Do đó, khóa luận này này hướng đến việc cải tiến kết quả của cho toán tử loại Schrodinger —div{ AV} + W với biên Neumann trên miền Lipschitz bị chặn.. Bồ cục khóa luận sẽ lẫn lượt trình
Trang 1Khóa luận tốt nghiệp
PHƯƠNG PHÁP THÊ VỊ LỚP CHO BÀI TOÁN BIEN VỚI DU LIEU 7z
Ho và tên: Nguyễn Đức Trung
MSSV: 46.01.101.181
GVHD: TS Nguyễn Ngọc Trọng
TPHCM, Tháng 5, 2024
Trang 2Lời nói đầu
Trong những năm qua, bài toán giá trị biên cho phương trình đạo hàm riêng vẫn
luõn được nghiên cứu và phát triển Đặc biệt, ta quan tâm đến trường hợp dữ
liêu đầu vào không liên tục Verchota [8] đã nghiên cứu bài toán Neumann và bài toán Dirichlet trên miền Lipschitz cho toán tử Laplace Tiếp sau đó, Shen [B]
đã mở rộng thành công cho bài toán Neumann trên miễn Lipschitz cho toán tử
Schrodinger -A+V với V € RH Tao [6] đã cải tiến kết quả trên cho V € RH,.
Gần day, Shen [4] đã nghiên cứu thành céng bài toán Neumann cho hệ phương
trình trên miễn Lipschitz với toán tử —div{ AV).
Do đó, khóa luận này này hướng đến việc cải tiến kết quả của cho toán tử loại Schrodinger —div{ AV} + W với biên Neumann trên miền
Lipschitz bị chặn
Bồ cục khóa luận sẽ lẫn lượt trình bày vẻ tính giải được của bài toán và đánh giá chính quy cho nghiệm của bài toán được đưa ra Trước khi đi vào chỉ tiết nội dung, ta khái quát sơ lược bài toán cần giải quyết cùng một số giải thích và thống nhất về mặt ký hiệu trong các phần sau của khóa luận.
Xuyên suốt khóa luận, 2 là kí hiệu cho miền Lipschitz bị chặn và 2 c &",
với n > 3 Thế năng V € RH nghĩa là tồn tại Cx.
e
VI p< < V(X)ảX,
IM || cece) BI Jp )
với moi B la qua cầu trong 8" Khi đó, ta có tính chat V(X) < Cm{(V,X)*, một
trong những tính chất quan trọng của lớp RH khác so với lép RH, Tiếp theo
ta cần làm rõ một số ký hiệu cũng như nhac lại một số đỉnh nghĩa can thiết.
Cho điểm Q nam trên biên Ø9, đặt IT*(@) là nón bên trong Q,
F†(Q) ={Xe9:|X - Q| < 3ã(X)},
và FT(@) là nón bên ngoài 2,
P~(Q) = {X e€E"\9: |X - Q| < 26(X)}
Trang 3Nguyễn Đúc Trung Khéa Luận Tắt Nghiệp
trong đó, đ(X) là kí hiện cho khoảng cách từ X đến biên Trong bài, nếu ta
không cần làm rõ nón phía trong hay phía ngoài 2 thì kí hiệu PQ) := F7(@).
lý hiệu (p,q) là tích võ hướng giữa hai vectơ p,q và cũng có thể được ký hiệu là
Pq
Cho ham w xác dinh trên ©, ta định nghĩa ham cực đại nón ứ* trên A? là
w(Q}= sup |ư(X)|.
XeT(@)Đặt A(Q,r) = Z{Q,r) NBO với Q € AD và ? < diam(99), trong đó
Z(@.r) = {(X', Xn): |X" = @f < #,|Xu — ạ| < (1+ 2)r},
và + là hệ số Lipschitz của biên.
