Luận văn thạc sĩ Toán học: Phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên cho phương trình eliptic tuyến tính cấp hai

Mục lục1 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 41.1 Không gian WiQ, W4O và các tính chất co bản|..... Trong luận văn này trình bày "phương pháp sai phân gi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HOÀNG LÊ TIEN DŨNG

PHƯƠNG PHAP SAI PHAN GIAI GAN DUNG BAI TOAN BIEN CHO PHƯƠNG TRINH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CAP HAI

LUAN VAN THAC SI TOAN HOC

Hà Nội - Năm 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HOÀNG LE TIEN DŨNG

PHƯƠNG PHÁP SAI PHAN

GIẢI GAN DUNG BÀI TOÁN BIEN CHO

PHƯƠNG TRINH ELLIPTIC TUYEN TINH CAP HAI

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS HÀ TIÊN NGOẠN

Hà Nội - Năm 2012

Mục lục

1 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp

hai 41.1 Không gian Wi(Q), W4(O) và các tính chất co bản| 4

Mo dau

Bài toán biên Dirichlet thường xuất hiện nhiều trong những bai toán ứngdụng của lý thuyết cơ học chất lỏng, điện-từ trường v v Da số các bài toán nàytương đối phức tạp thường không có phương pháp giải đúng Chúng ta thườngchỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm theo nghĩa nghiệm suy rộng Nghiệm này chỉ

có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà không áp dụng được vào thực tiễn Do vậy trong

thực tế để sử dụng nghiệm này chúng ta phải tìm nghiệm xấp xỉ của chúng.

Để đáp ứng một phần nhỏ yêu cầu của việc tìm nghiệm gần đúng của bài toán

biên Trong luận văn này trình bày "phương pháp sai phân giải gần đúng bàitoán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai" Nội dung luận văn chủyếu dựa theo tài liệu tham khảo [8] của O.A Ladyzhenskaya

Luận văn với đề tài "Phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai" trình bày về phương pháp sai phân để đưa bài toán biên về một bài toán đại số (hệ đại số tuyến tính) Bài toán đại số này có phương pháp giải và có thể tìm được nghiệm gần đúng cho

bài toán ban đầu của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

Luận văn được chia thành hai chương:

Chương 1: Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai.

Trong chương này trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản về đạo hàm

suy rộng dựa trên tài liệu tham khảo [3] của Nguyễn Mạnh Hùng, khái niệm

không gian W⁄J(O) và W3(Q) dựa trên tài liệu [8] của O.A Ladyzhenskaya Day

là các kiến thức cơ bản để nghiên cứu nghiệm suy rộng của bài toán biên

Dirich-let cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Bài toán nay sẽ có nghiệm suyrộng duy nhất trong W3()

Chương 2: Phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên

Dirichlet.

Trong chương này trình bày về hàm lưới, các hàm nội suy của nó và mối

quan hệ giữa chúng dựa trên tài liệu [8] của O.A Ladyzhenskaya Phương trình

sai phân đối với bài toán biên Dirichlet dựa theo tài liệu [8] được thực hiện nhưsau: Bước thứ nhất chúng ta xây dựng hàm lưới, nội suy hàm lưới Bước hai

chúng ta chuyển từ bài toán vi phân sang bài toán sai phân Bước ba chúng ta

đi khảo sát sự ổn định và hội tụ của sơ đồ sai phân.

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của

PGS.TS Hà Tiến Ngoạn (Viện Toán học Việt Nam) Thầy đã dành nhiều thờigian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình

làm luận van Toi trân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của

mình.

Qua day, tôi xin gửi tới Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Dai Học, Khoa

Toán-Co-Tin học trường Dai Học Khoa Học Tự Nhiên, Dai Học Quốc Gia Hà Nội lờicảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục đào

tạo của Nhà trường.

Hà Nội, tháng 12 năm 2012

Chương 1

Bài toán biên Dirichlet cho phương

trình elliptic tuyến tính cấp hai

1.1 Không gian W}(Q), W⁄](O) và các tính chất cơ

bản

1.1.1 Đạo hàm suy rộng

Với hai hàm số w(z) và v(x) tùy ý, kha vi vô hạn trong miền Q C R” và v(z)

triệt tiêu trên một miền biên (nghĩa là, v Ở®%(9)), bằng cách tích phân từng

ràng là khái niệm này là một phần mở rộng của khái niệm cổ điển về đạo hàm

riêng liên tục của dạng 6Fu/0zf' Q0,

Nếu ham u(x) có đạo hàm thông thường liên tục cấp k thi nó có đạo hàmsuy rộng cấp k

Từ định nghĩa đạo hàm suy rộng ta thấy ham u(r) có không quá một đạo

hàm suy rộng Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theo

thông thường.

