Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Cấu trúc lại phần đạo hàm - Tích phân và xây dựng mẫu chương đạo hàm cho giáo trình giải tích 1 (Phần 1)

Đạo hàm là một khái niệm quan trọng của giải tích toán học, đồng thời cùng vớiphép toán tích phân, là một cơ sở cho việc xây dựng các khái niệm Vật lý.. Các kỹ thuật tính đạo hàm: Phần n

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

KHOA VAT LÝ

BUI QUOC LONG

CHO GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 1

Giảng viên hướng dẫn: TS DƯƠNG MINH THÀNH

Trang 2

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn nảy, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy Duong Minh Thanh — người đã diu dắt, chỉ dẫn cho tôi từ khi tôi còn là sinh viên năm nhất và

mới bắt đầu với phương pháp học ở đại học.

Đến khi làm luận văn tốt nghiệp, Thay lại là người chỉ dẫn cho tôi những ý tưởng,

tạo động lực và truyền cảm hứng cho tôi để có được sản phẩm ngày hôm nay.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban chủ nhiệm Khoa Vật Lý các Thay trong Tổ

Toán lý — Đại hoc Sư Phạm TP.HCM bao gồm:

Thầy Trần Văn Phước

Thay Tran Khắc Ty

Thây Đặng Quang Phúc

Thay Nguyễn Vũ Thụ Nhân.

Thây Nguyễn Minh Hải

đã tạo điều kiện cho tôi được thực hiện luận văn

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn hai bạn sinh viên Khóa K37: Nguyễn Minh Tuyến và

Lê Thị Phi Thuyền đã chia sẻ những buồn vui, luôn động viên và giúp đỡ tôi từ khi bắt

đầu làm luận văn đến nay.

Sinh viên thực hiện

Bùi Quốc Long

Trang 3

NHAN XÉT CUA GIẢNG VIÊN

Trang 4

MỤC LỤC

_ỷ;ss „TH ƯƯỚNỚGHG 1

1.2 Mục đích nghiên cứu HH HH HH nan 11tr 2

1.3 Khách thé và đối tượng nghiên cứu s©5s55SssScxzesvxrerksrrrrervs 2

L{ Giảtt@yYftkÌiWMNGG4e<<2cscä 020000100002 dkỄa he Ằ 3

I5 Nhàn VWHeRRENCEW((4L4123312300122002460 000 02GGGGCGGkc 3

1Š Giới bạn ĐỀ GME G2262 cass ntact 2200002606006 0ã: 31.7 Những đóng góp mới của dé tải 6-ccccssccceseevesrecseceexerrcsdke 31.8 Phuong pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn - -. - 4CHUONG 2 PHAN TÍCH GIÁO TRÌNH - ‹ -occscccesocee 6

2.1 Giới thiệu giáo trình phân tích và một số câu hói - 5-5 6

2.2 Phân tích và so sánh phan “Đạo ham — Vi phân” trong giáo trình G1, so sánh

CHUONG 3 CHƯƠNG TRÌNH DỰ KIEN .-‹ 5-555 110

3.1 Những yêu cầu của một chương trình Toán cho sinh viên Vật lý 110

3.2 Cấu trúc của một chương trình dự kiến ‹. «- 22-©cscccveeccxs 115 CHUONG 4 VIET MAU PHAN ĐẠO HAM . s5- 55c 555552 116

Trang 5

Chương 1: Phần mở đầu Bùi Quốc Long

CHUONG 1 PHAN MO DAU

hoàn toàn bởi các giáng viên Khoa Toán — Trường Dai học Sư Phạm TP.HCM và được

dùng chung với một số ngành không phải Vật lý Điều này dẫn đến việc sinh viên

không thấy được mối quan hệ giữa Toán học và Vật lý, từ đó tạo ra một thái độ nhàmchán, không ham thích khi học, đồng thời cũng gây khó khăn cho việc day của giảng

viên.

Ngay từ học kỳ II của năm I, sinh viên đã bắt đầu tiếp cận với các kiến thức củaVật lý đại cương — Cơ học Các học kỳ tiếp theo, sinh viên lại được tiếp cận với môn

Điện — Nhiệt, Các môn học này thường xuyên sử dụng khái niệm giải tích (Dao hàm

— Tích phân) đẻ hình thành công thức vật lý, đồng thời môn Điện học lại sử dụng khá

nhiều khái niệm giải tích để giải toán Do đó, ngay từ khi học mồn Giải tích 1 và 2, bên

cạnh việc sinh viên được trang bị kiến thức toán vững vang, sinh viên phải biết được cách ứng dụng nó như thế nảo trong Vật lý, để từ đó khi tiếp cận với các kiến thức ban

đầu của Vật lý không bị bỡ ngỡ

Đạo hàm là một khái niệm quan trọng của giải tích toán học, đồng thời cùng vớiphép toán tích phân, là một cơ sở cho việc xây dựng các khái niệm Vật lý Thế mà các

giáo trình phục vụ cho việc giảng dạy môn này tuy rất nhiều nhưng chỉ dừng lại ở việc cung cấp thông tin chứ không nói rõ vào vấn đề một cách cụ thể Việc sử dụng các giáo

trình hiện hành có thể phù hợp cho các người học thuần kiến thức Toán nói chung và

Luận văn tot nghiệp |

Trang 6

Chương 1: Phần mở đầu Bui Quốc Lon

sinh viên Toán nói riêng Tuy nhiên, đếi với một số ngành có ứng dụng Toán học (Vật

lý, Hóa học, Sinh học, ) thì dường như không phù hợp, đó là vì các giáo trình này

chưa nêu ra được các ứng dụng thực tiễn của Toán hoc, Với những khó khăn nêu trên,

chúng tôi nhận thấy phải thay đổi, cấu trúc lại chương trình Giải tích để phục vụ cho

việc giảng dạy cũng như học tập theo học chế tín chỉ

1.2 Mục đích nghiên cứu

Đề tải đặt ra nhằm xây dựng lại chương trình môn Giải tích cho ngành sư phạm

Vật lý ở Trường Đại học Sư phạm TP.HCM và viết lại giáo trình phục vụ cho chương

trình đó Trước mắt chúng tôi sẽ làm với môn Giải tích 1 rồi sau đó tiếp tục cho môn

Giải tích 2, tham khảo ý kiến của các thay trong tổ Toán — Lý, trường Dai Học Sư

Phạm TP.HCM cũng như sinh viên rồi sẽ tiến hành viết toàn bộ giáo trình Chúng tôi

sẽ tham khảo chương trình đang áp dụng, chương trình nước ngoài để để xuất một

chương trình dự kiến Dé viết một số phan kiến thức, chúng tôi sẽ tham khảo một số

giáo trình và sách hiện có ở trong nước và nước ngoài Các kết quả cần đạt được bao

gom

— So sánh được chương trình và giáo trình môn Giải tích đang được áp dụng với

một số chương trình, giáo trình khác

— Đề xuất một chương trình dự kiến cho môn Giải tích 1

— Viết được một số nội dung kiến thức phục vụ cho chương trình mới

13 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

— Chương trình giải tích Toán học và Vật lý.

