Bài toán biên giả vi phân trong không gian Hl,p (p # 2)

Bài toán biên giả vi phân trong không gian Hl,p (p # 2)

Đại học quốc gia hà nội trờng đại học khoa học tự nhiên Đặng Anh Tuấn Bài toán biên giả vi phân trong không gian H ,p (p =2) Chuyên ngành: Phơng trình vi phân và tích phân Mã số: 62 46 01 05 Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học Hà Nội 2007 đại học quốc gia hà nội trờng đại học khoa học tự nhiên đặng anh tuấn bI toán biên giả vi phân trong không gian H ,p (p 2) Chuyên ngành: Phơng trình vi phân và tích phân Mã số: 62 46 01 05 Luận án tiến sĩ Toán học Ngời hớng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Minh Chơng Pgs. Ts. h tiến ngoạn Hà Nội-2007 Mở đầu Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng đợc nghiên cứu đầu tiên trong các công trình của Euler, d'Alembert, Lagrange và Laplace nh một công cụ chính để mô tả cơ học cũng nh là mô hình giải tích của vật lý. Vào giữa thế kỷ 19, đặc biệt với công trình của Riemann, Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng đã chứng tỏ là một công cụ thiết yếu của nhiều ngành toán học. Cuối thế kỷ 19, H. Poincare đã chỉ ra mối quan hệ biện chứng giữa Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng và các ngành toán học khác. Sang thế kỷ 20, Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng phát triển mạnh mẽ nhờ công cụ Giải tích hàm. Đặc biệt khi Lý thuyết hàm suy rộng đợc xây dựng bởi S. L. Sobolev, L. Schwartz đợc kết hợp với Giải tích Fourier nhiều bài toán đã đợc giải quyết. Chẳng hạn bài toán biên elliptic tuyến tính đợc giải quyết khá trọn vẹn. Bằng lý thuyết nửa nhóm cùng các kết quả từ toán tử elliptic, một số lớp bài toán parabolic, còn đợc gọi là phơng trình tiến hóa, cũng đã đợc nghiên cứu bởi E. Hille, K. Yosida, F. E. Browder, H. Brezis, J. L. Lions, E. Magnes, E. B. Davies, .v.v. . Bài toán hyperbolic cũng đã có đợc những kết quả đẹp qua các công trình của I. G. Petrovski, J. Leray, L. Garding, .v.v. . Theo L. Hormander, các công trình về toán tử hyperbolic của I. G. Petrovski nh một điều dự báo về sự ra đời của Lý thuyết toán tử Giả vi phân (GVP), một trong những công cụ hữu hiệu để nghiên cứu Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng không chỉ tuyến tính mà cả với phi tuyến. Lý thuyết toán tử GVP là sự phát triển của Lý thuyết tích phân kỳ dị kết hợp với Giải tích Fourier. Một trong những kết quả đẹp dựa một phần trên Lý thuyết toán tử GVP là Định lý về chỉ số Atiyah- Singer, sự giao thoa giữa nhiều ngành toán học Lý thuyết Phơng trình vi phân đạo hàm riêng, Lý thuyết Tôpô- Đại số, Lý thuyết Hình học- Đại số. Dựa vào Lý thuyết toán tử GVP, F. Treves, L. Nirenberg đã giải quyết trọn vẹn bài toán về tính giải đợc địa phơng cho toán tử vi phân kiểu chính (chú ý rằng nói chung không thể giải đợc toàn cục, chẳng hạn đối với phơng trình elliptic ngời ta cũng 1 chỉ có thể giải đợc một cách địa phơng). Gần đây, cùng với nhiều công trình trớc đó của