Tính chat 1.1.1 Một ham có đạo hàm suy rộng cấp k trong miền Q thi nó

cũng có đạo hàm suy rộng cấp k trong miền OQ! C 9

Tinh chất 1.1.2 Nếu uị va uy có dao ham su rộng trong Q thi cu + caua có

đạo hàm suy rộng trong Q va:

OF (cyuy + c2u2) C FT Lo Oru

không suy ra được sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp nhỏ hơn k

1.1.2 Không gian Wi(Q) và I⁄}(@)

Định nghĩa 1.1.2 [3| Không gian W3(Q) là không gian bao gồm tat cả các ham

u(x) € La(O) sao cho tồn tại đạo ham suy rộng mọi cấp œ,|a| <1, thuộc L2(Q)

1/2 1

pele = [2 + yt

Q

Dinh nghĩa 1.1.3 [3] Không gian W}(9) là bao đóng của C°(Q) trong chuẩn

va được trang bi chuẩn:

của không gian WH(Q)

Không gian Hilbert W(Q) đóng vai trò cơ bản trong việc nghiên cứu bai

toán biên thứ nhất với phương trình cấp hai của các dạng khác nhau

Tích vô hướng trong không gian W4(Q) và I⁄4(O) được xác định bởi:

,

(0,9) 2 = [iw + UpVz) dx (1.1.1)

Q

Qui u6c: uyuy = op Ua, Ve, UZ = OL, tậu

Giả sử Q là miền bị chặn trong R” Trong W4(Q) ta có thé đưa vào tích vôhướng mới:

[u, 0] = | tuuện (1.1.2)

Q

Ta được chuẩn tương đương với chuẩn ban đầu Dé chi ra sự tương đương ta

phải thiết lap bất đẳng thức sau Vu(z) € W2(@) Ta có:

[ears | âm (1.1.3)

2 2

(bat dang thức Poincare-Friedichs), eo là một hằng số phụ thuộc trên ©.

Ta chứng minh (1.1.3) với u(x) € C%(Q), sau đó có thể thu được (1.1.3) với

Vu(z) € W2() bởi "sự đóng đơn theo chuẩn I2(O)" Ta có thể giải thích như

sau Cho u(x) là một phần tử bất kỳ của W⁄}(O) và chúng ta xấp xỉ nó theo

chuẩn của W2(9) bởi dãy hàm {uứ")} (m=1,2, ) của C°°(Q) Gia sử (1.1.3) đã

được chứng minh {uứ")} Nếu ta lấy (1.1.3) cho ul” và lay giới hạn khi m —+ co theo chuẩn W4(Q) Ta được (1.1.3) với u(z).

Ta sẽ thường xuyên sử dụng tính chất đóng như trên trong chứng minh bất

đẳng thức:

llulla, <ellullp, » (1.1.4)

với moi u € Bo, trong đó B,, Bs là hai không gian Banach.

Trước tiên, ta sẽ chứng minh (1.1.4) với tap 9Ÿ nào đó (gồm những phan tử

thường là các hàm trơn) trù mật trong By và đóng theo chuẩn của Bo.

Bây giờ ta trở lại với chứng minh (1.1.3) với u(x) € %(O) Ta có thể bao 2

6

trong các hình hộp II, không mất tinh tổng quát giả sử rằng I = {x : 0 < a; < Ij}.

Rõ ràng chứng minh theo II được nhiều thuận lợi nhất cho tất cả các cách chọn.Giả sử 1, là một trong các cạnh của II có chiều dài nhỏ nhất

Ta viết u(x) dưới dang:

Bình phương hai về của (1.1.5), lấy tích phân trên II và áp dụng bất đẳng

thức Cauchy ở về phải ta được:

Do vậy (1.1.3) đúng với c2 = i?/2, suy ra sự tương đương của chuẩn [ø, u]!⁄2

và lel tương ứng với (1.1.2) va (1.1.1).

Trong (1.1.3) hằng số co cũng có thể rút ra ở dạng c2|O|2/*, với |O| bằng số điểm lưới Q và e là hằng số tuyệt đối chỉ phụ thuộc n, nghĩa là Vu e W⁄J(O)

(1.1.6)

1.1.3 Các tính chất cơ bản

Dinh lý 1.1.1 [8] (Định ly F-Rellich): Giá sử rằng © là miền bị chặn Khi đó

một tập bt chặn trong W2(Q) là tiền compact trong La(©).

Định lý này thường được phát biểu: W1(9) được nhúng compact trong La(9).

Chứng minh [8] Ta mỏ rộng tất cả các phần tử của WJ(O) bằng cách đặt

chúng bằng 0 ở bên ngoài © và ta xét chúng trong hình II = {x : 0 < a; < l;}, với

@ C II.

Ta thu được cho các phần tử mở rộng như vậy của W3() chuẩn ||: ||» và

|| - Ie trùng với es tương ứng.

Ta phân tích II thành các hình hộp cơ bản «; với cạnh i„/N (k = 1,2, ,n)

và các mặt song song với mặt phẳng tọa độ.

Ap dung bất đẳng thức Poincare với hàm tùy ý u(x) trong W} (uw):

[testy (/ ui) + * [so ¿4 nụ (1.1.7)*k=1

Từ đây ta thấy rằng:

N"

| vae= fu tả < (/ we) oly ur, (1.1.8)

k=1

Lay fealrTM) [62 <c, tap {ul} là tiền compact yếu trong Lz(9) Khong mat

tinh tổng quát ta giả sử các phan tử của {ul} là hội tụ yếu trong Lo(Q) Với bất ky ul) và ul từ (1.1.8) ta có:

ne

1

Iu —u [Bo = So |u| lJ cu — old we] 4 an? Sal - ut Bo.

(1.1.9)

Số hạng cuối cùng ở về phải của (1.1.9) có thé làm nhỏ tùy ý với mọi p, q

bằng cách chọn w; nhỏ (tức là cho N đủ lớn), và số hạng đầu tiên tiến về 0 khi

p q tiến về oo với một phân hoạch cố định của II vì fulTM } hoi tu yéu trong

La(H) Hay ||u) — u(|[5 9 tiền về 0 khi p, q tiến về 0

Do vậy ful } hội tu trong L¿(T) Dinh lý được chứng minh.

