Khóa luận tốt nghiệp Ngữ văn: Phương pháp thế vị lớp cho bài toán biên với dữ liệu HARDY

Chương 1Giới thiệu bài toán Bài toán giá trị biên với dit liệu không liên tục trên miễn Lipschitz đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng và giải tích điều hòa

Khóa Luận Tốt Nghiệp

PHƯƠNG PHÁP THÊ VỊ LỚP CHO BÀI TOÁN BIÊN

VỚI DU LIỆU HARDY

Họ và tên: Nguyễn Trọng Nhân

MSSV: 46.01.101.101

GVHD: TS Nguyễn Ngọc Trọng

TP Hồ Chí Minh, Tháng 5, 2024

Mục lục

1 Giới thiệu bài toán

Một số kết quả cơ bản cho toán tử Schrodinger

w

ian Hardy

“sow19

23

24

Chương 1

Giới thiệu bài toán

Bài toán giá trị biên với dit liệu không liên tục trên miễn Lipschitz đóng vai trò

quan trọng trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng và giải tích điều hòa.

Shen [4] đã xét dữ liệu trong L?, 1 < p < 2 và không gian H! cho bài toán biên

Neumann với toán tử —A + V trong đó V là thé năng thuộc lớp By Brown

khảo sát dữ liệu 7! cho bài toán biên Neumann với toán tử Laplace —A, trong

đồ 1= < p< 1 với 0 < e < : là một hằng số được xác định dựa vào cau trúc

của phương trình.

Ta biết rằng các kết quả cho không gian Hardy đóng vai trò quan trong cho

lý thuyết nội suy: Một toán tử dưới tuyến tính bị chặn từ £' đến khong gian

Hardy và bị chặn trên L” thì sé bị chăn trên L#? với 1 < q < p Do đó việc nghiên

cứu “PHƯƠNG PHÁP THÊ VỊ LỚP CHO BÀI TOÁN BIÊN VỚI DỮ LIỆU

HARDY” có ý nghĩa quan trong.

Mue đích của bài nghiên cứu này là trình bày chỉ tiết một số kết qua

với dữ liệu Hardy // trong bai báo cho bài toán biên Neumann với

toán tử Schrodinger =A + V, trong đó V là thé năng không âm thỏa diéu kiện reverse Holder 8„ Ta lưu ý rằng By C B„ Do đó kết quả này mở rộng kết quả

của Shen [4] và Brown [D].

Ta nói hàm không âm V € /} (#*) được nói là thuộc lớp B? (1 < g < 00) nếu

ton tại một hằng số Œ„ dương sao cho bat đẳng thức Holder ngược sau đây xảy

Nguyén Trọng Nhân Khóa Luân Tốt Nghiệp

q > 1, thì tổn tại e > 0 chỉ phụ thuộc vào rn và hằng số C,, sao cho V € Baye

Dé đến với dinh lý trên không gian Hardy 71”, ta cần một số định nghĩa sau diy

Đặt A(Q,?) = Z(Q,r) NAN với Q € AN và r < diam(AN), trong đó

với day nguyên tử {a;} và chuẩn trên H*(d2) được cho bởi

llølllzs¿aey = inl {A7 : g = #Aya;}

-n— Í

Ta biết rằng không gian đối ngẫu của H?(A9), <p<1, là không gian

bi ì

` - 4: #4 ~ = I)U = + 2 a.

các hàm liên tuc Holder C°(dQ) với so mũ a = moe Do đó, tích doi

ngau của H?(AQ) và Œ^(Ø9) được xác định Ta nói = ø theo nghĩa H?, nếu

trong đó u;(X} = u(X + 7.en} với e, = (0, ,0,1).

Dinh lý sau day là kết quả chính của khóa luận

Khoa Toán - Tin học 3 Trường Dai học Su Phạm TPHCM

Nguyén Trọng Nhân Khóa Luân Tốt Nghiệp

Dinh lý 1.1 Cho V € By tồn tard < ê < 1 sao cho tới Ì =s < p < 1 tà

, trên 0Q theo nghĩa H",

trong đó v(Q) là uectd pháp tuyến don vi hướng ra ngoài biên 8Q Hơn nữa,

|| (Ve}" lÍrz(oay <

C|l0|wn(øa)-Khóa luận có thé được xem như tiếp nối công việc trong [i], trong đó Shen

đã giải quyết bài toán L?-Neumann (1 < p < 2) và HÌ-Neumann với thé năng V

thuộc lớp Bx Khác biệt lớn nhất giữa B„ và lớp B, là tinh chat sau:

V(X) < Cmí(V X)? với V € Bu

trong đó

mV X) = sup{r : W,X,r) <I.

