Bài tiểu luận bộ môn toán cao cấp Đề tài Đạo hàm tham số và hàm ẩn

Mặt khác, đạo hàm cũng là phương diện để con người ứng dụng vào thực tiễn đời sống hay trong lĩnh vực khoa học có thể kể đến như cơ học, điện học, sinh học,… Ngoài ra, từ năm học 2006 –

BỘ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

KHOA QUẢN TRỊ KINH DOANH 2

BÀI TIỂU LUẬN

Bộ môn: Toán Cao Cấp

Đề tài:

ĐẠO HÀM: THAM SỐ VÀ HÀM ẨN

Thành phố Hồ Chí Minh, Ngày 25 tháng 10 năm 2023

Nhóm sinh viên thực hiện : Nhóm 2

BỘ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

KHOA QUẢN TRỊ KINH DOANH 2

BÀI TIỂU LUẬN

Bộ môn: Toán Cao Cấp

Đề tài:

ĐẠO HÀM: THAM SỐ VÀ HÀM ẨN

Nhóm sinh viên thực hiện

LỜI CẢM ƠN

Phải nói rằng, bài tiểu luận với chủ đề “Đạo hàm: Tham số và Hàm ẩn” chính là kết quả cho bao sự nỗ lực, cố gắng cũng như cả quá trình tìm hiểu và nghiên cứu của Nhóm 2 chúng em Tuy nhiên, trên thực tế, không có một sự thành công nào chỉ được tạo nên bằng bản thân mình mà hơn cả, thành công ấy luôn gắn liền với những sự hỗ ợ tr nhất định đến từ những người xung quanh Thông qua trang cảm ơn tuy nhỏ này nhưng nhóm chúng

em vẫn xin được phép gửi sự biết ơn sâu sắc tới quý thầy cô, gia đình và bạn

bè đã luôn quan tâm và đồng hành cùng chúng em

Đặc biệt hơn cả, với lòng biết ơn sâu sắc nhất, Nhóm 2 chúng em xin kính gửi tới thầy Lê Thanh Phong đã dành hết tri thức và kinh nghiệm của bản thân để truyền đạt lại cho chúng em những điề ấy Bên cạnh đó, u thầy còn tận tâm hướng dẫn chúng em cách làm bài tiểu luận Quả là một điều vô cùng khó khăn nếu như không có những lời hướng dẫn, giảng dạy của thầy Một lần nữa, chúng em xin chân thành cảm ơn thầy

Chủ đề “Đạo hàm: Tham số và Hàm ẩn” được thực hiện trong khoảng 3 tuần Bước đầu đi vào hoàn thành, trên cương vị là những sinh viên năm nhất, chúng em không thể tránh khỏi những bỡ ỡ, những thiếu sót ngtrong quá trình nghiên cứu Cũng bởi vậy, nhóm chúng em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp đầy quý báu của thầy để chúng em rút được cho

bản thân những bài học, kinh nghiệm, nhìn ra được những thiếu sót cũng như giúp đề tài cho nhóm chúng em được hoàn thiện hơn

Nhóm 2

2 Mụ tiêu nghiên cứu……… c Trang 6

4 Đố i tư ợng nghiên cứu ……… Trang

5 Phạm vi nghiên cứu ……… ……… Trang 7

6 Phương pháp nghiên cứu ………… ……… Trang 8

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ ĐẠO HÀM

1 Lịch sử hình thành củ a đạo hàm……… Trang 8

2 Khái niệm của đạo hàm ……… Trang 12

2.1 Các bài toán liên quan đến khái niệm đạo hàm … Trang 12 2.2 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm ……… Trang 1