Trong suốt khóa luận, A = (a; ;} là ma trận hằng cấp n xa, đối xứng, bị chăn
và eliptic đều Nghĩa là:
ayy = ay ¡ 3A € (0,1]sao cho A|€|# < So a££; ATED,
hau khắp nơi với Q € AN trong đó Z(Q) là veetơ pháp tuyến đơn vị hướng ra
ngoài biên aN
Ta sẽ hướng tới chứng minh kết quả chính nhi sau:
Định lý 0.1 Cho Q là miền Lipschitz bị chặn, V € RH, va ạ € L?(09) Khi
đó tần tại nghiệm của bài toán sau:
Trang 4Nguuễn Đức Trung Kháa Luận Tắt Nghiệp
Bồ cục của khóa luận được sắp xếp như sau: Chương dau tiên, ta sẽ giới thiệu một số kết quả quan trong, đặc biệt là bat dang thức Harnack yếu và đánh giá
nghiêm cơ bản của toán tử =đ¿(4V) + V Chương thứ hai, ta sẽ xét tính giải
được của bài toán với dit liệu LẺ và đưa ra đánh giá chính quy nghiệm trong
trong với dif liệu nay
Ta lưu ý rằng C là hằng số dương và có thể khác nhau trên từng dòng nó
phụ thuộc vào n, hệ số Lipschitz + và hằng số C,, của lớp RH Kí tự X và Y
là những điểm thuộc @ hoặc R", trong khi đó Q và P là những điểm trén biên
On Dat
D(X,r) = B(X,r)n® với X e 8.
Ta viết AS B (hoặc B > A) và A ~ nếu tốn tại các hằng số dương Œ,C!
không phu thuộc vào A, B sao cho A= CB và C'’A < Ð < CA tương ứng
Khoa Toán - Tin học 1 Trường Đại học Su Pham TPHCM
Trang 5L Một số kết qua quan trọng cho toán tử -¿(4V) 4 V
1.1 Hàm phụ trợ
1.2 Một số bất dang thức cho nghiệêm|
1.3 Nghiệm cơ ban
“Tài liệu tham khảo
bo
9
13
27
Trang 6Chương 1
Một số kết quả quan trọng
cho toán tu —div(AV)+V
Trong chương này ta sẽ giới thiệu một số định nghĩa và tính chất quan trọng.
Trong đó nối bat là Bất dang thức Harnack yêu và đánh giá nghiệm cơ bản của
toán tử —div{ AV) + V.
1.1 Ham phụ trợ
Dinh lý 1.1 (Bo đề 1.8 trong BỊ) Tôn tai C > 0e >0 va ky > 0 chỉ phụ thuộc uào n va hằng số RH, sao cho tới mọi X.Y € R"
a) m{V, X) ~ ra(V,Y) nếu |X = Y| < UY:
b) rm{(V,Y ) < (1 + |X = Y|¿n{(V, X)}" m{V, XI).
Trang 7Nguyễn Đức Trung Kháa Luận Tắt Nghiệp
Định lý 1.3 (Bồ dé 1.11 trong ]) Cho ue CHR") Thì:
[ lec{x)[?.m(V,X)PdX < Π| |Vul?dX + Πif |u(X)|?.V(X)4X.
q e a
1.2 Một số bất đẳng thức cho nghiệm
Định lý 1.4 (Bồ dé 2.3 trong [H|) Cho u € W!?(B(Xq,2R)) là nghiệm của
—div(AVu) + Vu = 0 trên B(Xo.2R) Cho z € (0,1) thi tần tar hằng số C > 0 chỉ
phụ thuộc tào n va À sao cho:
: ; Cc 2
(\Vul? + V|u|?)dX < nam Í, |u|“+X.
_ (1-7)? R? B(Xu,#)
Định lý 1.5 (Dinh lý 6.1 trong [2]) Cho Q là miền Lipschitz bị chăn trong R°
vdin > 2 Cho E C AQ thỏa o( BE) > 0 Thi tốn tai hàng số C = C{n,9, E) > 0
sao cho:
[ wweax < c{ |Vu|?d4X + | Pde :
£2 Jat JE
vdi moi u € IV 2(Q).
Dinh lý 1.6 Cho Xp 6 2, R>0, V € RHx tà u là nghiệm của —div(AVu) +
Vu = 0 trong Z(Xo,2R) AQ Giá sử (Vu)` € L7(Z(Xp,2R) 09) va (AVu, 7) = 0
trên Z(Xp,3R)n08 Khi đó, ta có đánh giá:
sup jul <Πzl ul?aX
Trang 8Nguyễn Đúc Trung Khéa Luận Tắt Nghiệp
Lay y < CX(B(Xo, $f)) và D = D(Xo, 3#) Theo công thức tích phân từng phan:
[(AVw).Z] Uay.@ dư = | vy erdiv( A VujydX
| [(AVu) Vy] vuy.jdX = | |(VEPVuu)(VEPV2)| 2.0aydX.
