Phan | của Định lý này cho chúng ta dao hàm của ham Fresnel S'(x) = sin =)ax’
Điều đó có nghĩa là chúng ta có thé áp dụng tat cả phương pháp của phép tinh vi phân
dé phân tích s.
Hình 37 cho ta đồ thị của /(x)=sin(zx°/2) và hàm số Fresnel S(x)= [ˆ f()#.
Máy tính được sử dụng để tính giá trị của tích phân với mọi giá trị của x. Nó giống như S(x) là diện tích nằm dưới dé thị của f từ o đến x. { cho đến x*l,4 khi S(x) trở thành hiệu số của các diện tích]. Hình 39 cho thấy phần đồ thị lớn hơn của s.
Ham sé Fresnel
fix)= sin(wx?/2)
Six) = [ sa(=r72)4 Six = (* sin arr*/2) dt
Hinh 39 Hinh 38
Nếu bây giờ chúng ta bắt đầu với đồ thị của S trong Hình 38 và nghĩ về đạo hàm của nó sẽ trông như thé nào, điều đó đường như hợp lý, đó là S'(x)= f(x). [Ví dụ, S
tăng khi f(x)>0 va giảm khi ƒ(x)<0]. Vì vậy, điều đó cho ta một sự xác nhận của
Phan | Định lý cơ bản của giải tích.
Ví dụ: Két hợp Quy tắc day chuyển Phần ! - Dinh lý cơ bản của giải tích.
Tính coll sect dt,ác 1
Luan van tốt nghiệp 106
Chương 2: Phân tích giáo trình Bùi Quốc Long
Chúng ta nên cẩn thận khi sử dụng Quy tắc dây chuyền kết hợp Định lý cơ bản của giải tích — phần 1. Đặt u=x* , do đó
fff xete=-< ["sôta
= h [ ƒ=e] mm Quy tắc dây chuyền
du Dinh ly co ban |
ea
= sec(x*) + 4x’
Vi phân va tích phân là hai quá trình ngược nhau
Bây giờ chúng ta gộp hai phần của Định lý cơ bản lại với nhau. Chúng ta chú ý Phần 1 như là cơ bản bởi vì nó thể hiện mối liên hệ giữa phép tính vi phân và phép tính tích phân. Nhưng Định lý tính tích phân (Evaluation Theorem) cũng thể hiện mối quan
hệ giữa tích phân va đạo hàm, vì vậy chúng ta có thé đặt lại tên cho Định lý tính tích phân như là Phần 2 của Định lý cơ bản của tích phân.
ô Dinh lý cơ ban của giải tớch — phần 2
Giả sử ƒ liên tục trên {a,b}.
1. Nếu g(x) = [” f)át thì g(x)= f(2).
2. [[ƒ@04=F(ð)—F(a), với F là nguyên hàm bat kỳ của ƒ, nghĩa là
Chúng ta chú ý rằng Phần 1 có thé được viết lại “fi fot = f(x) và có thé phát
biểu rằng Nếu lấy tích phân hàm f rồi lấy đạo hàm kết quả đó thi chúng ta được lại
hàm f . Chúng ta viết lại Phần 2: [” F”(x)= F(b)- F(a).
Luận văn tốt nghiệp 107
Chương 2: Phân tích giáo trình Bùi Quốc Long
Phát biểu: Nếu ta có hàm số F , đầu tiên chúng ta lấy đạo hàm hàm số F, và sau đỏ lấy tích phân kết qua đó, chúng ta có lại hàm số F nhưng ở dạng P(b)—F(a). Đi kèm với nhau, hai phần của Định lý cơ bản của giải tích nói rằng phép tinh vi phan và
phép tính tích phân là hai quá trình ngược nhau..
Định lý cơ bản của giải tích là những định lý quan trọng nhất của giải tích và không thé nao tranh cãi được, va thật vậy, nó là một trong những thành tựu to lớn của tâm trí con người. Trước khi nó được tìm ra, từ thời của Eudoxus và Archimedes đến thời của Galileo và Fermat, van dé tìm diện tích, thé tich và chiều dài của đường cong
rất khó khan ma chỉ có thiên tài mới đáp ứng được các thách thức đó. Nhưng hiện tại, được trang bị bằng các phương pháp có hệ thống, Newton và Leibniz fashioned out of
Định lý cơ bản, chúng ta sẽ thấy trong các chương đi đến các vấn đề thách thức mà chúng ta đều có thẻ tiếp cận được.