3 nghĩa củ Ý a đạo hàm ……… Trang 14

3.1 nghĩa vật lý củ Ý a đạo hàm ……… Trang 14

3.2 nghĩa hình họ Ý c của đạo hàm ……… Trang 14

4 Các công thức tính đạ hàm cơ bản ……… Trang o 15

CHƯƠNG 2: ĐẠ HÀM CỦ THAM SỐ …… …… Trang O A 24

1 Tổng quan về đạ hàm củ o a tham số … ……… Trang 24

2 Cách tính đạo hàm có chứa tham số … ……… Trang 25

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

THPT: Trung học Phổ thông

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã ết, đạo hàm là một trong những khái niệm quan bitrọng của giải tích Nó là khái niệm cơ bản để ta có thể đưa ra nhiều nghiên cứu của nhiều tính chất hàm số: tính đơn điệu, khoảng lồi lõm, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị ỏ ất,… giúp ích cho việc khảo sát cũng như vẽ đồ nh nhthị của hàm số Mặt khác, đạo hàm cũng là phương diện để con người ứng dụng vào thực tiễn đời sống hay trong lĩnh vực khoa học có thể kể đến như

cơ học, điện học, sinh học,…

Ngoài ra, từ năm học 2006 – 2007, chương trình Toán ở bậc THPT được biên soạn lại theo chương trình Giáo dục Phổ thông mới Những quan niệm về dạy học Toán ở chương trình Phổ thông đã được thay đổi để phù hợp hơn với thực tiễn cũng như học sinh, trong đó phạm vi về đạo hàm cũng không phải là ngoại lệ Đồng thời, thực trạng ngày nay cho thấy có rất nhiều học sinh hiện nay chưa thật sự ểu rõ về đạo hàm cũng như chưa thể hilàm các bài tập liên quan đến chủ đề này trong khi đạo hàm chính là tiền đề

để học sinh có thể vận dụng vào các kiến thức về xét tính liên tục của hàm

số, tính vi phân, tích phân,… sau này Hơn hết nữa, qua đề thi Tốt nghiệp THPT các năm đều luôn xuất hiện các dạng bài nhất định liên quan đến đạo hàm Do đó, việc chưa thể ểu rõ các lý thuyết đến đạo hàm gây ảnh hi

hưởng lớn nhiều tới kết quả của học sinh trong quá trình học tập và các kì thi lớn nhỏ

Từ ững lý do nêu trên, nhằm giúp làm rõ và hiểu bản chất củnh a đạo hàm, nhóm tác giả đã lựa chọn đề tài “Đạo hàm: Tham số và Hàm ẩn”

để làm đề tài nghiên cứu

2 Mục tiêu nghiên cứu

Nắm vững và hiểu rõ bản chất của đạo hàm liên quan tới tham số

và hàm ẩn Từ đó có những ví dụ cụ ể để minh họa cho các dạng bài trên.th

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Hệ thống hóa các khái niệm về đạo hàm trong chương trình Toán THPT cũng như ở chương trình Đại học

- Tìm hiểu về đạo hàm của tham số và hàm ẩn

- Đưa ra các ví dụ liên quan của Đạo hàm

4 Đối tượng nghiên cứu

- Phạm vi về mặt thời gian: Từ năm 2006 cho đến nay Bởi lẽ đây là khoảng thời gian đã có những sự thay đổi quan điểm về đạo hàm Các khái niệm về đạo hàm được đưa ra đã kế thừa từ ững nghiên cứu trong lịch sử nhToán học và được bổ sung cũng như hoàn thiện ít nhiều phù hợp với thực tiễn

- Phạm vi về mặt nội dung: Đề tài nghiên cứu về “Đạo hàm: Tham

số và hàm ẩn” gồm các nội dung sau: Khái niệm về đạo hàm; Đạo hàm của tham số; Đạo hàm của hàm ẩn, Các ví dụ liên quan

6 Phương pháp nghiên cứu

Để ực hiện tốt các nhiệm vụ nghiên cứu cũng như đạt được mụth c tiêu của đề tài đưa ra, nhóm tác giả sử dụng các phương pháp nghiên cứu

hệ ống hóa tài liệu: Tiến hành thu thập và nghiên cứu thông tin từ các tài thliệu, sách giáo khoa, website chính thống có liên quan Nhóm tác giả sử dụng phương pháp này nhằm có thể làm sáng tỏ các khái niệm cũng như nội dung và các ví dụ liên quan một cách có hệ ống nhấth t