Công thức tích phân từng phần trong lý thuyết bài toán biên đúng với các

phần tử của W⁄J(O), với mọi u(x) e WJ(O) và mọi v(x) € W1(O) ta có:

[vce = = f wade, i =1,2, ,n (1.1.10)

Q Q

Cong thức tong quát hơn:

| Geen (1.1.11)

với hàm w tùy ý trong £1(Q) có đạo hàm suy rộng Øu/Ø9z; trong 1¡(O) và w có

thể được xấp xỉ bởi các hàm {0")} (m = 1,2, ) trong ®%(©) theo hướng sau: 0") —y w trong L1(Q) và dw” /dx; + Aw/dx; trong L1(Q) (1.1.11) đúng với wTM do vậy nêu ta lấy giới han khi m > œ ta được (1.1.11) với w.

Nếu w € L¡(©) triệt tiêu ở gần 00 va có dao hàm dw/dzx; trong L1(Q) thì cóthể xấp xỉ bởi hàm w'TM trong Ở®%(@), do đó (1.1.11) đúng với w.

Nếu u và v trong L2(Q) và có đạo hàm suy rộng 0u/Ox; và Øu/ôz;¡ trong Lạ(©)

(ở đây i là cố định), và nếu ø có thể xấp xỉ bởi hàm ø”) trong Ở®(@) sao cho ulTM và dul /Ø+;¡ hội tụ về u và Øu/Øz;¡ theo chuẩn của L¿(©), thi (1.1.10) đúng

với u và v với bất kì giá trị của i Hàm +uÉ”) = ul trong L¡(©), triệt tiêu ở gần Ø9 và có đạo hàm suy rộng dw" /dx; = ul Av /Ox; + 0u") /Øx¡u trong L1(Q),

do vậy (1.1.11) đúng với ø(*"), Ta lay giới hạn khi m —> oo trong công thức này

ta được (1.1.11) đúng với w và (1.1.10) cũng đúng với u và v với giá trị bất kì

và dãy điểm „0) — (1, 9a, tu), yO — (1; 5, - , na); ee yO — ự Theo Dinh ly

+f Ur, (45 2, Tn) dTn- (1.1.7)

y (n-1)

Bình phương hai về của bất dang thức nay và áp dụng bất đẳng thức Cauchy

cho về phải ta được:

2 | w(y)dy — 2 (| 5u)4) < af Sou, dụ.1b Il Mi p—4

Bất dang thức này trùng với (1.1.7).

Ta trổ lại với không gian W2() cho các miền © khác nhau Ta bắt đầu với

trường hợp đơn giản nhất, khi Q là hình hộp I) = {z:0< z; <I} O day ta

có phép nhúng compact W⁄3(Ó) vào L2(Q) Trong chứng minh của định lý 1.1.1

ulTM trong I⁄1(O) được sử dụng ở phần đầu của chứng minh để cho thấy rằng

ta có thể mở rộng ø”)(z) lên II, theo một cách nào đấy mà các ham này vẫn có

đạo hàm suy rộng cấp một và bị chặn đều theo chuẩn Hs, trong trường hợp

hiện tại các ham u*")(z) có các tính chất của giả thiết, và ta có thể áp dụng

trực tiếp cho chúng tất cả các lập luận của chứng minh định lý 1.1.1

Ta thừa nhận miền mở rộng của WI(Q) đến một số miền Q > 9 (xem §5,

chương I và công thức (5.3), (5.4) [8]) với mm = 2 và Q = Il) Sau đó tương tự nhưphần mở rộng hình I]; 5 9 Từ đó và từ phép nhúng của W3 (TI,) trong Z2(;)sau đó nhúng compact W3(©) trong Lo(Q) Hơn nữa thấy rằng đây là tính chất

van được giữ lai cho miền © như vay © được biểu diễn dưới dang U; Q; Trong

10

đó Q; là miền con của 2 thêm vào một phần mở rộng của IW4(9;) Do vậy ta

chứng minh được định lý sau:

Định lý 1.1.2 [8] Nếu © có thể biểu diễn dưới dạng UM, 9:, trong đó Q¡ là

một miền con của Q cho phép thác triển của WH(Q:), thì moi tập bi chăn trong

W3(Q) là tiền compact trong Lo(Q)

Ta trở lại với các câu hỏi của vết của các phan tử u(x) trong W2(©) trênmặt ngoài của thứ nguyên n — 1 đầu tiên ta xét với một hàm trơn u(x) trong

W3(Q) và một tập T là miền trên siêu phẳng Để thuận tiện giả sử I' là miền

của x, = (za, ,z„) nằm trên mặt phẳng z¡ = 0, và giả sử hình trụ Qs =

Qs(T) = {z:0< a < ð,z¡ €T} cùng thuộc 2 Theo công thức Newton-Laibniz

cho € C(Q5) với đạo hàm liên tục Øu/Øz1 trong Qs Ta có:

theo bat dang thức (1.1.14), (1.1.15) ta sẽ thu được kết quả "đẹp" cho ham u(x)

ở giá tri tùy ý u € La¿(Q¿).

Như vậy ta có thể xây dựng u(x) là chuỗi các hàm trơn fulTM (x) } chúng hội tu

đến u(x) trong L¿(Q;) va thấy rằng uŸ”) cũng hội tụ đến uz, trong L¿(Q;) Từ

đây và từ (1.1.15) thay rằng ø")(0,.) hội tụ ở trong L2(P) No được xét tự nhiên

các hàm xác định trên T như là giới hạn của ø*)(0,.) trong Lạ(T) là vết của u(z)

ở trên [.

