Luận văn thạc sĩ Toán học: Phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên giá trị ban đầu cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai

Mục lục1 Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát 5 1.1 Không gian W2 ”Qr và W2 Qr| ..... Với đề tài "Phương pháp sai phan giải

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ THỊ THU HÀ

PHƯƠNG PHAP SAI PHAN

GIAI GAN DUNG BAI TOAN BIEN

GIA TRI-BAN DAU CHO PHƯƠNG TRÌNH

PARABOLIC TUYẾN TÍNH CAP HAI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ THỊ THU HÀ

PHƯƠNG PHAP SAI PHAN

GIAI GAN DUNG BAI TOAN BIEN

GIA TRI-BAN DAU CHO PHƯƠNG TRÌNH

PARABOLIC TUYẾN TÍNH CAP HAI

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS HÀ TIEN NGOAN

Hà Nội - Năm 2012

Mục lục

1 Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình

parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát 5

1.1 Không gian W2 ”(Qr) và W2 (Qr)| SỰ 5

1.1.1 Không gian Lo(Q)) 2 Q Q Q Q Q Q Ủ 5

112 Dao hàm suy rong) 2 20.0.0 0022.2 V 10

2.3.3 Sơ đồ hiện

Tài liệu tham khảo

Mo dau

Trong thực tế, nhiều hiện tượng khoa học và kỹ thuật dẫn đến các bài

toán biên của phương trình vật lý-toán Một số ít trường hợp có thể tìm được

ngay nghiệm của bài toán Còn đại đa số trường hợp thì việc tìm nghiệm củabài toán là hết sức khó khăn Khi đó, việc tìm nghiệm phải dựa vào các phương

pháp giải gần đúng.

Với đề tài "Phương pháp sai phan giải gần đúng bài toán biên-giá trị ban đầu cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai", luận văn trình bày phương pháp sai phân để đưa bài toán biên-giá trị ban đầu cho phương

trình parabolie tuyến tính cấp hai về một bài toán đại số gồm nhiều phương

trình đại số tuyến tính Bài toán đại số này có phương pháp giải và có thể tìm

được nghiệm gần đúng cho bài toán ban đầu

Luận văn chủ yếu trình bày các kết qua đã được đưa ra ở các chương III, VIcủa [9] Ngoai phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia

thành hai chương:

Chương 1: Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương

trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát

Trong chương này, luận văn trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản

về một số không gian: Lo(Q), Wy°(Qr), Wz”(Qr) và đạo hàm suy rộng Day là

các kiến thức cơ bản để nghiên cứu nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolie tuyến tính cấp hai tổng quát.

Bài toán này sẽ có nghiệm suy rộng duy nhất trong IW2'°(Qz) Ngoài các kết quả

của [9], luận văn đã sử dụng thêm các kết quả của [4] và [6]

Chương 2: Một số sơ đồ sai phân giải gần đúng bài toán biên-giá

trị ban đầu

Để tiếp cận với các sơ đồ sai phân, luận văn sẽ trình bày về hàm lưới, các

hàm nội suy của hàm lưới và mối quan hệ giữa giữa hàm lưới và các nội suy của

chúng Xét hai sự thay thé cho đạo hàm du/d¢ là: uz và uz Sự thay thé thứ nhất

cho ta hai sơ đồ ẩn: sơ đồ sai phân ẩn thứ nhất và thứ hai, sự thay thế thứ hai cho ta sơ đồ hiện Luận văn sẽ nghiên cứu sự ổn định và tính duy nhất nghiệm

của các sơ đồ sai phân Cả ba sơ đồ sai phân nhận được sẽ có duy nhất nghiệm

và ổn định, nhưng sự hội ở sơ đồ an thứ hai xảy ra với chuẩn yếu hơn so với sơ

đồ an thứ nhất Các kết quả này dựa vào |9].

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của

PGS.TS Hà Tiến Ngoạn (Viện Toán học Việt Nam) Thầy đã dành nhiều

thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trìnhlàm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người Thầy của mình

Qua đây, tôi xin gửi tới Ban Giám Hiệu, Phong Sau Dai Học, Khoa Toán

-Cơ - Tin học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nộilời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục

đào tạo của Nhà trường.

Hà Nội, tháng 12 năm 2012

Chương 1

Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ

nhất đối với phương trình parabolic

tuyến tính cấp hai tổng quát

1.1 Không gian Ws" (Qr) va W;"(Qr)

1.1.1 Khong gian L;(©)

Định nghĩa 1.1.1 [9| Một tập E các phần tử trừu tượng được gọi là một không

gian tuyến tính định chuẩn thực (hoặc phúc) nếu:

1 E là một không gian tuyến tính uới phép nhân uới các số thực (hoặc phúc);

2 Với moi phần tử u € E có một số thực (được gọi là chuẩn của phần tử va

kí hiệu là ||u||) thỏa man các tiên đề sau:

(a) ||u|| > 0, ||u|| = 0 chỉ uới phần tử không;

(b) ||u + ol] < |lul| + ||o||, bat dang thức tam giác;

(c) JAwl| < [Al ell.

