MỤC LỤC
Bai toán biên đối với phương trình tuyến tinh elliptic cấp 2 với điều kiện biên. Bài toán biên này thoả mãn điều kiện Shapiro- Lopatinski khi và chỉ khi hoặc số chiều của không gian n = 2, hoặc trường vộc-tơ D, khụng tiếp xỳc với biờn ỉQ. Chúng tôi xin được gọi lớp bài biên trong trường hợp n > 3 và trường véc-tơ D, tiếp xúc với biên tại một.
(i) Điểm P thuộc lớp I nếu trong một lân cận nào đó trên biên OA của điểm P tích vô hướng (7, ) chuyển từ dấu dương sang dấu âm khi đi qua P. (ii) Điểm P thuộc lớp II nếu trong một lân cận nào đó trên biên OF của điểm P tích vô hướng (7, ) chuyển từ dấu âm sang dấu dương khi đi qua P. (iii) Điểm P thuộc lớp III nếu trong một lân cận nào đó trên biên O2 của điểm P tích vô hướng (7,v) không đổi dấu khi đi qua P theo hướng.
Do trường véc-to D, chỉ tiếp xúc với biên OC tại những điểm thuộc Ty, hay tích vô hướng (7, ) khác 0 tại mọi điểm không thuộc Ip nên nếu trên ['ọ có một điểm thuộc lớp I (II hay II) thì mọi điểm còn lại của I cũng thuộc lớp I (II hay II, một cách tương ứng). Khi Tọ thuộc lớp II thì Dinh lý về su tồn tại nghiệm không được thiết lập mà chỉ có Định lý về ước lượng tiên nghiệm và Định lý về độ trơn.
Có nhiều cách để tiếp cận bài toán biên cổ điển đối với phương trình parabolic. Ta có thể tiếp cận từ cách nhìn của phương trình vi phân thường bằng lý. thuyết nửa nhóm. Chẳng hạn, khi xét bài toán biên đối với phương trình. Ngoài ra, ta còn có thể tiếp can bằng nhiều cách khác, chang hanOt. Dưới đây, chúng tôi xin được trình. bày cách tiếp cận của M. Agranovich trong công trình [4]. Trong công trình này, bằng cách dùng phép biến đổi Laplace, M. ứng), có dạng sau.
Khi đó, ta có thể thác triển toán tử L lên thành toán tử tuyến tính.
Chứng minh: Để chứng minh Dinh lý này ta chỉ cần chứng minh bất đẳng.
Toán tử A được gọi là elliptic nếu trong mỗi lân cận U;, phần chính Apo, là. Trong hệ toa độ địa phương liên kết với U; mà ở đó y trở thành gốc của hệ toa độ, phần biên. Vì B’ là không gian Banach và theo Dinh lý Banach, các mệnh dé sau là.
Mà Im UR, C Im U nên Im U là đóng và có đối số chiều trong không gian. Dưới đây, ta nghiên cứu bài toán biên đối với phương trình GVP elliptic nửa tuyến tính. Chứng minh: Từ giả thiết (ii), để chứng minh Bổ dé này ta chỉ còn phải chứng.
Trong Chương này, chúng tôi trình bày các kết quả về bài toán biên không. Do N, là mặt không tiếp xúc với biên nên không tiếp xúc với trường D, hay ảnh #1( Na) không tiếp xúc với trục ¡. Khi đó trong lân cận đủ nhỏ của gốc, một trong ba trường hợp sau xảy ra Oz z¡=0.
Nếu P thuộc lớp I, H hay III thỡ trong một lõn cận của P cỏc điểm trờn ẽ'ọ đều thuộc lớp I, II hay II một cách tương ứng. Còn nếu P là điểm giới han của một dãy các điểm thuộc lớp I (hay II, III) thì P cũng thuộc lớp I (hay II, HI một cách tương ứng). Mà To là tập liên thông nên nếu trên ['ọ có một điểm thuộc lớp I (hay II, II) thì mọi điểm P của Ty cũng thuộc lớp I (hay II, II một cách. tương ứng).
Lại có w(z) là nghiệm của bài toán biên elliptic. khi đó ta có. nhân Ker \L có số chiêu hữu hạn, có không gian anh Im 1L đóng trong. Toán tứ 1L có toán tu lam déu R là toán tử tuyến tính bị chan. Như vay, để chứng minh Dinh lý ta chỉ cần tìm toán tử tuyến tính bị chặn R. Do đó, để xây dựng toán tử diéu chỉnh R trên, ta chi còn phải xây. dựng trong lõn cận ẽˆ¿ đủ nhỏ của [. Trong hệ tọa độ. Khi đó bài toán biên Dirichlet đối với toán tử A; trong nửa không gian Rit. Xét bài toán biên elliptic cho ham D,v sau. là hữu hạn nên quá trình trên dừng sau hữu hạn bước, nghĩa là có một tập hữu. IM có cùng số chiều hữu hạn nên đẳng cấu với nhau qua ánh xa J nào đó. Hơn nữa, có đánh giá. trong đó C > 1 là hằng số không phụ thuộc q và các hàm. trong đó C là hằng số không phụ thuộc u, q. Chứng minh: Do trường vộc-tơ D, khụng tiếp xỳc với biờn ỉâ ngoài Ip nờn. đơn giản ta ký hiệu Q, ¿, ta dùng hệ tọa độ địa phương mà ở đó trường véc-tơ. D, trở thành trường véc-tơ D,,. Bằng cách làm tương tự như Dinh lý 3.1.6 đối với trường hợp Lo thuộc lớp II. ta có Định lý sau. Gid sử T'ọ thuộc lớp II. Gid sử Lọ thuộc lớp II. Hơn nữa, có đánh giá. trong đó C > 1 là hằng số không phụ thuộc q và các hàm. Trường vec-tơ v là trường. điểm thoả mãn phương trình. hay chỉ tại những điểm trờn đường trũn ẽ'ọ nằm trờn S gồm cỏc điểm. và dễ thấy trường vec-tơ v khụng tiếp xỳc với ẽ'ọ. Hơn nữa, ta thấy biểu thức. x € S, đổi dấu từ dương sang âm khi di qua I’) theo hướng của trường vec-tơ. Để giải quyết bài toán biên khi Tọ thuộc lớp I ta cần thêm điều kiện.