$={ự,ylla&x&<b,0& y< fix}
Hinh 10
— Dé thực hiện ý tưởng này, G2 minh họa bằng Ví dy như sau:
Vi dụ 1: Ước tính diện tích Sử dung các hình chữ nhật dé ước tính diện tích nằm
dưới parabol y =x từ 0 đến \ (miền S thuộc parabol được minh hoạ trong Hình
L1).
Đầu tiên chúng ta chú ý đến diện tích của S ở chỗ nằm giữa 0 va | bởi vì S chứa trong một hình vuông có cạnh là 1, nhưng chúng ta chắc chắn rằng có thé làm tốt hơn thế.
Chương 2: Phân tích giáo trình Bùi Quốc Long
Giả sử chúng ta chia s thành 4 dai S,,S,,S,,S, bằng các đường thẳng
; như trong Hình 12.
1 1 x=
x=-,x=~,
a 2
Chúng ta có thẻ lay xắp xi mỗi dai là một hình chữ nhật ma đáy của nó như là một
dai và chiều cao như là một cạnh phải của dải như Hình 13.
Mat khác, chiều cao của những hình chữ nhật là giá trị của hàm số f(x) = x` tại
các điểm cuối bên phải của những khoảng con for es esha]:
2 2 2
Mỗi hình chữ nhật có chiều rộng : và chiều cao (3) (3) (3) ,!Ÿ. Nếu ta gọi
R, là tổng của điện tích những hình chữ nhật xắp xi thì ta có:
2 2 2
R, z5) 2} +3(3} +4 p= _ 0,46875.
4\4) *4\2) *4\4J *4ˆ T3
Từ Hình 13 ta thấy diện tích A của S nhỏ hơn R,, vi vậy: A<0,46875.
Thay vì sử dụng các hình chữ nhật của Hình 13, chúng ta có thể sử dung các hình
chữ nhật nhỏ hơn trong Hình 14 mà chiều cao của nó là những giá trị của hàm / tại các điểm cuối bên trái của các khoảng con (Hình chữ nhật tận cùng bên trái được thu
nhỏ lại bởi vì nó có chiều cao bằng 0). Tổng của diện tích các hình chữ nhật xắp xi là
2 2 2
⁄=0+2x) +2] +1(3) =~ =0,21875.a ala) *4\7) ”4\4J "3
Chúng ta thấy diện tích của $ lớn hơn L,, vì vậy chúng ta có ước tính nằm trong
khoảng 0,21875< A <0,46875.
Luận văn tot nghiệp 47
Chương 2: Phân tích giáo trình Bùi Quốc Long
Chúng ta có thé lặp lại quá trình này với một số lượng lớn các dải. Hình 14b cho thấy điều gì xảy ra khi chia miền S thanh 8 dai rộng bằng nhau.
Hình 14
Bang tính toán tổng của diện tích các hình chữ nhật nhỏ hơn (/„) và tổng của
những hình chữ nhật lớn hơn (R,), chúng ta có được ước tính cho điện tích A trong
khoảng 0,2734375 < 4< 0,3984375.
Vi vậy, có thể trả lời cho câu hỏi khi nói rằng diện tích đúng của $ nằm trong
khoảng giữa 0,2734375 va 0,3984375.
Chúng ta có thể có được ước tính tốt nhất bằng cách tăng số các đải. Bảng sau cho ta thấy kết quả của cách tính tương tự (sử dụng máy tính) với hình chữ nhật mà có chiều cao được lấy với các điểm tận cùng bên trái ( L„ ) và các điểm tận cùng bên phải ( R, ). Lấy một vi dụ, chúng ta thấy khi sử dụng 50 dai thì diện tích nằm giữa 0,3234 và
0.3434, Với 1000 dai chúng ta thu hẹp nó xuống hơn nữa: A nằm giữa 0,3328335 và 03338335. Giá trị ước tính tốt nhất có thẻ lấy trung bình và A = 0,3333335,
Luinvintétnghiép 8 © 43
Chương 2: Phân tích giáo trình Bùi Quốc Lon
02850000 | 03850000 03087500 | 03537500
Từ những giá trị trong bang trên, có vẻ như nếu #, tiến đến ; khi „ tăng.
