Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Sự hình thành dao động sóng mật độ của ngưng tụ Bose – Einstein trong bẫy điều hoà ba chiều

Các phương pháp khác nhau dé tạo sóng mật độ đã được dé xuất, tiêu biêu có thé kê đến là thay đôi cường độ tương tác giữa các hạt hoặc tạo các bay điều hòa dao động gây nên bien động lượ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRUONG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ

MAI HÀ PHƯƠNG UYÊN

Dé tai

SU HINH THANH DAO DONG SONG MAT DO CUA

KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC

Thanh phố Hồ Chí Minh, 05 - 2024

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

KHOA VAT LÝ

MAI HA PHUONG UYEN

Đề tài

SỰ HÌNH THÀNH DAO ĐỘNG SÓNG MẬT ĐỘ CỦA

NGUNG TU BOSE - EINSTEIN TRONG BAY DIEU HOA BA CHIEU

Thuộc tô bộ môn: Vật lý lý thuyết

KHOÁ LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HỌC: PGS TS PHAM NGUYEN THÀNH VINH

Thành phố Hồ Chi Minh, 05 - 2024

LỜI CẢM ƠNQuá trình thực hiện khóa luận đối với tôi phải trải qua rất nhiều khó khăn Dé hoàn

thiện được khóa luận, tôi đã nhận được nhiều sự động viên, giúp đỡ, hướng dẫn định hướng

tôi trong suốt quá trình nghiên cứu Do đó, tôi xin gửi đến mọi người lời cảm ơn chân thànhnhất thông qua khóa luận này

Pau tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS TS Phạm Nguyễn Thanh Vinh đã

tận tình hướng dẫn và định hướng cho tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện

khóa luận.

Tôi xin chân thành cảm ơn đến quý Thay Cô khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm

Thành phô Hồ Chí Minh đã truyền đạt những kiến thức, kinh nghiệm trong suốt quá trình

theo học tại trường.

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến chị Lê Ngọc Uyên, anh Lê Binh Hiểu và các thành viên trong nhóm nghiên cứu AMO đã hỗ trợ và tạo động lực cho tôi trong suốt quá trình học tập

tại trường cũng như trong quá trình làm khóa luận.

Cuối cùng, tôi vô cùng biết ơn gia đình đã luôn tin tưởng, động viên và tạo điều kiện

đẻ tôi tập trung học tập và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp tại trường Đại học Sư phạm Thành pho Hồ Chi Minh.

MỤC LỤC

DANH MỤC KỶ HIỆU VÀ CHỮ VIET TAT scscccsscsscssscssseossussosesosssosesvsevesevesscessevnncesiors iDANH MỤC HÌNH VỀ ssssscsssassssosssasssscsssansascssssassssnsssanssavsssanssansssassssasssansasanssnsasssnassoassanss ii

MÔ BAU \ sssssssssssssssssccenstcenassnouesssnvussa eves ssnausasassaeasncuusissocusnsisasasssnseasassuctnstvnaasasanasaisssatansinass 1

CHƯƠNG 1 CƠ SỜ LÝ THUV ET osassssssssccscsssssssssccssssssssssscccssssssssccscssssssssssccssssssssscsasess 3

1.1 Ngưng tụ Bose — Einstein cho khí lý tưởng àc scnhhenerrree 3 1.2 Phương trình Gross — Pitaevskii m6 tả ngưng tu Bose — Einstein 6CHƯƠNG2.FHU0NG EHAFTINH TOA sssssssssssssssssssscsssssssassssssssnsssssssasssisssasasasssice 9

2.1 Phương pháp thời gian ảo - - HH HH Hán 0k 10

2:2: |PhWOng pháp (ách:LOÁNẲl: : :-:::::c:i:cscicnstietiiesg1211531522311351213112513235565552555536558 II 2.3 Thuật toán biến đôi Fourier nhanh 5c 1 11c 2112112111211 1121111 yC 13

CHƯƠNG 3 KET QUA NGHIÊN COU wssssccssssssssssssssssssecsssccssssnsssssssseeeseecccsssnsssssssee 15

3:I, Trang thatico ban củaIBE scsssssisssssessssssssasssssssassvoesssssveasssesveassveaveosssvaseeasasess0e 15

3.2 Động lực hoc BEC khi thay đôi tần số hàm thé cece ccc ccssesseesseessessseenees l6

3.3 Động lực học BEC khi thay đôi cường độ tương tác -. -2- 18

3.4 Động lực hoc BEC khi thay đôi đồng thời hàm thé va cường độ tương tac 20KET LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN - -o «csc<sccssscosseoee 25PATEL THAM KH Ô qua ggganggỹĩ ng ga, ng ghi gu tu iapdoraaiaaaaoaaao: 26