Rõ dàng từ (1.1.14) thấy rằng u(x) có vết trên mọi mặt cắt của Qs bởi mặt

a1 = z,z € [0,5] Nếu ta viết (1.1.14), (1.1.15) với øứ") và lấy giới hạn khi

m —> oo thì ta thấy rằng giới han là hàm u(z) (hơn nữa, Vu € WH(Q))

Từ (1.1.14) vết của ø(zi,z¡) trên mặt cắt của Qs bởi các mặt nêu trên là cácphan tử của ¿(T) nó phụ thuộc liên tục trên các tham số 21 € [0,4] Do vậy ta

có chứng minh định lý sau:

Định lý 1.1.3 [8] Với mỗi hàm u € La(Q¿) vdi uy, € ba(Qs) ton tại một uết cùng

một phan tử của La(T), trên mặt cắt của Qs bởi mat phẳng x1 = +}, +? € [0,ð] va

vét tùu thuộc uào sự liên tục trên x° € [0,6] theo chuẩn của Lo(P) Ta được mối

tương quan (1.1.14), (1.1.15) cho u(z).

Tóm lại, khang định nay được gọi là phép nhúng của W4(95) vào Lạ(T).

Ta sẽ giải thích để thấy định lý 1.1.3 giống định lý nhúng được xác định dưới

đây: Cho u(x) là một phan tử tùy ý thỏa mãn giả thiết của định lý

Khi đó định lý 1.1.3 ở đây tồn tại một đại diện của phần tử này (nghĩa là mộthàm tương đương u(x) trên Q;) mà kết luận của định lý đúng

Theo cách tìm một đại diện cho u(x) là hiển nhiên từ chứng minh ta phải thực

hiện từ vài phan tử của dãy u(TM,(m = 1,2, ) từ C1(Q@;) hội tụ đến u(x) theo

cách thực hiện ở trên va cố định vết của u(x) trên những mặt cắt của Qs bởi

mặt phẳng z¡ = z}, giới hạn của dãy {u0")(x9,z1)} trong chuẩn của Lo(L).

Chú ý 1.1.1 Dé thay các uết của phần tử u(x) của W3(©), định nghĩa trên T

12

cùng một phần tử của La(T), không phụ thuộc vao cách chọn thú tự của các ham

trơn ful” } duoc sử dụng sắp xi đến u(x).

a) day vét thay đối liên tục giống một phan tử của La(T) dưới sự tịnh tiến của

T, không chỉ theo một phương chiếu x1, mà còn theo những phương chiếu khác,

uới điều kiện là dịch tiến mặt cắt không đi ra ngoài 9

Chúng ta sẽ chỉ ra rằng W3(Q) được nhúng vao La(T) không chỉ trong một

đường biên mà còn ở miền trong

Định lý 1.1.4 [8] Cho miễn Q chứa một hành trụ Qạ(T) được mô tả giống định

ly 1.1.3, va theo kết luận của định ly 1.1.2 theo Qạ(T), hoặc vdi vai miễn khác

Q’ CQ chúa hành trụ nay Thi từ bat kỳ một dấu bi chan ful } theo chuẩn của

W3(Q) ta có thể chọn một dãy con hội tụ đều trong La(©) uới điểm +) € |0, ð|.

Sự thật Tales <c Theo định ly 1.1.2 day {ulm \ là tiền compact trong

L2(Qs(T))

Không mất tinh tong quát ta gid sử rằng dãy {u'TM)} hội tụ đến u(x) trong

La(T) ta xét (1.1.15) với hiệu sai phan wu") — # và với ổi € [0,6] Về phải

của (1.1.15) có thể nhỏ bao nhiêu tùy ý, sao cho p, q đủ lớn Nêu ta chọn ði

trong (1.1.15) đủ nhỏ sao cho ði|Iut — DHÀ | < §, Vp,q, ta có thể tìm

thấy N như vậy Vp, q > Ne, đầu tiên ta sẽ được với c/2 cùng một cách nói

|luứ) — u0)|lŠ „ <e, Vp, q> Ne.

Ta có ||u (x1, )—u (a1,.)|[3 p bị chặn Var € [0,6] Nếu ta có thé nhận ra rằng

thay thế [u”(0,z1)dz” trong về trái của (1.1.15) bởi fi u?(x1, 2 )de" Vay € [0,6]

Nếu Qs = {x : a1 € (0,6), €T} thì ta chỉ rõ W2s(Qs) là không gian đóng

của W3(Q5) với một tập các hàm khả vi vô hạn

Ta có thể xác định chúng không giao nhau trên bề mặt 9s = {x : z¡ € (0,6), 2, € OT}

của hình trụ @¿ (thấy rõ ràng như sau W2g(Q¿) gồm các phan tử của W2(@¿)

triệt tiêu trên S2).

Nếu Vu € W2o(Q¿) thì ta có kết quả hệ u(x) = 0 với z¡ € (0,ð),z¡ ¢ T, sau

13

đó ta có được một phần tử của W3s(Qs).Q¿ = {« a1 € (0,6), 24 € r} VỚI moi

P51 O đây chuẩn trong W49(Qs) là |lu{|{!2, Từ định lý (1.1.2), (1.1.4) ta có:

Hệ quả 1.1.1 [8] Cho phan tử của day {ul } ở trong W3(Qs), theo chuan

jel 1822, bị chặn đều Khi đó ta có thể chọn một day con {ulm } hoi tu manh

trong Lạ(Qs) va hội tu mạnh trong Lạ(T), uới điểm x1 € [0,6] (không hạn chế

trên mién T bị chặn)