L. Hormander, Yu. V. Egorov, R. Beals, C. Fefferman, N. Lerner, .v.v., cuối cùng là N. Dencker mới giải quyết trọn vẹn bài toán về tính giải đợc địa phơng cho toán tử GVP kiểu chính. Một kết quả lý thú khác về tính subelliptic, tính chất nằm giữa elliptic và hyperbolic, là Yu. V. Egorov đã đa ra đợc điều kiện cần và đủ để một toán tử GVP là subelliptic. Kết quả này đợc bắt nguồn từ công trình viết chung với V. A. Kondratiev về bài toán đạo hàm nghiêng. Khi khảo sát một vài lớp bài toán đạo hàm nghiêng cụ thể bằng cách chuyển thành toán tử GVP cùng với sự nghiên cứu các kết quả trớc đó của L. Hormander, Yu. V. Egorov đã tìm ra đợc phép biến đổi chính tắc, rồi từ đó đi đến điều kiện cần và đủ để một toán tử GVP là subelliptic. Bài toán đạo hàm nghiêng là bài toán biên cho phơng trình vi phân cấp 2, chẳng hạn phơng trình Laplace u = f , với điều kiện biên đạo hàm nghiêng u = g trong miền bị chặn trong không gian có số chiều lớn hơn 2, với biên trơn , theo Yu. V. Egorov, V. A. Kondratiev đợc đặt ra bởi H. Poincare. Tuy nhiên, cho đến trớc năm 1963, bài toán đạo hàm nghiêng chỉ đợc xét khi trờng véc-tơ D = không tiếp xúc với biên. Đến năm 1963, A. V. Bisadze xét bài toán đạo hàm nghiêng khi trờng véc-tơ D tiếp xúc với biên, cụ thể A. V. Bisadze xét bài toán biên cho phơng trình Laplace trong hình cầu B = {(x 1 ,x 2 ,x 3 ) R 3 | x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 1} với điều kiện biên (x 1 a) u x 1 + x 2 u x 2 + x 3 u x 3 = g trên mặt cầu S = {(x 1 ,x 2 ,x 3 ) R 3 | x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 =1}, trong đó, a R là hằng số. Khi |a| > 1, trờng véc-tơ (x 1 a) x 1 ,x 2 x 2 ,x 3 x 3 tiếp xúc với biên trên đờng tròn c = {(x 1 ,x 2 ,x 3 ) S | x 1 = 1 a ,x 2 2 + x 2 3 = a 2 1 a 2 } trên mặt cầu S. Để thuận tiện, chúng tôi xin đợc gọi bài toán đạo hàm nghiêng mà trờng véc-tơ đạo hàm nghiêng tiếp xúc với biên là bài toán đạo hàm nghiêng không cổ điển phân biệt với các bài toán đạo hàm nghiêng đợc trớc năm 1963. Việc nghiên cứu bài toán đạo hàm nghiêng không cổ điển 2 gặp nhiều khó khăn. Một trong những khó khăn là loại bài toán đạo hàm nghiêng không cổ điển này không thỏa mãn Điều kiện Shapiro- Lopatinski nh các bài toán biên Dirichlet, Neuman hay các bài toán đạo hàm nghiêng cổ điển. Chúng tôi cũng xin đợc gọi bài toán biên không thỏa mãn Điều kiện Shapiro- Lopatinski là bài toán biên không cổ điển để phân biệt với bài toán biên thỏa mãn Điều kiện Shapiro- Lopatinski. Sau công trình của A. V. Bisadze và nhiều tác giả khác nh R. Borrelli, L. Hormander, Yu. V. Egorov, V. A. Kondratiev, M. B. Malyutov, V. G. Mazya, Nguyễn Minh Chơng, Lê Quang Trung, .v.v. , cũng có những kết quả lý thú về bài toán đạo hàm nghiêng không cổ điển. Một trong các kết quả lý thú đạt đợc bởi Yu. V. Egorov- V. A. Kondratiev vào năm 1969. Yu. V. Egorov, V. A. Kondratiev đã giải quyết khá trọn vẹn bài toán đạo hàm nghiêng không cổ điển, cụ thể là bài toán biên cho phơng trình vi phân