt của mô hình, những yếu tố ảnh hưởng và đề ra cách thức cải tiến mô hình Từ kết quả phân tích cho thấy MHH là quá trình “đóng” từ xác định vấn đề, phương thức giải quyết đến kết thúc vấn đề, tìm phương án điều chỉnh

Có thể thấy, MHH toán học cho HS thể hiện ở chỗ GV tổ chức, hướng dẫn HS phát hiện ra nội hàm và ngoại diên của khái niệm, tạo tình huống học tập gợi nhu cầu nhận thức, tìm hiểu kiến thức mới, khái niệm mới, rồi hướng dẫn để HS tự tìm và giải quyết vấn đề phát hiện ra kiến thức, khái niệm mới,

GV có thể gợi động cơ học tập làm nảy sinh nhu cầu cho HS, khuyến khích

HS suy đoán, nêu ý tưởng tìm tòi phát hiện vấn đề, khuyến khích nâng cao các thao tác trí tuệ như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa Trong dạy học, giải bài tập có vị trí quan trọng đối với phát triển NL cho HS

và đã được các đề cập khá sâu sắc, đầy đủ [30]

Với việc xác định các biểu hiện đặc trưng MHH trong học tập môn Toán cùng với việc phân chia mức độ của từng biểu hiện đó Điều đó cho thấy, bồi dưỡng NL cho HS qua MHH cần hướng vào việc tạo cơ hội cho các biểu hiện đặc trưng NL của HS trong học tập môn Toán được bộc lộ và phát triển các kĩ năng từ mức độ thấp đến mức độ cao hơn Bồi dưỡng NL MHH cho HS ở đó GV vận dụng các phương pháp, hình thức tổ chức, kĩ thuật dạy học để thiết kế và tổ chức các tình huống dạy học tạo ra môi trường, điều kiện thích hợp để bồi đắp thêm kiến thức, kĩ năng của mỗi HS được nâng dần từ mức độ thấp lên mức độ cao hơn và có khả năng đạt đến mức cao nhất có thể

có của HS đó Theo đó, bồi dưỡng NL MHH vẫn là dạy học trên các nội dung, kiến thức đã chọn, nhưng chú trọng hơn đến tính mới của các ý tưởng,

giải pháp, kết quả của việc thực hiện các nhiệm vụ học tập của HS, hướng đến người học có thể vận dụng được một kiến thức tự bản thân HS tìm kiếm vào giải quyết các vấn đề đặt ra trong các tình huống thực tiễn theo các mức độ khác nhau tùy theo từng HS Điều đó cho thấy, để MHH toán học, GV cần tạo tình huống có vấn đề, kích thích trí tò mò, hứng thú để HS đề xuất các câu hỏi, vấn đề cần tìm hiểu, giải quyết; chủ động, tích cực tìm hiểu, giải quyết các vấn đề đặt ra

- Tạo điều kiện để HS suy nghĩ và tự quyết định, lựa chọn vấn đề tìm hiểu, nghiên cứu

- Tạo tình huống để HS đề xuất các cách giải quyết vấn đề khác nhau

HS, cần dựa vào các biểu hiện đặc trưng MHH toán học và kĩ năng của HS trong học tập môn Toán đã được mô tả qua các mức độ để chọn lựa nội dung, thiết kế bài học theo chuỗi các hoạt động/ nhiệm vụ học tập, sao cho sau khi thực hiện từng hoạt động/ nhiệm vụ đó thì sản phẩm của người học hiển thị (hay có thể nhận thấy được, quan sát được), minh chứng cho mức độ mà HS đạt được qua mỗi nội dung, chủ đề đề cập Điều quan trọng sau khi thiết kế bài học là tổ chức để HS có thể tò mò, tự tin, tích cực, chủ động thực hiện nhiệm vụ học tập để khám phá, phát hiện, chiếm lĩnh kiến thức và vận dụng được kiến thức Toán đã học vào giải quyết các vấn đề đặt ra trong học tập và trong thực tiễn cuộc sống Người dạy chỉ nên là nhà thiết kế, tổ chức và cùng học với HS thông qua các hướng dẫn, gợi ý để HS có thể vượt qua khó khăn,

phát minh lại kiến thức mới cho chính mình Điều này đòi hỏi GV bên cạnh việc am hiểu về MHH và đánh giá đúng kĩ năng của HS