Mọi kết qua ta thiết lập cho mặt phẳng T có thể chuyển được sang cho T là

miền siêu diện trơn, bao gồm một phần biên của Q Cho T là phép chiếu trên siêu

diện (không có giới hạn tổng quát, ta thấy đây là siêu phẳng x; = 0) trong miền

TP do vậy T có phương trình z¡ = ƒ(z1),z¡ eT, fe cur”) và để cho "đường

cong hình tru" Q¿(P) = {z : f(a) <a < f(a1)+ 6,24 € r0} ước lệch sai trong

Q Ta gắn vào Q¿(T) hệ tọa độ mới 1 = z1 — f(x}), ye = ve, k = 2, ,n Hàm

ñ(y) = u((w)) sẽ là phan tử của W3(Ø;) Ở đây Q5 = {y:0<y < 6,0, eT}

do vậy nó sẽ thỏa mãn (1.1.14), (1.1.15) trong điều kiện của tọa độ y

Nếu ta trở lại với bất đẳng thức:

[iwc + le) — u(x) |?ds < a | u2dz, O0<1<6, (1.1.16)

T )

1

llr < e [FlhelB ggery + Olleel 3a.) (1.1.17)

Trong đó e; = (1,0, ,0) và e bat biến được định nghĩa bởi dao ham thứ nhấtcủa ƒ(z1) trong (1.1.16) và (1.1.17) sự tịnh tiến của F và của Argument của u(z)

được thực hiện theo các trục z¡ Điều này có thể thực hiện dọc theo các phần

ma không phải là tịnh tiến của I' nếu thay cho z tọa độ y biên khác với biên

Jacobiou |Øy/2Øz| và |Øz/Øu|.

Ví dụ ta có thể giả định (1.1.16) rằng e; là một vecto chuẩn của P với điểm

x và thấy rằng Q)(T) là một đường cong hình trụ hình thành bởi các phân đoạn

của chuẩn, của độ dài ¡ xuất phát từ một điểm của I.

14

Nếu u € W(9), và trên OQ của nó (hay một phan I’ đã nói) là một phan da

diện trơn, lúc đó nếu ta giữ trong bất đẳng thức dạng (1.1.16) và (1.1.17) với

u(x) thì ta sẽ nói rằng giá trị biên của nó (hay là vết của nó) trên Ø9 trên I cho

ta một phần tử của ”2(09) [La(T)] và thấy rằng chúng là có nghĩa ở "trong hình

vuông”.

Diéu này xảy ra nếu © có từng mảnh biên trơn, OQ, nghĩa là nó có thể bao

AQ bởi hữu hạn mảnh T; như vậy bất đẳng thức (1.1.16), (1.1.17) giữ trên các

mảnh (các điều kiện đủ T; đã được xây dựng ở trên) Đặc biệt ta có bất dang

thức sau với miền 2:

| (u(z — In) — u(x))? ds < ai u2drz, 0<l<ði, (1.1.18)

on Qi

1

llBan < e [sllalỗe, + đllnllễø, |- (1.1.19)

Trong đó 9¿ là tap hợp các điểm của 2 có khoảng cách tới Ø0 không vượt

quá 6 (một tập như vậy được gọi là giải biên có chiều rộng ở) trong đó 6 là một

số đủ nhỏ, ở đây n là pháp tuyến của 00 đã được thiết lập từ Định lý 1.1.3

Dinh lý 1.1.5 [8] Với mỗi phan tử u(x) € W3(Q) vét được định nghĩa trên miễn

T của da điện trơn trong Q cùng tới các phần tử của La(T) va chúng phụ thuộcliên tục (cùng các phan tử của La(T)) trên một sự thay thé của T vdi các vết ta

có bat đẳng thúc của dang (1.1.16), (1.1.17) Nếu 0Q (hoặc một phan tử của T)

là một phần tử của La(89) (hoặc La(T)) ta có bat đẳng thúc (1.1.18), (1.1.19),

(1.1.16), (1.1.17) uới các vet

Dinh lý 1.1.4 có thể tổng quát với miếng đường cong đặc biệt ta có:

Dinh lý 1.1.6 [8] Nếu Q có một biên trơn AQ thi tập bị chặn trong W3(Q)

là tiền compact trong La(09) Kết luận tính compact nay cùng uới miền Q tới

biên trơn từng khúc OQ = Ui, Ti nếu uới mỗi mảnh T¡ ta có thể cay dung mot

hành trụ dạng Qa(T;) C Q cho (1.1.16), (1.1.17) thi phép nhúng của W3(Q) trong

La(Qz(T;)) là compact.

15

Chú ý 1.1.2 Mỗi phan tử u(x) của W3(Q) biên trơn trên Q không có vai trò

trong cách lay dao hàm của bat đẳng thúc (1.1.16), (1.1.17), mỗi hàm có thể mỏ

rộng đến 0 bên ngoài Q va xem sét như là các phần tử của Wi(K), trong đó K là

quả cầu chứa Q, bởi vi tập hợp các phan tử ful } cua W2(9) đã được mở rộng

đến 0 ở bên ngoài © sẽ compact trong Lạ(T) Ở đây T là một số giao điểm mịn

của siêu diện uới quả cầu K Ta thường nói vé các phan tử của W2(Q) Gia thiét

rằng giá trị tại biên là bằng 0 Điều nay phải được hiểu theo cách sau: Nếu T là một mảnh biên trơn vdi Qạ(T) CQ, thà u(x) € C%(Q) Bát đẳng thúc (1.1.18)

trở thành:

[ee —In)ds < a | u2dx, 0 <1<ổ (1.1.20)

T QUT)

Nếu ta lay chuẩn đóng của W](Q¡(Œ)) thi (1.1.20) đúng uới moi u(x) trong W}(9).