7 Bố cục đề tài

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ ĐẠO HÀM

CHƯƠNG ĐẠ HÀM CỦ THAM SỐ2: O A

CHƯƠNG ĐẠ HÀM CỦ HÀM ẨN3: O A

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ ĐẠO HÀM

1 Lịch sử hình thành của đạo hàm

Isaac Newton (hình 1) và Gottfried Wilhelm Leibniz (hình

2) được coi là những người phát minh ra đạo hàm Newton bắt đầu nghiên

cứu đạo hàm khi ông đang bị cách ly khỏi đại dịch đậu mùa năm 1665 Ông đã sử dụng đạo hàm để ải quyết các vấn đề trong cơ học cổ ển, gi đichẳng hạn như xác định quỹ đạo của các vật thể chuyển động Newton

đã công bố công trình của mình về đạo hàm vào năm 1687 trong cuốn sách Principia Mathematica Cuốn sách này là một trong những tác phẩm toán học quan trọng nhất từng được viết Newton đã sử dụng phương pháp giới hạn để tính đạo hàm của các hàm số đơn giản và để ải quyếgi t các vấn đề trong cơ học cổ điển

Leibniz cũng bắt đầu nghiên cứu đạo hàm trong những năm 1660 Ông đã phát triển một phương pháp tính đạo hàm dựa trên giới hạn, một khái niệm toán học mới mà ông đã phát minh ra Leibniz

đã sử dụng phương pháp giới hạn của mình để tính đạo hàm của các hàm

số đơn giản, chẳng hạn như hàm số tuyến tính và hàm số mũ Ông cũng

đã sử dụng đạo hàm để giải quyết các vấn đề trong cơ học cổ điển, chẳng hạn như xác định quỹ đạo của các vật thể chuyển động theo quy luật hấp dẫn Leibniz đã công bố công trình của mình về đạo hàm vào năm 1684 trong cuốn sách Differential Calculus Cuốn sách này đã giới thiệu

Hình 2 Gottfried Wilhelm Leibniz :

(1646-1716)

phương pháp giới hạn của Leibniz cho các nhà toán học trên toàn thế giới Ông đã sử dụng phương pháp giới hạn để tính đạo hàm của các hàm

số đơn giản và để giải quyết các vấn đề trong cơ học cổ điển

Cả Newton và Leibniz đều độc lập phát triển các định nghĩa Phương pháp tính đạo hàm và công bố công trình của mình về đạo hàm vào những năm 1680 Tuy nhiên, cuộc tranh cãi về ệc ai là ngườvi i phát minh ra đạo hàm đã kéo dài hàng thế kỷ Cuối cùng, các nhà toán học đã đồng ý rằng cả Newton và Leibniz đều có đóng góp quan trọng cho sự phát triển của đạo hàm Phát minh đạo hàm là một trong những thành tựu quan trọng nhất trong lịch sử toán học Đạo hàm là một công

cụ toán học mạnh mẽ ợc sử dụng trong nhiều lĩnh vực của khoa họđư c

và kỹ thuật

Hình 1: Issac Newton (1643-1727)

2 Khái niệm của đạo hàm

2.1 Các bài toán liên quan đến khái niệm đạo hàm

a Bài toán tìm vận tốc tức thời

Từ vị trí O (ở một độ cao nhất định nào đó), ta thả một viên

bi cho rơi tự do ống đất và nghiên cứu chuyển động của viên bi Bằxu ng việc chọn trục Oy theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng xuố ngđất, gốc O là vị trí ban đầu của viên bi, tức là tại thời điểm 0 giây, và bỏ qua sức cản không khí, ta nhận ợc phương trình chuyển động của viên đư

bi là 𝑦 = 𝑓(𝑥) =12𝑔𝑥2(𝑔 là gia tốc rơi tự do, 𝑔 ≈ 9,8𝑚/𝑠2)