Gross — Pitaevskii (equation) (Phương trình) Gross = Pitaevskii

Fast Fourier Transform Biên đôi Fourier nhanh

Trang thai cơ bản của hệ BEC HH2 ng ưu l6

Sự thay đôi mật độ của hệ BEC theo thời gian trong mặt phang x - z

khi thay đôi tần số hàm thể -.-52 522222222 21221122 1211211 21 21002100222 17

Sự thay đôi mật độ của hệ BEC theo thời gian trong mặt phang x — z

khi thay đổi cường độ tương tác 2-22222222 22x cEkcvvrcrrrrrrrrrrrrsrree 19

Sự thay đổi mật độ của hệ BEC theo thời gian trong mặt phẳng x — ykhi tần số hàm thé điều hoà ø' (1) = «%, (1+ 0.05sin(t0/3ax:))

và cường độ ắ = Be 2sin(2z 2g độ tương tác g, (r) = 79 (t+ 0.02sin (20,4) 3eI0241380308810238922g0E28074823 21

Sự thay đổi mật độ của hệ BEC theo thời gian trong mặt phang x — ykhi tần số hàm thé điều hoà @ (1) = ø„ (1+ 0.05sin(10V3e%,))

§ —.-ã x Ề Là ,

và cường độ tương tác ø, (:)= 535 (1 +0.02sin(20%,r}) Ta 22

Sự thay đổi mật độ của hệ BEC theo thời gian trong mặt phang x — y

khi tan số hàm thé điều hoà ø; (+) = ø/„ (1+0.05sin(10V30%,r))

và cường độ tương tác g,(t)= #'(L+0.02sin(2ø/z)) 24

MỞ DAU

Ngưng tu Bose — Einstein (BEC) là hiện tượng xảy ra khi một hệ gom các boson

được làm lạnh ở nhiệt độ rất thấp (khoảng dưới 10 K) Khi phan lớn các hạt ton tai ở trangthái có mức năng lượng thấp nhất (trạng thái cơ bản), tính chất sóng của các boson chiếm

ưu thế Dựa trên trường trung bình, hệ các boson có thê được mô tả bằng một hàm sóng

duy nhất Nghiên cứu lý thuyết về BEC có ý nghĩa sâu sắc trong vật lý, như cung cấp nêntang dé nghiên cứu về vật chất ngưng tụ trong thế giới vi mô và khám phá các hiện tượng

siêu long, siêu dẫn Ý tưởng ban đầu vẻ hiện tượng này được đưa ra bởi Albert Einstein

vào năm 1925 sau khi tham khảo công trình nghiên cứu của nhà vật lý người An Độ

-Satyendranath Bose [1] Năm 1995, nhóm nhà vật lý người Mỹ Eric Cornell, Carl Wieman

lần đầu quan sát được BEC khí làm lạnh hệ nguyên tử Rubidium (°’Rb) [2], và sau đó hiệntượng này tiếp tục được phát hiện trên nguyên tử của đông vị Sodium bởi nhóm nghiêncứu người Đức Wolfgang Ketterle [3] Thí nghiệm đã xác nhận tinh đúng đắn của các dựđoán lý thuyết về BEC của Bose và Einstein trước đó Với những đóng góp trên cả ba nhà

khoa học Eric Cornell, Carl Wieman và Wolfgang Ketterle được vinh đanh và trao giải

Nobel năm 2001.

Từ đó đến nay, đã có rất nhiều nghiên cứu lý thuyết cũng như thực nghiệm về BEC

được céng bó, chăng hạn như việc hình thành self-bound giọt lượng tử, sự bat ôn định

Rosensweig, hay quá trình ngưng tụ phân cực sóng mật độ [4]-[7] Các nghiên cứu trên đều xoay quanh sự hình thành sóng mật độ và quá trình chuyền pha của BEC Các phương

pháp khác nhau dé tạo sóng mật độ đã được dé xuất, tiêu biêu có thé kê đến là thay đôi

cường độ tương tác giữa các hạt hoặc tạo các bay điều hòa dao động gây nên bien động

lượng tử [8] Dựa trên lý thuyết trường trung bình, sự hình thành và phát triển của sóngmật độ của hệ BEC được mô tả bằng việc sử dụng phương trình Gross = Pitaevskii (GP),dưới sự điều chỉnh tương tác giữa các hạt và điều kiện của bay điều hòa được đặt vào [9]