Ta dua vào không gian như vậy một metric tự nhiên: khoảng cách p(u, v) giữa

hai phần tử u và được xác định bởi p(u, v) = ||u — ||

5

Định nghĩa 1.1.2 [9] Day {un} các phần tử của E gọi là hội tụ tới u € E (hay,hội tụ mạnh trong E) nếu |\un — u|| > 0 khi n > co, tà kí hiệu là un > tu.

Định nghĩa 1.1.3 [9] Tap ' C được gọi là trù mat khắp nơi trong E nếu

bat ki phần tử nào của E cũng là giới han theo chuẩn E của các phan tử của E’.

Nếu chứa một tập hợp đếm được trù mật khắp nơi thì được gọi là tách

được.

Định nghĩa 1.1.4 [9] Day {ua}—¡ goi là hội tụ (hay day Cauchy, day cơ ban)

nếu ||lup — wạ|| + 0 khả p,q > ov

Định nghĩa 1.1.5 [9] Nếu moi dãy Cauchy {u„}? có giới hạn là phần tửu € EB

thà E gọi là không gian đủ (trong trường hợp nay |\un — u|| > 0 khi n > oo).

Một không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach,

ta kí hiệu là B Mọi không gian ta xét từ đây trở đi là đầy đủ và trù mật.

Về cơ bản chúng ta sẽ nghiên cứu một trường hợp cụ thể của các không gian

Banach: không gian Hilbert, ta kí hiệu là H.

Định nghĩa 1.1.6 [6] Không gian tuyến tính X xác định trên trường số thựcđược gọi là không gian tiền Hilbert nếu vdi mọi u,v € X xác định một số gọi làtích uô hướng của u va v) thỏa man các tiên đề sau:

1 (u,v) = (0,u);

2 (uy +ua,0) = (ur, v) + (ua, 0);

ở (Au, v) = A(u, v);

4 (u,u) > 0, (u,u) = 0 chỉ uới phần tử không u = 0

Dinh nghĩa 1.1.7 [6] Không gian tiền Hilbert đủ gọi là không gian Hilbert

Chuẩn của phan tử u, kí hiệu ||u|| được xác định bởi: |u|] = \/(u, u).

Ta thấy trong định nghĩa của một không gian Hilbert, đã bao gồm các yêu cầu

6

đầy đủ và trù mật Xuyên suốt luận văn, chúng ta sẽ sử dung không gian B và

H thực.

Với hai phần tử u, v bất kì trong H, ta có bất dang thức Cauchy, Bunhiacopski, Schwarz (ta sẽ gọi đơn giản là bất đẳng thức Cauchy):

I(a,9)| < l|a||- Tell.

Ngoài ra, để xét sự hội tụ theo chuẩn (sự hội tụ mạnh) trong không gian H,

chúng ta cũng phải xem xét hội tụ yếu

Định nghĩa 1.1.8 [9| Day {un} gọi là hội tụ yếu đến phan tử u trong H nếu

(uy — u,v) — 0 khí n — cw, voi Vụ € H.

Kí hiệu: uy, — u.

Ta thấy rằng, nếu các chuẩn của uy bị chặn đều thì để chứng minh sự hội tu

yêu của {u„} đến wu, ta chỉ cần chứng minh (uy, — u,v) > 0 khi n > oo trên tập

V nào đó trù mật khắp nơi trong H Một dãy {u„} không thé hội tụ yếu đến hai phần tử của H Nếu {uy} hội tụ đến u theo chuẩn trong H thì nó sẽ hội tụ

yếu đến u Điều ngược lại không đúng Tuy vậy, nếu {u„} hội tụ yêu đến u vàIIøal| —> |u|] thi {¿„} hội tụ mạnh đến ø

Định lý 1.1.1 |9] Nếu fun} hội tụ yếu đến u trong H, thà

llu„l|< lim lua||< lim ||ua||,

N00 00

uới vé phải của bat đẳng thúc là hữu hạn.

Một không gian Hilbert và bất kỳ không gian con đóng nào của nó, là đủ đối với sự hội tụ yếu

Định nghĩa 1.1.9 |9} Tập M trong không gian Banach B được gọi là tiền

compact (hay tiền compact trong B) nếu moi day uô han các phan tử của M cóchúa một day con hội tụ Nếu giới hạn của tat cả các day con thuộc vé M, thi

M được gọt là compact.

Định lý 1.1.2 |9] Tập M của H là tiền compact yếu khi va chỉ khi nó bị chặn.

