Mục lục
Trang phụ bìa Ặ.Ặ Ặ Q LH eeLời cam đoan Ặ Ặ Q Q Q ee ee
Bài toán biên cổ điển đối với phương trình parabolic 22
Chương 2_ Bài toán biên cổ điển đối với phương trình GVP elliptic 302.12.22.32.4Không gianhàm 30
2.1.1 Dinhnghia 30
2.1.2 Tínhchất 31
Toán tử giả vi phan (GVP) trongR” 34
Bài toán biên trên nửa không gian 40
Bài toán biên trên miền bịchặn 47
Chương 3_ Bài toán biên không cổ điển đối với phương trình elliptic 62
Trang 2Chương 4 Bai toán biên không cổ điển đối với phương trình
parabolic 88
4.1 Không glanhàm Ặ 884.1.1 Dinhnghia 88
41.2 Tínhchất 91
4.2 Bài toán biên cổ điển đối với phương trình GVP parabolic
trên nửa trụ vôhạn ốc 96
4.3 Bài toán biên không cổ điển đối với phương trình GVP
parabolic tuyến tính trên nửa trụ vôhạn 102
4.4 Bài toán biên không cổ điển đối với phương trình GVP
parabolic nửa tuyến tính trên nửa trụ vôhạn 114
Kết quả và bàn luận 122
Kết quả nghiên cứu và bàn luận 122
Kiến nghị về những nghiên cứu tiếptheo 125
Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luậnán 126
Tài liệu tham khảo Ặ 127
Trang 3Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt
N = {I1,2, }: tập số tự nhiên, Z2: tập số nguyên,
Z¡ = {m € Z|m > 0} : tập các số nguyên không âm.
Z = {a = (œI,da, On) |aj € Z,aj > 0,7 = 1,2 ,n} : tập các đa
chỉ số và với a € Z" ký hiệu |œ| = 3 Qj.
RR : tập số thực, C : tập số phức Don vị ảo —1 =i.
Với mỗi z € ký hiệu Sz là phần ảo, Itz là phần thực.
Với mỗi p € R,1 < p < +co, số Ø là số đối ngẫu của p, nghĩa là h + h = 1.
Với mỗi a € R, ký hiệu [a] là số nguyên lớn nhất không lớn hon a.
R” = {a = (x1, 22, " vn) € R” | Ln > 0},
R” = {x = (đ1,#2, ,„) € R"| 2p > 0}.
Với z € R” (hay R") ký hiệu 2’ = (#I, ,#„_1):
Nếu không có gì đặc biệt, ký hiệu © là tập mở trong R”.Với mỗi k € Z, ký hiệu các tập như sau:
C*(Q) = {u: 9 — Clu khả vi liên tục đến cấp k},
C() = Œ9(Q) = {u: Q'S CỊ,
Œ(O) = {ue “(0 )| supp u là tap compact}, Co(Q) = Cp (Q)
C'(Q) = {u € C*(Q) )| đạo hàm riêng cấp k của + là ham Lipschitz}
C%(9) = nC"(9), C#(9) = nˆ¡Có(9),
C@(R}) = {u: Rt — C| có hàm lu € C@°(R") mà lu̧„ = Uf,
trong đó, suppu = cl{x € ©|u(z) # 0}.
Trang 4Với mỗi số thực 1 < p < œ, ký hiệu
L,(Q) ={u: 9 a C| (ela) < +00};Lebesgue
là không gian các ham khả tích cấp p trên © với chuẩn
elegy = Cf lular)?
VỚI p = oo, ký hiệu
D(Q) = {u: 2 Cless 7 reQsup |u(x)| < +00},
là không gian các hàm bi chặn hầu khắp nơi trên Q với chuẩn
|lulÌr (o) = ess sup |u(z)|,
trong đó, ess sup,cq |u(x)| = inf{M > 0]m{x € @||u(z)| > M} = 0}.
Với mỗi 1 < p < 00,0 < s ký hiệu các không gian Sobolev W,,,(().Với s € Z,, không gian Sobolev
trong đó, D° = DY De", D; = On
Với s ¢ Z,, không gian Sobolev W, ,(Q
) được định nghĩa bằng phép nội suy.
Khi p = 2, để đơn giản ta ký hiệu H,(Q) W; ›(©).
Phép biến đổi Fourier trong R”
2„u(£) = (2n)-3 | el) un) de.
Phép biến đổi Laplace
Trang 5Mo dau
Ly thuyết Phuong trình vi phan đạo ham riêng được nghiên cứu đầu tiên trong
các công trình của Euler, d'Alembert, Lagrange và Laplace như một công cu
chính để mô tả cơ học cũng như là mô hình giải tích của vật lý Cho đến giờ,
mô hình giải tích của vật lý vẫn là một trong những yếu tố cơ bản trong sự
phát triển của Lý thuyết Phương trình vi phân đạo hàm riêng Vào giữa thế kỷ
19, đặc biệt với công trình của Riemann, Lý thuyết Phương trình vi phân đạo
hàm riêng đã chứng tỏ là một công cụ thiết yếu của nhiều ngành toán học.
Cuối thế kỷ 19, H Poincare đã chỉ ra mối quan hệ biện chứng giữa Lý thuyếtPhương trình vi phân đạo hàm riêng và các ngành toán học khác Sang thế ky
20, Lý thuyết Phương trình vi phân đạo hàm riêng phát triển mạnh mẽ nhờ
công cụ Giải tích hàm Đặc biệt khi Lý thuyết hàm suy rộng được xây dựng
bởi S L Sobolev, L Schwartz được kết hợp với Giải tích Fourier nhiều bai
toán đã được giải quyết Chẳng hạn bài toán biên elliptic tuyến tính được giải
quyết khá tron vẹn (có thể xem trong công trình của M S Agranovich [3] va
các tài liệu tham khảo trong đó) Bằng lý thuyết nửa nhóm cùng các kết quả
từ toán tử elliptic, một số lớp bài toán parabolic, còn được gọi là phương trìnhtiến hóa, cũng đã được nghiên cứu bởi E Hille, K Yosida, F E Browder, H.
Brezis, J L Lions, E Magnes, E B Davies, v.v Bài toán hyperbolic cũng
đã có được những kết qua dep qua các công trình cua I G Petrovski, J Leray,
L Garding, v.v Theo L Hormander (xem trong [26]), các công trình vềtoán tu hyperbolic của I G Petrovski như một điều du báo về su ra đời của
Lý thuyết toán tử Giả vi phân, một trong những công cụ hữu hiệu để nghiên
cứu Lý thuyết Phương trình vi phân đạo hàm riêng không chỉ tuyến tính màcả với phi tuyến.
Lý thuyết toán tử GVP là sự phát triển của Lý thuyết tích phân kỳ dị kết hợpvới Giải tích Fourier Tích phân kỳ dị, chẳng hạn tích phân với nhân Poisson
hay biến đổi Hilbert, biến đổi Riesz, được nghiên cứu từ lâu bởi nhiều tác
giả như Poisson, D Hilbert, v.v., nhưng có lẽ phải đến các công trình của
9
Trang 6A P Calderon, A Zygmund, S G Mikhlin và sau đó là các học trò của
A Zygmund như E Stein, nó bắt đầu trở thành một công cụ thực sự trong
việc nghiên cứu Lý thuyết Phương trình vi phân đạo hàm riêng Lý thuyết
tích phân ky dị kết hợp với Giải tích Fourier tiếp tục được J J Kohn, L.
Nirenberg, L Hormander phát triển thành Lý thuyết toán tử GVP Một trong
những kết qua dep dựa một phần trên Lý thuyết toán tử GVP là Định lý về chỉ
số Atiyah- Singer, sự giao thoa giữa nhiều ngành toán học Lý thuyết Phương
trình vi phân đạo hàm riêng, Lý thuyết Tôpô- Đại số, Lý thuyết Hình Đại số Dựa vào Lý thuyết toán tử GVP, F Treves, L Nirenberg([{32], [33])
học-đã giải quyết trọn vẹn bài toán về tính giải được địa phương cho toán tử vi
phân kiểu chính (chú ý rằng nói chung không thể giải được toàn cục, chẳng
hạn đối với phương trình elliptic người ta cũng chỉ có thể giải được một cách
địa phương) Cùng với nhiều công trình trước đó của L Hormander[26], Yu.
