TRƯỜNG TRUNG HỌC PHÓ THÔNG
3. Phép đối xứng trục
> Bài đối xứng trục va đổi xứng tâm đã được đưa vào chương trình toán lớp
8 nhưng các khái niệm này được trình bay gan liên với các hình hình học
đặc biệt. Ở cấp độ này thuật ngữ “phép” chưa xuất hiện. Do đó học sinh
phan nào đã có biểu tượng ban đầu vẻ phép đổi xứng trục và đối xứng
tâm. Tuy nhiên, bai phép đối xứng trục. phép đối xứng tâm được đưa vao chương trình lớp 11 ở cấp độ cao hơn. Phép đối xứng trục, đối xứng tâm được trình bày một cách hệ thống là các phép dời hình. Do đó hai phép này có những tinh chất của phép đời hình.
> Trong bai này, SGK dé cập đến các van dé sau:
® Dịnh nghĩa của phép đối xứng trục.
* Định lý.
= Trục đối xứng của một hình.
* Ap dung.
Trước khi đưa ra định nghĩa phép đối xứng trục, SGK nhắc lại kiến thức
sau: “Điểm M' gọi là đối xứng với điểm M qua đường thẳng a nếu a là đường trung trực của MM’.” Nếu M nằm trên a thì ta xem M đối xứng với chính nó qua a. Đây chính là kiến thức cơ sở để chuẩn bị bước vào định nghĩa phép đối xứng trục. Phép đối xứng qua đường thẳng a được định nghĩa như sau: “Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến
môi điểm M thành điểm M' đối xửng với M qua a.”
> Sau đó, SGK đưa ra ký hiệu vả thuật ngữ của phép đối xứng trục. Phép
đối xứng qua đường thing a thường được ký hiệu là ỉ„. Phộp đối xứng qua đường thắng còn gọi đơn giản là phép đối xứng trục. Đường thẳng a
gọi là trục của phép đổi xứng, hay đơn giản là trục đối xứng. Dé cúng cố kiến thức vừa mới học, SGK thiết kế các hoạt động sau:
1) Qua phép đối xứng trục D, , những điểm nào biến thành chính nó?
> Theo định nghĩa ta thấy qua phép đối xứng trục Ð,„ điểm M biến thành chính nó nếu M đối xửng với chính nó qua a. Điều này chỉ xảy ra khi M nằm trên a (theo phan kiến thức đã trình bảy ở trên).
2) Nếu phép đổi xửng trục Ð, biển điểm M thành điểm M' thì nó biến điểm
M' thành điểm nao? Nếu nó biến hình H thành hinh H' thi no biến hình H"
thành hình nào?
`
SVTH: Đảo Thị Thanh Xuân 26 GVHD: TS. Lẻ Văn Phúc
Rén luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học phép đời hình
> Theo giả thiết ta có: M' = DM), suy ra M' đối xứng với M qua a. Do đỏ
M cũng đổi xứng với M' qua a. Từ đó suy ra 2, biển M' thành M. Do đó nêu nó biến hình H thành hình H' thì nó biến hình HH thành hình H. Hoạt động trên được đưa vào nhằm mục địch cing có kiến thức của học sinh
vừa mới học xong.
> Sau khi trình bày định nghĩa phép đối xứng trục, SGK đưa ra một định lý
sau: "Phép đổi xứng trục la một phép đời hình” Dé chứng mình định lý này, SGK thiết kế hoạt động sau: “Gia sử Ð, là phép đối xứng qua đường
thẳng a, Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy ma Ox là đường thing a. (Xem hình 7 trang 11- SGK hình học 11 nâng cao). Lay hai điểm tùy ý 4(x,:y,) và B(x„:v,„). hãy viết toa độ của 4' = DAA) và 8' = DAB) rôi dùng công thức tinh khoảng cách dé chứng minh A'B' = AB.” Phan hoạt động “hay
viết tọa độ của A’ = D,(A), và B’ = Ð,(B)" buộc học sinh phải đưa ra biếu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox. Từ đó, SGK có đưa thêm hoạt
động yêu câu học sinh đưa ra biểu thức tọa độ của phép đổi Xứng qua trục
Oy.