Rõ rang f.u?(« — In)ds > 0 khil > 0

Trở lại với công thức:

| Ou ude =~ f us vde + f uvcos(n, x;)ds (1.1.21)o Ox; Q Ox; an

O day n là vecto pháp tuyến của Ø9 va ds là phần tử vi phan của mặt Ø9 Ta

biết đến (1.1.21) cho những mặt trơn Ø9 và hàm u, v liên tuc trên 0 và đạo hàm

Up, Ux, liên tục trên 2

Từ day và từ tính chất vết của phần tử trong W3(9) đã được chứng minh,(1.1.21) vẫn đúng (Vi = 1,2, ,n) với ham u(x), v(x) trong W2(9) nếu Ø9 là mặt

trơn.

Để kiểm tra điều này thì ta xấp xi u, v bởi các ham {u»)}„ {v(TM} trong 2

và viết (1.1.21) cho ul, v(TM) lay giới hạn khi m > oo Ta chú ý WJ(Q) = W4(©)

với OQ trơn Công thức (1.1.21) đúng hàm u, v trơn với miền 2 với 9 = 9 |LJ9a

Trong đó miền 2; có biên trơn, ngay cả khi Q; và ©¿ có thể cắt nhau Để chứng

minh điều này ta chú ý (1.1.21) đúng cho phan giao ©¡ (2 và ta viết Í, dưới

dạng fo, + Jo, — Jor Qos’ Mỗi tích phan là cần thiết để áp dung (1.1.21) và sau

16

đó xem xét các tích phân thực hiện trong phần biên của ©¡ và Q2 không phụ

thuộc vào Ø9 thì hủy bỏ Do vậy (1.1.21) đúng với © có thể bao phủ không chỉ

bởi hai mà còn bởi một số hữu hạn miền 9; C © với các biên trơn Đối với cácmiền (1.1.21) đúng không chỉ với các ham u,v trơn mà còn đúng Vu, v € W2(),

có thé lặp lại việc kiểm tra bằng cách xấp xỉ u,v theo chuẩn của W2(9;) bởi cácham trơn Thay vì xét Q; với các biên trơn ta có thể xét các loại khác của khối

đa diện.

Ta trổ lại với (1.1.21) cho miền hình trụ Q = {z:0< 2 <,z¡ €T} Trong

đó T là miền (n — 1) chiều trên mặt phẳng x; = 0 và u,v € Lo(Q) với đạo ham

suy rộng „,,0„, € Lo(M) (O đây có (1.1.21) với i = 1) công thức (1.1.21) đúng

cho 2 với ¡ = 1 và u,v € C1(Q) Ta có thể xấp xỉ hàm u, v trong ¿(O) cùng các

hàm uạ,, vz, bởi các hàm ulTM, ø("), ul”, vo” hội tụ tương ứng trong Lo(Q)

đến u, 0, Ur, øz, Ta phải giữ lại (1.1.21) với i = 1 cho ulTM, v0 khi m > œ theo sự suy xét ở trên Quá trình lấy giới hạn có thể hợp lý cho mỗi trường hợp.

Do vậy ta có (1.1.21) cho u,v Thật vậy:

| du vdx = [x udz + TanQ Ox; Q Ox; T

Ta sẽ giới thiệu thêm một công thức hữu ích trong chứng minh sau, đó là:

/ |u|ds < cf (us — |ul)dz, (1.1.23)

chứng minh ta phải bao Ø9 bởi một số miền hữu han T; và dựng hình trụ cong

Q3([) giống cách trong (1.1.17) thì với Q¿(T) ta phải kiểm tra tính hợp lệ của bat dang thức trong (1.1.17) với chuẩn L¡ để thế cho Lạ, chính xác hơn:

1

lalla, <¢[Fllulls gery +

lleslli.a,ea]-O day ta bắt đầu xây dựng như (1.1.17) bằng cách sử dung cong thức

Newton-Laibniz (xem (1.1.13)) nếu ta lấy tổng tat cả các bất đẳng thức với moi i ta

17

được (1.1.23) Ap dung (1.1.23) với u(x) = v2(x) ở day v(x) e WE(Q) (dễ dàng

thấy u € W}(Q)) va ta có công thức sau:

1.2 Nghiệm suy rộng của bài toán biên Dirichlet

cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

1.2.1 Nghiệm suy rộng trong I1⁄2(O) Bất đẳng thức thứ nhất

Ta nghiên cứu tính giải được của bài toán biên thứ nhất trong không gian

Định nghĩa 1.2.1 [8] Ham u(x) được goi là một nghiệm suy rộng trong không

gian W}(Q) của phương trinh (1.2.1) nếu nó thỏa mãn:

L(u,n) = | (aijte,Ne, + ajMx, — biten — aun)2

Bang cách lấy tích phan từng phan số hang —(ajjuz, + a;u)z,¡ và (fi)ain Néu

hệ s6 a¡;, a; có đạo ham suy rộng cấp một bi chặn, nếu ƒ; có đạo hàm suy rộng

6ƒ;/Øz; trong Lo(Q) và nếu u € W2(9)ƒ1W(9), VO CO và thỏa mãn (1.2.1)

hầu hết trong ©, thì từ (1.2.1) suy ra (1.2.6) và từ (1.2.6) suy ra (1.2.6) Vớicác điều kiện này z(z) là nghiệm suy rộng của phương trình trong W3(9)

Mệnh đề đảo cũng đúng: Với cùng các điều kiện của a¿;, a; và ƒ;, bất kỳ nghiệm

suy rộng (1.2.1) nào trong W⁄J(O) đều thuộc W2(2’), VA CO thỏa mãn (1.2.1)

với hầu hết z trong Q Từ (1.2.6) suy ra (1.2.6) Vn € C%(Q), và (1.2.1) được

suy ra từ (1.2.6') với hầu hết x thuộc 9, vì Lu — ƒ — Of;/Ox; € Lo(M’), VA CA

và CTM(0/) trù mật trong L¿(Ó!).