đạo hàm riêng cấp 2 trong miền bị chặn trong không gian với số chiều lớn hơn 2, với điều kiện biên đạo hàm nghiêng D u = g trên biên trơn , khi trờng véc-tơ D tiếp xúc với biên tại những điểm thuộc đa tạp con trơn (n 2) chiều 0 của biên . Để giải quyết bài toán này, các tác giả đã phân 0 thành ba loại, tùy theo hình dáng của nó đối với trờng véc-tơ D , và tập trung vào nghiên cứu bài toán xung quanh 0 bằng cách sử dụng một phân hoạch đơn vị đặc biệt. Gần đây, các tác giả A. Maugeri , D. K. Palagachev, C. Vitanza đã giải quyết đợc bài toán đạo hàm nghiêng không cổ điển khi trờng véc-tơ D tiếp xúc với biên trên một tập con của biên. Bài toán đạo hàm nghiêng đợc nghiên cứu theo nhiều cách cho nhiều loại phơng trình khác nhau, Yu. V. Egorov, V. A. Kondratiev nghiên cứu bài toán đạo hàm nghiêng cho phơng trình vi phân elliptic tuyến tính cấp 2, trong Yu. V. Egorov, Nguyễn Minh Chơng nghiên cứu bài toán đạo hàm nghiêng cho phơng trình vi phân parabolic tuyến tính cấp 2, Yu. V. Egorov, Nguyễn Minh Chơng nghiên cứu bài toán biên không cổ điển trong không gian Sobolev cấp biến thiên, Lê Quang Trung nghiên cứu bài toán biên không cổ điển cho phơng trình vi tích phân kỳ dị elliptic cấp cao, Yu. V. Egorov, Nguyễn Minh Chơng nghiên cứu bài toán biên 3 không cổ điển cho phơng trình vi tích phân kỳ dị elliptic nửa tuyến tính cấp cao. Đợc sự gợi ý của Giáo s Nguyễn Minh Chơng, tác giả nghiên cứu bài toán biên không cổ điển cho phơng trình GVP cấp cao trong không gian kiểu Sobolev H ,p , 1 <p<. Luận án này bao gồm các kết quả mà tác giả đã đạt đợc đối với các bài toán biên cổ điển và không cổ điển cho phơng trình GVP elliptic, parabolic cấp cao tuyến tính, nửa tuyến tính trong không gian H ,p , 1 <p<. Luận án đợc chia thành bốn chơng chính nh sau. Trong Chơng 1, chúng tôi trình bày tổng quan về các kết quả cho bài toán biên không cổ điển đối với phơng trình elliptic và bài toán biên cổ điển đối với phơng trình parabolic. Về bài toán biên không cổ điển đối với phơng trình elliptic, các kết quả đa ra ở đây thuộc về các tác giả Yu. V. Egorov, V. A. Kondratiev và các kết quả gần đây của các tác giả A. Maugeri , D. K. Palagachev, C. Vitanza. Ngoài ra, chúng tôi cũng điểm qua các kết quả mà chúng tôi đợc biết. Về bài toán biên cổ điển đối với phơng trình parabolic, các kết quả đa ra ở đây đợc thuộc về các tác giả M. S. Agranovich, M. I. Vishik và chúng tôi cũng điểm qua các kết quả mà chúng tôi đợc biết, chẳng hạn các kết quả gần đây của L. Softova. Trong Chơng 2, chúng tôi trình bày các kết quả về bài toán biên cổ điển đối với phơng trình GVP elliptic tuyến tính và nửa tuyến tính trong không gian Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham số. Đối với bài toán biên elliptic tuyến tính, tính giải đợc đã đợc giải quyết trọn vẹn từ những năm 60 của thế kỷ 20. Tuy nhiên, một điểm đáng chú ý là thứ nhất để bài toán giải đợc thì vế phải phải thỏa mãn một số hữu hạn điều kiện (nghĩa là toán tử