> So với biểu thức tọa độ của phép tịnh tién, biểu thức tọa độ của phép đi xứng trục có phẩn đơn giản hơn. Đồng thời qua hoạt động trên, học sinh còn được làm quen với việc img dụng phương pháp tọa độ để giải toán
hình học. Bằng cách chọn hệ trục tọa độ thích hợp, ta có thể giải được một
lớp các bai toán phức tap.
> Tiếp theo SGK trình bày trục đối xứng của một hình. Trước khi vào định
nghĩa trục đối xứng của một hình, SGK đưa ra bến hình A, D, P, Q để học
sinh quan sát. Sau đó SGK có dé cập đến tinh “can xửng” của một hình.
“Hinh thứ nhất và thứ hai có tính “cân xứng” vi với mỗi hình, có thể tìm thấy một đường thẳng sao cho phép đối xứng qua đường thẳng đó biến
hình ấy thành chính nó. Các đường thắng đó gọi là trục đối xứng của mỗi
hinh. Hai hình còn lại không “can xứng” vì chúng không có những đường
thing như vậy.” Cách trình bay như vậy giúp học sinh có thé dé dàng hinh dung được hình ảnh trục đổi xửng của một hình và có thé kiểm tra tính
cân xứng của một hình dựa vào quan sát. Sau đó, SGK đưa ra định nghĩa
trục đối xứng của một hình: “Đường thăng d gọi lả trục đổi xứng của hình
H nếu phép đối xứng trục Ð; biến H thành chính nó, tức lá DAH) = H."
Qua định nghĩa này, hình H là một đại lượng bắt biến qua phép đối xứng trục Dy (đ là trục đối xứng của nó). Ngoài ra ta can lam rõ : DH) = H
nghĩa là với mọi điểm M thuộc hình H qua phép đối xứng trục Dy cho ra
SVTH: Dao Thị Thanh Xuân 27 GVHD: TS. Lê Văn Phúc
Reén luyện tư duy thuật toán cho học sinh thong qua day hoc phép đời hình
ảnh M' cũng thuộc hình H. Nhắn mạnh được điều này cũng có nghĩa lả làm nổi bật quan niệm xem hình là một tập hợp điểm. Sau khi đưa vào
định nghĩa trục đối xứng của một hinh, SGK cũng lưu ÿ học sinh la “mot
hình có thé không cỏ trục đối xứng. cũng có thé có một hay nhiễu trục đối xứng". Sau đó SGK có đưa ra hoạt động kiểm tra xem một số hình, hình nao có trục đổi xứng và nếu có thì có mấy trục. Hoạt động nảy cũng nhằm mục địch củng cố kiến thức vừa học. Dé giảm bớt sự nhàm chán của tiết học. SGK có đưa thêm vào hoạt động vui cho thấy dựa vào trục đôi xứng của một hình, ta có thé thu được một số hinh có trục đối xứng khá kỷ thú.
> Sau cùng dé thấy được ứng dụng của phép đối xứng trục, SGK đưa ra bài
toán thực tế khá thú vị (xem SGK hình học L1 nâng cao - trang 12). Sau đó SGK phát biểu bài toán đó đưới dang toán học thuẫn túy như sau: “Cho
hai điểm A va B năm về một phia của đường thing d (xem hình 9 SGK hinh học l1 nâng cao - trang 13). Hãy xác định điểm M trên d sao cho (AM + MB) bé nhất.” Ở đây có thé dat ra câu hỏi là tại sao không đưa bài
toán học thudn túy trên ngay từ đầu mà phải thông qua bài toán thực tế rồi phải mô hình hóa chuyển tải về bài toán học thuần túy. Liệu làm như vậy có phí nhiều thời gian vô ích? Câu trả lời là không. Sở đĩ SGK trình bảy như vậy có thể vì những lý do sau: thứ nhất là để giảm tính khô khan trong tiết học và tạo hứng thú cho học sinh, thứ hai là bai toán có dạng như vậy
rất sát với thực tẾ cuộc sống của con người nên nhu cầu giải quyết nó là rat cao, thứ ba lả rèn luyện cho học sinh khả năng giái quyết các bài toán trong thực tế bằng cách mô hình hoá chúng chuyển vẻ các bải toán hình
học thuần tuý, tir đó có thể thấy rõ được tim quan trọng của toán trong thực tế cuộc sống.