— Mối liên hệ và việc ứng dụng của Toán học trong Vật lý.

Trang 7

14 Gia thuyết khoa học

Nếu luận văn này được hoan thiện sẽ giúp ích nhiều cho các sinh viên năm 1 có

những tiếp cận ban đầu về việc ứng dụng của Toán học trong Vật lý, là tiền đề cho việc

học các môn Vật lý tiếp theo

1.5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu các giáo trình giải tích được sử dụng tại Khoa Vật lý của trường Đại học

Sư phạm TP.HCM, Đại học Sài gòn và Đại học Khoa học tự nhiên Thành phố Hồ Chí

Minh.

Phân tích các giáo trình trên va so sánh nó với giáo trình nước ngoài, từ đó, rút ra

kết luận để đi đến việc viết chương trình dự kiến

l6 — Giới hạn đề tài

Vì thời gian có hạn (6 tháng) nên luận văn này chỉ nêu ra sự khác nhau của các

giáo trình trong nước và nước ngoài, đồng thời phân tích kiến thức của hai chương Đạo

ham — Tích phân trong các giáo trình trên và tiến hành viết mẫu chương Dao ham

1.7 Những đóng góp mới của đề tài

Trong luận văn này, chúng tôi đưa ra được một giáo trình dự kiến có sự khác biệt

đáng kẻ so với các giáo trình đang được sử dụng Cụ thẻ là từ cách trình bày, phông

chữ, nội dung cùng với các hình ảnh làm cho giáo trình trở nên sinh động hơn Điềuquan trọng nhất chính là bỗ sung thêm các bài toán Vật lý để sinh viên có cái nhìn kháiquát trong các môn Vật lý sẽ được học tiếp theo Những thay đổi này sẽ được đề cập

trong Chương 3 và 4 của luận văn.

Luận văn tốt nghiệp 3

Trang 8

1.8 Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận vănLuan văn này được chia thành các chương như sau:

Chương 1: Phần mở đầu

Trinh bay về tổng quan các van dé liên quan đến dé tài,

Chương 2: Phân tích giáo trình

Chúng tôi nói sơ lược vẻ van dé nghiên cứu cũng như phân tích sự khác nhau giữa

các giáo trình trong nước đang dùng đẻ đảo tạo sinh viên tại Khoa Vật lý Cụ thé 1a tạitrường Dai học Sư phạm TP.HCM, Dai hoc Sai gòn va Dai học Khoa học ty nhiên

TP.HCM Đồng thời, chúng tôi cũng so sánh các giáo trình đó với giáo trình nướcngoài để thấy rõ sự giống và khác nhau Từ đó, chúng tôi đưa ra một chương trình dựkiến với những yêu cầu đặt ra sao cho phù hợp với học chế tín chỉ hiện tại, giúp nângcao tỉnh thân tự học của sinh viên.

Chương 3: Chương trình dự kiến

Chúng tôi trình bay về các yêu cầu cũng như các tiêu chí mà giáo trình mới cần

đáp ứng Bao gồm: Những yêu cầu mà một chương trình Toán cho Vật lý phải dap ứngđược, cách trình bảy và cấu trúc các phần của chương trình cũng như giáo trình dự

Chương 4: Viết mẫu phần Đạo hàm

Trong phan này, chúng tôi trình bày một số nội dung quan trọng của chương Dao

hàm Đó là:

Các khái niệm dẫn đến việc hình thành đạo hàm: Phần này trình bày về khái

niệm độ dốc của một cát tuyến bắt kỳ và độ dốc của tiếp tuyến chính là giới hạn của độ

4

SS

Luan van tot nghiép

Trang 9

dốc cát tuyến Cũng tương tự, ta cũng đi định nghĩa vận tốc tức thời chính lả giới hạn của vận tốc trung bình Đó là các khái niệm dẫn dến việc hình thành Dao ham.

Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm: Phần nay trình bay hai cách định nghĩa đạo

ham, đồng thời nói lên ý nghĩa hình học của đạo hàm Từ đó, xây dựng định nghĩa tổng

quát cho đạo hàm cắp bắt kỳ và ý nghĩa tương ứng

Các kỹ thuật tính đạo hàm: Phần này trình bày cách tính đạo hàm của một số hàm đơn giản, quen thuộc dé lam cơ sở cho việc tinh đạo ham của các hàm số bat ky,

phức tạp mà không tính được bảng định nghĩa

Ứng dụng của đạo hàm: Phần này trình bày một số ứng dụng của đạo hàm, chủ

yếu là trong Vật lý cùng với các ví dụ minh họa

Van đề mở rộng: Trình bày về ứng dụng của đạo hàm trong một số ngành khoa

học liên quan (hóa học, sinh học) và trong kinh tế

Trong Chương 4, chúng tôi sử dụng cách trình bày, phông chữ, hình anh, ở

dang viết sách nên sẽ có phần khác so với chương 2 và 3 của luận văn Dé đúng với

việc trình bày một giáo trình, chúng tôi sẽ đánh số trang và đề mục lại từ đầu Chương

4 được trình bày ở sau trang 1 18 của luận văn này.

Trang 10

Chương 2: Phân tích giáo trình Bùi Quốc Long

CHƯƠNG 2 PHAN TÍCH GIÁO TRÌNH

2.1 — Giới thiệu giáo trình phân tích và một số câu hỏi

Chúng tôi chọn các giáo trình Toán cao cấp của một số trường Đại học tại

TP.HCM có dao tạo nganh Sư phạm Vật lý và Vật lý học Cụ thé là:

[1] Đậu Thế Cấp, Giải tích toán học, Nhà xuất bản Giáo dục, 2007 (giáo trình

đang được sử dụng tại Khoa Vật lý — Dai học Sư Phạm TP.HCM).

[2] Đỗ Công Khanh, Toán cao cấp ~ Giải tích hàm một biến, lý thuyết chuỗi, Nhà

xuất bản Đại học Quốc Gia TP.HCM, 2010 (giáo trình đang được sử dụng tại Đại học

Bách Khoa TP.HCM).

[3] Nguyễn Đình Trí, Toán học cao cấp ~ tập 2, Nhà xuất bản Giáo dục, 2006.

(giáo trình đang được sử dụng tại Khoa Vật lý — Đại học Sài gòn TP.HCM).

[8] James Stewart, Single variable calculus, Canada (giáo trình đang được sử

dụng tại Khoa Vật lý — Đại học Khoa học Tự nhiên TP.HCM).

Vì giáo trình [1], [2] [3] là các giáo trình trong nước và có nội dung gần nhưgiống nhau nên chúng tôi gọi chung là nhóm giáo trỉnh G1 và phân tích những điểmchung nhất của G1 Cỏn giáo trình [8] là giáo trình nước ngoài, có nội dung hoản toàn

khác với nhóm G1 nên chúng tôi gọi là giáo trinh G2.

Chúng tôi sẽ phân tích, so sánh giữa G1 và G2 để nhằm trả lời các câu hỏi sau:

C1: Khái niệm đạo ham, vi phân được tiếp cận như thế nào giữa hai giáo trình G1

và G2 ? Cách tiếp cận này có giúp sinh viên hiểu được ý nghĩa của khái niệm đạo hàm?