V Egorov[18], R Beals, C Fefferman[5], N Lerner[28], v.v., gần day N.
Dencker ([12], [13], [14]) mới giải quyết trọn vẹn bài toán về tính giải được
địa phương cho toán tử GVP kiểu chính Một kết quả lý thú khác về tính
subelliptic, tính chất nằm giữa elliptic và hyperbolic, là Yu V Egorov đã đưa
ra được điều kiện cần và đủ để một toán tử GVP là subelliptic Kết quả này
được bắt nguồn từ công trình viết chung với V A Kondratiev về bài toán đạo
hàm nghiêng Khi khảo sát một vài lớp bài toán đạo hàm nghiêng cụ thể bằngcách chuyển thành toán tử GVP cùng với sự nghiên cứu các kết quả trước đócủa L Hormander, Yu V Egorov đã tìm ra được phép biến đổi chính tắc, rồi
từ đó đi đến điều kiện cần và đủ để một toán tử GVP là subelliptic.
Bài toán dao hàm nghiêng, nghĩa là bài toán biên cho phương trình vi phan
cấp 2, chang hạn phương trình Laplace Au = ƒ, với điều kiện biên đạo
hàm nghiêng a ` g trong miền © bị chặn trong không gian có số chiều
không nhỏ hơn 3, với biên trơn Ø©, theo Yu V Egorov, V A Kondratievđược đặt ra bởi H Poincare Tuy nhiên, cho đến trước năm 1963, bài toán
lôi ¿
đạo hàm nghiêng chi được xét khi trường véc-tơ D, = ap không tiếp xúc
10
Trang 7với biên Phải đến công trình [6] của A V Bisadze, năm 1963, bài toán
đạo hàm nghiêng mới được xét khi trường véc-to Ù„ tiếp xúc với biên, cu
thể A V Bisadze xét bài toán biên cho phương trình Laplace trong hình cầu
B = {(ai,za,z3) € R | aj + 25 + x3 < 1} trong không gian 3 chiều với
điều kiện biên trên mặt cầu Š = {(21, 72,73) € R® | z‡ + z§ + z3 = 1}
cầu S Để thuận tiện cho việc phát biểu sau này, chúng tôi gội bài toán đạo
hàm nghiêng mà trường véc-tơ đạo hàm nghiêng tiếp xúc với biên là bài toán
đạo hàm nghiêng không cổ điển phân biệt với các bài toán đạo hàm nghiêngđược trước năm 1963 Việc nghiên cứu bài toán đạo hàm nghiêng không cổ
điển gặp nhiều khó khăn Một trong những khó khăn là loại bài toán đạo hàm
nghiêng không cổ điển này không thỏa mãn Điều kiện Shapiro- Lopatinski
như các bài toán biên Dirichlet, Neuman hay các bài toán dao hàm nghiêng
cổ điển Chúng tôi cũng xin được gọi bài toán biên không thỏa mãn Điềukiện Shapiro- Lopatinski là bài toán biên không cổ điển để phân biệt với bài
toán biên thỏa mãn Điều kiện Shapiro- Lopatinski Sau công trình [6], A V.
Bisadze và nhiều tác giả khác như R Borrelli, L Hormander, Yu V Egorov,V A Kondratiev, M B Malyutov, V G Mazya, Nguyễn Minh Chương,
Lê Quang Trung, v.v , cũng có những kết quả lý thú về bài toán đạo hàm
nghiêng không cổ điển Một trong các kết quả lý thú là công trình [17] của
Yu V Egorov- V A Kondratiev Trong công trình [17], Yu V Egorov- V.
A Kondratiev đã giải quyết khá trọn ven bài toán dao ham nghiêng không cổđiển, cụ thể là bài toán biên cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp 2
trong miền bị chặn (2) trong không gian với số chiều lớn hơn 2, với điều kiện
biên đạo hàm nghiêng D,u = g trên biên tron O02, khi trường véc-tơ D, tiếp
11
Trang 8xúc với biên OC tại những điểm thuộc da tạp con trơn (n — 2)— chiều Tp củabiên OQ Để giải quyết bài toán này, các tác giả đã phan T'ọ thành ba loại, tùy
theo hình dáng của nó đối với trường véc-tơ D,, và tập trung vào nghiên cứu
bài toán xung quanh T bằng cách sử dụng một phân hoạch đơn vị đặc biệt.
Gần đây, các tác gia A Maugeri , D K Palagachev, C Vitanza, trong công
trình [30], L Softova [36], [37] đã giải quyết được bài toán đạo hàm nghiêng
không cổ điển khi trường véc-tơ D, tiếp xúc với biên trên một tập con củabiên Bài toán đạo hàm nghiêng không cổ điển được nghiên cứu theo nhiều
cách cho nhiều loại phương trình khác nhau, trong [17], Yu V Egorov, V A.
Kondratiev nghiên cứu bài toán đạo hàm nghiêng cho phương trình vi phânelliptic tuyến tính cấp 2, trong [19] Yu V Egorov, Nguyễn Minh Chương
nghiên cứu bài toán đạo hàm nghiêng không cổ điển cho phương trình vi phân
parabolic tuyến tính cấp 2, trong [20] Yu V Egorov, Nguyễn Minh Chương
nghiên cứu bài toán biên không cổ điển trong không gian Sobolev cấp biếnthiên, trong [39] Lê Quang Trung nghiên cứu bài toán biên không cổ điển cho
phương trình vi tích phân kỳ di elliptic cấp cao, trong [21] Yu V Egorov,
Nguyễn Minh Chương nghiên cứu bài toán biên không cổ điển cho phương
trình vi tích phân ky di elliptic nửa tuyến tính cấp cao Được sự gợi ý của Giáo
sư Nguyễn Minh Chương, tác giả nghiên cứu bài toán biên không cổ điển chophương trình GVP cấp cao trong không gian kiểu Sobolev Hy, 1 < p < œ.
Luận án này bao gồm các kết quả mà tác giả đã đạt được đối với các bài toán
biên cổ điển và không cổ điển cho phương trình GVP elliptic, parabolic cấp
cao tuyến tính, nửa tuyến tính trong không gian Hy, 1 < p < oo.
Luận án được chia thành bốn chương chính như sau.
Trang 9Trong Chương 1, chúng tôi trình bày tổng quan về các kết quả cho bài toán
biên không cổ điển đối với phương trình elliptic và bài toán biên cổ điển đốivới phương trình parabolic Về bài toán biên không cổ điển đối với phương
trình elliptic, các kết quả đưa ra ở đây được lấy từ bài báo [17] của các tác giả
Yu V Egorov, V A Kondratiev và các kết quả gần đây trong bài báo [30]
của các tác gia A Maugeri , D K Palagachev, C Vitanza Ngoài ra, chúng
tôi cũng điểm qua các kết quả mà chúng tôi được biết Về bài toán biên cổđiển đối với phương trình parabolic, các kết quả đưa ra ở đây được lấy từ bài
báo [4] của các tác giả M S Agranovich, M I Vishik và chúng tôi cũng
điểm qua các kết quả mà chúng tôi được biết, chang hạn các kết quả gần đây
của L Softova ([36]).
Trong Chương 2, chúng tôi trình bày các kết quả về bài toán biên cổ điển đối
với phương trình GVP elliptic tuyến tính và nửa tuyến tính trong không gian
Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham số Đối với bài toán biên elliptic tuyến
tính, tính giải được đã được giải quyết trọn vẹn từ những năm 60 của thế kỷ
20 Tuy nhiên, một điểm đáng chú ý là thứ nhất để bài toán giải được thì vế
phải cần phải thỏa mãn một số hữu hạn điều kiện (nghĩa là toán tử ứng với
bài toán biên không là toàn ánh), thứ hai nếu bài toán giải được thì số nghiệm
của bài toán có thể nhiều hơn một (nghĩa là toán tử ứng với bài toán biênkhông là đơn ánh) Khi đó, việc sử dụng phương pháp tuyến tính hóa để giải
quyết bài toán nửa tuyến tính sẽ gặp nhiều trở ngại Chúng tôi đã sử dụng
phương pháp tham biến lớn để giải quyết trở ngại này, cụ thể là trong không
gian Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham biến phức q, khi |q| đủ lớn với mọi vế
phải nằm trong không gian Sobolev thích hợp bài toán cổ điển đối với phương
trình GVP elliptic tuyến tính có duy nhất nghiệm Từ đó, bằng phương pháptuyến tính hóa chúng tôi có kết quả về Định lý tồn tại nghiệm cho bài toán
nửa tuyến tính.