Định nghĩa 1.1.10 [9] Tập tat cả các ham thực, đo được u(x) xác định trênmiễn Q của không gian Euclidean R" uới một tích phân hữu han:

1/p

lei = ( | (Par) |

trong đó p> 1 là một số cô định bat ki, hành thành một không gian Banach tách

được va có chuẩn được xác định như trên Khong gian nay thường được gọi là

1p).

Một phần tử của L,(Q) không chỉ là một hàm số với các tính chất đã nêu,

mà là một lớp các hàm số tương đương với nó trên © (nghĩa là, những hàm số

trùng với nó hầu hết ở khắp mọi nơi trên ©) Tuy nhiên, để ngắn gon, chúng ta

sẽ nói về các phan tử của ”„(O) như các hàm xác định nghĩa trên 9

Ta có thể lẫy ví dụ các tập trù mật khắp nơi trong U„(9):

e mọi hàm khả vi vô hạn, mọi đa thức, hoặc các đa thức với hệ số hữu tỉ;

e tập C®(©) các hàm khả vi vô hạn với giá compact thuộc vào 9

Không gian L¿(9) là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng:

Chúng ta đề cập đến một số các bất dang thức sẽ sử dụng thường xuyên.

e Bất đẳng thức Cauchy:

n n n

đ¡j&¡1]j| S › ig 6485 › aig THN »

ij=l ij=l ij=l

với bất kì dang bậc hai không âm a¡;&;£; với aj; = aj; và các số thực tùy ý:

Ế1, Ến; TH; ‹ - - ›

Tìn-e bất đăng thức Cauchy với Tìn-e:

€ 1

b| < =|a|Ÿ + „—|b|?

ad) < 5m9 + Le

với mọi e > 0 và a,b bất kì.

Từ các bất dang thức ham chúng ta có các bất dang thức cu thể trong L¿(©)

([ + ode) ợ < (/ đá) + (/ đu

Trường hợp tổng quát của bất đẳng thức này là bất đẳng thức tam giác

cho các phan tử của Lp(Q):

lu + oll, S lelle,@ + lle! „„(o) (p21).

Một toán tử A xác định trên một tập D(A) của H, gan mỗi phần tử u € D(A)

với một phần tử v € H nhất định, thường viết v = Au hay v = A(u)

Định nghĩa 1.1.11 [9] Nếu đẳng thúc: A(Aui + tua) = ÀA(u1) + wA(ug) thỏa

mãn trên D(A) thà ta nói A là tuyến tính (uới giả thiết D(A) là một tập tuyến

tính).

Định nghĩa 1.1.12 {9| Toán tử A từ D(A) ào Y C H gọi là liên tục nếu

Un —> ug luôn kéo theo Arn > Azo.

Dinh nghĩa 1.1.13 [9] Nếu ton tại mot hằng số c sao cho, vdi moi u € D(A):

Aull <ellull,

thi A là một toán tử bi chặn trong D(A).

Định nghĩa 1.1.14 [6] Toán tử A được gọi là tự liên hợp nếu: vdi moi u,v € H,

(Au, 0) = (u, Av).

Dinh nghĩa 1.1.15 {9| Toán tử A được gọi là hoan toàn liên tục nếu nó biếntập bi chặn bat kỳ thành một tập tiền compact

1.1.2 Dao hàm suy rộng

Với hai hàm số u(x) va v(x) tùy ý, khả vi vô han trong miền 2 trong R” và

v(x) triệt tiêu trên một miền biên (nghĩa là, v € Ở%(O)), bằng cách tích phân

từng phần k lần ta có:

k k

[le — a + ( 1)Ftly vu =| a0

QL Oxy" 0x7" Oxy Oxy"

Dinh nghĩa 1.1.16 [4,9] Cho Q la một miền trong không gian R" Một ham

SỐ 0ð, „ € Li(Q) được gợi là dao ham suy rộng cap k của u(x) € Ly4(Q) nếu:

dy

[ Ce axkn ; ( Dt dz = 0,

) 1 ++: 0%

Kí hiệu hàm wz,, 4,, là Ø#u/Øz†' Øz}", hoặc DẺu Cách kí hiệu thứ nhất sé

không gây ra sự hiểu lầm vì nếu wu € Ch(Q) thì øạ, ¿„ = Ø*u/Øz†' Øz‡* Rõ

ràng là khái niệm này là một phần mở rộng của khái niệm cổ điển về đạo hàm

riêng liên tục của dạng O*u/dr*" xk.

10

Nếu ham u(x) có đạo hàm thông thường liên tục cấp k thì nó có đạo hamsuy rộng cấp k.

Từ định nghĩa đạo hàm suy rộng ta thấy ham u(x) có không quá một đạo

hàm suy rộng Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theo

thông thường.