Luận văn tot nghiệp 6

Trang 11

C2: Hai giáo trình G1 va G2 định nghĩa đạo hàm, vi phân, tích phân như thé nào?

Có may cách để định nghĩa đạo hàm? Liệu cách định nghĩa như vậy cỏ giúp sinh viên biết cách ứng dụng nó trong các nganh khoa học khác hay không ? Có mối quan hệ nào

giữa hai khái niệm vi phân va tích phân?

C3: Hai giáo trình này có đề cập đến việc ứng dụng của đạo ham trong Vật lý hay

không ? Nếu có thì trình bày ra sao, việc trình bày như vậy có giúp cho sinh viên biết

cách áp dụng đạo hàm đẻ giải các bài toán Vật lý ? Hệ thống bai tap nao được ưu tiên

va việc nêu ra các bai toán Vật lý được tiếp cận như thế nao ?

C4: Cách trình bày, hình ảnh có được G1, G2 chú trọng ? Việc trình bay như vậy

có tác động ra sao đến việc dạy — học của giảng viên cũng như sinh viên ?

22 Phân tích và so sánh phần “Đạo hàm — Vi phân” trong giáo trình G1,

Để mở đầu phần đạo hàm, G2 bắt đầu với việc trình

bày hai khái niệm « tiếp tuyến với đường cong » và « vận

tốc ».

Vấn dé tiếp tuyến: Dau tiên, G2 giải thích từ

Trang 12

Chương 2: Phân tích giáo trình Bùi Quốc Lon

« tangent » cô nghĩa là « sự tiếp xúc » và dẫn dắt « tiếp tuyến của một đường cong là

sự tiếp xúc với đường cong » Sau đó, G2 nhắc lại khái niệm « tiếp tuyến với đưởng

trỏn », đồng thời đưa ra ý tưởng về hình ảnh của tiếp tuyến như cách nghĩ thông

thường.

Dé xây dựng khái niệm tiếp tuyến, trước hết, G2 đưa ra ví dụ « Tìm phương trình

tiếp tuyến với đường cong parabol y =x° tại điểm P(1,1) », Dé giải ví dụ này, G2 đi tính độ dốc của cát tuyến PQ là đường thẳng đi qua hai điểm P và điểm Ø có tọa độ

bat kỳ thuộc parabol, G2 minh họa điều này bằng Hình 1 [8] G2 cho một vai giá trị

điểm Ø cụ thé và lấy các giá trị này ngày càng gần với tọa độ điểm (x =>1) và G2 tính toán giá trị độ đốc m,, tương ứng với các tọa độ điểm Q đã chọn và thấy giá trị

này « tiến đến 2 » Dé kiểm tra tính đúng đắn này, G2 thực hiện phép toán giới hạn và

cuối cùng G2 áp dụng cách viết phương trình đường thẳng để viết phương trình tiếp

Van đề vận tốc: G2 dẫn dat « Néu bạn thấy tốc kế của một chiếc xe hơi đang

chạy trên đường, ta thấy tốc kế liên tục thay đổi nghĩa là vận tốc không phải là hằng

số Chúng tôi giả sử rằng tốc kế của xe có giá trị xác định tại mỗi thời điểm, vậy thế

nào gọi là tức thời, chúng ta hãy cùng tìm hiểu ví dụ về một quả bóng rơi »

Tiếp theo, G2 đưa ra ví dụ

Ví dụ: Giả sử thả một quả bóng từ tang quan sát của CN Tower ở Toronto, cách

Trang 13

Chương 2: Phân tích giáo trình Bủi Quốc Long

dụng khái niệm vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ =5 đến ¢=5,1 bằng

khái niệm vận tốc trung bình

Cũng tương tự như cách giải ví dụ ở phẩn tiếp tuyến, G2 cũng cho các khoảng

thời gian khác nhau [5;6],[5;5,1], [5;5,001] và tính toán các giá trị vận tốc trung bình tương ứng và thấy rằng khi ta thu hẹp khoảng thời gian lại thì vận tốc trung bình « tiến

đến 49» Từ đó, G2 nói rằng « vận tốc tức thời tại thời điểm f =5 là giới han của giá

trị vận tốc trung bình lấy trong một khoảng thời gian rất rất nhỏ Do đó, vận tốc tức

thời sau 5s là 49 m/s ».

Qua hai ví dụ vừa nêu, ta thấy ý đồ của G2 là đi xây dựng tiếp tuyến là giới hạncủa cát tuyến và vận tốc tức thời 1a giới hạn của vận tốc trung bình G2 đi xây dựngđiều này bằng cách xét các đại lượng quan tâm trong một khoảng nhỏ.

Dé liên hệ giữa khái niệm vận tốc và tiếp tuyến, G2 cũng minh họa bằng Hình 2[8] G2 nói rằng « độ dốc của cát tuyến = vận tốc trung bình, độ dốc của tiếp tuyến =

vận tốc tức thời »

Hình 2

i Định nghĩa dao hàm

> Giáo trình G1: [1|

Bắt đầu với chương Dao ham, G1 trình bày định nghĩa đạo hàm như sau:

Luận văn tôt nghiệp 9

Trang 14

« Cho hàm y= ƒ(x) xác định trên (a,b),x, (a,b) Cho xạ số gia Ax sao cho

x,+Ave(a,b)và gọi Ay= f(x, +Ax)— f(x) là số gia của hàm số ứng với số gia

Ay

Ax của đối số Nếu tôn tại hữu han lim —= Lực —thi giới han đó gọi là đạo hàm của hàm

im ÂŸ

tee Ax `

Nếu chỉ ton tại và hữu hạn ƒ (xj)= tim re y hoặc Sq) = I lim m SẺ

f(x) tại x, và hàm f(x) gọi là có đạo hàm tại xạ Ta kí hiệu ƒ (xạ) =

thì các giới

hạn đó gọi lần lượt là đạo hàm bên phải và đạo hàm bên trái của f(x) tại x,.»

k4 Giáo trình G2: [8]

— Trước tiên, G2 trình bày lại tổng quát khái niệm tiếp tuyến và vận tốc:

« Tiếp tuyến của đường cong y= ƒ(x) tại

điểm P(a,f(a)) là đường thẳng qua P với độ dốc

m= tim! )-S(4) néu giới hạn này tôn tại » G2

.^ x-a

cũng minh họa điều này bằng Hình 3.

« Vận tốc tức thời là giới hạn của vận tốc trưng

bình lấy trong một khoảng dịch chuyển thời gian h

Trang 15

Trước khi định nghĩa đạo hàm, G2 khái quát lại

« Chúng ta thấy rằng độ dốc của tiếp tuyến và vận

tỐc tức thời của một vật thì cùng một loại giới hạn

Trén thực té, gidi hạn đó có dang

im HEF phát sinh bắt cứ khi nào chúng

ta tính toán tốc độ thay đổi của bắt kỳ lĩnh vực khoa học hay kỳ thuật nào, như là tốc độ phản ứng trong

hoá học hay giá cả trong kinh tế »

Hình 4

Sau đó, G2 đưa ra định nghĩa đạo hàm

« Đạo hàm của hàm số ƒ tai điểm a, kí hiệu f(a) là

f(a)= inp nếu giới han đó ton tại ».