Từ cách xác định trực tiếp và cách xác định ngược lại ngược ta thấy: với

œ;, a;, ƒ; khả vi, phương trình (1.2.1) và (1.2.6) cho ta cùng một thông tin vều(x) Tuy nhiên (1.2.6) có nghĩa ngay cả khi a¡;, a;, ƒ; không khả vi va chỉ biếtu(x) € Wi(Q) Do đó định nghĩa của ta là một phần mở rộng khái niệm nghiệmcủa (1.2.1) Ta sẽ thấy rằng sự mở rộng nghiệm như vậy vẫn cho ta các tínhchất co ban của bài toán biên này: tính giải được Fredholm

Như vậy ta sẽ tìm nghiệm suy rộng của bài toán (1.2.1), (1.2.2) trong W3(9)

là một hàm u(x) trong W4(Q) thỏa mãn (1.1.6) với bất kì n W4().

19

Tính chất 1.2.1 Bat đẳng thúc co bản thú nhất cho nghiệm suy rộng của bài

Chứng minh Xét phương trình cấp hai dang L(u,u) Từ (1.2.3), (1.2.4) va Bất

dang thức Cauchy ta có với mọi e¡ > 0

L(u,u) = [osu + (aj — bj)Uy,u — au?|dx

9)

> | food = pan? te ~ pola

Q

2

> (w— ei)||wzll#— (ua + Tella? Ver > 0, (1.2.7)

trong đó ||u|| là chuẩn trong Lo(Q), va (u,v) là tích vô hướng trong L2(Q) Nếu

lay c¡ = v/2 trong (1.2.7) Ta có:

2

Vv

£(usu) > Fletell? — (Ha + 7M lel? (1.2.8)

Theo bất dang thức (1.1.3) trong phan 1.1, ta thấy về phải của (1.2.7) khong nhỏ hơn biểu thức [(v — €1)¢9? — Hạ — #3/(4«)||lull2, Ver € (0,1) Do vậy:

Nếu 6, > 0 sử dụng (1.2.8), (1.2.9) ta có thể chặn ||luz||? trong các số hạng

của Z(u,u) ta được:

vy 211)

B= 5 fu 5a {Os + 528 >0 (1.2.12)

Cho u(x) là nghiệm suy rộng của bài toán (1.2.1), (1.2.2) trong W2(9) thì

theo (1.2.6) ta có u(x) thỏa mãn

L(u,u) = —(f,u) + (fi, ter) S |[fI|-|lel[ + UL eee

1 1

< €9|[ul|? + Tell + €3]|te||? + qellfll’, (1.2.13)

với mọi €9,€3 > 0 Từ đó và bat dang thức (2.1.7) ta được bất dang thức thứ nhất: bất dang thức năng lượng

Định lý 1.2.1 [8] Bài toán (1.2.1), (1.2.2) không thể có nhiều hơn một nghiệm

suy rong trong W3(9) nếu (1.2.3)-(1.2.5) được thỏa mãn va nếu 5, > 0

Chứng minh Nếu ði > 0 ta có bat dang thức (1.2.9), (1.2.11) với 6; > 0, i= 1,2.

Áp dụng vào (1.2.13) và (1.1.3) với (1.2.11) ta có:

1 1

ða||uz|lŸ < Z(u,w) < (eacd, + €3)| tel? + mi: +=—IflẺ (1.2.16)€2 463

21

đặt ca = €2.C2) = 62/4, ta có

2

IIszlÚ < s{øjll/I + lIRIÍ]: (1.2.17)

2

Từ đây ta thay f =f =0, nghiệm u(x) = 0, và do đó bài toán (1.2.1), (1.2.2)

không thể có nhiều hơn một nghiệm suy rộng trong W4(O) khi 5; > 0 Nếu có

u’,u là hai nghiệm suy rộng thì theo tính chất tuyến tính (1.2.1), (1.2.2) thấyrằng u = u’ — u" cũng là một nhiệm suy rộng của bài toán Với f = f = 0 ta có

với điều kiện (1.2.17) bị chặn bởi 0 ở về phải Từ đó và do u € W2(@) ta có ư

và ” trùng nhau.

Điều kiện 5; > 0 sẽ được thỏa mãn cho (1.2.1) với hệ số thỏa mãn bất đẳng

thức (1.2.2)-(1.2.5) nếu hằng số co là đủ nhỏ (ta có điều này nếu |Q| là nhỏ),hoặc nếu giới hạn trên pq của hệ số a(x) là một số âm có giá trị tuyệt đối đủ

lớn Điều kiện thứ hai hiển nhiên thỏa mãn phương trình:

Ta đưa vào W3(Q) tích vô hướng mới:

[u,v] = | AjjUg,Ve, Ax, (1.3.1)

9)

Theo (1.2.3), và bat dang thức (1.1.3) chuẩn ||u||i = \/[u, u] tương đương với

chuẩn ||u„|| và chuẩn gốc Tralee của khong gian Wi (Q) Ta viết (1.2.6) dưới dang

[u, nm] + l(u,n) = —(ƒ.1) + (fis te:)- (1.3.2)