Tính chất 1.1.1 [4] Mot ham có đạo hàm suy rộng cấp k trong miền Q thì nó

cũng có dao hàm suy rộng cấp k trong miền QC 9

Tính chất 1.1.2 [4] Nếu uy vd ug có dao hàm suy rộng trong Q thà cpu, + caua

có đạo ham suy rộng trong Q va:

OF (cyuy + cua) c Oruy Le Ø ua

= CỊ t 2

0x? Lee 9z" Oak ÔzƑ" xk " dake

Tính chất 1.1.3 [4| Nếu v là một dao ham suy rộng cấp 1 của u va w là một

đạo hàm suy rộng cấp k của 0 thà œ là một dao ham suy rộng cấp l+ k của u

Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng ta thấy 0*/0z†" " Oarkn độc lập với thứ

tự lay đạo ham

Đạo hàm suy rộng bảo tồn nhiều tính chất của đạo hàm cổ điển Tuy nhiên không phải là bảo tồn tất cả, chăng hạn từ sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp k

không suy ra được sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp nhỏ hơn k

Dinh lý 1.1.3 [4] Giả sử © là một miền trong không gian R", OQ! là một miễncon của Q sao cho khoảng cách giữa ©' va AQ bằng d >0 Khi đó, uới 0 <h < d

va „c Q!, ta có:

(DF u)p(x) = Dun (a).

Chứng minh Gia sử 0(z) € C%(R") là một hàm không âm sao cho:

0(z) = 0(—z), 0(z) = 0 nếu |z| > 1 và fp, O(x) = 1 Ví dụ:

=1 cexp (as), |z|<1,

0(z) -{ P (=ñ ) a

0, Iz] <1,

11

với hằng số c thích hợp.

Do 0< b < đ và z Ee, hàm 0(z — y)/h € C®%(O) đối với x € 0, nên sử dụng

định nghĩa đạo hàm suy rộng ta được:

D#up(x) = DỆh—" i 6 É 7 ?) u(y)dy,

ah" [ (1) Moko (—“) wy)dy,

=hn | 0 (* i ˆ) Diyuly)dy = (D'u)n (2).

Chúng ta kết thúc phần này bằng cách trích dẫn một tiêu chuẩn có ích và

đơn giản cho sự tồn tại các đạo hàm suy rộng của một hàm u(z)

Định lý 1.1.4 [8] Cho f(x) là một ham khả tổng trên Q Nếu u(x) có thể xấp

zi bằng một day hàm u„(), (s = 1,2, ) kha vi liên tục cấp k,

lim In — w)udz =0, Vu(z) € C%(Q).

SOO

Nếu |lusllz,@) Đồ l|0Fu:/0x7" dk» < e thà hàm u có đạo hàm suy rộngL„(9)

0Fu/0x1" 0x" va ||u||y ay va ||O*u/dap Ôi"n mo £& P21.

Kết quả nay van đúng uới ham u;(z) € Lp(Q) va có dao ham suy rộng cùng

dạng, hơn nữa các đạo hàm liên tục.

Chứng minh định lý có thể tim thấy ở [8}

1.1.3 Khong gian I⁄}°(Q@;) và W2°(Qr)

Gia sử © là một miền trong R” và 7 là một hằng số dương Kí hiệu:

Qr = 9 x (0,7) ={(z,f):+zc9,£c (0,7)} và gọi là trụ với chiều cao 7, đáy

Q, mặt xung qunah Sp = Ø9 x (0,7).

Định nghĩa 1.1.17 (9| W2”(Qr) là không gian bao gồm tat cả các ham u(x,t) €

La(Qr) sao cho ton tai tat cả các dao hàm suy rộng Ou/Ox;,i = 1,2, ,n trong

La(Qr).

12

Với tích vô hướng được xác định như sau:

Nghĩa la, u(x,t) € W5°(Qr) khí va chỉ khí tồn tại một day {ug(z,t))E¡ C

CTM(Qr), ug(œ,£) = 0 khi (x,t) € QỀ = {(œ,t) € Qr: dist {(x,t), Sp} < ð}, 6 là số

đương đủ bé, va uy > u trong Wz”(Qr) kh¿ k > oo.

Không gian Wz“(Qr) là một không gian con riêng của Wz(Qr), hiển nhiên

công thức tích phân từng phần,

| tu ndnH = = f UV, dxdt,

T T

cũng đúng cho hàm trơn v bất ki và với bất kì hàm trơn u nào triệt tiêu gan

Sr Với điều kiện đóng theo chuẩn của Wz”(Qr) thì công thức này vẫn đúng với

øc W2 (@r) và u e W2 (Qr) Nếu cả u và v triệt tiêu không triệt tiêu trên Sy

thì công thức trên không đúng với trường hợp tổng quát nên nó không đúng với

W2 (Qr) Do đó u(x,t) € W2 (Qr) triệt tiêu trên Sp là định nghĩa tốt.