Theo tính chat eliptic déu, ta có:
Mel? < [VEPs] - (vEr) (VEPs)
= (Ag) ‹€
Khoa Toán - Tin học 5 Trường Đại học Su Pham TPHCM
Trang 9Nguyễn Đúc Trung Khéa Luận Tắt Nghiệp
Trang 10Nguuễn Đức Trung Kháa Luận Tắt Nghiệp
Chứng minh được hoàn thành, 1
Dinh lý 1.7 (Bắt đẳng thức Harnack yếu) Cho V € RH Xy) € 2, R>0
va —div(AVu) + Vu = 0 trong Z(Xu,2R)nQ, Giả sử (Vu) € L?(Z(Xp,2R) dQ)
va (AVu,ø) = 0 trên Z(Xo,2R)N AQ Thì với mỗi số nguyén dương k sẽ ton tar hằng số Cy sao cho:
.: Ck 1 2 PP 2
sup |u[ S==———————_~r: | = jul-dY |}
X€P(Xu,R) {1+ Rm(VXq)}* VR Pp(x,2m
hứng minh Ta có thé giả sử Xp € Ø0 Do (Vu)* € L3(Z(Xo,2R) nð9) va
{AVu, 7) = 0 trên Z{Xp,2R)N AQ Theo Dinh lý [1.6] ta có:
i |Vu|°dX + / jul?.VdX < = jul?ax.
J D(Xo.28} J D(Xo.22) Re Jn(x,am
Cho n € CX (B (Xo, 4#)) sao cho » ~ 1 trên B(Xo, R) và |Vợi < § Theo bắt
Khoa Toán - Tin học 7 Trường Đại học Su Pham TPHCM
Trang 11Nguyễn Đúc Trung Khéa Luận Tắt Nghiệp
đẳng thức Fefferman-Phong, ta áp dụng cho hàm uy, ta có
| mm{V, X)*.|u|®4X = | mV, X)*.Junl?dXD{NXo.R) D{Xo.8)
< / \Vul*dX +C | |u|?.VdX + a jul7aX
(D{(Xa.3#)) (D(Xo.2£)) D(Xu.R)
Cm(V, Xa)" Xa) ff |w|?dX < | mV, X)Ê.|u|?dX < =.
(RR D(Xu,R) D(Xo.R) RY Íp(xua) jul*dX.
Khoa Toán - Tin học 8 Trường Dai học Su Pham TPHCM
Trang 12Nguyễn Đúc Trung Khéa Luận Tắt Nghiệp
1.3 Nghiệm cơ ban
Bay giờ ta dat Pọ(X,Y} là nghiệm cơ ban của toán tử —div(AVu) trong R" Tit
[I], ta có hai đánh giá sau:
Trang 13Nguyễn Đúc Trung Khéa Luận Tắt Nghiệp
Định lý 1.8 Tén tại C > 0 sao cho uới X,Y € BR" va |X — Y| < sappy ta có
|F(X,Y) - Fa(X,Y)| < Non néun > 4.
R» [Xo — Z["-2 (1 + |Z — Ya|.m(V, Yo))* |Z — Yo|^~2
B{(Xo,1#) BYR) |Z—Xol>rof2
\Z=Ya|>re/2
t=l+ II + III,
trong đó, ry = |X¿ — Yo
Xét I, rõ ràng, ro = |Xo—Yol < |Xo—Z|+|Z—Yo] < #+|Z—Yo| nên $ < |Z— |
Do |Z - Xạ| < 2< TTUZ] nên m(V,Z) ~ m(V, Xa) Khi đó,
Khoa Toán - Tin học 10 Trường Đại học Su Pham TPHCM
Trang 14Nguyễn Đức Trung Kháa Luận Tắt Nghiệp
JII= | ; j,i _ BIn=e faa |e ni sesuEnine.ciaa
2P m/2 [Ấn — Z|"? (1 + |Z — Yol-m(V, Yo)}" |Z — Yaln~2
2 (1 + |Z — Xo|.m(V, Xp)}??? œn(W, Xe)242
= IZ—.Xu|>ru#even |Xo — ZI*=? (1 + |Z — Yol-m(V Yạ))”.|Z — Yo|"-?2 7 z k , 2°
Mà
1+ |Xo — Z).m(V, Xo) < 1+ |Z = Ya|an(V, Xo) + Xo — Yol-m(V, Xa)
< 1+ |Z = Ya|m(V, Xo) + 2|2 — Ya|.m(V, Xo)
< 3(1 + |Z — Wa|.m(W, Xạ)).