Trong Chương 3, chúng tôi trình bày các kết quả về bài toán biên không cổđiển đối với phương trình GVP elliptic tuyến tính và nửa tuyến tính trong
13
Trang 10không gian kiểu Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham số Đối với bài toán biênkhông cổ điển, bài toán biên không thỏa mãn Điều kiện Shapiro- Lopatinski
kiểu Egorov- Kondratiev, ta chỉ có đánh giá subelliptic mà không thể có đánh
giá kiểu elliptic, nghĩa là đánh giá có dạng sau
Ile|lc„ø < C([[ullzrsp.o.ao + ||e||o,».o)
trong đó, U là toán tử ứng với bài toán biên, còn 0 < ở Nếu U là toán tử ứng
với bài toán biên elliptic thì ta có đánh giá với ô = 0 Do vậy, để nghiên cứubài toán biên không cổ điển chúng tôi xây dựng một lớp không gian mới kiểuSobolev với chuẩn phụ thuộc tham biến Với lớp không gian kiểu Sobolev này
chúng tôi đã có được các kết quả về Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho
một số lớp bài toán biên không cổ điển tuyến tính Từ đó, chúng tôi cũng có
những kết quả về Định lý tồn tại nghiệm cho bài toán nửa tuyến tính.
Trong Chương 4, chúng tôi trình bày các kết quả về bài toán biên không cổ
điển đối với phương trình GVP parabolic tuyến tính và nửa tuyến tính trongkhông gian kiểu Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham số Có nhiều cách để tiếp
cận bài toán biên parabolic Thông thường, ta tiếp cận bài toán biên parabolic
từ bài toán biên elliptic tương ứng bằng một cách thích hợp Chẳng hạn, bằng
phương pháp nửa nhóm ta chuyển bài toán biên parabolic dạng oe = Au,
trong đó A là toán tử elliptic, về việc nghiên cứu nửa nhóm sinh bởi toán tử
elliptic A Để nghiên cứu nửa nhóm này người ta nghiên cứu toán tử ellipticA Trong luận án này, chúng tôi dùng phương pháp sử dụng phép biến đổi
Laplace để đưa bài toán biên không cổ điển parabolic về bài toán biên khôngcổ điển elliptic Từ việc nghiên cứu bài toán biên cổ điển và không cổ điển
cho phương trình elliptic ở các Chương trước, chúng tôi thu được các kết quả
cho bài toán biên không cổ điển parabolic tuyến tính và nửa tuyến tính Phépbiến đổi Laplace từ lâu đã chứng tỏ là công cụ hữu hiệu để giải bài toánparabolic Kết quả của Chương này càng chứng tỏ sự hiệu quả phép biến đổi
Laplace trong việc nghiên cứu bài toán parabolic.
14
Trang 11Chương 1
Tổng quan
Các bài toán biên dưới đây được xét trong một tập mở, bị chặn, liên thông 2
với biên OQ trơn, trong không gian R” với số chiều n > 2.
1.1 Bài toán đạo hàm nghiêng cổ điển đối với phương trình
vi phan elliptic
Bai toán biên đối với phương trình tuyến tinh elliptic cấp 2 với điều kiện biên
Ou XÁC thường cá a) a a lan can ae
ap g, ở đây trường véc-tơ D, = ap được xác định trơn trên lân cận cua
biên OQ, được đặt ra boi Henri Poincare Bài toán biên này thoả mãn điềukiện Shapiro- Lopatinski khi và chỉ khi hoặc số chiều của không gian n = 2,
hoặc trường véc-tơ D, không tiếp xúc với biên ØQ Đã có rất nhiều công
trình nghiên cứu bài toán trên trong trường hợp n > 3 và trường véc-tơ Ù)„
tiếp xúc với biên tại một phần của biên OL Chúng tôi xin được gọi lớp bàibiên trong trường hợp n > 3 và trường véc-tơ D, tiếp xúc với biên tại một
phần của biên Ø© là bài toán đạo hàm nghiêng không cổ điển Công trình của
Yu V Egorov- V A Kondratiev [I7] đã giải quyết tương đối hoàn chỉnh bài
toán đạo hàm nghiêng không cổ điển cho phương trình tuyến tính elliptic cấp
2 trong một tap mở, bị chặn 2) với biên OL trơn, trong không gian IR” có số
chiều n > 3, khi trường véc-tơ D, tiếp xúc với biên Ø© tại những điểm thuộc
một da tạp con trơn, (n — 2)—chiều L'ọ của biên Ø9 nhưng không tiếp xúc với
15
Trang 12ọ Dưới đây, chúng tôi xin được trình bày một số kết quả chính trong công
trình [17].
Để giải quyết bài toán đạo hàm nghiêng không cổ điển này, trước tiên Yu V.
Egorov- V A Kondratiev chia ['o thành ba lớp tuỳ theo trường véc-tơ D, và
trường véc-tơ 7 pháp tuyến trong, đơn vi của biên OC như sau Giả thiết thêm
rang Ty liên thông và tại mỗi điểm của Ip có một lân cận trên biên O02 mà Ip
chia lân cận đó thành hai tập liên thông Lấy P là một điểm ctia Tp.
(i) Điểm P thuộc lớp I nếu trong một lân cận nào đó trên biên OA của điểm
P tích vô hướng (7, ) chuyển từ dấu dương sang dấu âm khi đi qua P
theo hướng vecto 1.
(ii) Điểm P thuộc lớp II nếu trong một lân cận nào đó trên biên OF của điểmP tích vô hướng (7, ) chuyển từ dấu âm sang dấu dương khi đi qua P
theo hướng vecto v.
(iii) Điểm P thuộc lớp III nếu trong một lân cận nào đó trên biên O2 của
điểm P tích vô hướng (7,v) không đổi dấu khi đi qua P theo hướng
vecto 1⁄.
Do trường véc-to D, chỉ tiếp xúc với biên OC tại những điểm thuộc Ty, hay
tích vô hướng (7, ) khác 0 tại mọi điểm không thuộc Ip nên nếu trên ['ọ cómột điểm thuộc lớp I (II hay II) thì mọi điểm còn lại của I cũng thuộc lớp I
(II hay II, một cách tương ứng) Ta nói rằng Lọ thuộc lớp I (II hay II) nếu
mọi điểm của Lọ thuộc lớp I (II hay III, một cách tương ứng).
Với cách phân loại như vậy, Yu V Egorov- V A Kondratiev đã đạt được
các kết quả sau cho bài toán đạo hàm nghiêng không cổ điển
Lu = » đ/ (2) m Bar + ala sập + a(a x)u=ftrongQ, (1.1)
7,k=1 j=l
Ov ao” (1.2)
16
Trang 13trong đó a;;,(x),a;(x), a(x) là các hàm đủ trơn xác định trên Q và
Œ~'||£||? > » a;k(#)€;& > Ơ|le|f,0 < Ở < 1( là hằng số ),Vz 9.
Khi Lọ thuộc lớp I, ta cần thêm điều kiện
ulr, = to (1.3)
Dinh lý 1.1.1 (Định lý về ước lượng tiên nghiệm) Gid sử Ty thuộc lớp I,
một số thực s > 1 Khi đó, nếu u € H,;1(©) thì ta có đánh giá
| <€(all, ;(ø) + llelniln, „to
+ m (1.4)
trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào tu.