22

Trong đó

I(u,n) = [tos — bru„,1 — aun)dz, (1.3.3)

Q

theo gia thiét (1.2.4)

Ii(w,)| mllell.llnz|l er [eee] | Lal] + max(lsa|, |¿4|)||e||-|Ìnl|

< slIall.llnllu (1.3.4)

nghĩa là, nếu cố định u € W4(Q), /(u,) là một hàm tuyến tính trên + trong

không gian W1(9) Ta có thể biểu diễn /(u,ø) duy nhất dưới dang của một tích

vô hướng

I(u,n) = [Au, 3, (1.3.5)

với mọi 7 € W3(Q), trong đó A là một toán tử tuyến tinh bị chặn trong Wi(Q) với chuẩn không vượt quá c trong (1.3.4) Tổng —(f,7) + (fi, ne,) cũng xác định một hàm tuyến tính trong W}(Q) theo 7, và theo định lý Riesz tồn tại duy nhất phần tử F e W3(Q) sao cho:

với mọi r € W3(Q) Theo (1.3.5) và (1.3.6) đẳng thức (1.3.2) tương đương với

[u,n] + [Au,nÌ = [F1] (1.3.7)

Vì (1.3.7) đúng Vụ € Wi (Q) ta có (1.3.7) tương đương với phương trình toán tử

sau trong không gian W1(9).

u+ Au = F (1.3.8)

Ta sẽ chỉ ra A là một toán tử hoàn toàn liên tục trong WJ(9).

Tính chất 1.2.2 A là một toán tử hoàn toàn liên tục trong W2(Q)

23

Chứng minh Dé chứng minh điều này ta sẽ chỉ ra bất kỳ chuỗi hội tụ yếu {uy}, k= 1,2, nào trong W⁄1(O) được A biến đổi thành chuỗi hội tụ mạnh

{Aug}.

Vì toán tử A là bi chặn, dãy {Au,;} hội tụ yếu đến Au, với u(x) là giới hạn yếu

của {uz} Hơn nữa vì tính compact của toán tử nhúng W⁄4(9) vào Le(Q) (định lý

1.1.1 phần 1.1), dãy {u,}, {Aug} hội tụ mạnh trong Lo(Q) đến u, Au tương ứng.

Nếu ta sử dụng định nghĩa (1.3.5) của toán tử A và bất dang thức (1.3.4) ta

LA(, — Um), A(ty — tưm)] = l(uy — Um, A(uy — Ym))

< mlluy — m]||-||Auz)x — (Awm)z ||

+ ml|uzz — mzl|.|LAu, — Aum||

+ max(|gal: |wal)|lu = w|L|LAuy — Attn

Dễ thấy về phải tiến về 0 khi m,k — oo do vậy {Au,} là hội tụ mạnh trong

W(Q) Điều này chứng tỏ A là hoàn toàn liên tục.

Vì vậy định lý Fredholm thứ nhất đúng với phương trình (1.3.8): Tính giải

được của (1.3.8) với mọi F € 2(@) là một hệ qua của định lý duy nhất của định lý với (1.3.8) Mà (1.3.8) tương đương với (1.2.6) Vn € W⁄J(O) với u(x) trong

W1(9) Vậy ta có thể xây dựng định lý Fredholm như sau:

Định lý 1.2.2 [8] Nếu bài toán (1.2.1), (1.2.2) không có nhiều hơn một nghiệm

suy rộng trong WJ(©), thà nó có thể giải được trong W3(Q) vdi bat ki f à f trong

Lạ(O).

Điều kiện đủ cho tính duy nhất và tính giải được của bài toán (1.2.1), (1.2.2)

được đưa ra bởi định lý 1.2.1 Tuy nhiên ở đây là khác nhiều vì nó chứa tất cả

các trường hợp có thể Để làm rõ trường hợp này ta xét không phải chỉ phương

trình (1.2.1) khi đứng độc lập mà là một họ phương trình:

¬ (1.3.9)

24

với tham số \ phức Như trước hệ số của £ là số thực nhưng trong phương trình(1.3.9) hệ số sẽ là số phức u(x) = u'(x) + #u”(z) ta sẽ giới thiệu không gian phức

L¿(O) và W2(©), ta giữ lại kết quả như trong không gian thực Phan tử trong

không gian phức là hàm giá trị phức của biến số x € ©, và tích vô hướng được

định nghĩa bởi

tương ứng.

Thỏa mãn các tính chất ở trên ta định nghĩa nghiệm suy rộng của phương

trình (1.3.9), (1.2.2) trong W2(Q) là phần tử của Wi(Q) thỏa mãn đồng nhấtthức:

Llu, 7) = [i 7z Ne; d0], bjUe,7 aun)dx

= -A frente + Ít —ƑT+ fity,)d (1.3.10)

với mọi n € W⁄4(9).

Tìm nghiện trong (1.3.10) từ phương trình (1.3.8) ta định nghĩa tích vô hướng

mới trong không gian IW2(9).

[u,v] = | Auuams,dr

Ộ

Đưa vào như trường hợp thực, ||u|li = +/ƒu,u| trong WH(Q ) là một chuẩn cũ

tương đương, Tales = y/[u, ue Hơn nữa, nếu ta lập luận lại như trong

không gian thực ta được.

u + Âu = ÀPu + F (1.3.11)

Trong không gian Wi(Q) ở đây toán tử A, định nghĩa trên tất cả W}(9)

bởi dạng song tuyến tính của chúng:

[Au,n] = lan, — bu„, — œw))dz, (1.3.12)

Q

25