— Dé xác nhận chính xác diện tích, G2 lập luận trong Ví dụ tiếp theo.
Vi du 2. Với miền s trong ví dy 1, tổng của những diện tích của hình chữ nhật xắp xi trên tiến đến
Ì _ nghĩa là limR, = +.
Ẩ, la tổng của những diện tích của n hình chữ nhật trong Hình 15. Mỗi hình chữ nhật có chiều rộng
Hình 15 1/n và chiều cao là những giá trị của hàm số
ƒ(Jzx” tại các điểm l/n,2/n3/n..mín, nghĩa là chiều cao là
(1/n) ,(2/n) ,(3/n)Ÿ ,....(n/ n}Ÿ . Do đó,
me —s(P +2? +3? +. + `)
=(P +2? +3? +...+?),
Đến đây, ta cần công thức tính tông bình phương của z số nguyên dương,
Luận văn tôt nghiệp 49
Chương 2: Phân tích giáo trình Bùi Quốc Long
1+2‡:+3?+.+a _ủõnt 2n +
6
Do đú ẹ, =f ere = et Da) n 6 6n°
Và ta có
limR, = tim +t DGn+)) =2)
a lường 6n noe n n
Điều đó cho ta thấy tong gan đúng tiến đến - nghĩa là limZ, = š ;
Hình 16 cho ta thấy, khi z tăng, cả hai /„ và R, trở nên xấp xỉ tốt hơn diện tích của miền S. Do đó chúng ta định nghĩa diện tích A là giới han của tổng của những
điện tích các hình chữ nhật xắp xi, nghĩa là 4= lim, = lim/„ =;
"
| seme (,^9004
Hinh 16
Luan van tot nghiép 50
Chương 2: Phân tích giáo trình Bùi Quốc Long
Chúng ta hãy áp dụng ý tưởng của vi dụ | và 2 một cách tổng quát hơn cho miền
$ trong hỡnh 11. Chỳng ta bắt đầu phõn chia s thành ứ dải SŠ,,S...$_ cú chiều rộng bằng nhau như trong Hình 17.
Chiều rộng của khoảng [a,b] là b~a, vì vậy chiều rộng của mỗi dải là
Hình 17
Phân chia khoảng [a,b] thành n dải con [x,,x,]|,[x,.x;][x;.x,}....[x„,xV} với
xạ =a và x, =b. Điểm tận cùng bên trái của các dải con là
x =a+Ax, x,=đ+2Ary, x, =a+3Ax,
Hãy lấy x4p xi của i dai S, bằng hình chữ nhật với chiều rộng Ax và chiều dai
(x,). với giá trị của ƒ tại các điểm tận cùng bên phải (Hình 18). Do đó diện tích của
hình chữ nhật thứ i là ƒ(x,)Ax. Bằng trực giác, chúng ta nghĩ rằng diện tích của s xắp
xi bằng tổng của diện tích các hình chữ nhật:
R, = f(x Art f(x Art ƒ(x,)Ax.
Luan van tot nghiép 51
Ch 2: Phân tích giáo trình Bùi Quốc Lon
Hình 18
Hình 19 cho thấy sự xắp xi với m = 2, 4, 8, 12. Chủ ý rằng sự xắp xi xuất hiện tốt
hơn với số dải tăng, hay là ứ =>. Do đú, chỳng ta định nghĩa diện tớch A của miền
$ bảng cách sau
Hình 19
— Sau đó, G2 đưa ra định nghĩa về diện tích
ô Định nghĩa điện tớch
Diện tích A của miền § nằm dưới dé thị của hàm số liên tục J là giới hạn của tổng của những hình chữ nhật xdp xi:
A=limR, =lim[ f(x,)Ax+ ƒ(x,)Ax +...+ /(x,)Ax] ằ.
Vấn đề quãng đường
— G2 đặt ra bài toán tính quãng đường đi được của xe.
Luận văn tot nghiệp 52