Một trong số những bài toán nên tảng trong việc nghiên cứu sóng mật độ là phântích sóng Faraday trong BEC Khi gia tốc các phan tử vật chất (cô điển) dao động theo mộtphương nhất định các dang sóng cơ học trên bẻ mặt chất lỏng được gọi là sóng Faraday,

lần đầu được khám phá bởi Michael Faraday vào năm 1831 [10] Hiện tượng này đã va

đang được nghiên cứu, ứng dụng trong lĩnh vực khoa học cơ ban vả ki thuật [11]-{13].

trong BEC cả về lý thuyết và thực nghiệm [ 14] [15] Ngoài việc kích thích hệ BEC theo

phương thăng đứng, việc truyền dẫn dao động theo sóng ngang cũng tạo nên các mode đao

động trên bé mặt chat lỏng như nghiên cứu được công bố gan đây bởi nhóm nghiên cứu tại

Nhật Ban [16] Tuy nhiên việc kết hợp cùng lúc hai mode dao động bằng cách thay đôi

tan số của hàm thé va thay đổi tương tác din đến sự cộng hưởng đao động và hình thànhnên giao thoa giữa sóng bờ và sóng Faraday vẫn chưa được chú ý đến trong khuôn khổ hệ

hạt ngưng tụ Bose ~ Einstein.

Với những đánh giá nêu trên, chúng tôi thực hiện đề tải “Sự hình thành dao độngsóng mật độ của ngưng tụ Bose - Einstein trong bẫy điều hoà ba chiều" với mục đích

nghiên cứu điều kiện kết hợp các mode đao động hình thành sóng mật độ trên BEC Nội dung khoá luận gồm 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lý thuyết: trình bày về hiện tượng BEC đối với khí lý tưởng có nộitương tác dựa trên lý thuyết thông kê và phương trình GP mô tả hệ BEC

Chương 2 Phương pháp tính toán: trình bày về phương pháp tính toán giải số

phương trình GP mô tả hệ BEC một thành phần

Chương 3 Kết quả nghiên cứu: trình bày về kết quả mô phỏng hệ BEC trong thế

điều hòa ba chiều, sau đó khảo sát các mode đao động khác nhau Cudi cùng chúng tôi kết

hợp hai mode dao động và tiễn hành khảo sát sự thay đôi của sóng mật độ của BEC trong

thé điều hòa ba chiều

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYET

Chương này trình bày các lý thuyết cơ bản trong vật lý thông kê đối với hiện tượng

BEC cho hệ khí lý tưởng lượng tử và phương trình GP mô tả hàm sóng của hệ BEC có nội tương tác Day là hai cơ sở về lý thuyết vật lý được sử dung xuyên suôt khóa luận này.

1.1 Ngưng tu Bose — Einstein cho khí lý tưởng

a Hiện tương ngưng tu Bose — Einstein

BEC là trạng thái vật chất đặc biệt xuất hiện khi hệ boson được làm lạnh đến nhiệt

độ cực thấp, gần băng độ không tuyệt đối Ở điều kiện này, hau hết các boson trong hệ đều

chiếm đóng cùng trạng thái có mức năng lượng thấp nhất, dẫn đến sự xuất hiện của các

hiện tượng lượng tử vi mô độc đáo Sở di hiện tượng trên chỉ đặc trưng cho hệ khí bose là

vì các hạt bose không tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli như các hạt fermi Trong khi các

[ermion ở nhiệt độ cực thấp sẽ được xếp tuần tự theo các mức năng lượng từ thấp đến cao,

các boson lại có thé tập trung và tôn tại trong cùng một trạng thái, tạo nên tính đồng nhấtcao, khác biệt so với các trạng thái vật chất thông thường Một minh họa về cơ chế ngưng

tu Bose — Eintein có thé được tìm thấy trong [17] (xem Hình 1.1).

Hình 1.1 Sơ đồ mô tả cơ chế ngưng tụ Bose — Einstein [17] (a) Tĩnh chất hạt của các hạt

trong hệ: Các hạt có vị trí và xung lượng xác định (b) Tính chất sóng của các hạt trong hệ: Các hạt

được xem như các bó sóng (wave packets) có kích thước được đặc trưng bởi bước sóng nhiệt

de Broglie A,, (c) Khi nhiệt độ hạ thấp, tinh chất sóng trở nên nôi trội, bước sóng nhiệt de

Broglie lớn hơn nhiều so với khoảng cách tự do trung bình giữa các hạt (đ) Ở gần 0 K, các hạt có

chung một hàm sóng duy nhất gọi là ham sóng vĩ mô W“(r,)