- Đề xuất ý tưởng về việc sử dụng các kiến thức đã học trong nội dung Đại số tổ hợp (hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp) vào vào giải quyết những tình huống, sự kiện, vấn đề trong thực tiễn HS có thể đưa ra rất nhiều ý tưởng khác nhau trong thực tiễn có thể sử dụng kiến thức về hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp

- Lập sơ đồ xây dựng ý tưởng các tiểu chủ đề/nhiệm vụ thành phần (chẳng hạn, đối với vấn đề chọn số lượng, đếm số phần tử, mỗi nhóm, mỗi HS

có thể đưa ra các phương án thực hiện khác nhau: hỏi bố m ; tự tra cứu, tính toán trên một trường hợp cụ thể: chọn sách, chọn cán bộ lớp, Việc đặt tên cho dự án, nhiệm vụ đã đề xuất của mỗi nhóm HS cũng rất linh hoạt

Cùng một dự án - Chọn cán bộ lớp, mỗi nhóm có thể có những cách đặt tên khác nhau mà thấy phù hợp và thích thú)

Đặt câu hỏi nghiên cứu cho dự án của nhóm Lập kế hoạch thực hiện (để trả lời các câu hỏi: Làm gì? Như thế nào? Ở đâu? Bằng cách nào? Sản phẩm gì? Trong quá trình thảo luận để đưa ra các câu trả lời chung cho nhóm,

HS sẽ có những ý tưởng khác nhau để trả lời cho mỗi câu hỏi, sau đó mới thảo luận để chọn được phương án trả lời tối ưu)

Đề xuất cách sử dụng các kiến thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp đã học vào trong các khâu, nhiệm vụ cụ thể của dự án (Chẳng hạn: có thể dùng hoán

vị, chỉnh hợp, tổ hợp trong những nhiệm vụ gì? Dùng như thế nào? Dùng khái niệm nào phù hợp để có thể vẽ minh họa việc chọn, )

Thực hiện dự án theo kế hoạch, phương án đã đề xuất có chú ý điều chỉnh trong quá trình thực hiện cụ thể Chính trong quá trình thực hiện dự án,

do thực tế có thể phát sinh những tình huống đòi hỏi HS phải giải quyết sẽ là các cơ hội để HS phát triển kĩ năng, kiến thức

- Lựa chọn cách báo cáo kết quả thực hiện dự án phù hợp điều kiện, hoàn cảnh của mỗi nhóm (tính toán đến thời gian báo cáo, số người tham gia trực tiếp báo cáo; nên báo cáo trọng tâm vào những vấn đề gì, vấn đề gì chỉ báo cáo sơ lược hoặc để ngỏ chờ câu hỏi từ phía GV, các bạn? vấn đề cần suy nghĩ, tìm hiểu thêm sau của nhiệm vụ, …)

- Trình bày, báo cáo kết quả dự án theo các nhóm (sự linh hoạt trong khi báo cáo với những tình huống phát sinh hoặc trả lời ứng xử, …), …

- Tổng hợp kiến thức của chương và nêu những ứng dụng trong đời sống thực tiễn của hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp theo cách hiểu của riêng HS (có thể tự HS thiết kế theo sơ đồ tư duy theo cách hiểu của mình)

- Tranh luận bảo vệ quan điểm và đánh giá góp ý hoàn thiện cho sản phẩm của nhóm khác

Năng lực mô hình hóa toán học là khả năng học sinh dùng hiểu biết của mình để chuyển một mô hình trong thực tiễn về dạng toán học

Thông qua hình thức chuyển đổi từ vấn đề thực tế sang vấn đề toán học

là cáchthiết lập và giải quyết các mô hình toán học [30] Cụ thể, MHH toán học

là toàn bộ quá trình chuyển đổi từ vấn đề thực tiễn sang vấn đề toán học và ngược lại, cùng với các yếu tố liên quan đến quá trình đó như: từ bước xây dựng lại tình huống thực tiễn, lựa chọn mô hình toán học phù hợp, làm việc trong một môi trường toán học, giải thích, đánh giá kết quả liên quan đến tình huống thực tiễn và điều chỉnh mô hình cho đến khi có được kết quả hợp lí

Trong chương trình, sách giáo khoa môn Toán ở phổ thông, quá trình MHH được thông qua ngôn ngữ toán học như: hình vẽ, bảng biểu, hàm số,