Nên
{1 + |Xo — Z|ön(V, Xo)}* < Cy {L+ |Z — Ya|.m{(V, Xe)}Ÿ và [Xe — Z| < 3|Z — Yol.
Khoa Toán - Tin học lội Trường Dei học Su Pham TPHCM
Trang 15Nguyễn Đúc Trung Khéa Luận Tắt Nghiệp
Bat dang thức còn lai lập luận tương tu như trên bằng cách áp dụng cho
VxLI(X,Y)- VxIo(X - Y) = -f VxvIo(X.Z)V(Z)ÉŒY)#.
l[(Vu)” | pecan) = CIS I copay:
Chứng minh Chứng minh theo từng dong trong BỊ CO
Khoa Toán - Tin học 12 Trường Đại học Su Pham TPHCM
Trang 16Chương 2
Sự ton tại nghiệm và đánh
Trong chương này, bằng lý thuyết Fredholm và một số tính chat của tích phân
kỳ di ta sẽ chứng minh sự tốn tại nghiệm với dữ liên LẺ Sau đó, bằng cách xây
dựng một ham Neumann ta đạt được đánh giá chính quy nghiệm trong trường
hợp này Dau tiên, ta xét sư tồn tại nghiêm của bài toán với dit liệu (20).
Lay f € L*(AQ), p € (1,00) Dat:
Trang 17Nguyễn Đúc Trung Khéa Luận Tắt Nghiệp
Bồ đề 2.1 Với các giải thiết như trong Dinh lý |0 1Ì ta cá
=(K div AT) eV — Ko ging av) (f)(P).
Theo Dinh ly (1.8) với |X - Y| < „yếm ta có
Trang 18Nguyễn Đúc Trung Khéa Luận Tắt Nghiệp
Trang 19Nguyễn Đúc Trung Khéa Luận Tắt Nghiệp
< CIfllrsyany-m(V, PI"), aN]? < +00,
trong đó, p và g là số mũ déi ngẫu Vay
m(V, P)?
/ Qean IP~opz1/490149 < +00
Khoa Toán - Tin học 16 Trường Dai học Su Pham TPHCM
Trang 20Nguyễn Đúc Trung Khéa Luận Tắt Nghiệp
Tw lập luân trên kết hợp với
Xinh Bị (AVT(X, Q) - AVTa(X, Q),Ø(P)) /(Q)
Dinh Nghia 2.2 (Dinh nghĩa 3.3 trong [f]) Toán tử tích phân ki di T :
LP(09) =x LP(OQ), p € (1,) được rác định bởi nhân K liền tục được gọt là
kì di yếu, néu tồn tại 0 < a <n = L sao cho nhân thỏa man
|K{X Y)| < Cc |X = yt ;
vee mọi XY € 0Q tái X FY.
Khoa Toán - Tin học 17 Trường Đại học Su Pham TPHCM
Trang 21Nguuễn Đức Trung Kháa Luận Tắt Nghiệp
Dinh lý 2.3 (Dinh lý 3.4 trong [f|) Toán tử tích phân kù di yêu: T : LP(00) >L?(0Q) là compact.
Từ Dinh nghĩa E-2) và Dinh lý [2.3] ta có K7” điu(AV)+V — KY gio AT) với
p€ (1,œ) là toán tử compact Vậy
(ANu,)” (P)= liam (AVUCX) BP) = (—S1+ Kec amps) LMP).
Gia sử (u + Ke ương) (f)(P) = 0, hau khắp nơi P ØQ Theo công thức
Suy ra Vu = 0 trong 2 Do 2 là miền Lipschitz nén uv = const trong 2.
Mac khác, theo nguyên lý kẹp:
lim u(X)=0
|\X|>00
Suy ra, «= 0 trong 2 Khi đó:
u(P) = lim u{X) = lim (X}=0
Trang 22Nguyễn Đúc Trung Khéa Luận Tắt Nghiệp
Suy ra, Vu = 0 trong #" \ 2 Vậy
hay
(5! - K* away) (f)(P} = 0, hau khắp nơi P € ở9.
Vậy $/ + TT gu Acy¿v Ì L*(8Q) > L?(aQ) là một don ánh.
Chứng minh được hoàn thành IR
Bồ dé 2.5 Cho k > 0 là số nguyên tity g, tần tai hằng số Cy không phu thuộc
vao X,Y va dường kính miền Q sao cho
Cy
INYO S aa XIX — YD YP?
Chứng minh Cé đình Xo Yo € Q Dat: rạ = |Xo = Mại.