Ta thấy khái niệm này có phan khác so với G1 ở chỗ thay A=Ax, về mặt hình thức, hai kí hiệu nảy đều mang vai trò và chức năng như nhau và ta cũng thấy rằng

định nghĩa mà G2 đưa ra đơn giản hơn G1 G2 cũng đưa ra định nghĩa thứ 2 bằng cách

đặt x=a+kh>h=x-a và f(a)=tim ZL)ze

Hon nữa, G2 sau khi trình bảy khái niệm « dao hàm của ham sé tại một điểm »,

G2 dẫn dat va đưa ra khái niệm tổng quát của đạo hàm « Đạo hàm của hàm số tại điểm

Trang 16

Nhìn chung, G1 có các định lý sau:

« Định lý 1: Ham f(x) có đạo hàm tại xạ khi và chỉ khí f(x) có đạo hàm bên

phải và bên trái tại x, và các đạo hàm đó bằng nhau.

Định lý 2: Hàm số f(x) có đạo hàm tại xạ thì liên tục tại xạ

Định lý 3: Nếu ƒ(x)& g(x) là các hàm có đạo hàm tại x thì tổng, hiệu, tích,

thương (g(x) #0) cũng có đạo hàm tại x và có các công thức

(/+s)=/'+g

(fg) =f'g+#'/.

(⁄] _ #'g~g.ƒ

8 8

Định lý 4: Cho hàm y= f(x) có đạo hàm tại điểm xo và ham z= g(y) xác định

trong một khoảng chứa y, = ƒ(xạ) và có đạo hàm tại yạ Khi đó hàm g,f(x) có đạo

hàm tại xo và (g„f)'œ)= g'F

(%)-Định lý 5: cho hàm y = f(x) liên tục và đông biến hay nghịch biến trong khoảng

(a,b) Nếu f(x) có đạo hàm tại điểm xo thuộc (a,b) và f (xo) khác không thì hàm

ngược x=@(y) của f(x) cũng có đạo hàm tại y,=f(x,) và có công thức

¬ 1.

s0 Fay

Sau đó [1] đưa ra bảng tóm tắt « Đạo hàm của hàm sơ cấp » sau:

Trang 17

(cy =0 (x” | =ax"! (z') =a" ina, (e' ) =e".

(log, ) = a pms) “ở (sinx) =cosx,(cosx) = —sinx,(tanx) = mas =» (cot) = ae

_ v I ' Ị

(arctanx) =", (arecotx) ni

id Giáo trình G2: [8]

Khác với G1, G2 cũng trình bày một số nội dung tương tự nhưng gọi là « Các

quy tắc của phép tinh vi phân », và trình bày sâu hơn và mặt tiếp cận van đề, chú trọng giải thích ý nghĩa vả bắt đầu từ những ví dụ đơn giản nhất, rồi từ đó rút ra quy tắc

chung.

Đạo hàm của hàm đa thức và hàm mũ

G2 bắt đầu với việc tim đạo ham cùa hàm số ƒ(x)=c bằng định nghĩa, sau đó nói

rang “Sir dụng kí hiệu của Leibnitz, ta có thé viết quy tắc này dưới dạng”

Đạo hàm của hàm hang số S()=0.

Trang 18

Với f(x) =x", sử dụng định nghĩa đạo hàm, G2 chứng minh được /”(x) = 4x’

Sau đó, G2 dẫn dắt “So sánh dao hàm của các hàm số trên, ta xây dựng được công

thức cho n là số nguyên dương , ta có

Quy tắc đạo hàm của đa thức: Nếu n là số nguyên dương, ta được (x )=m*.

— G2 cũng trình bày ví dụ minh hoa

« Sử dụng Quy tắc đạo hàm của đa thức, ta có

f(x) =x* = f(x) = 6x" f(x) =x! => f"(x) =1000x””

4 dy ` d 5 2 s

= —=4 — = y="=> = = r ) 3r

Sau vi dy này, G2 tiếp tục dẫn dat:

d (1 | ra oe :

Ta cũng có £(1) 4 hay có thể viết ~ứ '\=(-0x3.

, a mm: zz, Ae 2y Ì in

Và rad ay hay có thể viết 7 (x )=5* :

— Tổng quát lại các trường hợp, G2 đưa ra quy tắc tống quát:

« Quy tắc đạo hàm đa thức Nếu n là số thực, ta có

: ra _ „x3~ix)=m

Phù hợp với quy tắc vừa nêu, G2 phát biểu rằng « Dao hàm của hằng số với hang

số thì bằng hằng số với đạo hàm của hàm số ».

— Tiếp theo, G2 đưa ra

« Quy tắc đạo hàm của hằng số nhân với hàm số

ty: "TRE ẺENỢỹẶỢNNỢGỢỌỢNỌNỌHNỢNƠỜNNNNNNNNE ` NG

Trang 19

G2 đưa ra quy tắc tương tự nhưng đối với phép trừ.

Dé minh họa cho quy tắc vừa nêu, G2 đưa ra Ví dụ

“(ở +i2z —4x* +10x’ -6x+5).dx

Và có một Vi dụ ứng dụng trong Vật lý « Phương trình chuyển động của một hạt

là s=2f` =5t” +3t+4 với s tính bằng cm, t tính bằng giây Tìm gia tốc là ham số củathời gian Gia tốc có giá trị bao nhiễu sau 2s? »

— Tiếp đó, G2 định nghĩa hàm số mũ và đưa ra

« Quy tắc tính đạo hàm của hàm số mũ

Trang 20

G2 dẫn dắt « Tương tự như quy tắc đạo hàm của một tổng và một thương, người

ta có thé bị lam tưởng, giống như Lebnitz ở ba thể ky trước, nói rằng đạo hàm của mộttích bang tích các đạo ham Tuy nhiên, sự dự đoán đó là sai Chúng ta lấy vi dụ hàm

ƒ(x)=x và g(x) = x° Ap dụng quy tắc đạo hàm đa thức ta có ƒ'(x)=l1, g'(x)=2x

Nhưng (f@Xx)=x`, (føg)(x)=3x, từ đó cho thấy (fg) # fE§' Công thức đúng

được tìm ra bởi Leibnitz (phát hiện sớm sau những sai lam ban đầu của mình) » và

đòng thời, G2 cũng đưa ra

« Quy tắc đạo hàm của một tích

Nếu fg là hai hàm khả vi, ta cỏ

[fore] = /œ)-7.[g@9]+øG)-7.[/@)] »

Dé minh họa, G2 cũng đưa ra Ví dụ « Sử dung quy tắc này tim dao hàm

f(x) = xe" => ƒ(x), f(x) »

Vi du: Lẫy đạo hàm của hàm số ƒ (t) = ¬[t(a + bt)

Để giải ví dụ này, G2 trình bày 2 cách:

Cách 1: Sử dụng quy tắc đạo hàm một tíchCách 2: Nhân vào và biến đổi căn thức thành hàm đa thức và áp dụng quy tắc đạo

hàm đa thức.