đồ thị, phương trình, hệ phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng, kí hiệu, công thức hay thậm chí cả các mô hình ảo trên máy vi tính [30]

Một trong những thành phần NL Toán học cần hình thành và phát triển cho người học trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông là NL MHH toán học [49]

Như vậy, có thể thấy thông qua hoạt động MHH sẽ tạo hứng thú học tập, kích thích sự tìm tòi, sáng tạo trong quá trình khám phá, lĩnh hội kiến thức mới; giúp các em thông hiểu các khái niệm và quá trình toán học, hệ thống hóa khái niệm, ý tưởng toán học và nắm được cách xây dựng mối liên

hệ giữa các ý tưởng đó

Quy trình mô hình hóa toán học: Để xây dựng mô hình toán học cần sử

dụng các khái niệm, công cụ và ngôn ngữ của toán học: công thức, thuật toán, biểu tượng, đồ thị, kí hiệu, Theo Chan Chun Ming Eric, quy trình MHH toán học gồm 4 giai đoạn chủ yếu sau [56]:

 Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, phác thảo tình huống và

phát hiện các yếu tố (như biến số tham số) quan trọng, có ảnh hưởng đến vấn đề thực tiễn

 Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài

toán sử dụng ngôn ngữ toán học Từ đó, thiết lập mô hình toán học tương ứng

 Giai đoạn 3: Vận dụng các hình thức, phương pháp, kĩ thuật giải toán

phù hợp để mô hình toán học

 Giai đoạn 4: Từ kết quả, đối chiếu với giai đoạn 1 để đánh giá tính

thực tiễn của mô hình

Từ 4 giai đoạn trên, quá trình MHH được bao hàm quá trình khép kín từ xác định vấn đề đến kế hoạch giải quyết vấn đề và lựa chọn cách thức để giải quyết vấn đề cùng với đó là đánh giá kết quả soi chiếu đến vấn đề giả thuyết đặt

ra Có thể minh họa quá trình trên bằng sơ đồ sau [56]:

Sơ đồ Quy trình mô hình hóa toán học trong dạy học môn Toán

Trên sơ đồ là mô hình lý thuyết vận dụng trong giải toán Đối với HS từng cấp học thì việc vận dụng mô hình đó vào thực tiễn còn căn cứ vào độ tuổi và loại hình bài toán

Sơ đồ Cơ chế điều chỉnh quá trình mô hình hóa toán học

Từ cơ chế điều chỉnh mô hình toán học, GV cần hướng dẫn HS các bước vận dụng MHH vào giải bài tập toán học đó là:

Bước 1 Đánh giá, tìm hiểu dạng toán, yêu cầu đề toán, giả thuyết, tình

huống đưa ra, yêu cầu đề bài, xác định dạng toán,

Bước 2 Xây dựng mối liên hệ của các giả thuyết, tìm cái đã cho, cái

cần tìm, từ đó xác định rõ nhiệm vụ

Bước 3 Xác định phương thức giải toán, tìm hiểu cách thức, đánh giá

phương án tối ưu

Bước 4 Vận dụng công cụ để giải toán nhanh, chính xác

Bước 5: Từ kết quả giải toán, đưa ra cách vận dụng vào dạng toán

khác, kiểu bài và vận dụng trong thực tế

Bước 6 Từ kết quả đánh giá tính thực tế, khả thi của mô hình và đưa

ra điều chỉnh (nếu có)

Đây là bước quan trọng trong xây dựng MHH toán học bởi bước này xác định tính phù hợp của MHH với HS Việc thực hiện bước này sẽ dẫn đến các khả năng như:

Khả năng 1: MHH đúng với tình huống xảy ra, phù hợp với thực tế,

đúng với dạng toán, các kiểu toán, với kỹ thuật, phương pháp giải toán đã đặt

ra

Khả năng 2: Mô hình không đúng, không phù hợp, không thực tiễn

Nguyên nhân có thể do:

- Các kết quả tính ở bước thứ hai có chính xác không? (để trả lời, cần kiểm tra lại quá trình tính toán đã thực hiện);

- Mô hình toán học xây dựng đã phù hợp, thỏa đáng chưa, có phản ánh được đầy đủ thực tiễn cuộc sống không? Nếu chưa, cần xây dựng lại;

- Các số liệu ban đầu có phản ánh đúng thực tiễn hay không? (nếu không phù hợp, cần điều chỉnh lại cho chính xác)