3

b Cơ sở vật lý thông kê của ngưng tụ Bose — Einstein

Xét hệ boson lý tưởng không tương tác ở trạng thái cân bing nhiệt động với thé hoáhọc zz Ở nhiệt độ tuyệt đối 7 bat kì, số hạt trung bình ở trạng thái E tuân theo thống kêBose — Einstein với biéu thức của hàm phân bố Bose — Einstein là

To 1

f(E)= yar (1.1)

trong đó k là hằng số Boltzmann Từ đó tông số hat của hệ là tông của hàm phân bồ theo

N=) f(E,) (1.2)

Ngoài ra, tông số hạt N còn có thé được tính thông qua hàm mật độ trang thái g (E) mang

tat cả các mức năng lượng khả di

ý nghĩa là số trạng thái kha di ứng với mức năng lượng E

Vì các hạt bị giới hạn trong không gian có thê tích V nên động lượng bị lượng tử

Vậy số trạng thái có mức năng lượng từ đến E+dE hay ham mật độ trạng thái ứng

với mức năng lượng có biểu thức là

dN 2m =

E <p V E i

Khi số lượng hạt N đủ lớn và xét mức năng lượng thấp nhất £,,,, = 0 Khi này số hat trong

trạng thái kích thích được xác định như sau

N=[7(E)s(E)đE 4)

4

Nhiệt độ chuyên pha hay nhiệt độ tới hạn 7c được xác định là nhiệt độ cao nhất mà

tại đó trạng thái có năng lượng thấp nhất xuất hiện, tất cá các hạt đều đạt trạng thái đó(trạng thái cơ bản) Số hạt trong trạng thái kích thích tại nhiệt độ T <T¿ đạt giá trị lớn nhấtkhi thé hoá học ¿ =0 nghĩa la

Khi xét tại nhiệt độ tới hạn 7 tất cả N hạt đều dat trạng thái kích thích Do đó, tông

số hạt N còn có thê được tính bằng cách thay T =T- trong biéu thức (1.10)

Đối với khí lý tưởng đồng nhất, không tương tác trong không gian ba chiều, hiện tượng

BEC xảy ra khi nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ tới hạn T, [18].

Các phương trình (1.12), (1.13), (1.14) cho ta biết thông tin về số hạt đạt cùng mộttrạng thái tại điều kiện nhiệt độ nhất định Trong lý thuyết và thực nghiệm, khi hệ boson

đạt được nhiệt độ rất gan 0 K (cu thé là dưới 10° K trong các thí nghiệm [2] [18]) sẽ xuất hiện hiện tượng BEC.

1.2 Phương trình Gross — Pitaevskii mô tả ngưng tụ Bose — Einstein

Trong trường hợp thực tế, khác với hệ boson lý tưởng không có nội tương tác, hệ

boson thực có sự tương tác giữa các hạt và tương tác giữa các boson trong BEC là không đồng nhất Đối với hệ boson không lý tưởng, lý thuyết Bogoliubov được sử dụng để xây dựng trường tương tác của hệ băng toán tử hàm sóng [19]

Wfr)=W,(r)+6WŒœ), (1.15)

trong đó, W⁄„(r} là ham sóng ban dau tại thời điểm ¿ và thành phan nhiễu loạn nhỏ ổ V(r).

Khi hệ BEC ở nhiệt độ rất thấp (khoảng 10° đến 10° K), ta có thé xem gần đúng hệ tương

đương với hệ khí đủ loãng (mật độ tại tâm ngưng tụ khoảng 10" đến 10” cmTM) và bỏ qua

thành phần nhiều loạn ổ Pir) Về phương diện vật lý, hau hết số lượng boson của hệ được

ngưng tụ ở cùng một trạng thái lượng tử.

Phương trình GP là một công cụ mô phỏng mạnh mẽ dé nghiên cứu hành vi của

BEC trong bẫy điều hoà ba chiều và trong các điều kiện khác nhau Bằng cách giải phương trình này và phân tích kết quả chúng ta có thê hiéu rõ hơn về các hiện tượng như sự hình

thành sóng mật độ và các tính chất quan trọng khác của BEC.

Toán tử Hamilton tông quát mô tả hệ BEC có đạng như sau

Đề tìm được mức năng lượng tối thiêu FE, ứng với trạng thái cơ ban, ta cần tối

thiêu hoá năng lượng tự do F = E- uN Từ Hamilton #? và hàm sóng „ năng lượng thu

được cần phải thoa mãn biểu thức

Biểu thức (1.17) có thể được sử dụng dé tôi thiểu hoá năng lượng tự do.