Đánh giá (1.4) là tốt nhất theo nghĩa không có số ổ > 0,C > 0 nào để với
#2 + xy? < 1} với biên AO = {x = (21, 72,73) € R® | +? +03 + 23? = 1},
To = {(x1, 22,0) | 2? + z3 = 1} và trường véc-tơ D, là trường véc-to đơn vị
cùng hướng với trục 073.
Day ham u(x) = (x1 + ix2)*x3 thỏa mãn
Au, = 0, Ou = (x, + ix)"0x3 99 , Urlro = 0.
Bằng tính toán Yu V Egorov- V A Kondratiev đã ước lượng được như sau
: Our 14
> Ck ae, < Cok 2
|| ee] Ler .5() Z t1 , l 1M S C2 Py
17
Trang 141 3
wel lac) < C3k 7”.
Khi đó với ổ > 0,C > 0 cho trước, nếu chọn p € N đủ lớn dé 6 > gp và k đủ
lớn thi ta không có đánh giá (1.5) cho „ và LD = A.
Định lý 1.1.3 (Định lý về độ trơn) Gid sử 1 thuộc lớp I, một số s > 0.
¿ lô)
Nếu u € H,(Q),Lu € HQ), "| © H,,:(09),u|p, € Hypa (Uo) thiOv lao ar Ễ
UE H,.1(©).
Định lý 1.1.4 (Định lý về sự tồn tại nghiệm) Gid sử Ï'ọ thuộc lớp 1, một số s >
1 Cho f 6H, 1(9),g€ A, (OQ), uo S HH, 1(T9) Khi đó có một không
gian con hitu hạn chiêu của không gian tích H,_1() x H,_ +(09) x H,_ + (Po)
sao cho nếu ( ƒ, g, uo) trực giao với không gian đó thì bài toán biên (1.1) — (1.3)có nghiệm u € H,(Ô).
Khi Tọ thuộc lớp II thì Dinh lý về su tồn tại nghiệm không được thiết lập
mà chỉ có Định lý về ước lượng tiên nghiệm và Định lý về độ trơn.
Dinh lý 1.1.5 (Định lý về ước lượng tiên nghiệm) Gid sử 1 thuộc lớp II,một số thực s > 1 Khi đó nếu u € H,(©) thì ta có đánh giá
ella) < CU Lalla, eo + ||, InØuloo 4 (0M) + |le|lix,eo) (1.6)
trong đó C là hằng sốkhông phụ thuộc vào u.
Đánh giá (1.6) là tốt nhất theo nghĩa không có số 6 > 0,C > 0 nào để với
mọi u € H,.(Q) có
lula (a < C(La|Ha + ||, lÌu,_ ;(ø) + |lu|lume) (1.7)
Chẳng hạn, ta xét ví dụ sau.
Ví dụ 1.1.6 Trong IRỶ, với p là số lẻ, chon © là giao của một lân cận của gốc
toa độ và nửa không gian v3 > 0, Ứọ = {x = (21, 22,23) |#i = z3 = 0},
trường véc-tơ D, được xác định như sau: tại mỗi điểm x = (x1, 22,73) có
18
Trang 15Au, = cfz=z3)Ê (Ay + ike — aka) VỚI w(x) = e(rk”m),
Our _ pour Our
Khi đó với 6 > 0,C > 0 cho trước, chọn số lẻ p đủ lớn để ở > mm và k đủ
lớn thì ta không có đánh giá (1.7) cho uz, và Ù = A.
ILAzz| (09) < €skŠ—5,
Dinh lý 1.1.7 (Định lý về độ trơn) Gid sử 19 thuộc lớp I, một số s > 0.
Néwu € H.(Q), Lu € H6(Q), =| © Hy, (OQ) thìu € Hoyt (Q).Ov hc
Khi Ip thuộc lớp II, bằng phương pháp tham biến lớn Yu V Egorov- V.A Kondratiev đã thiết lập được các Định lý về ước lượng tiên nghiệm, Định
lý về độ trơn, Định lý về sự tồn tại nghiệm.
Định lý 1.1.8 (Dinh lý về ước lượng tiên nghiệm) Gid sử Ï'ọ thuộc lớp III,
một số s > 1 Nếu u € H,(©) thì ta có đánh giá
Hullo) SC (Lally + SE Mayo + lull) — Œ-8)Ov lan 8-3
trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào u.
Đánh giá (1.8) là tốt nhất theo nghĩa không có số 6 > 0, 7 > 0 nào để với
mọi u € H;.(©) có
|lwllr,.„o < C(|E¿|Ìn, so) + lap lz (09) + |lullao@) 9)Vlaq 3
Chang han, ta xét vi du sau.
19
Trang 16Ví dụ 1.1.9 Trong R?, với p là số chấn, chọn © là giao của một lân cận của
gốc toa độ va nửa không gian v3 > 0,19 = {x = (21, 22,23) |#i = # = 0},
trường véc-tơ D, được xác định như sau: tại mỗi điểm x = (x1, 22,273) có
Ø lôi
Dự ,0(2) = (5 Ly 7 13a)’
Chon ham ¿ € C®(R) mà ¿(z) = 1 khir < š và ¿(z) = 0 khir < 1 Xét
day ham w(x) = e*2~##2(rk>T), trong đó r = (x? + +3 + +2), thỏa mãn
8 Ø oe 1
Aug = el )* (Aw + 2i bee —2 bs”), với (+) = y(rkr),
Our _ duy Our,
Khi đó với 6 > 0, 7 > 0 cho trước, chọn số chan p đủ lớn để 6 > I va k du
lớn thi ta khong có đánh giá (1.9) cho u, va = A.
Dinh lý 1.1.10 (Định lý về độ trơn) Gid sử Lọ thuộc lớp III, một số s > 0.
Nếu u € H,(QÒ), Lu € H,(©Ô), = v0 © Hà: (OQ) thìu € Hs41(Q).
Định lý 1.1.11 (Định lý về sự ton tại nghiệm) Gid sử Lọ thuộc lớp TH,một số s > 1 Cho ƒ € H,_1(Q),g € H,_: (09) Khi đó có một không gian
con hữu hạn chiều của không gian tích H, 1(©) x H,_:(09) sao cho nếu(ƒ, g) trực giao với không gian đó thì bài toán biên (1.1) — (1.2) có nghiệmu © H,(©).
Khi Lọ thuộc lớp I, trong công trình [20], Yu V Egorov- Nguyễn Minh
Chương đã đạt được kết quả tương ứng cho bài toán đạo hàm nghiêng không
cổ điển cho phương trình vi phân elliptic cấp 2 trong không gian Sobolev với
cấp biến thiên, trong công trình [39], Lê Quang Trung đã đạt được các kết
20
Trang 17quả tương ứng cho bài toán biên không cổ điển cho phương trình vi-tích phân
kỳ di tuyến tinh elliptic cấp cao.
Gần đây, trong công trình [30], A Maugeri, D K Palagachev, C Vitanzanghiên cứu bài toán đạo hàm nghiêng trên tập mở bị chặn, liên thông
Q CR" (n > 3) với biên OE đủ trơn sau
" Ou
Iu= h = ƒh.k.nt Q 1.10u 2-0) Dm;Ðn, f h.k.n trong Q, (1.10)
— = 1.11Selon t (a) = 9 (11)
trong đó aj, € C°'(Q), v;(x), a(x) € Ch (OQ), o(x) > 0,
Cel]? > Sau z)€;£& > C\IE||?,0 < C < 1( là hằng số ),V+ € Q,
An 1
= Dts ) <0, V2 € OQ,
E= 5 E Ø9 | (n(z),(z)) = 0} ZO.
Trong trường hợp F là đa tạp con trơn, (n — 2)—chiều của biên ØÔ thì trùng
với trường I) thuộc lớp III theo cách phân loại của Yu V Egorov- V.A.
Kondratiev Trong công trình [30], A Maugeri, D K Palagachev, C Vitanzachỉ đòi hỏi các đường cong tích phân của trường véc-tơ Ï)„(z) trên tập E là
không đóng và có độ dài hữu hạn Khi 7 là đa tạp (n — 2)—chiều thì đòi hỏi
này được thoả mãn Với các giả thiết trên, A Maugeri, D K Palagachev, C.Vitanza đã đạt được kết quả sau.