> Để có thẻ giải quyết bài toán học thuần tuý trên, SGK có đưa ra hoạt động
là hãy xét trường hợp A và B nằm ở hai phía của đường thắng d. Trong trường hợp đó, điểm M can tim là điểm nào? Rd rang bài toán trong trường hợp này ta có thé giải một cách để dàng. Sau đó trở lại với bai toán ban đầu (A, B nằm cùng phía của đường thắng d), SGK có gợi ý là sử dụng phép đối xửng trục đẻ chuyển bai toán ban dau vẻ bài toán trong trường hợp hai điểm ở khác phía của đường thing d mà ta đã biết cách
giải. Cụ thé ta giải bài toán như sau:
Lấy B’ = DAB). Vị B và đường thẳng đ là hai đại lượng cố định nên B' có
định.
la có: MAI + MB = MA + MB'2 AB’
SVTH: Đào Thị Thanh Xuân 28 GVHD: TS. Lê Văn Phúc
Rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học phép đời hình
4. Phép quay và phép đối xứng tâm
`“
Vv
Dang thức xảy ra khi M nằm trên AB’.
Vậy (M4+ AB) = AB’ khi M năm trên AB’.
Do đó M 1a giao điểm của AB’ với đường thăng d.
Từ đó suy ra cách xác định điểm M (cách dựng điểm M)
Như đã phân tích ở bài 3, bài đổi xứng trục và đối xứng tâm đã được đưa
vào chương trình lớp 8 nhưng chỉ đừng lại ở cấp độ hiểu khái niệm luôn
gắn liên với những hình dạng hình học cụ thé. Do đó, học sinh phan nao đã có biểu tượng ban đầu vẻ đối xứng trục và đối xứng tâm. Tuy nhiên, phép quay là một khái niệm tương đối mới và lạ đối với học sinh.
Nội dung của bài này được SGK chia thành bốn phần như sau:
Định nghĩa phép quay.
Định lý.
Phép đối xứng tâm.
Ứng dụng của phép quay.
Trong SGK hình học 10 (sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000 — chương trình
cũ), các tác giả SGK có đưa ra định nghĩa sau: “Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O. Với mỗi điểm M, ta xác định điểm M'' nhw sau: trước hết, ta lấy M’ đối xứng với M qua a, sau đó lầy điểm M'' đối xứng với M’
qua b. Phép đặt điểm M'' tương ứng với điểm M như vậy gọi là phép quay quanh điểm O. Điểm O gọi là tâm của phép quay”. Trong định nghĩa trên,
khái niệm phép quay được định nghĩa thông qua tích của hai phép đối xứng trục (hai trục cắt nhau). Tuy nhiên khái niệm tích hai phép biển hình
không được đưa vào chương trình phổ thông nhưng SGK có đưa ra nhận xét rằng phép quay trong định nghĩa trên có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục: trước hết là Ð, và sau đó là phép Dy. Vi tích của hai phép biển hình không có tinh giao hoán nên SGK có nêu ra chú ý
rit rõ là thir tự thực hiện hai phép đổi xứng trục Ð, và Dy là rat quan trọng.
SVTH: Đào Thị Thanh Xuân 29 GVHD: TS. Lé Văn Phúc
Rén luyện tur duy thuật toán cho học sinh thông qua đạy học phép dời hình
Như vậy, ở đây SGK đã sử dụng tính chất của phép quay: “Tích của hai phép đối xứng trục có hai trục cắt nhau là một phép quay, vả ngược lại phép quay có thể được phân tích thành tích của hai phép đối xứng trục với hai trục cắt nhau” để định nghĩa phép quay. Với cách định nghĩa như vậy.
ta sẽ tránh được khái niệm góc định hướng (vì khái niệm nảy học sinh vẫn
chưa được học trong chương trình cũ) va do đó sẽ không gặp khó khan khi chứng minh phép quay là một phép dời hình. Thật vậy với cách định nghĩa
trên thi phép quay [4 tích của hai phép đối xứng trục nên nó không làm
thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bat kỳ, vả do đó nó là một phép dời hình. Tuy nhiên với cách định nghĩa như vậy thì học sinh vẫn chưa hình dung được tại sao gọi phép biến hình trên la phép quay. Do đỏ khi dạy.
can phải làm cho học sinh hiểu rõ tại sao lại gọi phép biến hình (trong
định nghĩa trên) là phép quay: nếu điểm M biến thành M' thi OM = OM’
va góc MOM" luôn có giá trị không đối, bằng hai lần gócœ hợp bởi hai trục đối xứng - góc 2z không đổi đó gọi là góc quay.