Giả sử tại thời điểm 𝑥0 , viên bi ở vị trí 𝑀0 có 𝑦0= 𝑓(𝑥0); tại thời điểm 𝑥1 , viên bi ở vị trí 𝑀1 có 𝑦1= 𝑓(𝑥1) Khi đó, trong khoảng thời gian từ 𝑥0 đến 𝑥1, quãng đường viên bi đi được là 𝑀0𝑀1= 𝑓(𝑥0) −𝑓(𝑥1) Vậy vận tốc trung bình của viên bì trong khoảng thời gian đó là:

Nếu 𝑥 − 𝑥0 1 càng nhỏ thì tỉ số trên càng phản ánh chính xác hơn sự nhanh chậm của viên bi tại thời điểm 𝑥0 Từ đó, người ta xem giới hạn của tỉ số 𝑓(𝑥 )−𝑓(𝑥 )1 0

𝑥 −𝑥1 0 khi 𝑥1 dần 𝑥0 là vận tốc tức thời tại thời điểm 𝑥 0

của viên bi, ký hiệu là 𝑣(𝑥 )0

Nói cách khác, 𝑣(𝑥0) = lim𝑥 →𝑥

1 0

𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥0)

𝑥 −𝑥1 0

Giá trị 𝑣(𝑥 )0 gọi là đạo hàm của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) =21𝑔𝑥2

tại thời điểm 𝑥0

b Bài toán tìm cường độ tức thời

Điện lượng truyền trong dây dẫn là một hàm số của thờ𝑄 i gian 𝑡, 𝑄 = 𝑄(𝑡) Cường độ trung bình trong khoảng thời gian |𝑡 − 𝑡0| được xác định bởi công thức 𝑄(𝑡)−𝑄(𝑡 )0

𝑡−𝑡0

Nếu |𝑡 − 𝑡0| càng nhỏ thì tỉ số này càng biểu thị chính xác hơn cường độ dòng điện tại thời điểm 𝑡0 Người ta đưa ra định nghĩa sau đây:

Giới hạn hữu hạn (nếu có) 𝑡→𝑡lim

0

𝑄(𝑡)−𝑄(𝑡 0 ) 𝑡−𝑡 0 được gọi là cường

độ tức thời của dòng điện tại thời điểm 𝑡0

2.2 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Ví dụ: Tính vận tốc tức thời của viên bi tại thời điểm 𝑥0= 1𝑠 trong bài toán tìm vận tốc tức thời

Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trên khoảng (𝑎; 𝑏) và điểm

𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏)0 Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim

𝑥→𝑥 0

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0) 𝑥−𝑥0 thì giới hạn đó

được gọi là đạo hàm của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) tại 𝑥0 và được ký hiệu là 𝑓′(𝑥 )0

hoặc 𝑦′𝑥0

Nhận xét: Trong định nghĩa trên, ta đặt:

∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 và gọi ∆𝑥 là số gia của biến số tại điểm 𝑥0;

∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥 )0 0 và gọi ∆𝑦 là số gia của hàm số ứng với số gia ∆𝑥 tại điểm 𝑥0

Khi đó, ta có: 𝑓′(𝑥 ) = lim0 ∆𝑥→0𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥∆𝑥 0) = lim∆𝑥→0∆𝑦∆𝑥

3 Ý nghĩa của đạo hàm

3.1 Ý nghĩa vật lý của đạo hàm

Đạo hàm xuất hiện trong nhiều khái niệm vật lí Chẳng hạn: Xét chuyể động thẳng xác định bởi phương trình n 𝑠 = 𝑠(𝑡), với 𝑠 =𝑠(𝑡) là một hàm số có đạo hàm Như đã thấy trong bài toán mở đầu, vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm 𝑡0là đạo hàm của hàm số tại