Định lý 1.1.12 (Định lý về sự tôn tại duy nhất nghiệm) Cho ƒ €
Wi,(9),¿ € W2: „(09) với p > > Khi đó bài toán biên (1.10) — (1.11)
có nghiệm u € W2,,(Q) và có đánh giá
Hells) < C+ | Flim „e) + |løllw, 1 (ao):
trong đó Œ là hang số phụ thuộc n, v(x), p, Q, d; ¿, Ø.
Nếu p > n thì nghiệm u € WW› g(©) là duy nhất.
21
Trang 18Bằng phương pháp tham biến lớn, trong công trình [21], Yu V
Egorov-Nguyễn Minh Chương đã nghiên cứu bài toán biên không cổ điển nửa tuyến
tính cho phương trình vi-tich phân ky di.
1.2 Bài toán biên cổ điển đối với phương trình parabolic
Có nhiều cách để tiếp cận bài toán biên cổ điển đối với phương trình parabolic.
Ta có thể tiếp cận từ cách nhìn của phương trình vi phân thường bằng lý
thuyết nửa nhóm Chẳng hạn, khi xét bài toán biên đối với phương trình
Øu{(z, t)
Laplace A Ngoài ra, ta còn có thể tiếp can bằng nhiều cách khác, chang han
— Au(z,f) = ƒ(z,f) thì ta nghiên cứu nửa nhóm sinh bởi toán tử
bằng lý thuyết tích phân kỳ dị (xem [24]) Dưới đây, chúng tôi xin được trình
bày cách tiếp cận của M I Vishik- M S Agranovich trong công trình [4].
Trong công trình này, bằng cách dùng phép biến đổi Laplace, M I
Vishik-M S Agranovich đã giải được một lớp các bài toán biên cho phương trìnhparabolic dạng suy rộng trên tập mở, bị chan 2 trong R” với biên trơn OE sau
trong đó số tự nhiên A là ước của 2s, toán tử A(z, D,, Bp B,(«, Dz, 2n) là
các toán tử vi phân cấp 2s,zn; với hệ số dqs(x), Đ;„„(+) trơn vô hạn (tương
ứng), có dạng sau
o OP
la|+A3<2sA(z, D a
Trang 19(i) toán tử A(x, D,,, ¢) là elliptic, nghĩa là
Ag(œ,£,g)= SY > aa()£°4”#0,vz € Q, ||€||+ lal # 0,
(ii) tại mỗi zˆ € OX, toán tử (+, Dz, g) = (A(2", Dz, g)., B;(œ', Dr, Daa)
thoả mãn điều kiện Shapiro-Lopatinski, nghĩa là trong một hệ toạ độ lân cận
của x9, ở đó x’ trở thành gốc toa độ 0, biên Ø© trở thành siêu phẳng zx, = 0
và pháp tuyến trong của biên trở thành trục Oz,,, bài toán Cauchy
khi ||£|| + |a| # 0, chỉ có duy nhất một nghiệm trong không gian các
nghiệm ổn định (tiến về 0 khi z„ tiến ra vô cùng) của phương trình
ÀA=2,2s=2 A(x, Dr, >) = = — A, Bile, Dr, » 4s „THỊ 0, (x, x Ap Ot (x 2g)=) = 1,
Bằng phép biến đổi Laplace, với điều kiện ban đầu (1.14), bài toán biên
parabolic (1.12) — (1.13) trở thành bài toán biên elliptic với hệ số phụ thuộctham biến g
A(x, D„,g)U(z,g) = Eƒ(œ,g),+ € Ô, (1.15)
B/(%, Dz, g)U (2, q)|z—z — Lgj(a',q), 2" € Ø9 (1.16)
23
Trang 20Nếu ta xây dựng được các không gian nghiệm cho bài toán biên parabolic
(1.12) — (1.13) với điều kiện ban đầu (1.14), và bài toán biên elliptic với hệ
số phụ thuộc tham số (1.15) — (1.16) sao cho phép biến đổi Laplace trở thành
một đẳng cấu đẳng cự giữa không gian nghiệm của bài toán biên parabolic và
elliptic thì
e nếu + là nghiệm của bài toán biên parabolic (1.12) — (1.13) với điều kiện
ban đầu (1.14)thì biến đổi Laplace Lu của u là nghiệm của bài toán biên
elliptic với hệ số phụ thuộc tham số (1.15) — (1.16),
e nếu là nghiệm của bài toán biên elliptic với hệ số phụ thuộc tham số
(1.15) — (1.16) thì Ê~!Ư thoả mãn điều kiện ban đầu (1.14) và do
2(Aứ, D,, £ (£10) = A(x, D,,q)U = Lf trong Q,
hay £~'U là nghiệm của bài toán biên parabolic (1.12) — (1.13) với điều
kiện ban đầu (1.14).
Như vậy, để giải bài toán biên parabolic (1.12) — (1.13) với điều kiện ban đầu
(1.14) M I Vishik- M S Argranovich đã làm các bước sau
e xây dựng các không gian nghiệm cho bài toán biên parabolic (1.12) —
(1.13) với điều kiện ban đầu (1.14) và bài toán biên elliptic với hệ số phụ
Trang 21Cho / > 0,œ > 0 Không gian #⁄„(/) là không gian bao gồm các hàm
U(q) = U(o + ir) là hàm chỉnh hình trên nửa mặt phẳng phức Rg > / saocho chuẩn
IIU(4)|lz,„) = sup [ IU(ø + ir) lo + ir [dr < +00.
Mệnh đề 1.2.3 Cho > 0 Phép biến đổi Laplace là phép đẳng cấu giữakhông gian P,(e") và không gian E,({).
Cho À là số nguyên dương, ju là số thực không âm Với mỗi số nguyên
dương ý, không gian Pral(eTM, Q x (0,+oc)) là không gian bao gồm các
hàm u(x,t) xác định trên nửa trụ vô hạn Q x (0, +oe) sao cho
(i) với hầu hết z € Q hàm u(z ) € P(e),
(ii) với hau hết t > 0 hàm u(.,t) € #(©),
Trang 22Cho số nguyên không âm ý và số thực không âm pz Không gian E, £ (u, ©) là
không gian bao gồm các ham U(x, q) xác định trên tập © x {ø € C | Jằq > pu}sao cho
(i) với mọi q, #q > pw và hầu hết g, R¢ = hàm (.,qg) € H,(©),
(ii) với hầu hết x € Q hàm u(z ) € Be (41), và các đạo ham suy rộng
(ii) 1x (n,Ô, OQ) = Ey_y, 2: (n, 9) x MF, a omy 3 dQ)
Trang 23Định lý 1.2.5 Cho ¢ > lp Phép biến đổi Laplace là phép đẳng cấu giữa các
cặp không gian sau
(i) D6 th Q x (0, +00)) và Ey «(u, ©),£
(ii) Pele, Q x (0, +00), OQ x (0, +00)) và 1ý (nu, 9, OQ).
Dé nghiên cứu bài toán biên elliptic với hệ số phụ thuộc tham số (1.15)— (1.16)
trên không gian nghiệm FE, £ (44) trước tiên ta xem xét nó trên không gian
Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham biến.
Với g € C,Rq > 0, > fo, trên không gian Sobolev #;(O) trang bị chuẩn
mới phụ thuộc tham biến q
IIUIl.o = (IIU|lÖ,e) + La |U roc)?
Tương tự, trên không gian #;(O,Ø9) = H;_›,(O) x T=) Ay_m,—1(0Q) ta
cũng trang bị chuẩn phụ thuộc tham biến ||(ƒ,
9)||¢¢,0,00-Nhận xét 1.2.6 Nếu U € Ey e(u, ©) thì U € H,(©) với hầu hết Rg > , và
lle, = Cf I2 „s4.
Tương tự với không gian #, « (u,©, OQ).