— G2 tiếp tục đưa ra

« Quy tắc đạo hàm của một thương

Nếu ƒ,g là hai hàm khả vi, ta có

Trang 21

Cuối phan nay [8] đưa ra bảng tóm tắt những công thức đã được nêu ở trên

(e)=0 f(t) =m <(e')=e"

(f) =đ” (f+) =S'+e' (S-8) =/f-g.

(fey = fe +s/' (4) -§ £

Đạo hàm của hàm lượng giác

Trước khi trình bảy phần đạo hàm, G2 trình bảy về hảm lượng giác

Trong phan này, G2 đi chứng minh công thức đạo ham của ham sin x,cos x,tan x

bing định nghĩa đạo ham

Cuối mục này, [8] đưa ra bảng tóm tắt sau

Ginx)=eosz (esex)~cscxeotx ^ (eosx) = ~sinx

D t6 cassis -l kyi29 gg2Nỳ “ q3 yï=—caˆ#

dx dx dk

Vi dụ Léy đạo ham f(x) =——~ lụ Lay đạo F(x) Tans

Quy tắc dây chuyền

— G2 dẫn dit rằng

Các công thức của phép tính vi phân mà ta học ở các phần trước không cho phép

ta lầy đạo hàm của # (x)

Quan sát hàm F ta thấy nó là hàm số hợp Trên thực tế, nếu chúng ta coi

y=f(@)=xÍu và w= g(x)=xŸ+l, chúng ta có thể viết y=F(x)= f(g(x)) hay

F = fog Chúng ta muốn biết cách lấy dao ham của cả 2 hàm / va g như thé nào,

Trang 22

vi vay, điều đó rất hữu ích nêu chúng ta biết một quy tắc dé tính đạo ham của

F= fog dựa trên đạo ham của hàm / và g.

Công thức chỉ ra đạo hàm của hàm hợp fog là sản phẩm của đạo hàm hàm /

và g Công thức này là một trong những quy tắc quan trọng nhất của phép tính vi phân

va được gọi là Quy tắc đây sự" Nó có vẻ hợp lý nếu chúng ta dùng để giải thích

đạo him như là một sự thay đổi “4 = ˆ thể hiện sự thay đổi của wu theo x, Oe baydu

doi của y theo u, và _ là sự thay đổi của y theo x do đó ra

— Sau khi din dắt, G2 đưa ra quy tắc

« Quy tắc đây chuyên

Nếu g là hàm khả vi tại x và f khả vi tại g(x), thì hàm hợp F = f og được

xác định bởi F(x)= ƒ(g(+©)) cũng khả vi tại x và F” được dua ra bởi công thức

F(x) = f'(g(z)).g () >

Minh họa cho quy tắc dây chuyền, G2 giải lại Vi dụ đã nêu « Sứ dung Quy tắc

dây chuyên tìm F'(x) nếu F(x) =e +1 ».

— G2 nói thêm:

Theo kí hiệu của Leibnitz, nếu y = ƒ() và w = g(x) là hai hàm số khả vi, thì

dy _ dy du+ duck’

— Tông quát lại, G2 đưa ra quy tắc

« Quy tắc đạo hàm da thức kết hợp quy tắc dây chuyên

Trang 23

— G2 minh họa bằng các ví dụ sau

Ví dụ: Sử quy quy tắc trên tính đạo hàm của

00 l

sứ) = (=) y=(2x+1)(x’-x+1) »

y=eTM’.

Chúng ta có thé sử dụng Quy tắc dây chuyển dé tính đạo hàm ham mũ với

a=e”* >0 Vì vậy, a* =(e"* Ì =e"

Ap dụng quy tắc dây chuyén tính được <(a' }=a*Ina.

— G2 mở rộng giải thích thêm

« Lý do cải tên “quy tắc dây chuyển " trở nên rõ ràng hơn khi ta thực hiện một

chui dài hơn bằng cách thêm vào một liên kết nữa Giá sử

v= f(),u = g(x), x=h(f), với ƒ,g,h là những hàm số khả ví Tính đạo ham ÿ theo

( với quy tắc dây chuyên hai lần, ta được

Đạo hàm của ham dn

Trong mục này, G2 đưa ra cách tìm đạo hàm của hàm din là đạo hàm hai về của

phương trình xác định hàm ẩn, đồng thời cũng minh họa bằng một số ví dụ cụ thẻ.

THU VIỆN |

Trưởng Đại-Học Su-Pham

Trang 24

Hàm lượng giác ngược và đạo hàm của chúng

Do đó, nếu =l< x <1, sin’ x nằm trong khoảng —Z/2 => 7/2.

Ví dụ: sin'(3)-2 bởi vi sin= = _= #8 1 và #/6 nằm trong khoảng & *) :

2 a te

an asin) :3

od 1

Đột 0 = ercein= wiwy sind =<.

@ nhự trong hình sau va sử dung định lý Pytagore và được cạnh thứ 3 có độ dai là

sửi l

-I1=2 2 Từt ide đó, ta có tan| arcsin— | = tan = : J2 u tam giác ac ( 1) 22

Chúng ta có thể vẽ một tam giác vuông với góc

ue x z

=xX: ——< <—,

sin (sinx)=x 2 x 5

sin(sin'x)=x, —l<x<l,

G2 nói Chúng ta có thé dùng Phép tính vi phân của hàm dn dé tìm đạo hàm của

ham ngược của sin,

Trang 25

— G2 tính toán và đưa ra

Cf Ome l

= = -Isxsl.5 (sin x) A

Ví đụ: f(x) =sin '(x” -1), tìm miền xác định cia f , f'(x) và miễn của f'.

Tiếp tục, G2 đưa ra định nghĩa cho hàm arccos

«Ham nguge của cos hoàn toàn tương tự Ham số cos

y= f(x)=cosx, 0< x<zZ là 1-1, và vì vậy hàm ngược của cosine được kí hiệu cos

hay arccos.

cos'x= yÿ @cos y=x and 0< y<7.

Hàm ngược của cosine có miễn giá trị là [-1,1] và miền xác định [0.z] , Dao

hàm của nó là

£ (cos) =~ ca —

~ Tương ty, G2 tiếp tục định nghĩa

tan Ì x = y © tan y=x and ~ <y<S.

— G2 minh họa bằng

Vi du: Don giản hod biểu thức cos(tan 4 x).

Trong vi dụ này, G2 giải đẳng thời đưa ra hai giới han sau

Luận văn tôt nghiệp 21

Trang 26

lim tan!x=^ lmtan'x=—=.

Trong phan nay, ta sẽ sử dụng phép tính vi phân của hàm dn để tim đạo hàm của

hàm logarit y =log, x và ham logarit tự nhiên In|x|

Nếu ta lấy a=e, ta có lne=l từ đó ta có công thức đạo hàm của hàm

log, x =Inx , G2 đưa ra

Luận van tot nghiệp 22

Trang 27

In(sinx) S(x) = log, (2+sinx) =n

ƒ@œ)=In| fe) = Vinx.

— Đồng thời, G2 cũng đưa ra công thức

d |

Sn|:|==.