𝑡0: 𝑣(𝑡0 ) = 𝑠′(𝑡 ) 0

3.2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) tại điểm 𝑥0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ ị hàm số đó tại điểth m 𝑀0 0(𝑥 ; 𝑓(𝑥 )) là: 0

𝑦 = 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑓(𝑥 ) 0

= + xác định trên \ 1  Hãy tính đạo hàm của hàm số f x( )

b Cho hàm số ( ) 2

1

x

f x x

Lời giải Gọi k hệ số góc của tiếp tuyến đi qua 19; 4

3 2

 x− x+ x− =

1218

tiếp tuyến tới ( )C

i Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị hàm số 2 1

1

x y x

−

=

− thỏa mãn tiếp tuyến với đồ thị có hệ số góc bằng 2018?

Lời giải Tập xác định D = \ 1 

Lời giải Vận tốc của chuyển động: v= = − +s t20

Tại thời điểm t =8 thì v =12m/ s

k Tính đạo hàm của hàm số y=sin 32 x

Lời giải Xét với x 0

Ta có: ( ) ( )( ) (2 )

0 1 0 1 0 1 n 0

Lời giải ( ) (f x 2017 2)(2016 3 1 2018 x ) (x )

CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM CỦA THAM SỐ

1.Tổng quan về đạo hàm của tham số

Tham số là một yếu tố quan trọng trong toán học, được sử dụng để ễn tả sự thay đổi hay biến đổi của mộ đại lượng trong mộdi t t

hệ ống Trong toán cao cấp, một cách quan trọng để nghiên cứu và thhiểu các hàm số ức tạp là sử dụng công cụ đạo hàm với tham số.phKhi ta đạo hàm một hàm số có tham số, ta xem tham số như một biến độc lập bổ sung và áp dụng phương pháp đạo hàm thông thường

Ví dụ: Xét hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥+ 𝑐, với 𝑎, 𝑏, 𝑐 là các tham số

Ta muốn tính đạo hàm của hàm số này theo tham số Để làm điề𝑎 u này, ta coi là một biến độc lập khác và áp dụng phương pháp đạ𝑎 o hàm thông thường theo biến 𝑎

Bước 1: Lấy đạo hàm riêng 𝑓′(𝑥) của hàm số theo biến x

𝑓′(𝑥) = 2𝑎𝑥 + 𝑏 Bước 2: Xem a là biến độc lập và áp dụng phương pháp đạo hàm thông thường theo biến 𝑎

Bước 3: Xác định đạo hàm riêng của 𝑓′(𝑥) theo biến 𝑎 Đạo hàm riêng của 𝑓′(𝑥) theo biế là n 𝑎 𝑓′(𝑥) = 2𝑥

Vậy, ta đã tính được đạo hàm của hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥+ 𝑐theo tham số a là 𝑓′(𝑥)= 2𝑥

Thông qua việc tính đạo hàm của hàm số theo tham số, chúng

ta có thể nghiên cứu quy luật biến động của hàm số khi tham số thay đổi, từ đó tìm hiểu và phân tích các tính chất cơ bản của hàm số Điều này rất hữu ích trong việc giải phương trình và bất đẳng thức, xác định điểm cực trị, tìm tọa độ cực trị của đồ ị, và nhiề ứng dụng khác th u trong toán học và các ngành khoa học liên quan

Tuy nhiên, khi tính đạo hàm của hàm số theo tham số, cần chú

ý rằng các quy tắc đạo hàm thông thường áp dụng cho các biến độc lập không cố định không còn áp dụng và ta cần xem xét các yếu tố khác nhau tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể Việc nắm vững các công thức, quy tắc và phương pháp sẽ giúp chúng ta nắm bắt thông tin quan trọng từ m