Đôi với chương trình mới, học sinh đã được học khái niệm góc lượng giác
va hệ thức Charles nên SGK hinh học 11 nâng cao đưa ra định nghĩa phép
quay như sau: “7rong mặt phẳng cho một điểm O cố định và góc lượng giác không đổi Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biển mỗi điểm M khỏc O thành điểm M' sao cho: OM = OM' và (OM,OM')=ứ
được gọi là phép quay tâm O góc quay @”. Trong định nghĩa này, học
sinh có thé dé dàng nhận thấy có hai đại lượng cé định không đổi đó là tõm O và gúc quay ứ. Vỡ thộ học sinh cú thể hỡnh dung được tại sao gọi
phép biến hình trong định nghĩa trên là một phép quay,
> Sau đó, SGK có đưa ra ký hiệu của phép quay là @. và nếu muốn chỉ rd
tõm quay O va gúc quay ứ thi ta ký hiệu phộp quay đú là Q,,,,. Và để học sinh có thể hình dung rõ về khái niệm phép quay, SGK có đưa ra hình
10 (trang 14) đó là hình ảnh của một lá cờ (C) quay quanh O một góc là
90° thành lá cờ (C’).
> Sau khi định nghĩa phép quay, SGK thiết kế hoạt động sau: “Phép dong nhất cỏ phải là phép biến hình hay không? ". Hoạt động này được đưa vào với mục đích nhằm củng cổ kiến thức vẻ khái niệm phép quay. Ta có điểm M qua phép đồng nhất cho ảnh là chính nó nên OM © OM, và (OA.ỉM')=0. Do đú, theo định nghĩa phộp quay thỡ ta thấy phộp đồng nhất chỉnh là phép quay với góc quay lả 0.
Xí
SVTH: Đào Thị Thanh Xuân 30 GVHD: TS. Lê Văn Phúc
Rén luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học phép đời hình
> Sau khi năm vững định nghĩa của phép quay, SGK có đưa ra định lý sau:
"Phép quay là một phép đời hình ". Như đã phân tích ở trên, để chứng minh được định lý nảy thi nhất thiết phải sứ dụng tới khái niệm góc định hướng và hệ thức Charles. Ma những kiến thức nảy học sinh đã được cung cap trong chương trình lớp 10. Do đó, học sinh sẽ it gặp khó khăn đối với
cách chứng minh được đưa ra trong SGK.
> Sau phan chứng minh định lý, SGK có đưa ra hoạt động sau: “Cho hình
ngũ giác đều ABCDE tâm O (xem hình 12 trang 15). Hãy chỉ ra một số phép quay biến ngũ giác đó thành chính nó". Dau tiên, ta can nhắc lại cho
học sinh khi nào một phép biến hình F biến một hình H thành chính nó. Ta đã biết qua phép biến hình F, một hinh H biến thành chính nó nếu mọi điểm M thuộc H qua phép hinh F cho ra anh M' cùng thuộc H`. Do đó ta có thé gợi ý cho học sinh 1a nên tìm các phép quay biến các điểm của ngũ giác ABCDE thành các điểm của ngũ giác đó (có thể thứ tự các điểm thay đôi). Bên cạnh đó dé ý rằng các tam giác OAB, OBC, OCD, ODE, OEA là các tam giác đều tử đó ta có thể chỉ ra các phép quay sau:
* Phép đồng nhất (vì theo hoạt động trên phép đồng nhất là một phép quay
với góc quay là 0).
s Phộp quay ỉ ,„ biển A, B, C, D, E lần lượt thành E, A, B, C, D. Do đú
3
phép quay này biển ngũ giác ABCDE thành chính nó.
w Phép quay @ , biến A, B, C, D, E lan lượt thanh B, C, D, E, A. Do đó
(0-1)
phép quay này biến ngũ giác ABCDE thành chính nó.