Ta lưu ý rằng lớp B„ khong có tinh chat trên Tính chất trên rat quan trong

trong đánh giá tiên nghiệm HỊ Do đó, để ta sẽ thay thế tính chất này bằng cách

thiết lap các ước lượng tích phân cho V (xem Bo đè [2.5] [2.7p.

Bài viết được chia làm 3 chương Ngoài chương 1 giới thiệu bài toán, Chương

2 dành cho việc giới thiệu một số bổ để quan trọng và ước lượng tích phân cho

V Cuỗi cùng, ta sẽ chứng minh sự tốn tại nghiêm và đánh giá chính quy cho

bài toán biên với di liệu Hardy trong Chương 3.

Ta chú ý rằng Œ luôn kí hiệu cho hằng số đương và không nhất thiết phải giỗng nhau trên từng dong, nó phụ thuộc vào số chiều øœ, hệ số Lipschitz £ và

hằng số Œ„ của lớp B, Kí tự X và Y là những điểm thuộc 2 hoặc R", trong khi

đó Q và P là những điểm trên biên OQ Ta đặt:

D(X,r) = B(X,r)n9 với X e 9

Ta viết 4 S B (hoặc B > A) và A ~ B nếu tồn tại các hằng số dương Œ,C!

không phu thuộc vào A, sao cho A< CB và C'A < < CA tương ứng.

Khoa Toán - Tin học 4 Trường Dai học Su Phạm TPHCM

Nguyén Trọng Nhân Khóa Luân Tốt Nghiệp

Chứng minh được hoàn thành O

Dinh Nghĩa 2.2 Te định nghĩa ham phụ trợ mí, XỊ báu:

1

= sup{r: W(V X,r) < 1}.

m({V,X) apt? HV, X,r) <1}

Ghi chú: Ki hiệu zz(V, X} hay m(X.V) đều cùng một ý nghĩa Ta sé dùng

một số tính chat của hàm zøw(V, X) trong bổ đề sau

B6 đề 2.3 [Ä Bổ đề 2.1} Tòn tại các hằng số C > 0 vit ky > 0 sao cho:

1 ra(V X) ~ m(V.Y), nếu |X = Y| < Cm{V, X)T};

8 m(W,Y) < CLL + |X = Y|m(V, X)}*9%n{V, X);

3 m(VY) > CT1{1 + |X = Y|m{(V, X)}®h/Š+Ðm„(V, X)

vii môi X,Y trong R”.

Hệ qua 2.4 Ƒj Hệ quả 1.10} Với moi X,Y € R" ta có:

Tiếp theo ta có bố đề sau:

Bố đề 2.6 [f' Cho V € B, tới g > 5 ĐÀ £ > Thì vdi bắt hi hàng số sẽ ton

tai hằng số Cạ sao cho:

Nguyén Trọng Nhân Khóa Luân Tốt Nghiệp

Bồ đề 2.7 [A Bố dé 2.3} Cho V € By, ạ >n Thi tổn tại hằng số phụ thuộc

vao số chiều C, > 0 sao cho tới mỗi ue C1 (R") vay > 0,

| V2w°2dX < Can(Xo.r) + / u2dQ + Ivuzx]

D(Xuz} " Saxon) ĐD{(Xu r)

trong đó n(Xa.r) = supxep,(x„y W(U, X, r)? fr?.

néur > trong đó ps là hệ sé doubling của V.

Bồ dé 2.8 [| Bố dé 1.11) Cho we CLR) Thi

| |w(X)|Š.¿a{V, X)?4X < Œ i JVu(X)|?dX +C i |u(X)|?.V(.X)dX.

st g a

2.2 Bất dang thức Harnack yếu

Bồ đề 2.9 Cho V € B„,Xạ € A var > 0 Giá sử -—Aut+Vu = 0 trong Z (Xạ,2r)n0

va (Vu)* € L?(Z(Xa.2r)n 90) va Gu/Ov = 0 trên Z(Xa.2r)n00 Thì vdi mỗi số

nguyen đương k sé ton tại hằng sé Cy sao cho:

L

LÊ 1 ¿ 2

sup |uỆX)|< ——— (= | Pay )

XED(Xo,r} {1l +rm(V, Xp)}” XP Jp(Xa¿r)

Chứng minh Ta có thể gia sử Xạ € Ø9 Do (Vu)” € L* và = = 0trên Z (Xp,2r)n

a Theo bat đẳng thức Harnack yến, ta có:

sup |u(X)| <€Œ = ff Iu|2dV |.