Bước 7 Kết luận, đánh giá thông báo, phân tích kết quả, phản hồi, và

biện pháp phát triển cũng như cải tiến mô hình

Sơ đồ Các bước tổ chức hoạt động mô hình hóa toán học

Từ việc nghiên cứu về mô hình, MHH toán học, quy trình MHH toán học và vận dụng MHH toán học trong dạy học Toán cho thấy, hoạt động MHH toán học đã kích thích khả năng tìm tòi, khám phá của HS, giúp các em lĩnh hội được kiến thức mới Thông qua hoạt động MHH, HS có cơ hội để phát triển các thao tác tư duy, kĩ năng giải quyết vấn đề; đặc biệt là các em thấy được mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn và các môn khoa học khác, yêu thích học tập môn Toán hơn

1.2 Nhu cầu bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh ở trường THPT

Theo Bùi Hiền (2001), Từ điển giáo dục học thì Bồi dưỡng: “1 Làm

cho tăng thêm sức của cơ thể bằng chất bổ, 2 Làm cho tăng thêm trình độ, năng lực hoặc phẩm chất” [19]

Theo Từ điển do Nguyễn Như Ý chủ biên, Bồi dưỡng: “1 Làm cho khỏe thêm, mạnh thêm, 2 Làm cho tốt hơn, giỏi hơn” [55]

HS cần có các kĩ năng học tập cơ bản như làm việc cá nhân, làm việc nhóm; biết cách khái quát các trường hợp đơn lẻ, cụ thể thành các tính chất, các quy luật chung; biết sử dụng các kí hiệu toán học, diễn đạt, trình bày ý tưởng của mình bằng văn bản và bằng lời một cách rõ ràng, đầy đủ; biết lập luận lôgic để bảo vệ ý kiến của bản thân cũng như phản biện lại ý kiến của

người khác; biết vận dụng sáng tạo các kiến thức Toán đã được học vào giải quyết vấn đề các tình huống thực tiễn, … Những đặc điểm này được xem xét khi tìm hiểu cơ hội phát triển NLST qua các nội dung trong chương trình môn Toán THPT

Nói về MHH trong dạy học Toán, tác giả Nguyễn Danh Nam (2015) nhận định: “Dạy học bằng MHH là dạy học thông qua dạy học cách thức xây dựng mô hình toán học của thực tiễn, nhắm tới trả lời cho những câu hỏi, vấn

đề nảy sinh từ thực tiễn Như vậy, tri thức toán học cần giảng dạy sẽ nảy sinh qua quá trình giải quyết các bài toán thực tiễn” [32]

Có thể khái quát, bồi dưỡng NL MHH toán học cho HS là hướng dẫn

HS phát hiện ra nội hàm và ngoại diên của khái niệm, tạo tình huống học tập gợi nhu cầu nhận thức, tìm hiểu kiến thức mới, khái niệm mới, rồi hướng dẫn

để HS giải quyết vấn đề phát hiện ra kiến thức, khái niệm mới, qua đó cũng phát triển NL Trong dạy học định lí, GV có thể gợi động cơ học tập làm nảy sinh nhu cầu cho HS, khuyến khích HS suy đoán, nêu ý tưởng tìm tòi phát hiện vấn đề, khuyến khích phát triển các thao tác trí tuệ như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa Trong dạy học, giải bài tập có vị trí quan trọng đối với phát triển NL cho HS và đã được các đề cập khá sâu sắc, đầy đủ

MHH được mọi người quan tâm vì nó cho phép liên kết toán học với các môn học khác, có thể đóng góp phần nào trong việc hướng tới ý nghĩa của việc học tập và giảng dạy toán học Thật vậy, MHH cho phép làm rõ lợi ích của toán học, giúp HS phát triển khả năng phê phán đối với việc giải quyết các vấn đề trong thực tiễn, chuẩn bị cho họ những kiến thức và kĩ năng cần thiết cho hoạt động nghề nghiệp đa dạng sau này Theo Juergen Maasz, MHH như là một môi trường học tập thuận lợi để tìm hiểu các lĩnh vực khác của kiến thức thông qua toán học: “MHH là một môi trường học tập mà HS được mời đến để tìm hiểu và/hoặc điều tra, bằng phương tiện của toán học, những

tình huống phát sinh trong các lĩnh vực kiến thức khác” [57] Việc ứng dụng MHH trong dạy học toán có những ưu điểm sau:

- HS có cơ hội tham gia giải quyết một số vấn đề thực tế chứ không đơn thuần là tìm hiểu làm thế nào để giải quyết một phương trình, khảo sát một hàm số,

- Việc học tập sẽ có một ý nghĩa thực sự, nói cách khác, nó trở nên dễ dàng kết nối với các tình huống và các vấn đề khác;

- Hầu hết các HS dễ nhớ một vấn đề MHH mà họ đã dành nhiều thời gian hơn so với việc đơn thuần là giải một bài toán toán học;

- Việc dạy học MHH có thể triển khai ở bất kì mức độ giáo dục nào từ

“tiểu học đến trung học và cả đại học.”

1.3 Cách tiếp cận và vấn đề mô hình hoá các bài toán từ một số tình huống thực tiễn vào quá trình dạy học nội dung Đại số tổ hợp

Đại số tổ hợp là phần khá quan trọng của HS THPT Chủ đề Xác suất ở chương trình môn Toán chiếm một vị trí khá quan trọng vì: “Trong khoa học cũng như trong cuộc sống, chúng ta thường phải xác định số phần tử của một tập hợp hoặc phải tính toán xem khả năng xảy ra của một biến cố ngẫu nhiên

là bao nhiêu Các kiến thức về Xác suất trong chương này sẽ bước đầu giúp chúng ta giải được một số bài toán đơn giản thuộc loại đó” [28]

Với nội dung cập nhật về các công thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp nhị thức New-ton, từ đây giúp HS hình thành lý thuyết về thống kê Kiến thức về Tổ hợp cũng là bộ phận quan trọng trong thi tốt nghiệp THPT

Chủ đề Xác suất chứa đựng tiềm năng to lớn trong việc bồi dưỡng và phát triển NLST cho HS Việc bồi dưỡng NL MHH toán học cho HS nhằm giúp HS phát triển NL, kĩ năng toán học

Theo Nguyễn Thị Lan Phương thì: Một trong các nhiệm vụ trọng tâm của môn Toán phổ thông là giúp HS am hiểu kiến thức, kĩ năng toán học và vận dụng chúng vào giải quyết các vấn đề trong học tập cũng như trong cuộc

sống MHH định hướng cho việc tìm kiếm cơ hội để phát triển NL qua nội dung môn Toán cần xác định mỗi nội dung (mạch kiến thức hoặc chủ đề học tập) có những cơ hội nào để có thể giúp HS đạt được kết quả kỳ vọng (là mục tiêu, chuẩn đầu ra môn học), thể hiện cụ thể ở những thành tố, hành vi và mức

độ chất lượng nào của NL (là cấu trúc của NL) [36]

1.4 Thực trạng của việc dạy và học nội dung Đại số tổ hợp ở một số trường THPT theo hướng phát triển năng lực

1.4.1 Về nội dung, chương trình môn Toán ở THPT tổng thể

Mục tiêu môn Toán trong Chương trình GDPT 2018 được đề cập như sau:

Môn Toán cấp trung học phổ thông nhằm giúp HS đạt các mục tiêu chủ yếu sau:

a) Góp phần hình thành và phát triển NL toán học với yêu cầu cần đạt:

- Giải quyết vấn đề

- Thiết lập được mô hình toán học để mô tả tình huống, từ đó đưa ra cách giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong mô hình được thiết lập

Và biết sử dụng được công cụ, phương tiện học toán trong học tập, khám

phá và giải quyết vấn đề toán học

b) Có những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản, thiết yếu về:

- Đại số và Một số yếu tố Giải tích: Tính toán và sử dụng công cụ tính toán; sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu đại số; biến đổi biểu thức đại số và siêu việt (lượng giác, mũ, lôgarit), phương trình, hệ phương trình, bất phương trình; nhận biết các hàm số sơ cấp cơ bản

Biết sử dụng tích phân để tính toán diện tích hình phẳng và thể tích vật thể trong không gian

- Hình học và Đo lường: Cung cấp những kiến thức và kĩ năng (ở mức

độ suy luận logic) về các quan hệ hình học và một số hình phẳng, hình khối quen thuộc; phương pháp đại số (vectơ, toạ độ) trong hình học; phát triển trí

tưởng tượng không gian; giải quyết một số vấn đề thực tiễn đơn giản gắn với Hình học và Đo lường