Không gian Wy°(Qr) cũng là một không gian Hilbert

Kết thúc phần này, ta sẽ chứng minh một bổ đề nổi tiếng có thể được sử dụng để tiên nghiệm giới hạn cho các nghiệm của các phương trình không ổn

uới c(t) là các ham khả tong, không âm trên [0,T] Khi đó:

t t €

y(t) < exp i ainar} áo tÍ c2(£) exp LÍ ai) «|

< exp{ | ainar} J0 / ear

Chứng minh Ta nhân £ aut) } < ey(t)y(t) + co(t) với exp {- J cị(T jar}, viet két qua

d t t

di y exp (- | e0: | < c9(t) exp (- | a(r)tr)

Lay tích phân từ 0 đến ¿, từ bất đẳng thức thu được ta suy ra bất dang thức

dưới dạng:

cần chứng minh.

Nếu e¡(f) = c¡ = const > 0 và c(-) là một ham không giảm theo ¿ thì từ hai

bất dang thức trên, ta có các bất đẳng thức sau:

y(t) < e"[ery(0) + ea(0)],

y(t) < e%*y(0) + cy 1ea(Q[e°#ứ — 1].

1.2 Nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban

đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic

tuyến tính cấp hai tổng quát

Định nghĩa 1.2.1 [4] Phương trình (1.1.1) được gọi là parabolic tại điểm z0 nếu

trong hệ tọa độ mới yy = aij(#j—#7) (=1, -,m+1), uới aij (2 agian; = Ar(z)ổj.,

Chia (1.1.2) cho bn4i(x°), ta được một phương trình có dạng:

Uy ya + So n(2°) yey, + » by (x°)uy, +bu= f (1.1.3)

Định nghĩa 1.2.3 [9] Phương trinh (1.1.1) gọi là parabolic trên một miền nào

đó nêu nó là parabolic tại moi điểm của miền nay.

Nếu các hệ số của M là các hàm số trơn và nếu (1.1.1) là parabolic trên một

miền, thì trong một lân cận (nói chung, một lân cận nhỏ) của một điểm bất kì của miền ta có thể rút gọn bằng sự thay đổi các biến không suy biến để có dạng:

Uys — » bi; (2) Uyey, “Dhl r)Uy, + bu = f, (1.1.4)

ijl

với dang S77’, b¡;&€; xác định đương

Biến yn41 có vai trò đặc biệt Trong các bài toán vật lý, biến này có vai trò

là biến thời gian, ta sẽ kí hiệu là t, các biến , - ,„ còn lại mô tả vi trí của

một điểm trong không gian và gọi tắt là biến không gian.

15

Để thuận tiện, ta sẽ nghiên cứu các phương trình parabolie có dạng:

Bằng việc tính đạo hàm các hàm ajj,a; va ƒ;, (1.1.5) có thể được biến đổi về

một phương trình của dạng (1.1.4), và ngược lại, bằng việc tính dao ham bj; ,

(1.1.4) có thể được viết dưới dạng (1.1.5).

Ta có các bài toán cơ bản cho phương trình (1.1.5) :

(1) Bài toán Cauchy: Tìm một hàm u(x,t) thỏa mãn (1.1.5) với x € R" và

+> 0, và thỏa mãn điều kiện ban đầu khi t = 0

w |¿=o= (3): (1.1.7)

(2) Bai toán biên-giá trị ban dau thứ nhất: Gia sử (1.1.5) được cho với giảthiết (x,t) € Qx = x [0,7], O là miền nào đó trong R” Tìm hàm số u(x,t) thỏamãn (1.1.5) trên Qz với điều kiện ban đầu:

(3) Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ hai va thứ ba: Tìm hàm u(z,t) thỏa

an (1.1.5) trong Qr, với điều kiện ban đầu (1.1.7) và điều kiện (1.1.9) đượcthay bằng điều kiện biên thứ hai:

Ou

aN % = ajjUz, cos(n, Xị)|s„ = x(s, f),

16

hoặc điều kiện biên thứ ba:

ou = x(s,t)ON Olan } }

Ta sẽ xem xét chi tiết các bài toán biên giá trị ban đầu trong một miền bi

chặn 9 Bài toán thứ hai và thứ ba có thể được xét một cách tương tự Để thuận tiện ta giả thiết Q bị chặn Dé dàng để bỏ giả thiết này, các kết quả cho các

miền bị chặn và không bị chặn tương tự nhau Ta cũng sẽ sử dụng quy ước nếu

trong biểu thức có hai chỉ số giống nhau ta hiểu đó là tổng: ví dụ khi viết a;z;

ta hiểu đó là $7, = 1 4z.