XePD(AXs„r) ï Đp(Xu,%

, = = £ 4 4 ‘ ` 2 + ` 1

Do V > 0 nên dé kết thúc chứng minh này, ta có thé gia sử r >

m(Xo)

Theo bat đẳng thức Caccioppoli:

| |Vu|?4X + | |u|?.VdX < < Iu|°®4X.

Ð{(Xu.*%} D{Xu,3*) !ˆ JD(Xuar)

Khoa Toán - Tin học 7 Trường Dai học Su Phạm TPHCM

Nguyén Trọng Nhân Khóa Luân Tốt Nghiệp

Cho 4 € CR (B(Xo, Ÿ})) sao cho ạ = 1 trên Ø (Xo, R) và |Vn| < —

ZC J |Vun|®dX + Œ | jun|?.VaX + - |u|?dX

0Ø{Xar) D(Xo.r) Pˆ J D(Xor}

< c | [Vul*dXx + cf |u|?.VđX + < |u|“dX

D(Xu,# D(Xo,¥) rm JD(Xae)

với mọi X € j2{Xa,?) Thay vay, ta có:

1+ |X — Xa|m (V, Xo) < 1~+??ra(, Xa) < 2m (W Xo)

D({Xo.r) VY" J D{Xo.2r}

Khoa Toán - Tin học 8 Trường Dai học Su Phạm TPHCM

Nguyén Trọng Nhân Khóa Luân Tốt Nghiệp

| |u|?dX < max | jul?dX ,Vk e Bk > 0.

D(Xe.Ÿ) [ren(V Xo)" Jp(xs¿z

Bay giờ ta dat P (X,Y) là nghiệm cơ bản của toán tử Schrodinger —A +

trên R" và Fạ(X,Y) là nghiêm cơ bản của toán tử Laplace.

Ta có F(X,Y) = (YX) Do V > 0 nên

1

<T(X.Y)< ,Y)=——————.

0 <SP(X,Y) <Io(X.Y) tn(n — 3).|X — Y[n~

Hơn nữa, ta có những tước lượng sau (Dinh lý 1.14 trong HỈ), với mọi & > 0

Nguyén Trọng Nhân Khóa Luân Tốt Nghiệp

Ci 1 Vr(x,Y)| << ——qjq— _—— —

vii hằng số C không phụ thuộc vaio X tà V

Chứng minh Dat r= six — Y| Do

Nguyễn Trọng Nhân Khóa Luân Tốt Nghiệp

Từ diéu trên và ude lượng và (2.2Ì, ta có:

IVxT (X,Y) — VxTe(X,Y)|

Sf |To(X.Z)|\V (2)|IF(Z,Y)|dZ

R"

~ Re |Z - KPH" {1 +m{V,Y)|Z — Y|}F|Z —Y|n-?

~ Siz—xjer 12 — X|P*!.{1+ m{V,Y) |Z — Y|}*.|Z - YIn~?

¡2-YI<r |Z — XỊP~1.{1+ m{(V,Y)|Z - Y|}È.|Z - YP?

IZ-X|>r |Z — XI"-1, rm zYY|Z—Y aed [Z— X|*~1.{1 +z (V,Y)|Z ¬ Y|}#.|Z ¬ Y{a Z—y\n-2

Đề ude lượng Ig, ta dat rp = : + la £, a2 B

mí X) “Ằ= Wy)" và dùng bat dang thức

Holder, điểu kiện lớp B, và tính chất độ do doubling, ta có:

trong đó k đủ lớn Vay Bo đè |2.10Ì đã được chứng mình L]

Khoa Toán - Tin học ll Tiường Đại học Su Phạm TPHCM

Nguyén Trọng Nhân Khóa Luân Tốt Nghiệp

Cho f € L*(d2),p > 1, ta định nghĩa thé vị lớp don (single layer potential)

Ta ki hiệu NV (X,Y) là ham Neumann va G(X,Y) là ham Green.

Bồ dé 2.12 Cho Q là miền bị chan Giả sử k là số nguyên va k > 0 Thì

Ch

V(X,Y r(X.Y)Ìl“————————.

WIG YI FICS nrm@,x)IX~-YIPIX-YP=

tới hằng số Cy không phụ thuộc vao X,Y va đường kính miền Q.