- Tiếp theo, G2 đưa ra mục

Phép tính vi phân nhờ lấy logarit

Việc tính toán đạo hàm của một số hàm số phức tạp liên quan đến nhân, chia, đathức ta có thé đơn giản hoá bằng cách lấy logarit Phương pháp này sử dung trong ví dụsau và gọi là phép tính vi phân nhờ lấy logarit

Trang 28

Giải: Lay logarit 2 về của phương trình trên va sử dụng Quy tắc của logarit ta có

Iny= 2inx+ 2 In(x +1)~5In(3x +2).

— Sau vi dy nay, G2 đưa ra bảng sau

« Các bước lấy vi phân nhờ lấy logarit

1 Sử dụng logarit tự nhiên tác động lên 2 về của phương trình y= f(x) và sử dung Quy tắc lấy logarit để lam đơn giản hoá biểu thức.

2 Lẩyvi phân hàm ẩn theo biển x

3 Từ kẾt quả suyra tìm y`»

Ta thấy quy tắc này vô cùng hữu ích khi ta cần tính đạo hàm của các hàm số phức

tạp.

%4 Ghi chú: Các van dé được nêu trong phần này, G1 và G2 đều có chứng minh,

Trang 29

m Cách tiếp cận và định nghĩa vi phân

> Giáo trình G1: |1|

— GI không nêu van đề tiếp cận vi phân mà trực tiếp đưa ra định nghĩa:

« Cho ham y= f(x) xác định trên (a,b) , x, c(a.b) ta goi f(x) khả vi tại x,

nếu có thể viết Ay = AAx+O(Ax) , trong đó A là hằng số O(Ax) là VCB cấp cao

hơn Ax.

Nếu ƒ(x) khả vi tại x, thì biểu thức dy = A.Av goi là vi phân của f(x) tại xạ

Từ định nghĩa ta thay ngay rằng, với Ax đủ bé thì dy = Ay.» [1]

G2 tiếp cận khái niệm vi phân bằng việc xây dựng

« xấp xỉ tuyến tính » và đi đến định nghĩa vi phân «Những ý tưởng đằng sau xdp xi tuyến tính đôi khi được

+ hừnh thành trong các thuật ngữ và kí hiệu của vi phân.

cà Nếu y= ƒ(x) với ƒ' là hàm khả vi, thì vị phân

dx là biển độc lập, với dx có giá trị là những số thực.

Vi phân dy được xác định theo dx bởi phương trình dy = ƒ (x)&.

Trang 30

Vi vậy, dy là biến phụ thuộc, nó phụ thuộc vào giá trị của x và dx Nếu dx

được cho là những giá trị cụ thể va x thuộc tập xác định của f thì giá trị cụ thể của

dy được xác định » G2 cũng minh họa bằng Hình 5

2.2.2 Phần ứng dụng và bài tập

Ứng dụng của đạo hàm

— Giáo trình GI:

định nhưng không thẻ áp dụng được các quy tắc tính giới hạn thông thường Quy tắc

nay sử dụng đạo hàm để tính giới hạn, nó được phát biểu là giới han của thương sé thìbằng thương số các đạo hàm

o Công thức Taylor - Maclaurin: trình bay việc khai triển một hàm số bat ky

thành dang đa thức với hai loại phần dư được trình bảy trong nhóm G1 là phần dư dạngLarange (dùng dé tính sai số) và phần sư Peano (dùng dé khai triển) G2 không trìnhbày công thức khai triển này ở phần ứng dụng đạo hàm mà trình bày ở phần Chudi

Taylor — Maclaurin.

o Khảo sát hàm số,

o Đường cong cho bởi phương trình tham sé

— GI có trình bày một phần về ứng dụng Vật lý như sau:

« Vận tốc và gia tốc tức thời

Cho chất điểm P chuyển động trên một đường thăng, Š(/) là toa độ điểm P tại

thời điểm 1, Vậy vận tốc trung bình của P trong khoảng thời gian [f,,f,+Ar] là

S(t, + At) ~ S(t)

At

Luận van tốt nghiệp 26

Trang 31

Vận tốc tức thời tai 4, được xác định bằng giới hạn của tỷ số trên khi Ar > 0, tức

là bang đạo hàm của ham quãng đường v(t) = S”(/).

Xét một ví dụ cỏ điển: vật rơi tự do Một trong các nhà bác học lớn nhất thời cỗ

đại Aristotle cho rằng rơi tự đo là chuyển động đều và vật nặng rơi nhanh hơn vật nhẹ

Vi uy tín của ông gần như là tuyệt đối nên học thuyết ấy được thừa nhận trong suốt gần

hai nghìn năm, cho đến thé ki 16 mới bị Galileo bác bỏ và đưa ra quy luật sau: Doan

đường đi của vật rơi tự do tỷ lệ với bình phương thời gian rơi, hơn nữa, hệ số tỷ lệ là chung cho tắt cả các vật.

Vậy nếu coi hướng của vật rơi là hướng âm trên trục thẳng đứng ta có

S=-ft (8>0).

Cho nên vận tốc rơi tự do là y= SE =-2ƒN Công thức này cho thấy vận tốc

không phụ thuộc vào trọng lượng của vật.

Từ đấy ta có gia tốc a =-2/

Từ đây, ta có thể phát biểu định luật Galileo như sau: Gia tốc của mọi vật rơi tự

do đều bằng nhau và là một hằng số =-2/ Người ta kí hiệu g=2/ và

g =980cm./3°.

Dinh luật II Newton và định luật Einstein

Ta biết định luật Newton: Lực # tác động lên vật chuyển động được tính bởi công thức F = ma với m,đ là khối lượng và gia tốc của vật.

Lực cưỡng bức của vật rơi xuống mặt đất được coi là trong lượng Theo định luật Gallileo thì mọi vật rơi tự do đều có cùng gia tốc Ø, vật trong lượng W được tính bởi

công thức W = mg.

Trang 32

Quy luật Newton có thé viết ở dạng đạo hàm F=m=.

Tuy nhiên, đầu thé ki 20, nhà vật lý vĩ dai Einstein phát hiện ra rằng, định luật

trên không đúng đối với các chuyển động có vận tốc lớn Trong lý thuyết tương đối của

Einstein, chuyển động thẳng của vật dưới tác dụng của lực F được biểu diễn dudi

dang phương trình vi phân khác là

F=m,^ ¬ với m,,¢ là khối lượng của vật tĩnh không chuyển động và

o Tốc độ thay đi: trình bay các van dé xoay quanh việc ứng dụng của quy tắc

day chuyên vào sự thayđổi của các hiện tượng tư nhiên, chẳng hạn sự thay đổi thé tích

của một bẻ chứa khi có nước tràn vào,

o Gia trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Trang 33

trong G1.

đưa ra các dạng vô định có thể áp dụng có nhiều ví dụ minh họa hơn

nhất Đồng thời cũng trình bày bài toán tối wu trong kinh tế

tuyến bằng dé thị mà ý tưởng của nó xuất phát từ định nghĩa tổng quát của đạo hàm

o Nguyên hàm: trình bày việc tim lại nguyên hàm của một hàm số từ đạo hàm Khác với G2, G1 trình bay phan này chung với tích phân ở một chương riêng biệt.