2.32 Phan bài tập
Trong khuôn khô luận văn này, chúng tôi chưa đủ thời gian dé phân tích hệ thong bai tập của phan Tích phân.
23.3 Một vài kết luận
Cũng như phần phân tích đạo hàm, sau khi phân tích, chúng tôi tiến hành trả lời các
câu hỏi đã được đặt ra:
C1: Khái niệm nguyên hàm, tích phân được tiếp cận như thế nào giữa hai giáo trình G1 va G2 ? Cách tiếp cận này có giúp sinh viên hiểu được ý nghĩa của khái niệm tích
phân ?
Như đã phân tích, khi mở đầu chương Tích phân, đối với phần Nguyên ham và Tích phân bat định, G1 không hề dẫn đắt mà trực tiếp đi vào định nghĩa. Trong phan Tích phân xác định, G1 dẫn dắt bằng bài toán hình thang cong dé đi đến định nghĩa tích
Luận văn tot nghiệp 108
Chương 2: Phân tích giáo trình Bùi Quốc Long
phân. Nhưng nói chung, G1 dẫn dat quá phức tạp, đi sâu vảo kí hiệu mà lại không chú trọng vào việc giải thích, điều này rất khó đối với việc tiếp cận của sinh viên Vật lý.
Trong các phan nguyên ham, tích phan, G2 đều có dẫn dắt bằng một lời giới thiệu hay một bài toán rồi mới đi vào định nghĩa. Đối với việc tiếp cận các khái niệm này, chúng ta có một chú ý vé cách sắp xếp trình tự khái niệm của G1 và G2 khác nhau. . GI trình bay khái niệm tích phan bat định sau phan nguyên ham, còn G2 thì trình bày phần này sau khi định nghĩa tích phân xác định.
Qua việc trả lời câu Cl, chúng tôi nhận thấy việc tiếp cận của G2 giúp cho sinh viên có cái nhìn tổng quát, hiểu được các ý tưởng của việc xây dựng khái niệm tích phan. Tir đó, có thể làm cơ sở hiểu được các phan tiếp theo của tích phân.
C2: Hai giáo trình G1 và G2 định nghĩa tích phân như thế nào ? Có mấy cách để
định nghĩa tích phân ? Liệu cách định nghĩa như vậy có giúp sinh viên biết cách ứng dụng nó trong các ngành khoa học khác hay không ? Có mối quan hệ nào giữa hai khái
niệm vi phân và tích phân?
Nhin chung, G1 và G2 đều đưa ra định nghĩa tích phân như nhau. Nhưng so sánh về
hình thức thì G1 trình bày phức tạp hơn G2, G2 thi chủ trọng vào việc giải thích và lưu
ý một số trường hợp. Một điều đáng nói là chúng tôi tìm hiểu định nghĩa tích phân
trong Sách giáo khoa Giải tích 12 — tác giả Trần Văn Hạo làm Tổng chủ biên, sách này
đi định nghĩa đạo hàm bằng công thức Newton — Leibnitz và G1 không có một ví dụ nào đẻ tính tích phân bằng định nghĩa, điều nảy đã làm cho sinh viên đồng nhất giữa
Định nghĩa Tích phân xác định với Định lý tính tích phân, làm mắt đi ý nghĩa thực sự
của Tích phân.
Bên cạnh đó, G1 và G2 cũng trình bảy tương đối đầy đủ các kỹ thuật tính Tích phân
bất định và xác định. Nhung Gi trình bày lại tổng quát hơn G2 ở những trường hợp
Luận văn tôt nghiệp 109
Chương 2: Phân tích giáo trình Bùi Quốc Long
tổng quát bắt kỷ. Còn G2 đặt ra bài toán cụ thé rồi trình bày từng kỹ thuật giải quyết tương ứng, nhưng khuyết điểm lại thiếu đi phần tổng quát.
Để trả lời câu hỏi Mối liên hệ giữa vi phân và tích phân, G1 và G2 trình bay tương
tự như nhau, đều nói lên được cách định nghĩa một hàm số vả cách tính tích phân bằng
công thức Newton — Leibnitz, chứng tỏ được vi phân và tích phân là hai quá trình
ngược nhau.
Do chúng tôi chưa phân tích phần Ứng dụng tích phân trong Vật lý cũng như Hệ thống bải tập, nên chúng tôi chưa thể trả lời câu hỏi C3 và C4.