1.2.2 Nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ

nhất đối với phương trình parabolic tuyến tính cấp hai

và với điều kiện đều của parabolic

ve? < aij(œ,t)&¡&j < HE, v, là các hằng số dương (1.2.5)

Trước tiên ta sẽ chứng minh rằng bài toán này có một nghiệm suy rộng trong

Wz°(Qr), sau đó ta chỉ ra rằng mỗi nghiệm như vậy thực sự là thuộc WJ}"(Qr) va

17

thỏa mãn phương trình cân bằng năng lượng Cuối cùng, ta sẽ chỉ ra được định

lý duy nhất cho bài toán (1.2.1)-(1.2.2) trong lớp các nghiệm suy rộng trong

W3"(Qr).

Dinh nghĩa 1.2.4 [4| Ta kí hiệu Vo(Qr) là không gian bao gồm các ham u €

W2 °(Qr) uới chuẩn năng lượng:

lular = ess sup ||u(,)|ly„(@) + |[tz|[r;(Q„) -Qr 0<teT L2(Q) TUL2(Qr)

Dinh nghĩa 1.2.5 [9] Khong gian con V2(Qr) của Vạ(Q+) gồm các phan tử của

W2”(Qr) có chuẩn |+ |g, hữu han.

Định nghĩa 1.2.6 [4| Không gian Wÿ“(Qr) là một không gian con khác của

Va(Qr), chứa tat cả các phan tử u € Vo(Qr) liên tục mạnh theo t trong chuẩn

của La(Ô).

Nghĩa là ||u(,£ + At) — 0,0) [r„(oy + 0 khứ At — 0, đều trên đoạn [0, TỊ

Vy'"(Qr) là giao của V2 “(Q@r) và IWz'°(Qr).

Định nghĩa 1.2.7 [9] Ta gọi phương trình có dang:

" Dac +f (ajjUx; Ue, + ajUug, + bjUg,u 4 au”) dxdt

1

là phương trình cân bằng năng lượng cho bài toán (1.2.1)-(1.2.2)

Phương trình này có thể thu được bằng cách tích phân từng phần đẳng thức:

4u - udzd†t = | (J + se) udadt (1.2.7)

Qt r Oz;

va sử dung điều kiện biên u |s„= 0.

Kí hiệu Lo1(Qr) là không gian được trang bị chuẩn:

T

Iel,ue› = f ụ Iu(+,£)|2dz)!/2dt.

0

18

Dinh lý 1.2.1 [4] Giá sử các điều kiện (1.2.3)-(1.2.5) được thỏa mãn, va giả

sử hàm u € Wÿ”(Qz) thỏa mãn phương trinh cân bằng năng lượng (1.2.6) Khi

đó, ta có bat đẳng thức năng lượng sau:

lula < e) [ll+(:9)llr,¿@ị + 2 |[Ƒ|u; (ọ + 2lfutọø |

-Chứng minh Tit các điều kiện (1.2.3)-(1.2.5) và phương trình cân bằng năng

< 3 lla(-.0)|Ï7,(oy + 5 lluzll„vọ,) + — llell„to) + "|0 Ï,(o,)

+ ||f |; ›(Q.) max IM(°;7)Í[r„(o + IHIDNGS lltz | r,„(ọ,) - (1.2.8)0<7<t

Ki hiệu: y(t) = maxo<z«¿

||u(.,Ð)|r;(e)-Nhóm các số hạng giống nhau, sau đó nhân cả hai về với 2 và thay elle.)

bằng ty?(t), va |lu(-,0){I7,¢ay bởi ø(®) llw(-;0)|lz„(e):

thức lại sau đó làm trội về phải theo cách sau:

lula = y(t) + lluzllz„¿oy < +o?) g(t)

Chia nhỏ đoạn [0,7] thành những đoạn con Ay = [0,t1/2], Ao = [H/2,], , An,

có độ dài không vượt quá /2 Với mỗi đoạn này, ta có bất đẳng thức dạng

(1.2.13) Nếu đưa |lu(,2)|[y„¿oy < |ulo, vào tính toán, ta nhận được bất đẳng

thức năng lượng

lula, < c(t) [lle(-.0)llz„(ey + 2l /| „vo + 2 fllr,vọ,y| = OKO, (1.2.14)

đúng với bất kì ¢ € [0,7] Hàm số c(t) được xác định theo t và các hằng số v, uw

trong (1.2.3) và (1.2.5).

Định nghĩa 1.2.8 [9| Một nghiệm suy rộng u(z,t) của bài toán (1.2.1)-(1.2.2

trong W2 °(Q+) (hoặc trong W¿'“(Qr)) là một phan tử của W¿ “(Qr) thỏa mãn

Rõ ràng tập các nghiệm như vậy là tuyến tính.