— G2 trình bày các phần ứng dụng Vật lý như sau:

Trong phần « Định nghĩa đạo hàm » và « Các quy tắc tính đạo hàm »: G2

trình bảy các bài toán đơn giản vẻ tính vận tốc, gia tốc, mối liên hệ giữa ba đại lượng Vật lý này Chúng tôi tổng quát hóa các bài toán mà G2 nói đến trong phần này như

Sau:

Cho ham số vj tri tai thời điểm t, xác định hàm số vận tốc va gia tốc tai thời điểm t

bắt kỷ, tại thời điểm t=a Xác định đồ thị mô tả hàm số vị trí, vận tốc, gia tốc trên cùng

một đồ thị

Cụ thể, bài toán sau đây sẽ tổng quát những gì chúng tôi vừa đề cập

« Vị trí của một chất điểm khi chuyển động được cho bởi phương trình sau, trong

Trang 34

c Khi nào thì vật ở trạng thái nghỉ ?

d Khi nào vật chuyến động theo chiều dương ?

e Vẽ sơ đồ mỏ tả chuyền động của vật và đồ thị vị trí - thời gian ?

£ Tìm vị trí và quãng đường vật đi được trong Ss dau tiên ?

g Tìm gia tốc tại thời điểm t và sau 4s ?

h Vẽ dé thị vị tri, vận tốc và gia tốc trên cùng một dé thị và nhận xét kết quả ?

— Trong phan « Tốc độ thay đổi »: G2 trình bày cách dé tìm sự thay đổi của đại

lượng này theo đại lượng kia, qua đó nói lên ý nghĩa của kí hiệu Leibnitz 2 cho thay

tính trực quan của kí hiệu nay.

Chúng tôi đơn cử một vài bài toán mà G2 giải quyết:

« Định nghĩa mật độ khối lượng »: Giả sử ta có một thanh kim loại Nếu thanh kim loại là đồng nhất (chỉ cẫu tạo từ một loại vật liệu) thì mật độ khối lượng được định

nghĩa là khối lượng trên một don vị chiêu dài:

Nếu ta chọn đầu bên trái làm gốc, thì khối lượng tại mỗi điểm là một hàm số của

vị trí, nghĩa là m= f(x) với x là khoảng cách tính từ điểm gốc đến điểm bat ki.

Trang 35

Mật độ trong một khoảng (x,,x,) được gọi là mật độ trung bình nên theo định nghĩa tốc độ thay đổi ta có:

Khi ta cho Ax =>0 và thực hiện phép toán giới hạn, thì định nghĩa tốc độ thay đổicho ta khái niệm mật độ tức thời (mật độ tuyến tính) ø tại điểm x là

_ Am dm p= lim——=—.

“+0 Ay de

« Định nghĩa cường độ dòng điện » Khi các electron dich chuyển có hướng thi

tạo thành dong điện Ta xét một đoạn dây dẫn có các electron chuyển động thông qua

một bé mặt thì trong đoạn dây dẫn đó có dòng điện Nếu ta gọi lượng electron (haytổng quát là điện tích) chạy qua bề mặt của dây dẫn là AQ trong khoảng thời gian Ar.

Khi đó, cường độ dòng điện trung bình trong khoảng thời gian đó được định nghĩa là:

I 42 _9,-9

Cũng tương tự như định nghĩa vận tốc, gia tốc va mật độ khối lượng, khi ta xéttrong một khoảng thời gian rit nhỏ nghĩa là cho A/ ->0 thì ta được cường độ dòng

diện tức thời tại thời điểm £ là:

Trang 36

« Sự thay đỗi của đại lượng này phụ thuộc đại lượng kia »Nếu s là điện tích của hình tròn bán kính z va hình tron này

ngảy càng nở rộng ra theo thời gian.

a Hay tim a theo — ?

dt dt

si b Gia sử lượng dầu tran ra từ một tau chở dầu trong

một hình tròn và ngày cảng lan rộng (hình tròn sẽ nở rộng ra) Nếu bán kính lan truyền

của dầu không đổi và bằng | m/s thi tốc độ lan truyền của phần điện tích hình tròn làbao nhiêu khi bán kính lan truyền đạt giá trị 30 m ?

— Trong phần « Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất »: G2 trình bay cách sử dụng đạo ham để giải quyết các bài toán lớn nhất — nhỏ nhất, các bài toán này thường xuyên xuất

hiện trong Vật lý.

— G2 trình bày bài toán « Gia tốc lớn nhất và con tàu không gian phải chịu »

Kính thiên văn vệ tỉnh Hubble là kính thiên văn có chức năng thu nhận thông tin

từ vũ trụ (chẳng hạn hình ảnh) Kính thiên văn Hubble được gắn vào một tàu con thoi

Discovery và được tên lửa bắn lên vào ngày 24 tháng 4 năm 1990 Từ lúc bắt đầu

phóng :~o‹ đến lúc tên lửa rời ra quay trở vẻ Trái đất là tại ¢-126s và kính Hubble tiếp

tục bay vào vũ trụ Vận tốc tại thời điểm + của con tàu trong khoảng thời gian trên

được cho bởi:

v(t)= 0001320” =0,09029/ + 23,61: - 3,083.

(vận tốc v(t) đo bằng đơn vị feet / giây) Hãy sử dụng biểu thức của vận tốc này

ước tính giá trị lớn nhất - nhỏ nhất của gia tốc con tàu từ lúc cất cánh đến khi tên lửa

rời ra ?

Trang 37

— Trong phần « Nguyên hàm »: G2 trình bày cách tìm lại vị trí nếu cho trước

ham số vận tốc cũng như việc tim lại vận tốc nếu cho trước hàm số gia tốc

Một hạt chuyên động trên một đường thang với hàm số của gia tốc phụ thuộc thời gian a(r)=6t+4 Vận tốc tại thời điểm £=0 là v(0)=-6cm/s và vật bắt đầu

chuyên động cách gốc 9 cm, nghĩa la s(0) =9em Hãy tìm ham số của vị trí s(t)?

a Các bài tập toán học và vật lý

& Giáo trình G1: [1]

Nhìn chung, G1 tồn tại các dang bài tập sau:

Xét tính khả vi của hàm số.

Tinh vi phân của một hàm sé

Tìm đạo hàm cấp n và chứng minh đăng thức vi phan

Ung dụng giá trị lớn nhất - nhỏ nhất dé chứng minh bat đẳng thức

Tính giới han bằng quy tắc L’Hospital

Tìm khai triển Taylor — Maclaurin của hàm số

— GI không trình bày các bài tập Vật lý nào.

Giáo trình G2: [8|

o Tìm phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm chỉ ra

99 0 0 8 0Oie)

Luan van tot nghiép 33

Trang 38

o Xét tính khả vi của ham số bằng đồ thị

0 Xác định các dé thị mô tả vị tri, vận tốc, gia tốc của một vật trên cùng một hệ

trục tọa độ.

vật ly cũng chiếm một vị trí nhất định trong hệ thống bài tập).