- Thống kê và Xác suất: Hoàn thiện khả năng thu thập, phân loại, biểu diễn, phân tích và xử lí dữ liệu thống kê; sử dụng các công cụ phân tích dữ liệu thống kê thông qua các số đặc trưng đo xu thế trung tâm và đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm và ghép nhóm; sử dụng các quy luật thống kê trong thực tiễn; nhận biết các mô hình ngẫu nhiên, các khái niệm cơ bản của xác suất và ý nghĩa của xác suất trong thực tiễn

c) Góp phần giúp HS có những hiểu biết tương đối tổng quát về các ngành nghề gắn với môn Toán và giá trị của nó; làm cơ sở cho định hướng nghề nghiệp sau THPT; có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu những vấn đề liên quan đến toán học trong suốt cuộc đời

Yêu cầu cần đạt về phẩm chất chủ yếu và NL chung: Môn Toán góp phần hình thành và phát triển ở HS các phẩm chất chủ yếu và NL chung theo các mức độ phù hợp với môn học, cấp học đã được quy định tại Chương trình tổng thể

Yêu cầu cần đạt về NL đặc thù: Môn Toán góp phần hình thành và phát triển cho HS NL toán học (biểu hiện tập trung nhất của NL tính toán) bao gồm các thành phần cốt lõi sau: NL tư duy và lập luận toán học; NL MHH toán học; NL giải quyết vấn đề toán học; NL giao tiếp toán học; NL sử dụng công cụ, phương tiện học toán

Nội dung cốt lõi: Nội dung môn Toán được tích hợp xoay quanh ba mạch kiến thức: Số, Đại số và Một số yếu tố Giải tích; Hình học và Đo lường; Thống kê và Xác suất

Số, Đại số và Một số yếu tố giải tích là cơ sở cho tất cả các nghiên cứu sâu hơn về toán học, nhằm hình thành những công cụ toán học để giải quyết các vấn đề của toán học và các lĩnh vực khoa học khác có liên quan; tạo cho

HS khả năng suy luận suy diễn, góp phần phát triển tư duy logic, khả năng

sáng tạo toán học và hình thành khả năng sử dụng các thuật toán Hàm số cũng là công cụ quan trọng cho việc xây dựng các mô hình toán học của các quá trình và hiện tượng trong thế giới thực

Hình học và Đo lường là một trong những thành phần quan trọng của giáo dục toán học, rất cần thiết cho HS trong việc tiếp thu các kiến thức về không gian và phát triển các kĩ năng thực tế thiết yếu Hình học và Đo lường hình thành những công cụ nhằm mô tả các đối tượng, thực thể của thế giới xung quanh; cung cấp cho HS kiến thức, kĩ năng toán học cơ bản về Hình học, Đo lường (với các đại lượng đo thông dụng) và tạo cho HS khả năng suy luận, kĩ năng thực hiện các chứng minh toán học, góp phần vào phát triển tư duy logic, khả năng sáng tạo toán học, trí tưởng tượng không gian và tính trực giác Đồng thời, Hình học còn góp phần giáo dục thẩm mĩ và nâng cao văn hoá toán học cho HS Việc gắn kết Đo lường và Hình học sẽ tăng cường tính trực quan, thực tiễn của việc dạy học môn Toán

Thống kê và Xác suất là đơn vị học phần có vai trò quan trọng trong cuộc sống Thông qua Thống kê và Xác suất góp phần tăng cường tính ứng dụng và giá trị thiết thực của giáo dục toán học Thống kê và Xác suất tạo cho

HS khả năng nhận thức và phân tích các thông tin được thể hiện dưới nhiều hình thức khác nhau, và biết áp dụng tư duy thống kê để phân tích dữ liệu

Việc tiến hành dạy học môn Toán có thể thực hiện dưới nhiều hình thức khác nhau như giao cho HS tiến hành các đề tài, dự án học tập về Toán, đặc biệt là các đề tài và các dự án về ứng dụng toán học trong thực tiễn; tổ chức các trò chơi học toán, câu lạc bộ toán học, diễn đàn, hội thảo, cuộc thi về Toán; ra báo tường (hoặc nội san) về Toán…Những mô hình, phương pháp

dạy học nên trên sẽ góp phần hình thành cho HS năng lực mô hình toán học

- Giúp HS hiểu sâu thêm vai trò và những ứng dụng của Toán học trong thực tiễn; có những hiểu biết về các ngành nghề gắn với môn Toán và giá trị của nó làm cơ sở cho định hướng nghề nghiệp sau THPT