Kí hiệu Wyo (Qr) là không gian bao gồm tat cả các phan tử của W3""(Qr)

triệt tiêu với t = 7 (u(x,T) = 0).

Giả sử {¿x(z)}C W3"(Q) là một hệ trực chuẩn trong L2(M) sao cho bao đóng của bao tuyến tính của hệ này trong W3"(Q) trùng với ⁄2"(0) Kí hiệu:

N

My = {keo :dy € W2(0,7), dẹ(T) = |k=1

Ta có bổ đề sau:

Bổ đề 1.2.1 [4] Giả sử © là một miền (không nhất thiết bi chăn) trong R" Khi

đó tập hợp M = U-; My trù mật trong không gian W2 (9z).

Chứng minh Ta xây dựng dãy {y%(x)} trực chuẩn trong W2"(Q) từ dãy ¿;¿(z)

bằng phương pháp trực giao hóa Gram-Smith Kí hiệu:

Ta sẽ chứng minh M* trù mat trong W2 (Qr).

Thật vậy, lấy ham u(x,t) € Wy’ (Qr) bất kì Ta biểu diễn u(x,t) dưới dạng:

Khi đó: Gp < ||u — Sp|lty»¿ey + ||Sp — Sp và S* € Ms Ta có: lo

lu — Sglllyy-(oy < 2(0llDe + Spl? WH") < 4 |u|? WHA),

€l”-|lu;-°¿e <e, tức là Số —> u trong Wz"°(Qr) khi p > co.

Tương tự, ta có 0S) /dt + Øu/Øt trong Lo(Qr) khi p — oo.

Như vậy, AM” trù mật trong W2 (Q7) Từ đó suy ra M trù mật trong không

gian tp (Qr).

Định lý 1.2.2 |9] Nếu các điều kiện (1.2.3)-(1.2.5) được thỏa mãn, thi bài toán

(1.2.1)-(1.2.2) có ít nhất một nghiệm suy rộng trong W2(Qr).

Chứng minh Dé chứng minh khả năng giải được của (1.2.1)-(1.2.2) trong Wz'”(Q@r)

ta lấy một hệ cơ bản {¿z(z)} trong wy(Q) và để thuận tiện ta giả sử chúng là

trực chuẩn trong h¿(9).

Ta sẽ tìm nghiệm xấp xỉ wŸ(z,f) có dang wŸ(z,£) = 3, eX (typ (2) từ hệ

lập nên bởi các mối liên hệ:

(tu, gi) + (0igug, + aiuTM, gin.) + (bing, + au, 1)

= (f, yi) — (fi, Yin; ), [=1, - LN, (1.2.16)

và các điều kiện ban dau:

trên (0,7) Do vây, từ kết quả của hệ phương trình vi phân thường tuyến tính

ta thay (1.2.16) và (1.2.17) xác định duy nhất ham cj‘ (¢) liên tục tuyệt đối trên

Í0, 7] Ta có Ÿ bị chặn mà không phụ thuộc vào N

Thật vậy, nhân mỗi phương trình của (1.2.16) với c(t) thích hợp, cộng

chúng lại từ 1 đến N, sau đó lấy tích phân theo ¿ từ 0 tới t < 7; kết quả ta

được (1.2.6) với u = uw Nhu đã thấy trước đó, từ (1.2.6) suy ra (1.2.14) với

F(t) =2l|ll: ọ, + 2Ilfllog, + |I+Y(.0)s ø- Mà Ir*(.0)||¿„ < lllls.o, do vậy ta

có bất đẳng thức:

lu an < ei, (1.2.18)

với c¡ là một hằng số không phụ thuộc vào N.

Từ (1.2.18), có thể chọn một dãy con {u%*} (k = 1,2, ) từ dãy {uŸ}

(N =1,2, ) hội tụ yếu trong Lo(Qr) tới một phan tử u e Wy°(Qr) Phần tử

u(a,t) này là nghiệm suy rộng của bài toán (1.2.1)-(1.2.2).

Thật vậy, nhân (1.2.16) với một hàm liên tục tuyệt đối tùy ý d)(t) với dd)/dt €

La(0,7), d(T) = 0, lay tong các phương trình thu được từ 1 đến N, sau đó lay

tích phân kết quả từ 0 đến 7 Tích phân từng phần số hạng đầu tiên theo t, ta

nhận được dang thức:

MS,8)= [wo |:=o tt [ (ƒ® — ƒ#¡®;)dzdt, (1.2.19)

Q

có dang (1.2.15) trong đó ® = 37, di(t)yi(2).

Kí hiệu My là tập các ham ® với d)(t) có tính chất như đã nói ở trên Theo

bổ đề trên —¡ Mp trù mật trong không gian W39 (Q7).