2.2.3 Một vài kết luậnSau khi phân tích, so sánh giữa hai giáo trình G1, G2, chúng tôi có một số kết

luận sau, và nó cũng chính là câu trả lời cho các câu C, được đặt ra ban đầu

C1: Khái niệm đạo hảm, vi phân được tiếp cận như thế nào giữa hai giáo trình G1

và G2 ? Cách tiếp cận này có giúp sinh viên hiểu được ý nghĩa của khái niệm đạo hàm

hay không ?

Trả lời:

Ở giáo trình G1, không hé có cách tiếp cận hay cách đặt vấn dé nào để dẫn dắt đi

đến khái niệm đạo hàm mà di trực tiếp vào định nghĩa, điều này làm cho sinh viên Vật

lý tiếp cận các khái niệm toán học này gặp khó khăn, không hiểu rõ lịch sử của việc

hình thành đạo ham, trong khi đó, Vật lý — Cơ học mới là môn khai sinh ra giải tích.

Còn G2 thì sử dụng hai hướng tiếp cận đẻ đi đến khái niệm đạo ham G2 sử dụngkhái niệm « tiếp tuyến » (trong Toán học) là giới hạn của độ dốc cát tuyến và « vận tốctức thời » (trong Vật lý) là giới hạn của vận tốc trung bình dé đưa ra loại giới hạnchung rồi tiếp theo mới định nghĩa giới hạn đó chính là đạo hàm Diéu này giúp sinh

Trang 39

viên hiểu được nguồn gốc của việc hình thành đạo hảm, từ đó sẽ tạo được hứng thú khi

học.

C2: Hai giáo trình G1 và G2 định nghĩa đạo ham, vi phân như thé nao ? Có mấy

cách đẻ định nghĩa đạo ham ? Liệu cách định nghĩa như vậy cỏ giúp sinh viên biết cáchứng dụng nó trong các ngành khoa học khác hay không ? Có mối quan hệ nảo giữa hai

khái niệm vi phân và tích phân?

Tra lời:

Giáo trình G1 chỉ định nghĩa đạo hàm bằng giới hạn của tỷ số = khi Ax => mà

không có hẻ có giải thích gì về tỷ số nảy, chỉ là khái quát lại ở phổ thông, cách định

nghĩa này đã làm mất di tinh trực quan của khái niệm đạo hàm Ở phê thông, học sinhchỉ gặp các bài toán tính đạo hàm bằng các kỹ thuật đã được chứng minh sẵn, cũngkhông hé gặp các bài toán tính đạo ham bằng định nghĩa, nên việc trinh bày khái quátnhư vậy cảng làm cho sinh viên mập mờ, khó hiểu khi gặp đạo hàm Từ đó dẫn đến

việc sinh viên không biết cách ứng dụng nó thế nào trong Vật lý.

Giáo trình G2 đưa ra hai cách định nghĩa khái niệm đạo ham bằng việc đặt tên cho

loại giới hạn đã gặp khi trình bày ở khái niệm tiếp tuyến và vận tốc và G2 cũng dùng kíhiệu # thay cho Ax, điều này cũng có thể hiểu G2 muốn đơn giản hóa van dé bởi lẽ kí

hiệu Ax có thé gây khó khăn trong việc tiếp cận khái niệm đạo hàm Cũng bởi vì G2 đi

định nghĩa đạo hàm bằng cách tiếp cận vận tốc nên sau đó, G2 trình bày các vấn dé áp

dụng đạo hàm trong Vật lý sẽ làm cho sinh viên dễ dàng thông hiểu hơn.

Còn về ý Có mối quan hệ nào giữa hai khái niệm vi phân và tích phân?, ching tôi

sẽ trả lời sau khi phân tích phần Tích phân bên dưới

Trang 40

C3: Hai giáo trình này có dé cập đến việc ứng dụng của dao ham trong Vật lý hay

không ? Nếu có thì trình bay ra sao, việc trình bày như vậy có giúp cho sinh viên biếtcach áp dụng đạo ham để giải các bài toán Vật lý ? Hệ thống bai tập nao được ưu tiên

và việc nêu ra các bai toán Vật lý được tiếp cận như thé nao ?

Trả lời:

Qua những phân tích trên, rõ rằng G1 chỉ dé cập đến một phần nhỏ ứng dụng của

Vật lý và chỉ mang tính chất giới thiệu, thong báo, không hè có bai tập ứng dụng nào

cụ thẻ Chính sự thiếu sót này đã làm cho sinh viên gặp khó khăn trong việc học đạo

ham cũng như dùng nó để mô tả các khái niệm Vật lý dẫn đến hệ quả là việc tiếp cậncác môn Vật lý tiếp theo Việc trình bay hệ thống bài tập chỉ chú ý đến việc lam todn

mà không chu ý đến ý nghĩa thực sự của đạo hàm Hơn nữa, trong nhóm G1 chi có [3]

là trình bay hệ thống bài tập toán đa dạng với nhiều ví dụ mẫu, nhưng cũng mắc một

khuyết điểm là trình bày thiếu sự diễn đạt, giải thích ý nghĩa

Còn trong G2, rõ ràng việc ứng dung của đạo hàm trong Vật ly được đầu tư nhấtđịnh, từ việc tiếp cận đến định nghĩa và áp dụng, làm cho sinh viên hiểu được bản chất

thực sự cũng như tinh trực quan, sinh động của khai niệm đạo hàm không chi dùng để

mô tả đại lượng Vật lý ma còn được sử dụng trong mọi ngành khoa học khác Còn về

hệ thống bài tập, bài tập Toán và Vật lý được xen kẽ nhau và xuất phát từ những bài

tập rất đơn giản, làm sao cho người đọc dễ hiểu nhất Bên cạnh đó, G2 cũng thiếu một

số bai tập tính toán nâng cao để sinh viên luyện tập.

C4: Cách trình bay, hình anh có được G1, G2 chú trọng ? Việc trình bay như vậy

có tác động ra sao đến việc dạy — học của giảng viên cũng như sinh viên ?

Trong Gl, các tác giả chỉ trình bay ở mức độ cung cấp thông tin nên việc minhhọa bảng hình ảnh, đầu tư mau sắc, cách chọn phông chữ cùng còn hạn chế lam chogiáo trình trở nên nghéo nan, nhằm chán, không gây hứng thú cho người đọc Điều nay

Tiêu đề	Cấu Trúc Lại Phần Đạo Hàm - Tích Phân Và Xây Dựng Mẫu Chương Đạo Hàm Cho Giáo Trình Giải Tích 1 (Phần 1)
Tác giả	Bùi Quốc Long
Người hướng dẫn	TS. Dương Minh Thành
Trường học	Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh
Chuyên ngành	Toán Lý
Thể loại	Khóa luận tốt nghiệp
Năm xuất bản	2015
Thành phố	Thành phố Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	177
Dung lượng	41,23 MB

Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Cấu trúc lại phần đạo hàm - Tích phân và xây dựng mẫu chương đạo hàm cho giáo trình giải tích 1 (Phần 1)

Phan tích giáo trình Bùi Quốc Long

Phân tích giáo trình Bùi Quốc Lon