- Tạo cơ hội cho HS nhận biết năng khiếu, sở thích, phát triển hứng thú

và niềm tin trong học Toán; phát triển NL toán học và NL tìm hiểu những vấn

đề có liên quan đến Toán học trong suốt cuộc đời

1.4.2 Kết quả khảo sát bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua dạy nội dung Đại số tổ hợp ở trường THPT

1.4.2.1 Mục đích điều tra

Nhằm khảo sát thực trạng bồi dưỡng NL MHH toán học cho HS thông qua dạy học nội dung Đại số tổ hợp ở trường THPT

1.4.2.2 Nội dung điều tra

Khảo sát ý kiến của GV và khảo sát ý kiến của HS của trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm

1.4.2.3 Kết quả điều tra

1) Kết quả điều tra giáo viên

a Đánh giá ý kiến của GV về tìm hiểu và tiến hành thực hiện đổi mới dạy học, kiểm tra, đánh giá kết quả học tập theo định hướng phát triển năng lực của HS

Bảng 1.1: Đánh giá ý kiến của giáo viên về tìm hiểu và tiến hành thực hiện đổi mới dạy học, kiểm tra, đánh giá kết quả học tập

theo định hướng phát triển năng lực của học sinh

lựa chọn

Tỷ lệ

Đã tìm hiểu và đã tiến hành dạy học theo định hướng

Đã tìm hiểu và đã tiến hành dạy học theo định hướng

phát triển năng lực nhưng không thường xuyên 4 28.6

Đã tìm hiểu nhưng chưa tiến hành dạy học theo định

Kết quả khảo sát cho thấy: Đa phần GV nhận thức được dạy học định hướng phát triển NL HS với tiêu chí “Đã tìm hiểu nhưng chưa tiến hành dạy học theo định hướng phát triển năng lực” với 42.9% Sau đó, “Đã tìm hiểu và

đã tiến hành dạy học theo định hướng phát triển năng lực nhưng không thường xuyên” với 28.6% và có 21.4% GV “Chưa tìm hiểu” Điều đó cho thấy, đa số GV đã nhận thức được tầm quan trọng của dạy học phát triển NL giải quyết vấn đề cho HS nhưng chưa thực hiện thường xuyên

2) Mức độ thường xuyên của dạy học theo mô hình hóa toán học cho học sinh

Biểu đồ 1.1: Mức độ thường xuyên của dạy học theo mô hình hóa toán học

Từ kết quả biểu đồ 1.1 cho thấy, mức độ thường xuyên của dạy học theo MHH toán học cho HS chiếm tỷ lệ khá khiêm tốn là 14.3% Thực tế, qua trò chuyện các GV đã rất quan tâm tới việc hướng dẫn HS vận dụng kiến thức

để giải quyết các vấn đề thực tiễn, định hướng hứng thú ở người học Tuy nhiên, việc thiết kế các hoạt động dạy học để HS tạo ra các sản phẩm hay định hướng sản phẩm trong quá trình hướng dẫn HS vận dụng kiến thức để giải quyết các vấn đề thực tiễn chưa được nhiều GV quan tâm hay thực hiện Điều này cũng có thể hiểu rằng HS chưa có nhiều cơ hội được được đặt trong tình

huống có vấn đề Các hoạt động định hướng hứng thú, vận dụng kiến thức vào thực tiễn mới chỉ dừng ở mức độ lí thuyết là chính

3) Đánh giá của giáo viên về các hình thức dạy học theo mô hình hóa toán học cho học sinh

Biểu đồ 1.2: Đánh giá của giáo viên

về các hình thức dạy học theo mô hình hóa toán học cho học sinh

Tiết tổng kết, ôn tập.