Nguyén Trọng Nhân Khóa Luân Tốt Nghiệp

Đặt D(Xạ.r) = B(Xạ.r}n9 Bởi phép nhúng Sobolev W vào LT= ta CÓ:

ula? <(€ u|"~zd} = lltlÌ, anny;

D{Xu,3ra) D(Xo,2n1) L*=2({D(Xo,201)}

S lltlÌur++(p(x.,zr,)) = lÌtl[Lztp(x 2ruy) + Vellezcopxo.2e1})

trong đó bất dang thức kế cuối là do Bổ dé [2.8] a bat dang thức cuối cùng là

đo tính chất của supp ƒ Khi đó:

Đ(Xu ro) D(Xo,2r0)

Nguyén Trọng Nhân Khóa Luân Tốt Nghiệp

Nguyễn Trọng Nhân Khóa Luân Tốt Nghiệp

( / IAw (Xe,Y)P ay) $s

{YEOzzm/2s|Y— Xe|<2ru} Tre (Xọ, V)°

Khoa Toán - Tin học 15 Trường Dai học Su Phạm TPHCM

A

Nguyén Trọng Nhân Khóa Luân Tốt Nghiệp

-yn-2-(1+ [Xo — Yolm(Xa,V))* [Xo — Yol

Sau đó, lập luận tương ty như trên cho ham G(X,Y) Từ đó ta có

Ck

W(X,Y ;(X.Y)Ì S———————————.

WYN + IC YS rmg,X)IX~YIRIX=YP=

Chứng minh được hoàn tat O

Bồ dé 2.13 Nếu Q là mién Lipschitz bị chan, V € By, va g € L? (AQ), thì ton

tai u thea —Au+ Vu = 0 trong Q sao cho [[(Vu)*Ì|rzyaey = Cllglizzcany tà ou =9

tuới mỗi s € (0,2), uới Cy là hang số không phụ thude ào u va 9.

Chứng minh Dat g(Q) = (=) (Q)} Từ bắt dang thức Holder, Bé dé và

[2.5] ta CÓ:

Ch

V(X.Q)|dQ < ——————————-'

la NX DAG S fe Tem VXDIX - ODN — OPE

< : ——————md= J acon Ti miV, XIX —QDIX- QP

Nguyén Trọng Nhân Khóa Luân Tốt Nghiệp

<€Œ.m(V,X)"}.ƒ |N(Q.X)|lg(Q)l4@

an

Khoa Toán - Tin học 17 Tiường Đại học Su Phạm TPHCM

Nguyén Trọng Nhân Khóa Luân Tốt Nghiệp

Chương 3

Sự tồn tại nghiệm trên

không gian Hardy

Dau tiên, ta có kết quả sau đây

Bồ đề 3.1 [8 Bổ đề 11) Cho B = Bla, R) CQ 1à u € IVTP(B) vdip > n Dat

+= 1= rrp Ton tai C = C{n,p) sao cho

u(x) = u(y)| < CR (Tu), lle»

vit mor r,ự EB.

Bồ đề 3.2 [4 Định ly 2.5} Cho Xụ € 2, V € RH, Nếu —Au+Vu = 0 trong

B(Xu.2R} C 9 va R > 0 thi tới mỗi số nguyên dương k, tần tại hằng số Cy, không

phụ thuộc tào R,Xp Đà u sao cho:

sup Vu(X)| < ` {1+ /m{(V Xe) sup ful.

Nguyén Trọng Nhân Khóa Luân Tốt Nghiệp

Chứng minh được hoàn thành L

Bồ dé 3.4 Cho V € B,, tồn tại 0 < z < ` sao cho uớt Ì — z < p < L vaa là

nguyen tt của không gian HP, thi ton fạtu thỏa man —Au+Vu =0 trong Q sao

cho (Vu)* € L?(00) vi Ou/duv =a theo nghĩa HP Hơn nữa,

| |(Vu)"|” đQ < Œ (3.2)

Om

tới hằng số C không phụ thuộc vio nguyên tử a

Chúng minh N (.,Y) € C&P) (09) với a (p} = (rn = 1) (1 = p) fp

Do « € L*{8Q) nên theo Bỏ đẻ |2.13]ta có tốn tại vw thỏa mãn —Au+ Vu = 0 trong

Ø sao cho (Vu)* € L?(Ø0) và du/dv == a h.k.n trên AQ.