Định lý 1.2.7 Cho ¢ > lo Khi |q| đủ lớn, với môi (F,G) € H,(O,09) bài
toán biên (1.15) — (1.16) có duy nhất nghiệm U © H,(Q) Hơn nữa, ta có
đánh giá
C|IU|l„ø < |IŒ G)|l„oao < Œˆ”||U|l„o
trong đó hằng sốU < C < 1 không phụ thuộc các hàm và tham biến q.
Từ Nhận xét 1.2.6 và Định lý 1.2.7 ta có Định lý về sự tồn tại duy nhấtnghiệm cho bài toán biên (1.15) — (1.16) trong không gian nghiệm FE, « (0).
27
Trang 24Dinh lý 1.2.8 Cho ( > Co Khi ¡ đủ lớn, với mỗi (F,G) € Eạ,.(u,9,09)bài toán biên (1.15) — (1.16) có duy nhất nghiệm U € E,:ẤM Q) Hơn nữa,
ta có đánh giá
C||UlÌz, « w.o) <||(F, G)|Ìz, (u,9,09) < Œ—||Ulls, „.e)
trong đó hằng số 0 < C < 1 không phụ thuộc các hàm và tham biến q.
Từ Định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm cho bài toán biên elliptic vớihệ số phụ thuộc tham số (1.15) — (1.16) trên không gian nghiệm E,.(H) và
Dinh lý về phép biến đổi Laplace là đẳng cấu giữa các không gian ?,, £ (c
và Eye (41), Nhận xét 1.2.4 ta có Dinh lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm cuabài toán biên parabolic (1.12) — (1.13) với điều kiện ban đầu (1.14).
Định lý 1.2.9 Cho ¢ > Khi ys đủ lớn, với môi (ƒ, g) € Pu ("9 x
(0, +00), OQ x (0,+00)) bài toán biên (1.12) — (1.13) có duy nhất nghiệm
we h6 Q x (0,+oe)) Hơn nữa, ta có đánh giá
Cl||u| |P, „(e-“9x(0,+s)) < || I)IIP, „ =z295(0.+s).Ø0x(0.+se))
<CŒ lllÌn, ¢(e-# x (0.400);
trong đó hằng s6 0 < C < 1 không phụ thuộc các ham.
Trong công trình [4], ngoài các kết quả trên, M I Vishik-M S Agranovich
còn đạt được Định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm cho bài toán biên parabolic
(1.12) — (1.13) với điều kiện ban đầu không thuần nhất Trong công trình
[9], GS Nguyễn Minh Chương, cũng bằng phương pháp biến đổi Laplace, đã
đạt được Định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm cho bài toán biên cho phươngtrình vi phân parabolic cấp 2 với điều kiện biên không liên tục, còn trong côngtrình [10], Giáo sư cũng đã đạt được Định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm
cho bài toán biên cho phương trình gia vi phan parabolic cấp biến thiên trongkhông gian Sobolev cấp biến thiên.
Bằng cách tiếp cận khác, trong công trình [36], L Softova đã nghiên cứu bài
28
Trang 25toán đạo hàm nghiêng parabolic với hệ số V MO, không gian các hàm dao
động trung bình triệt tiêu (vanish mean ocsilation), trong trụ Q+ = 2 x (0,7)
Bang việc sử dung các toán tử tích phân kỳ dị kiểu Calderon- Zygmund thích
hợp với bài toán, L Softova đã chứng minh được tính duy nhất nghiệm của
bài toán đạo hàm nghiêng (1.17) — (1.19) trong không gian kiểu Morrey
We (Qr) là khong gian các hàm u € L?*(Qr) mà các đạo hàm suy rộng8° a
nbs; € L"^(Qr), a € L’(Qr), Vi, j = 1,2, ,n, với chuẩn
lll w22(@n) = ||ullr»^(o„) +1 llevar) + 3 le "0m 6s):j,k=1
trong đó J'^(Q;) là không gian Morrey gồm các hàm f khả tích cấp p dia
phương sao cho
1 1
Lƒl[r»>¬(o;) = (sus fir | f(a, t)|"dedt)* < œ,rf Qrnl
với sup lấy trên tất ca các hình lập phương 7 có độ dài cạnh r > 0.
29
Trang 26Chương 2
Bài toán biên cổ điển đối với phương
trình GVP elliptic
Trong Chương 2, chúng tôi trình bày các kết quả về bài toán biên cổ điển đối
với phương trình GVP elliptic tuyến tính và nửa tuyến tính trong không gian
Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham số.
2.1 Khong gian hàm
2.1.1 Định nghĩa
e Cho p,£ € R,1 < p< oo Không gian H;„(R") là không gian làm day
không gian C§°(R*) bởi chuẩn
Ialiass = (f+ Held" isaute) Pa)’
e Cho p,£ € R,0 < f,1< p< œ Không gian H,,(R") là không gianlàm đầy không gian O° (R") bởi chuẩn:
lIell.„=‡ = inf ||fal|cp œ»,
trong đó infimum lấy trên tất cả các thác triển | từ R” lên IR".
30
Trang 27e Cho (2) là một miền bị chặn trong R” với biên OC là đa tap trơn
(n — 1)—chiéu Lấy {U;,; la là một phân hoạch đơn vị của 2 và{Vj,v; bà là phân hoạch don vi của biên 02 sao cho giá của mỗi hàm
wj,j =1, ,M, trên OQ đều có thể làm phẳng.
Lấy p,£ € R,0 < /,1 < p < œ Không gian #/„(©) là không gian làm
đầy không gian C®(©) bởi chuẩn
/ " 1/p
-trong đó 5~’ là tổng lấy tất cả các chỉ số j mà tập U ; không giao với biêna, Šˆ” là tổng lấy tất cả các chỉ số 7 mà tập U; giao với biên Ø9).
Lấy p,£ € R,0 < £,1 < p< œ Không gian ,„(Ø©) là không gian
làm đầy không gian CTM(0Q) bởi chuẩn
M p L/p
Ieli„øo = (|| ee)
trong đó ||;||¿„ na: là chuẩn trong không gian H,,(R"~') của hàm
;u trong hệ toa độ lân cận.
e Lấy g€ C,p,(€ R,1 < p< œ Trong không gian H/„(R"), hay
H,„(©), H,„(R?), Hep(0Q) (f > 0) ta định nghĩa chuẩn phụ thuộc
cà p 1/p
tham biến ø: ||\.„„ = (lel? + lal|lalD,)
-Ta ký hiệu các không gian H/„(R"), hay H,„(©), H;„(R"), H,„(09)
(¢ > 0) với chuẩn phụ thuộc tham biến ¿ lần lượt là /7;„„(RÑ”), hay
Fey q(Q), Hu„„(R}), Fey q(OQ) (( = 0)
2.1.2 Tinh chat
Dưới đây là một số tính chất của không gian Hy ».
Mệnh đề 2.1.1 Cho ¢,k,p € R,1 < p< œ,k < & Các phép nhúng sau là
liên tục:
Hu„(R") => Hr,(R"), H,„(R}) ~ Hr,(RỊ).
31
Trang 28Đặc biệt, phép nhúng H,„(©) — Hy ,(Ò) là compact.
Chứng minh: Có thể xem trong sách [26] của Hormander.
Nhận xét 2.1.2 Từ bất đẳng thức
lal (CL + [NEI + lal’) < 2(Œ + [NEN + Jal) VE € R",a„ e C,
nên với € > 0 cho trước, khi |z| đủ lớn, phép nhúng #,,¡ „„ trong Hp, có
chuẩn nhỏ hơn c.
Mệnh đề 2.1.3 Cho p,£ € R,1 < p< œ,0 < É Toán tử hạn chế M từ R"
xuống R" là toán tử tuyến tính bị chặn từ H,,(R") vào H,„(R}).
Giả sử 0 < £,K là tập compact trong IR? Toán tử thác triển L biến mỗihàm u € C§ “(R?), mà suppu C K, thành hàm Lu(x) = u(x) khi x, > 0
và Lu(z) = 0 khi x, < 0 là toán tử tuyến tính bi chặn không gian gồm các
hàm u € C§ (Ñ"'), mà suppu C K, với tôpô sinh bởi chuẩnI-|Ì,„m;; vào
H,„,(R") Khi đó, ta có thể thác triển toán tử L lên thành toán tử tuyến tínhbị chặn từ H,„(R"') vào H,„(R").