Tỷ lệ

Tỷ lệ

Từ biểu đồ 1.2 cho thấy, đa số GV cho rằng: “Tiết dạy lí thuyết mới”

có khả năng phát triển NL cho HS cao nhất, sau đó là hình thức “Tiết bài tập” với 57.1% GV lựa chọn và 28.6% GV lựa chọn “Tiết thực hành”, các tiết ôn tập, ngoại khóa theo GV ít có khả năng phát triển NL giải quyết vấn đề cho

HS

4) Đánh giá của giáo viên về những định hướng cần thực hiện trong giảng dạy Toán nhằm bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh

Bảng 1.2: Những định hướng cần thực hiện trong giảng dạy Toán nhằm bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh

lựa chọn

Tỷ lệ

Gợi động cơ trong hoạt động mô hình hoá tình huống

thực tiễn cho học sinh thông qua nội dung đại số tổ

Bồi dưỡng thành tố của năng lực mô hình hoá toán

học thông qua quá trình vận dụng đại số tổ hợp vào

thực tiễn dạy học toán

Rèn luyện cho học sinh tự giải quyết một số tình

Kết quả khảo sát cho thấy, việc “Rèn luyện kĩ năng xây dựng mô hình hoá toán học cho một số tình huống” có vai trò vô cùng quan trọng Sau đó là:

“Tổ chức cho học sinh triển khai, kiểm tra và điều chỉnh mô hình toán học”

và “Bồi dưỡng thành tố của năng lực mô hình hoá toán học thông qua quá trình vận dụng đại số tổ hợp vào thực tiễn dạy học toán”

5) Thực trạng mức độ thường xuyên khai thác sâu hơn các mô hình hóa bài toán có nội dung Đại số tổ hợp trong sách giáo khoa Toán

11 giúp học sinh thấy được những ứng dụng rộng rãi của Toán học trong thực tiễn

Biểu đồ 1.3: Thực trạng khai thác sâu hơn các mô hình hóa bài toán có nội dung Đại số tổ hợp trong sách giáo khoa Toán 11 giúp học sinh thấy được những ứng dụng rộng rãi của Toán học trong thực tiễn

Từ biểu đồ 1.3 cho thấy, đa số GV chưa khai thác sâu hơn các MHH bài toán có nội dung Đại số tổ hợp trong sách giáo khoa Toán 11 giúp HS thấy được thấy được những ứng dụng rộng rãi của Toán học trong thực tiễn

6) Đánh giá về mức độ thường xuyên tổ chức các hoạt động thực hành, ngoại khoá Toán học nhằm tạo điều kiện cho học sinh vận dụng Toán học trong cuộc sống của học sinh về mức độ sử dụng câu hỏi, tình huống có vấn đề

Từ biểu đồ 1.4 cho thấy mức độ tổ chức các hoạt động thực hành, ngoại khoá Toán học nhằm tạo điều kiện cho HS vận dụng Toán học trong cuộc sống của HS về mức độ sử dụng câu hỏi, tình huống có vấn đề, GV đã rất quan tâm “câu hỏi, bài tập tình huống có vấn đề” tuy nhiên “không thường xuyên” Trong đó, 17.0% HS cho rằng, GV đã “Có, nhưng rất ít”

Biểu đồ 1.4: Đánh giá về mức độ thường xuyên

tổ chức các hoạt động thực hành, ngoại khoá Toán học

nhằm tạo điều kiện cho học sinh vận dụng Toán học trong cuộc sống của học sinh về mức độ sử dụng câu hỏi, tình huống có vấn đề

33.3

49.6

17.0 0.0

Tỷ lệ

Có, thường xuyên

Có, nhưng không thường xuyên

Có, nhưng rất ít Không

1.4.2.4 Đánh giá chung

Về học sinh: Những trở ngại từ nhận thức của HS với tâm lý ngại đổi

mới, ngại tiếp cận theo phương pháp mới, bởi lẽ MHH làm cho bài học và các

kì thi toán học được yêu cầu cao hơn và khó dự đoán hơn

Về giáo viên: Đối với GV, các hoạt động mà các GV chúng tôi phỏng

vấn thường tổ chức cho HS là:

Khuyến khích, tạo điều kiện để HS giải bài toán theo nhiều cách khác nhau; Yêu cầu HS diễn đạt nội dung toán học dưới nhiều dạng khác nhau; Động viên, khích lệ HS đưa ra dự đoán về phương hướng giải quyết bài toán; Tạo điều kiện để HS tự trình bày lời giải và nêu ý kiến; Đề nghị HS phân tích, tìm tòi, khám phá, phát hiện vấn đề thông qua nghiên cứu, quan sát các hình ảnh trực quan; Sử dụng phương tiện trực quan để vạch ra sai lầm của HS; Yêu