Đôi với hệ N hạt mỗi hạt có hàm sóng W, áp dụng phép gan đúng trường trung

bình, nghĩa là đối với một hạt, tat cả các hat còn lại có cùng trạng thái độc lập |y) Bằng

cách này, năng lượng tự do được tối thiểu hoá qua không gian của các hàm

|W)=iự)®|u}® -S|ự}, với ® là tích tensor, |) là hàm sóng tích tensor NV hạt và

(W|W) =1 Phép tính gần đúng này chí áp dụng cho hệ ngưng tụ đủ loãng va các tương tácgiữa các hạt gần nhau mạnh hơn đáng kẻ so với các hạt ở xa [20]

Lúc nay năng lượng tự do trở thành

Cho đạo hàm của năng lượng tự do theo yw bing 0, ta có

se “AÍ I(x~!(ƒiyứ) z(r—rlwr}v(r)~zvŒ)

2 (1.27)

viv (a) #V (eo) =0.

Từ phương trình (1.27) ta thay thành phan trong ngoặc vuông sé biến mat, đồngthời sử dụng phép gan đúng N —1= ta thu được phương trình GP không phụ thuộc thời

gian có dạng:

i? 2

~2>Y'w(r)+V(r)w(r)+e|w(r)Ï v{r)=„w(): (1.28)

Phương trình GP không phụ thuộc thời gian (1.28) được sử dung dé mô tả trạng thái

cơ bản hay còn gọi là trạng thái tĩnh của hệ BEC.

Tương tự áp dụng trường trung bình và phương pháp biến phân phương trình GP

được giới thiệu và sử dung dé xác định và mô tả hàm sóng của BEC lần đầu tiên vào năm

1961 [21], [22] Phương trình GP phụ thuộc thời gian có dạng

OV (rit)

Ct

ih -|-Evsvene site! | (1.29)

2M

Trong đó, W(r,z) là hàm sóng vĩ mô của hệ nguyên tử BEC;

V(r,£) là hàm thé của bay đặt vào hệ BEC;

g là cường độ tương tác giữa các hạt trong hệ.

Trong khoá luận nay, chúng tôi thực hiện giải số phương trình GP dé mô phỏng sự

tiễn hoá của hàm sóng W(r,/) theo thời gian dé khảo sát sự hình thành sóng mật độ của

BEC trong bay điều hòa ba chiều Phương pháp tính toán số mà chúng tôi sử dụng trong

khoá luận này được trình bày cụ thé ở Chương 2.

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN

Đối với trưởng hợp mô phỏng hệ BEC một thành phan trong thé điều hoà ba chiêu,phương trình (1.29) có thê được viết lại dưới dạng

Trong đó V(r’, )=2(ø2x? +a 9y” + ø 2z), g’=4aNa’ lần lượt là hàm thé điều hoa

và cường độ tương tác giữa các hạt trong phương trình GP không thứ nguyên.

Nghiệm của phương trình (2.2) có dạng [18]

thời gian Hàm sóng ‘’’(r',r’) thu được bằng cách tác dụng toán tử tiền hoá theo thời gian

cho hàm sóng ban đầu Y’(r’,t,) là nghiệm của phương trình GP dừng

Thực hiện giải số phương trình (2.4) bằng phương pháp thời gian ảo (được trình bày

tại Mục 2.1), chúng tôi thu được hàm sóng tại trạng thái cơ bản ⁄„(r) Từ đó, chúng tôi

sử dụng phương pháp tách toán tử (được trình bày tại Mục 2.2) dé thu được W'(r'.t').

2.1 Phương pháp thời gian ảo

Phương pháp thời gian ảo là một công cụ quan trọng trong nghiên cứu vật lý lượng

tử được phát trién từ năm 1986 bởi hai nhà khoa học Israel Kosloff và Tal — Ezer và được

sử dụng rộng rãi trong việc giải phương trình Schrödinger dừng với độ chính xác cao [23].

Xét hệ hạt đang ở trạng thái chồng chập của các trạng thái riêng

ned

với W⁄“ (r’) là các hàm riêng ứng với toán tử Hamilton ñ'=Š—+V'(r)+ Là w(r.}

C,| là xác suất tim thay hạt ở trạng thái n và thoả điều kiện chuẩn hoá b3 ec ? =1,

.~D

Ta đã biết, hàm sóng phụ thuộc thời gian có dạng

V'(tr,£)= Yee y! (r‘) (2.6)

well

Thực hiện việc đôi biến z = ir’ với 7 là thời gian ảo được sử dung để tính toán thay

cho thời gian thực /“ hàm sóng phụ thuộc thời gian (2.6) trở thành