Chứng minh: Phần dau dé dàng chứng minh từ Định nghĩa.
Để chứng minh phần sau, ta chỉ chứng minh đánh giá với mỗi wu € C§@°(Ñ'"'),
mà supp u C K,
[|Lullepme S Clllullep,ee
trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào + và thác triển J.
Ta chứng minh bằng phản chứng, nghĩa là có một dãy u, € Œ?*(IR?), màsupp u, C_, và dãy các thác triển J, mà
|Luz||¿pg» — 1, lim |l¿:||z.p.e» — 0.
Do 0 < / nên theo phần trên ta có phép nhúng không gian các ham
u € Œ§°(Ñ?), mà suppu C K, với tôpô sinh bởi chuẩn ||.||¿„a» vào
Ho,(R") là compact Do đó, dãy {Lu¿} có một dãy con hội tu trong
Hy,(R"), để đơn giản ta có thể giả sử {Lu,} hội tụ đến u, là hàm đo được
32
Trang 29ma u(z) = 0 khi x, < 0, trong Hạ„(R*) Mà với 1 < p < oo, không gianH,„(R") là không gian phản xạ nên € H,„(R") và 0| |r,pjRn — 1.
Lại có, theo phần trên day {u„} hội tụ đến Mu = ulgn = 0 trong Ha„(RÑ}).
Do đó, = 0 Điều này mâu thuẫn với ||¿||¿; em» = 1 Do đó, điều giả sử sai.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 2.1.4 Cho p, €]R,1 < p< œ.
(a) Với 0 < |a| < 4, toán tử vi phân D® là toán tử tuyến tính bị chặn
từ H,,(R") (hay H,„(Ñ')) vào Flp_jq),p(R") (hay Fp_jo},p(R".)) Do
đó, toán tứ vi phân D* là toán tử tuyến tính bi chặn từ Hy,(Q) vào
Chứng minh: (a) Với u € C§°(R") có Ở„(D*“u)(€) = €°F,u(E€) nên ta dễ
dàng có điều phải chứng minh bằng cách thay vào định nghĩa.
(b) Do với mỗi u € H„(Ñ"), theo Mệnh dé 2.1.3 có một thác triển
Lu € H,„(R") và
Cllullu, „áyy < [Lula SC lleull an, cee)
với 0 < C < 1 là hang số không phụ thuộc u, mà Lu|,,-9 = |„„—ọ va
Co°(R") trù mật trong #,„(R”) nên chứng minh Mệnh đề này ta chỉ cần
chứng minh bất đẳng thức
ll|z„=0lÌ—(—1),øjms=: S C||u||cpjen, Vu € Co? (R"), (2.1)
trong đó C 1a hang số không phụ thuộc ham uw.
mao) (€",0) = (2m)~? fp 7„u(€)đệ„ với mỗi u € Cÿ°(R"),
đặt t = (1 + |\é’||) 71g, có tích phânĐể ý rằng Ở„_¡(u
33
Trang 30hội tụ vì (1 — ») < ứ, nên từ bất dang thức Holder có
lá i6|5-a)(€20)P < (25) 2( f+ lệ + Kall as)”
x | (1+ [e+ lẹu|)|#„u(£)|54ẻ,R
<O(1 + lẹ|)- +9 | (1+ |e + lez|)'2|#„w(£)|Pd&,R
dovay (1+|£)0~?P|Ø,_i(0|2,=o)(€',0)|P < © fa(I+lEl) | Fuuel€) Paden,
khi đó tich phan ca hai vế của bất dang thức trên cho ta bat đẳng thức (2.1).
Nhận xét 2.1.5 Trong không gian Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham biến q,
ta cũng có các Mệnh đề trên.
2.2 Toán tử giả vi phân (GVP) trong R”
Định nghĩa 2.2.1 Cho s € Z., +¡, +2 € Rva
Trang 31(ii) các hàm a”)(.),a\.(a,.) € C(R” \ {0}), với mỗi z € R", và thuân› Ag GQh&
nhat duong bac 0 theo € nghia 1a
a9 (e£) = at (€), a9 (x,c£) = a), (a, 6), Vx € R",€ € R\{0}, Ve > 0,
Toán tử GVP A được gọi là thuần nhất nếu biểu trưng của nó øa(z, £, q)
thuần nhất theo (£, q), nghĩa là
za(œ€,g)— DP (anil) + da 2(ø,€))€””|a|+=s
Ta sẽ chứng minh tính bị chặn của toán tử GVP (2.2) trong không gian
Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham biến Để chứng minh điều này ta cần đếnbổ đề sau.
Bổ dé 2.2.2 Cho 1 < p < œ, ham do được K(.,.) : R" x R" — C sao cho
|K(a,y)|da < Ai,Vụ € R", | (x, y)|dy < Ao, Vx € R",
R” IR”
trong đó Aj, Ay la các hằng số không phụ thuộc x,y Khi đó toán tử biến
moi hàm ƒ(.) € L,(IR") thành ham [>„ K(.,y)f(y)dy là toán tử tuyến tính
bị chan từ L,,(IR") vào L„(R").
Trang 32do đó
Vf K(.9)f0)4|, < ( | IKt.w)ldy)”lRn Re Ppl
A I/0)If( j_ LK(z.w)|dz)d < ALAy ||,R”
do đó, ta có điều phải chứng minh.
Dinh lý 2.2.3 Cho /,p € R,s € Z.,,l < p< œ Toán tử GVP A cấp
s dang (2.2) là toán tử tuyến tính bị chặn từ (C§°(Ñ"), || - |[¿p„m») vào
(H,_.„„(R"), || - ||¿—s,p.ạe»).- Toán tửGVP A có thể thác triển lên thành toán
tử tuyến tinh bị chặn từ H,„„(Ñ") vào H,_;„ „(Ñ") tác động như toán tử cấps theo dạng (2.3) Hơn nữa, ta có đánh giá
|| Aullespare SCllullenar, u € Hzy„(R”), (2.3)
trong đó C là hang số không phụ thuộc u, q.
Chứng minh: Để chứng minh Dinh lý này ta chỉ cần chứng minh bất đẳng
Trang 33Đặt luan) =a" Ƒ Ƒ e TE "Ìagj(,€)€*Ø¡w(6)4Edr
x Ng
a 0
Tín.d) = Djajnpes PM an y(n)F n(n),
cĩ 7„Au(n,g) = (2z)? 3 )a\:s<„ là(n, 4) + Tín, 4).
Để chứng minh bất đẳng thức (2.3) ta chứng minh các bất đẳng thức sau
Jo + |In|l + |a|)“=°*|1„sứn, q)|?dn < Ch Jo + llnl| + lal)? |Fnu(n) Pan,
Trang 34Do a a(;€) € Coc(R”) với mỗi € € R” \ {0} nên
l(€—n) nh een a, nan Dyal(x, 8),
Trang 35Dưới đây, ta quan tâm toán tử GVP cấp s thuần nhất 4 với biểu trưng
không phụ thuộc z, nghĩa là
ZA(€,q)= So al(ejerg’.
Định lý 2.2.4 Cho ¢,p € R,s € Z,,1 < p< © Giả sử toán tử GVP thuần
nhất A với biểu trưng không phụ thuộc x và thoả man ơA(€,q) # 0, khi
Il£ll+ |g] 4 0 Khi đó với g € Q\ {0}, toán tử A: H,„„(R") > H,_,„„(R")là khả nghịch, mà toán tử nghịch đảo của nó AT! là toán tử có dang
A*u(eg) = Qn) fell z1 (€,g)8e(©)dz
Hon nữa, ta có đánh giá
A fllep < Cll f lle-s.p, fe H,_.„„(R") (2.8)
trong đó C là hằng sốkhông phụ thuộc ƒ, q.
Chứng minh: Dễ dàng kiểm tra AA~! = Tải, AT}A = Td;, trong đó Id, Tda
lần lượt là các toán tử đồng nhất trong H,_; „„(R"), H,„„(R").