Từ [G], ta có Øu/Øe = a theo nghĩa HP Tiếp đến, ta giả sử supp a C A(Qo, ro)

với Qo € AQ và ro > 0, llallyz(an) <Q PP), Do fog a(Q)dQ = 0, ta có thể

Nguyễn Trọng Nhân Khóa Luân Tốt Nghiệp

Dat r; = (8 + §rn)ra, thì với X € 9,|X — Qal > ri, từ ta có được:

Cho r > 8ry và 2 = 9 — Z(Qo, tr) với ; 2s = ¬ Bắt đẳng thức Cauchy, bắt

đẳng thức Holder, đánh giá cho L2 trong ©¿ ta được:

trong đó ta đã lưu ý đến suppa.

Tích phan theo biến t, từ bat dang thức Holder, bat đẳng thức Caccioppoli,

Nguyén Trọng Nhân Khóa Luân Tốt Nghiệp

Do ap — (rn — 1)(1 — p) > 0 khi ta lay p> 1 san ta có

(Vu)'f d0 < B + „va IVS(G)*PúO

với hang số Œ không phụ thuéc vào a.

Vay chứng minh hoàn tắt Oo

Chứng minh của Dinh lý

Từ Bổ dé(3.4] và tính chat phan rã nguyên tử của không gian Hardy ta hoàn

thành chứng mình "

Khoa Toán - Tin học 23 Trường Dai học Sư Phạm TPHCÀI

Chương 4

Kết luận

Với những ứng dung quan trọng trong vật lý cơ học lượng tử, trong v học và các ngành khoa học nói chung Bài toán giá trị biên với dữ liệu không trơn luôn

nhan được nhiều sự quan tam va phát triển khong ngừng Ở khóa luận này,

chúng t6i chưa phát triển tính duy nhất nghiêm cho bài toán Chính vì lý do dé,

hướng phát triển tiếp theo cho bài toán này đó là ta sẽ tìm điều kiện thích hợp

để thu được tính duy nhất nghiệm Hơn nữa, chúng toi sẽ dự kiến phát triển bài

toán Hardy trên miền khéng bị chặn và không gian hardy địa phương hoặc có

thể là phương pháp thé vị lớp cho các toán tử khác, hay cho toán tử Schrodingertrong trường hợp thế năng V tổng quát hơn

Cuỗi cùng, tôi muốn gửi lời tri An sâu sắc đến giảng viên hướng dẫn của tôi,

thay TS Nguyễn Ngọc Trọng, đã hỗ trợ tôi trong quá trình hoàn thiện khóa

luận này Téi cũng xin gửi lời cảm ơn chan thành đến Trường Dai hoc Sư Phạm

TPHCM đã tạo điểu kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình thực hiện khóa luận

và đã hỗ trợ tôi trong việc chuẩn bi tài liệu tham khảo cho các thế hệ sau Trong

khóa luận có thể còn những lỗi sai sót, rat mong nhận được sự thông cảm vàgóp ý chan thành từ người đọc.

23

Tài liệu tham khảo

dị Bongioanni, B., Harbounre, E., & Salinas, O (2009) Riesz transforms

re-lated to Schrodinger operators acting on BMO type spaces |] Math Anal.

Appl 357 115-131].

2} Brown, R M (1995) The Neumann problem on Lipschitz domains in Hardy

spaces of order less than one [Pacific J Math 171 (2), 389-407].

(3) Kutana, K., & Sugano, § (2000) A remark on estimates for uniformly

operators on weighted LP spaces and Morrey spaces (Math Nachr 209, No.

1 (2000) 137-150).

[4) Shen, Z (1994) On the Neumann problem for Schrodinger operators in

Lipschitz domains |Indiana Univ Math J (1) 43, 143-174].

[5] Stein, E M (1970) Singular Integral Operators and Differentiability

Prop-erties of Functions [Princeton University Press},

|6Ì Tao, X., & Wang, H (2004) On the Neumann Problem for the Schrodinger

Equations with Singular Potentials in Lipschitz Domains [Canad J Math.

Vol 56 (3), 655-672].

[7Ì Tao, X (2012) The Regularity Problems with Data in Hardy-Sobolev Spaces

for Singular Schrédinger Equation in Lipschitz Domains [Potential Anal 36: 405-428].

[8] Trong, N N & Truong, L X (2018) The Second - Order Riesz

Trans-forms Related to Schrodinger Operators Acting on BMO Type Spaces on the

Stratified Lie Group [Vietnam Journal of Mathematics 46 , 629-651].

24