Với € M, cô định trong (1.2.19), ta có thể lấy giới han của dãy con {¿** Ì đã

chọn như trên, từ M„¿ > p Kết quả ta nhận được (1.2.15) cho u, với = ® € M,

Vì Ur M, trù mat trong không gian W39 (Q7); nên (1.2.15) đúng với mọi

ne W39 (Q7); nghĩa là, u(x,t) thực sự là một nghiệm suy rộng trong W;°(Qr

của (1.2.1)-(1.2.2).

23

Định lý 1.2.3 [9] Nếu các giả thiết (1.2.3) va (1.2.5) được thỏa mãn, thi bat

ki nghiệm suy rộng nào của (1.2.1), (1.2.2) trong Wz”(Qr) cũng là nghiệm suy rộng trong Wj"(Qr) va là duy nhất trong W¿°(Q7).

Chứng minh Ta xét nghiệm suy rộng của (1.2.1), (1.2.2) trong W¿'“(Qz) như là

một nghiệm suy rộng trong La(Qr) của bài toán:

[wees ananars | ontesoyte= fs finda

T Q T

với n € W36'(Qr) và n(x,T) = 0.

Theo các định lý 2.2 (trang113) va 2.3 (trang 115) chương HI của [9], thì

u(x,t) là nghiệm suy rộng của bài toán trên trong Wÿ”(Qr), do vậy nó thuộc

Vi°(Qr) Do đó, u(x,t) thỏa mãn

với moi t € [0,7] và mối quan hệ này có thể viết lại dưới dang (1.2.6).

Đồng thời u(x,t) cũng thỏa mãn

trong đó 7 là một phan tử bất kì của Wy°(Qr) và t là một số bất kì trong [0, 7].

Ta có mọi nghiệm suy rộng trong W2 (Qr) của (1.2.1)-(1.2.2) cũng là nghiệm suy rộng của (1.2.1)-(1.2.2) trong W;'”(Q;), vì mỗi nghiệm của (1.2.1)-(1.2.2) được xác định như một phần tử của V,°(Qr) thỏa mãn đẳng thức (1.2.20) và

phương trình năng lượng (1.2.6).

Ta sẽ thấy rằng (1.2.1)-(1.2.2) không thể có hai nghiệm khác nhau trong

W2“(Qr).

Thật vậy, nếu bài toán có hai nghiệm wu! và wu” như vậy thì sai phân của chúng:

u=u'—u” cũng là một nghiệm suy rộng của (1.2.1) - (1.2.2) trong Wy(Qr)

tương ứng với các điều kiện ban đầu là không và một số hạng tự do là không Từ

những gì chứng minh, u thực sự là một nghiệm suy rộng của bài toán nay trong

W'“(Qz) Suy ra, (1.2.6) có về phải là 0 nên đúng với u Từ đó (1.2.14) với về

7

phải là 0 nên (1.2.14) cũng đúng Do đó, u(z,t) = 0 chứng tổ rang u! = uv"

Từ những lập luận liên quan đến hai nghiệm suy rộng bat ky u’ va u” của

(1.2.1)-(1.2.2) trong V,°(Qr), với ƒ, fi và y phân biệt Ta suy ra toán tử B gan

{ƒ:/;w} một nghiệm suy rộng trong Wj“(Qr) là tuyến tính, và phương trình

cân bằng năng lượng (1.2.6) là một hệ quả của (1.2.20) với giả thiết các hệ số

của M, các hàm số ƒ, ƒ; và y như đã nói 6 Dinh lý 1.2.1

25

Chương 2

ere x

Một số sơ đồ sai phân giải gần đúng

bài toán biên-giá trị ban đầu

2.1 Hàm lưới Tỉ số sai phân

Trong chương này, các đạo hàm riêng của hàm số u(x) xác định trên miền Q(luôn được giả thiết là bị chặn) được kí hiệu là Øu/Øz;¡

Chia nhỏ không gian Euclid R” của biến x = (zt, ,z„) bởi các mặt phẳng

rj = kihi, hi > 0i=1, ,n trong đó k¿ là số nguyên thành các hình hộp (hay các

ô) cơ bản W(kh) có tọa độ xác định bởi bất dang thức: kjhy < z¡ < (ky + 1)h¿, i=

1, ,m.

Định nghĩa 2.1.1 [2| Các đỉnh của các ô @(yụị được got là mút lưới hi gọi là

bước lưới tại điểm 2;.

Định nghĩa 2.1.2 [2| Các ham số xác định tại các nút lưới (chính xác hơn,

trên toàn bộ các điểm-miền xác định của các hàm số nay) được gọi là các ham

lưới va được kí hiệu là up,

Dé đơn giản, ta sẽ bỏ qua chỉ số h khi không có sự nhầm lẫn.

26