Như vậy ta thấy hoạt động nảy củng có kiến thức của học sinh rất tốt.
> Trong SGK hình học II ban cơ bản, sau khi trình bày định nghĩa của phép
quay SGK nêu ra các tính chất của nó. Tuy nhiên, SGK hình học 11 nâng cao lại không trinh bảy các tính chất của phép quay một cách rd rang.
Thực chất các tính chất của phép quay được hiểu một cách ngẫm an qua
định lý "Phép quay là một phép đời hinh” . Bởi vi phép quay là một phép
đời hình nên nó có các tính chất của phép đời hình “biến ba điểm thing
hàng thành ba điểm thẳng hàng, bien đường thang thành đường thăng.
biển đoạn thang thành đoạn thang bang nó. biến tam giác thành tam giác bing nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.” Do đó sau khi chứng minh xong định lý trên, ta cân lưu ý với học sinh rằng: từ định lý trên ta suy ra phép quay có các tính chất của phép dời hình. Với cách
SVTH: Dao Thị Thanh Xuân 31 GVHD: TS. Lẻ Van Phúc
Rén luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua đạy học phép đời hình
trình bảy như vậy, ta không can nêu lên các tinh chất của phép quay ma qua định lý trên học sinh có thé tự rút ra các tính chất đó một cách dé đảng. Đối với SGK hình học 11 cơ ban thì các tinh chất của phép quay được néu ra rat rõ rang nhưng lại không được chứng minh (có thé vi tinh
phức tap của phép chứng minh nên nó không được đưa vào). Việc chứng
minh trực tiếp các tinh chat của phép quay (được nêu trong SGK hinh 1]
cơ bản) tương đối phức tap va lại cũng không can thiết vì phép quay Ia một phép đời hình nên các tính chat đỏ được suy trực tiếp từ các tính chat
của phép đời hình. Tuy nhiên cách trình bảy của SGK hinh học 11 cơ bản
như vậy cỏ phan hơi áp đặt đối với học sinh. Học sinh chấp nhận các tính chất đó ma không được chứng minh chặt chẽ. Có lẽ dé tránh sự lặp đi lặp lại và tính rườm rà phức tạp trong việc khảo sát cấu trúc các phép biến hình, SGK hình học II nang cao đã đưa vào định nghĩa va tính chất của phép đời hình ngay sau phép tịnh tiến. Do đó khi khảo sát các tính chất của phép quay, phép đối xứng tâm ta chỉ việc suy trực tiếp từ phép dời hình. Chính vì vậy mả ta chỉ việc nêu ra các tỉnh chất đó mà không cần phải chứng minh, bên cạnh đỏ học sinh có thé dé dang tiếp thu được một
cách tự nhiên.
> Sau khi tìm hiểu xong phép quay, phép đối xứng tâm được SGK đưa vào
như là một trường hợp đặc biệt của phép quay đó là phép quay với góc
quay x. Khi đó, nếu O là tâm quay thì mỗi điểm M được biến thành M’
sao cho O là trung điểm của MM’. Bởi vậy, phép quay đặc biệt này côn có tên gọi là phép đối xứng qua điểm O. Từ đó SGK đưa ra định nghĩa của phép đối xứng qua điểm O như sau: “Phép đối xứng qua điểm O là một phép biển hình biển mỗi điểm M thành điểm M' đỗi xứng với M qua O, có
sau:
s- Thứ nhất lả tạo được tính liên tục của bài học.
* Thứ hai la giúp học sinh thấy được mối quan hệ giữa phép đổi xứng tâm
va phép quay.
*® Thứ ba là ta cỏ thé suy ra được các tinh chất của phép đối xứng tâm thông
qua tính chất của phép quay ma không can phải chứng minh lai, vi phép đổi xứng tim chính là một phép quay đặc biệt. Do đó, SGK hình học 11
nâng cao không trình bày các tính chất của phép đối xửng tâm. Trong khi đó, SGK hình học |! cơ bản trình bảy rất day đủ từ định nghĩa đến tính
chất của các phép đời hình (phép tịnh tiến, đối xứng trục, phép quay, phép
SVTH: Đảo Thị Thanh Xuân 32 GVHD: TS. Lê Văn Phúc