Trang 23Nguyễn Đúc Trung Khéa Luận Tắt Nghiệp
Ta có v € W(Q) và v là nghiệm của phương trình sau:
Trang 24Nguyễn Đúc Trung Khéa Luận Tắt Nghiệp
Trang 25Nguuễn Đức Trung Kháa Luận Tắt Nghiệp
28or(Eu+1) je? <€ |e/| <€ |e| fl?
(2))ˆ” Đ(Xo,2ro} Đ(Xa,2ra} D[Xa.3ra) ĐCXo.2re}
Theo Dinh lý [1.7Ìta có
‹cạ@)— LẦN rem (Xe, VỆ CF scam
Khoa Toán - Tin học 22 Trường Dai học Su Pham TPHCM
Trang 26Nguyễn Đúc Trung Khéa Luận Tắt Nghiệp
Theo định lý biểu điển Riesz như trên, ta có:
Chứng minh được hoàn tat oO
Bay giờ, ta chứng minh đánh giá chính quy trong Dinh lý
Định lý 2.6 Với gid thiết giống như Dinh ly{0.i} Ta có
Trang 27Nguyễn Đức Trung Khéa Luận Tắt Nghiệp
Theo đánh giá hàm Neumann NV(X,¥) va bat đẳng thức Holder, ta có:
Trang 28Nguyễn Đúc Trung Khéa Luận Tắt Nghiệp
Bằng công thức biểu dién Green, ta được:
Trang 29Kết luận
Với những ứng dung quan trọng trong vật lý cơ học lượng tử, trong y học và
các ngành khoa học nói chung Bài toán giá trị biên với dữ liệu không trơn luõn
nhận được nhiều sự quan tầm và phát triển không ngừng Ở khóa luận này, chúng tôi chưa phát triển tính duy nhất nghiêm cho bài toán Chính vì lý do đó,
hướng phát triển tiếp theo cho bài toán này đó là ta sẽ tìm điều kiên thích hợp
để thu được tính duy nhất nghiêm Hơn nữa, chúng tôi sẽ dự kiến phát triển
phương pháp thé vị lớp này cho các toán tử tuyến tính khác, thậm chí có thé
là phi tuyến, kèm theo đó là phát triển cho loại biên Robin, một loại biên cũng khá phố biến trong toán học những năm gẵn đây.
Sau cùng, xin gửi lời cảm ơn đến giảng viên hướng dẫn, thay TS Nguyễn
Ngọc Trong đã hỗ trợ giúp tôi hoàn thành khóa luận này Trân trọng cảm ơn,
Trường Đại học Sư Phạm TPHCM đã giúp tôi có điều kiện thực hiện khóa luận
và hỗ trợ làm tài liệu tham khảo cho các thé hệ sau Trong khóa luận có thể
còn những lỗi sai sót, rat mong nhận được sự thông cảm và góp ý chan thành
từ người đọc
26
Trang 30Tài liệu tham khảo
dị Kurata, K and Sugano, S., A Remark on Estimates for Uniformly Elliptic
Operators on Weighted Lp Spaces and Morrey Spaces; Math Nachr 209 (2000), 137 - 150.
2) Lanzani, L and Shen, Z., On the Robin Boundary Condition for Laplaces
Equation in Lipschitz Domains; Communication in partial differential
equa-tion Vol 29, Nos.1 and 2, pp.91-109, (2004).
3) Shen, Z., On the Neumann problem for Schrodinger operators in Lipschitz
domains; Indiana Univ.Math J (1) 43(1994), 143-174.
4) Shen, Z., The L? boundary value problems on Lipschitz domains; Advances
in Mathematics 216 (2007) 212-254
[5] Stein, E.M., Singular Integral Operators and Differentiability Properties of
Functions; Princeton University Press, 1970.
[6] Tao, X and Wang, H., On the Neumann Problem for the Schrodinger
Equa-tions with Singular Potentials in Lipschitz Domains; Canad J Math Vol
56 (3), 2004 pp 655-672.
[7Ì Vannekoski, J., The Method of Layer Potentials Unique Solvability of the
Dirichlet Problem for Laplace’s Equation in Cl-domains with Lp -Boundary
Data; Department of Mathematics and Statistics Faculty of Science
Univer-sity of Helsinki, Finland October 2, 2014.
[8] Verchota, G.C., Layer potentials and regularity for the Dirichlet problem
for Laplace’s equation on Lipschitz domains J Funct Anal 59, 572-611
(1984).