ứng với bài toán biên không là toàn ánh), thứ hai nếu bài toán giải đợc thì số nghiệm của bài toán có thể nhiều hơn một (nghĩa là toán tử ứng với bài toán biên không là đơn ánh). Khi đó, việc sử dụng phơng pháp tuyến tính hóa để giải quyết bài toán nửa tuyến tính sẽ gặp nhiều trở ngại. Chúng tôi đã sử dụng phơng pháp tham biến lớn để giải quyết trở ngại này, cụ thể là trong không gian Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham biến phức q, khi |q| đủ lớn với 4 mọi vế phải nằm trong không gian Sobolev thích hợp bài toán cổ điển đối với phơng trình GVP elliptic tuyến tính có duy nhất nghiệm. Từ đó, bằng phơng pháp tuyến tính hóa chúng tôi có kết quả về Định lý tồn tại nghiệm cho bài toán nửa tuyến tính. Trong Chơng 3, chúng tôi trình bày các kết quả về bài toán biên không cổ điển đối với phơng trình GVP elliptic tuyến tính và nửa tuyến tính trong không gian kiểu Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham số. Đối với bài toán biên không cổ điển, bài toán biên không thỏa mãn Điều kiện Shapiro- Lopatinski kiểu Egorov- Kondratiev, ta chỉ có đánh giá subelliptic mà không thể có đánh giá kiểu elliptic, nghĩa là đánh giá có dạng sau ||u|| ,p, C(||Uu|| +,p,, + ||u|| 0,p, ), trong đó U là toán tử ứng với bài toán biên, còn 0 <.Nếu U là toán tử ứng với bài toán biên elliptic thì ta có đánh giá với =0. Do vậy, để nghiên cứu bài toán biên không cổ điển chúng tôi xây dựng một lớp không gian mới kiểu Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham biến. Với lớp không gian kiểu Sobolev này chúng tôi đã có đợc các kết quả về Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho một số lớp bài toán biên không cổ điển tuyến tính. Từ đó, bằng các kỹ thuật của Giải tích phi tuyến, chúng tôi cũng có những kết quả về Định lý tồn tại nghiệm cho bài toán nửa tuyến tính. Trong Chơng 4, chúng tôi trình bày các kết quả về bài toán biên không cổ điển đối với phơng trình GVP parabolic tuyến tính và nửa tuyến tính trong không gian kiểu Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham số. Chẳng hạn, bằng phơng pháp nửa nhóm ta chuyển bài toán biên parabolic dạng u t = Au, trong đó A là toán tử elliptic, về việc nghiên cứu nửa nhóm sinh bởi toán tử elliptic A. Để nghiên cứu nửa nhóm này ngời ta nghiên cứu toán tử elliptic A. Chúng tôi dùng phơng pháp sử dụng phép biến đổi Laplace để đa bài toán biên parabolic về bài toán biên elliptic. Từ việc nghiên cứu bài toán biên cổ điển và không cổ điển cho phơng trình elliptic ở các Chơng trớc, chúng tôi thu đợc các kết quả cho bài toán biên parabolic tuyến tính và nửa tuyến tính. 5 Chơng 1. Tổng quan Trong Chơng này, chúng tôi trình bày một số kết quả nổi bật, mà chúng tôi biết, về các bài toán biên không cổ điển đối với phơng trình vi phân elliptic của các tác giả Yu. V. Egorov, V. A. Kondratiev, và của các tác giả A. Maugeri, D. K. Palagachev, C. Vitanza; cũng nh bài toán biên cổ điển đối với phơng trình parabolic của