2 Cách tính đạo hàm có chứa tham số

Để tính đạo hàm tham số, trước tiên ta phải biết biểu thức xác định hàm số đó Sau đó, ta tính đạo hàm của hàm số đó theo biến tham

số bằng cách áp dụng các quy tắc đạo hàm

Ví dụ, giả sử ta có hàm số f(x) = x + ax + b, trong đó a và 2

b là các hằng số Để tính đạo hàm tham số của f(x) theo a, ta tính đạo hàm của f(x) theo x, và sau đó sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp để tính đạo hàm hàm tham số:

Do đó, đạo hàm tham số của f(x) theo a là x

Tương tự, ta cũng có thể tính đạo hàm tham số của f(x) theo b bằng cách tìm đạo hàm của f(x) theo x và sử dụng quy tắc đạo hàm hợp:

Do đó, đạo hàm tham số của f(x) theo b là 1

Tóm lại, đạo hàm tham số là công việc tính đạo hàm của một hàm số theo biến số của nó bằng cách áp dụng quy tắc đạo hàm

3 Các ví dụ

a ết x = Bi 𝑒2𝑡+1; y = 𝑒3𝑡−2, tR Tính đạo hàm củ ẩn hàm y = y(x) a theo x Và tính 𝑦"(𝑒 )−7

2𝑒 2𝑡+1 = 4𝑒3𝑡+4 (tR) Với x = 𝑒−7 2t+1 = - 7  t = -4

Vậy 𝑦"(𝑒−7) =4𝑒−4+43 =34

b Tìm cực trị ( nếu có ) của hàm ẩn y = y(x) cho bởi phương trình tham số dưới đây:

Giải x=2-t, y = -3t + 2; t𝑡3 R

c Cho hàm số y = f(x) được xác định dưới dạng tham số như sau:

x(t) = sin t; y(t) = 𝑒𝑡 𝑒𝑡cos t Tính f”(0) (với t (0; 3𝜋

2)

Giải

Ta có 𝑥′(𝑡) = 𝑒𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑒𝑡sint ; 𝑦′( ) = −𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑡 + 𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑡 𝑡 𝑡

Công thức đạo hàm dạng tham số 𝑦′(𝑥) =𝑦′(𝑡)

𝑥′(𝑡)

𝑦′(𝑥) =(𝑎𝑐𝑟𝑡𝑎𝑛 )′(ln(𝑡))′(𝑡) =

1𝑡1

1 + 𝑡2

=1 + 𝑡2𝑡Tại 𝑥0=𝜋4→ arctan(t) =𝜋4 t=tan → (𝜋4)=1

Từ đó tính đạo hàm thông thường

𝑦′(𝑥) = (ln(tan( ))𝑥 ′=(tan(𝑥))tan(𝑥) =′ 1 +𝑡𝑎𝑛2(𝑥)

tan (𝑥) → 𝑦′(𝜋)=1+𝑡𝑎𝑛2 (𝜋4 )

𝑡𝑎𝑛(𝜋4) =1+11 = 2

e Tìm đạo hàm cấp hai 𝑦′′= 𝑦′′(𝑥) tại 𝑥0= 𝜋

4 của hàm số y = y(x) được

cho bởi dạng tham số {𝑥 = arctan 𝑡

𝑦 = ln 𝑡 Lời giải

𝑦′(𝑥) = (arctan 𝑡)′( 𝑡)′ln = 1𝑡

1 1+𝑡2= 1+𝑡𝑡2= 𝑡 +1

𝑡

𝑦′′(𝑥) = (𝑦′(𝑥))′𝑡

𝑥′ 𝑡 = (𝑡+ 1𝑡 )′𝑡

(arctan 𝑡)′ 𝑡= 1− 1𝑡2

1 1+ 𝑡2 = (𝑡2−1 (1+𝑡)𝑡2 2) = 𝑡4−1

g Tính đạo hàm 𝑦′= 𝑦′(𝑥) 𝑡ạ𝑖 𝑥0= 1của hàm số y = y(x) được cho bởi dạng tham số { 𝑥 = 𝑒2𝑡