Ta chỉ còn phải chứng minh bất đẳng thức (2.8).
Do biểu trưng o4(€,¢q) # 0 khi ||£|| + |g] 4 0, và za(£, g) thuần nhất dương
bậc s, liên tục theo (£, g) nên +! (€, g) thuần nhất dương (—s), liên tục theo
(£, g) khi (€,¢) # (0,0) Do đó, có một hằng số dương Œ sao cho
lza'(£,4)| < C(e|l+ lal) ”:
Khi đó ta có
IFnA*u(E)| = lơa'(6,4)#zw(€)| < G(|ell+ lal) *|FnulE)|
j_0+lEllelal8,A-1a6)tdg sce ff (1+|lllallt°°8,s()ák
do đó, bất dang thức (2.8) được chứng minh.
39
Trang 362.3 Bài toán biên trên nửa không gian R'}
Định nghĩa 2.3.1 Cho s € Z2., 2, y2 € Rva
Q= {z E€C\y <argz< +}.
Toán tử A được xác định bởi
A= MÃI,
trong đó
(i) M là toán tử hạn chế từ R” xuống R”,
(ii) L là toán tử thác triển từ IR” lên R* (trong Mệnh dé 2.1.3),
(iii) A là toán tử GVP dang (2.2) cấp s trong R” với biểu trưng
ØA(2,€,g), € R",€ ER" \ {0},g€Q
được gọi là toán tử GVP cấp s trong IR” với biểu trưng
ØA(%,É,g) =ØA(,€,g), zc€lR+, €cR”\{07, 4e Q.
Toán tử A được gọi là thuần nhất nếu toán tử 4 thuần nhất.
Toán tử A được gọi là chấp nhận được (admissible) nếu biểu trưng của phần
Trang 37Bài toán biên
Au(x,q) = A(œ, D,q)u(œ,g) = ƒ(#,4), tn > 0, (2.9)
Byu(x, q)| » = Bila, D,q)u(x,q)|,, 9 = 9;(2",q), J=1, ,8 (2.10)
trong đó g € Q, A, B; là các toán tử GVP chấp nhận được cấp (tương ứng) là
2s, m, trong ÏR' với biểu trưng (tương ứng) (+, €, 4), ơp,(, €, 4).
Mệnh dé 2.3.2 Cho p,£ € R, lo < £,1 < p < oo Khi đó toán tử U là toán
tử tuyến tính bị chặn từ Hp yq(R"4) vào H,„„(R?,IR"~}) Hơn nữa, ta có
đánh giá
|| eel epg Re Re < Clu Lp.q,.R% u = Hu„„(Ñ_ )
trong đó C là hằng số không phụ thuộc u, q.
Chứng minh: Tit định nghĩa về toán tử GVP trong nửa không gian JR vàMệnh đề 2.1.3, Mệnh dé 2.1.4, Dinh lý 2.2.3 có một hằng số Œ > 0 sao cho
Trang 38Bây giờ, ta xét bài toán biên (2.9) — (2.10) đối với toán tử thuần nhất
A(D,q), B;(D, q) với biểu trưng aA(z, €, g), ơp, (+, €, g) không phụ thuộc z,
Toán tử A(D, q) được gọi là elliptic nếu
ZA(€, g) #0 khi ||£|| + |a| # 0.
Khi đó, do tính liên tục và thuần nhất dương cấp 2s theo (£, q) của biểu trưng
oa(&,q) nên có một hằng số 0 < Œ < 1 sao cho
Œ(Ilsll+ lal)” < lza(e.ø)| < ˆ*{I|£ll+ al), VIEL + la] # 0.
Da thức o4(£', €„, g), đối với biến £„, chỉ có nghiệm (thực sự) ảo, trong đó cóđúng s nghiệm có phần ảo dương, ký hiệu ¢)(€’,¢), , Cs(€”, q).
Đặt ơa, (€,€, g) = H?-¡(C — G/(€”, g)) Dưới đây là kết quả của Lopatinski
(xem trong [4]).
Mệnh dé 2.3.3 Gid sử toán tử A(D, q) là elliptic Không gian M gồm các
nghiệm ổn định (nghiệm hội tụ về 0 khi t tiến ra vô cùng) của phương trình vi
Trang 39trong đó +._ là đường cong kin, trơn, phụ thuộc €',q, trong nửa mặt phẳng
phúc trên, chứa s nghiệm (, , Cs.
Bài toán biên (2.9) — (2.10) được gọi là thoả mãn điều kiện
Shapiro-Lopatinski nếu bài toán Cauchy
oalé’, g0 v(t) =0, >0, (2.11)
op, (é', 1 gu t)|,» =hy, J=1 8, (2.12)
khi ||€’|| + |a| 4 0, có duy nhất nghiệm trong không gian M các nghiệm ổn
định của phương trình (2.1 1) với mọi h;.
Khi toán tử A(D, q) là elliptic, điều kiện Shapiro- Lopatinski còn có thể diễn
đạt bằng cách sau, cách của S Agmon, A Douglis, L Nirenberg trong [2],
khi ||€"|| + |a| # 0, các đa thức op, (€”, En, g) (theo biến €,,) là độc lập tuyến
tính theo mod a4, (€ƒ, €,„, g), nghĩa là nếu viết
p,(€, Ens) = Shale gen (modơa, (€,Én,))
thì ma trận {b;;(€”, g) }i<jn<s không suy biến
hay định thức det{b;z(£”, g)}i<;x<s # 0 khi ||£ƒ|| + |a| A 0:
Bài toán biên (2.9) — (2.10) (hay toán tử 1U) được gọi 1a elliptic nếu
e toán tử A(D, g) là elliptic,
e bài toán biên (2.9) — (2.10) thoả mãn điều kiện Shapiro-Lopatinski.Dưới đây là kết quả của S Agmon, A Douglis, L Nirenberg trong [2].
Mệnh dé 2.3.4 Giả sử bài toán (2.9) — (2.10) là elliptic Khi đó không gian
M có một cơ sở được xác định như sau
O;(€, t, q) — / c Sơn, (€", ¢, q)N,(€, ¢, q)d¢, ) — 1, 5; (2.13)
43
Trang 40trong đó + là đường cong kín, trơn, trong nửa mặt phẳng phức trên chứa s
nghiệm C1, , G;, Nj là hàm khả vi vô hạn, thuân nhất dương bậc s — m; — Ìtheo (&',¢,q) và là đa thức đối với ¢, thoả man
dd
on, (Ct, Qar(é',t, 4)Ì¡=0 — Ojks J; k= 1, 1228.
Dinh lý 2.3.5 Cho p, 2 € R, lo < £,1 < p < ©, toán tử U là elliptic Khi đó
ta có ước lượng tiên nghiệm
lIull„„e; < C([ullca.er.ms— + |[e|li„„;) Vu € Hu„¿(Ñ}),
trong đó C là hằng số không phụ thuộc u, q.
Khi q # 0, ta có bất đẳng thức
llllc»„m; C|Hu|lrszma re, Vu € Hu„„(R}).
trong đó C là hằng số không phụ thuộc u, q Khi đó toán tử U là đơn ánh từ
H.„„(R†) vào Hoy q(R, RTM"').
Chứng minh: Dé chứng minh Dinh lý, ta chỉ cần chứng minh khi g # 0, vì khi
q = 0taxét toán tử A’u = Aut+u, Bou = Buhay Âu = Âu~u, Bru = Byuthì toán tử U! = (A’, Bi|z„=o , ;|z„=o) là toán tử elliptic với tham biến
qg—=1 z0, khi đó
len ame < CUW Ue prey we SC (MW Ullep see eet + |[e|lo„1,m)
elle pen < ClWUl |e pee pet < C(|[Wul leper eet + llullo,p,m):
Bây giờ, ta chứng minh Định lý khi g # 0.
Đặt (f,91, -,gs) = Uu = (Au, Bia|¿„=o, , Bsulx,-0), vớiu € Hey q(R").
Với các toán tử thu hẹp và thác triển M, L, như trong Mệnh đề 2.1.3, theo
định nghĩa có
f = MALu
44