M. S. Agranovich, M. I. Vishik, đợc xét trong một tập mở, bị chặn, liên thông với biên trơn, trong không gian R n với số chiều n 3. Ngoài ra, chúng tôi điểm qua các kết quả của các tác giả Yu. V. Egorov, Nguyễn Minh Chơng, Lê Quang Trung về các bài toán biên không cổ điển đối với phơng trình elliptic tuyến tính và nửa tuyến tính cũng nh các kết quả của các tác giả Yu. V. Egorov, Nguyễn Minh Chơng, Lê Quang Trung, L. Softova bài toán biên cổ điển đối với phơng trình parabolic. Chơng 2. Bài toán biên cổ điển đối với phơng trình GVP elliptic 2.1 Không gian hàm 2.1.1 Định nghĩa Cho p, R, 1 <p<. Không gian H ,p (R n ) là không gian làm đầy không gian C 0 (R n ) bởi chuẩn ||u|| ,p,R n = R n (1 + ||||) p |F n u()| p d 1 p . Cho p, R, 0 , 1 <p<, là miền bị chặn với biên trơn, trong R n . Các không gian H ,p ( R n + ),H ,p (),H ,p () đợc xây dựng nh truyền thống. Lấy q C,p, R , 1 <p<, 0 , trong H ,p (R n ), H ,p (), H ,p ( R n + ), H ,p () ta định nghĩa chuẩn phụ thuộc tham biến q: 6 u ,p,q = u p ,p + |q| p u p 0,p 1/p . Khi đó ta kí hiệu các không gian với chuẩn phụ thuộc tham biến lần lợt là H ,p,q (R n ), H ,p,q (),H ,p,q ( R n + ), H ,p,q (). 2.1.2 Tính chất Dới đây là một số tính chất của không gian H ,p . Mệnh đề 2.1.1 khẳng định với , k, p R, 1 <p<,k <ta có các phép nhúng sau là bị liên tục: H ,p (R n ) H k,p (R n ),H ,p ( R n + ) H k,p ( R n + ). Đặc biệt, phép nhúng H ,p () H k,p () là compact. Nhận xét 2.1.2. Đối với không gian H ,p,q có chuẩn phụ thuộc tham số q, với >0 cho trớc, khi |q| đủ lớn, phép nhúng H +1,p,q trong H ,p,q có chuẩn nhỏ hơn . Mệnh đề 2.1.3 khẳng định với p, R, 1 <p<, 0 , toán tử hạn chế M từ R n xuống R n + là toán tử tuyến tính bị chặn từ H ,p (R n ) vào H ,p ( R n + ). Với K là tập compact trong R n + , toán tử thác triển L biến mỗi hàm u C 0 ( R n + ), mà supp u K, thành hàm Lu(x)=u(x) khi x n 0 và Lu(x)=0khi x n < 0 là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian gồm các hàm u H ,p ( R n + ), supp u K vào H ,p (R n ). Mệnh đề 2.1.4 khẳng định với p, R, 1 <p<, 0 < || <,toán tử vi phân D là toán tử tuyến tính bị chặn từ H ,p (R n ) (hay H ,p ( R n + )) vào H ||,p (R n ) (hay H ||,p ( R n + )). Do đó, toán tử vi phân D là toán tử tuyến tính bị chặn từ H ,p () vào H ||,p (). Với (1 1 p ) <,toán tử vết u u x n =0 là toán tử tuyến tính bị chặn từ H ,p (R n ) (hay H ,p ( R n + )) vào H (1 1 p ),p (R n1 ). Toán tử vết u u là toán tử tuyến tính bị chặn từ H ,p () vào H (1 1 p ),p (). Nhận xét 2.1.5. Trong không gian Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham biến q, ta cũng có các Mệnh đề trên. 7 2.2 Toán tử giả vi phân (GVP) trong R n Định nghĩa 2.2.1. Cho s Z + , 1 , 2 R,Q= z C| 1 arg z 2 . Toán tử GVP A(x,D,q) cấp s trong R n với tham biến q đợc xác định nh sau Au(x, q)=A(x,D,q)u(x, q)=(2) n/2 R n e ix, A (x,,q)F n u()d, trong đó A (x,,q), đợc gọi là biểu trng của toán tử GVP A(x,D,q), có dạng A (x,,q)= ||+s a (0) , ()+a (1) , (x, ) q với (i) hàm a (1) , (., ) C 0 (R n ) với mỗi R n \{0}, (ii) các hàm a (0) , (.),a (0) , (x, .) C(R n \{0}), với mỗi x R n , và thuần nhất dơng bậc 0 theo nghĩa là a (0) , (c)=a (0) , (),a (1) , (x, c)=a (1) , (x, ), x R n , R n \{0}, c>0. Toán tử GVP A đợc gọi là thuần nhất nếu biểu trng của nó A (x,,q) thuần nhất theo (, q), nghĩa là A (x,,q)= ||+=s a (0) , ()+a (1) , (x, ) q . Định lý 2.2.3. Cho , p R,s Z + , 1 <p<. Toán tử GVP A cấp s là toán tử tuyến tính bị chặn từ (C 0 (R n ), || ã || ,p,q,R n ) vào H s,p,q (R n ). Toán tử GVP A có thể thác triển lên thành toán tử tuyến tính bị chặn từ H ,p,q (R n ) vào H s,p,q (R n ). Hơn nữa, ta có đánh giá Au s,p,q,R n Cu ,p,q,R n ,u H ,p,q (R n ), trong đó C là hằng số không phụ thuộc u, q. Dới đây, ta quan tâm toán tử GVP cấp s thuần nhất A với biểu trng không phụ thuộc x, nghĩa là A (, q)= ||+=s a (0) , () q . Định lý 2.2.4. Cho , p R,s Z + , 1 <p<. Giả sử toán tử GVP thuần nhất A với biểu trng không phụ thuộc x và thoả mãn A (, q) =0, khi ||||+|q|=0. Khi đó với q Q\{0}, toán tử A : H ,p,q (R n ) H s,p,q (R n ) là khả nghịch, mà toán tử nghịch đảo của nó A 1 là toán tử có dạng A 1 u(x, q)=(2) n 2 R n e ix, 1 A (, q)F n u()dx. Hơn nữa, ta có đánh giá A 1 f ,p Cf s,p , f H s,p,q (R n ), trong đó C là hằng số không phụ thuộc f , q. 8 [...]... )||M,q , M >0 |q| ta cũng có Định lý tồn tại nghiệm cho bài toán biên (3.20) (3.21) 17 Chơng 4 Bài toán biên không cổ điển đối với phơng trình parabolic 4.1 Không gian hàm Để đơn giản ký hiệu, chúng tôi dùng = ì (0, +), = ì (0, +) 4.1.1 Định nghĩa Cho 0 , 0 < à, N, 1 p < Không gian P ,p(, à, Rn ì (0, +)) là không gian làm đầy không gian P (Rn ì(0, +)) = u C0 (Rn ì(, +)) : supp u Rn ì(0,... Mệnh đề 4.2.1 elliptic Với Giả sử toán tử (A(x, Dx , q 1/ ), Bj (x, Dx, q 1/ )| ) là 0, 1 < p < , q = à đủ lớn, bài toán biên (4.6) (4.7) có duy nhất nghiệm trong E ,p (, à, ) với bất kỳ vế phải trong E 2s,p (, à, ) ì E mj 1+1/p,p (, à, ) Định lý 4.2.3 Giả sử bài toán biên (4.1)(4 .2) với điều kiện ban đầu (4.3) là parabolic Với 0, 1 < p < , q = à đủ lớn, bài toán biên (4.1)(4 .2) với điều kiện ban đầu... I, III 23 Bài toán biên không cổ điển đối với phơng trình GVP parabolic Xây dựng các lớp không gian P ,p (, à, ), E ,p (, à, ) Chứng minh hai lớp không gian P ,p (, à, ), E ,p (, à, ) là đẳng cấu với nhau bởi phép biến đổi Laplace Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán biên không cổ điển đối với phơng trình GVP parablic tuyến tính và Định lý tồn tại nghiệm cho bài toán biên không cổ điển...2.3 Bài toán biên trên nửa không gian Rn + Định nghĩa 2.3.1 Cho s Z+ , 1 , 2 R, Q = z C|1 arg z 2 Toán A đợc xác định bởi A = M AL, trong đó (i) M là toán tử hạn chế từ Rn xuống Rn , + (ii) L là toán tử thác triển từ Rn lên Rn (trong Mệnh đề 2.1.3), + là toán tử GVP cấp s trong Rn với biểu trng (iii)A A (x, , q), x Rn , Rn \ {0}, q Q đợc gọi là toán tử GVP cấp s trong Rn với biểu... 1/p p u(x, t) (, ) dd , trong đó q = à + i, Fn+1 eàt u(x, t) (, ) = (2) n+1 2 ei x, it àt u(x, t)dxdt Rn+1 Không gian E ,p (, à, Rn ) là không gian làm đầy không gian LP (Rn ì (0, +)) = {Lu | u P (Rn ì (0, +))} bởi chuẩn U E ,p (,à,Rn) = U p d ,p,q1/,Rn 1/p , R 1 trong đó q = à + i, Lu(x, q) = (2) 2 + qt e u(x, t)dt 0 n Cho là miền bị chặn với biên trơn trong R Các không gian P ,p (, à, Rn ì... gj ) M,q lim sup U1 (f, gj ) M,q , trong đó |q|+ 1 = sup{ M u f (x, q, u(x, q)), gj (x, q, uj (x, q)) ,p,q, ,p,q,, M} Định lý 2.4.10 Với các giả thiết của Định lý 2.4.5, và các giả thiết (i)(ii)(iii) đợc thỏa m n thì với |q| đủ lớn, bài toán biên (2.29)(2.30) có nghiệm u H ,p,q () 14 Chơng 3 Bài toán biên không cổ điển đối với phơng trình elliptic 3.1 Bài toán biên không cổ điển đối với phơng trình... đây, ta nghiên cứu bài toán biên không cổ điển tuyến tính Au = f (x) trong , (3.1) Bj u = Bj (D u) = gj trên , j = 1, 2, , s, (3 .2) trong đó A, Bj là các toán tử GVP chấp nhận đợc cấp, tơng ứng, 2s, mj (nh trong (2.18) (2.19)), D là trờng véc-tơ trơn xác định trong một lân cận của biên , tiếp xúc với biên tại những điểm thuộc đa tạp con, liên thông, trơn, (n 2)chiều 0 và không tiếp xúc với... (), trong đó C là hằng số không phụ thuộc u, q Tính Elliptic Trong hệ toạ độ liên kết với mỗi lân cận Uj toán tử A có dạng Aj là toán tử GVP trong Rn hay Rn , tuỳ theo lân cận Uj không giao hay giao + với biên , phần chính A0j là toán tử GVP có biểu trng A0j (x, , q) là phần thuần nhất dơng bậc 2s trong biểu trng Aj (x, , q) Toán tử A đợc gọi là elliptic nếu trong mỗi lân cận Uj , phần chính A0j là toán. .. Dx , q 1/ ) là các toán tử GVP chấp nhận đợc trên có cấp tơng ứng 2s, mj và biểu trng của phần chính, khi vi t trong hệ tọa độ địa phơng của lân cận biên mà trục 0xn là pháp tuyến trong của biên, là A (x, , q 1/ ) = ak(x, ) (q 1/ )k , ||+k=2s Bj (x, , q 1/ bjk (x, ) (q 1/)k )= ||+k=mj Ta gọi bài toán biên (4.3) (4.4) với điều kiện ban đầu (4.5) là bài toán biên parabolic nếu toán tử (A(x, Dx, q... III, ta nghiên cứu bài toán biên không cổ điển cho phơng trình GVP elliptic nửa tuyến tính sau Au(x, q) = f (x, q, u(x, q)) trong , (3.20) Bj (D u(x, q)) = gj (x, q, uj (x, q)) trên , j = 1, , s, (3.21) trong đó u(x, q) = (u(x, q), Du(x, q), , D 2s1u(x, q)), uj (x, q) = (u(x, q), Du(x, q), , D mj 1 u(x, q)), các toán tử A, Bj là các toán tử GVP trong bài toán biên (3.1) (3 .2) Nếu 0 thuộc lớp . tự nhiên Đặng Anh Tuấn Bài toán biên giả vi phân trong không gian H ,p (p =2) Chuyên ngành: Phơng trình vi phân và tích phân Mã số: 62 46 01 05 Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học Hà Nội 2007 đại. ứng với bài toán biên không là toàn ánh), thứ hai nếu bài toán giải đợc thì số nghiệm của bài toán có thể nhiều hơn một (nghĩa là toán tử ứng với bài toán biên không là đơn ánh). Khi đó, vi c sử. anh tuấn bI toán biên giả vi phân trong không gian H ,p (p 2) Chuyên ngành: Phơng trình vi phân và tích phân Mã số: 62 46 01 05 Luận án tiến sĩ Toán học Ngời