Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Lý thuyết nhóm và ứng dụng vào cơ học lượng tử

Tính chất đối xứng của đối tượng tự nhiên khác có thể tính toán bằng một bộ môn toán học trừu tượng gọi là lý thuyết nhóm Nói chung, lý thuyết nhóm đã cung cấp cho vật lý học một phương

Care _ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM TP.HO CHÍ MINH we

KHOA LÝelles

“LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

HỌC LƯỢNG TỬ

GVHD :NGUYEN KHẮC NHẠP

SVTH :NGUYEN THỊ NGỌC LOAN

Niên khoá 1999 - 2003

GVHD: Thầy Nguyễn Khắc Nhạp Lý thuyết nhóm và ting dung vào cd hoe lượng từ

LOF ⁄2(Ú2 PAU

Khi nghiên cứu các đối tượng vật lý chúng ta gặp phải một tính

chất rất đặc biệt-tính chất đối xứng Nói cụ thể hơn là :

1 Tính chất đối xứng của không gian và thời gian trong các

hệ qui chiếu quán tính, dẫn đến những định luật bảo toàn

quen thuộc (định luật bảo toàn năng lượng, xung lượng,

momen xung lượng )

2 Tính chất đối xứng của các cấu trúc vật chất như tỉnh thể,

phân tử, các hạt cơ bản, dẫn đến những phương pháp phân

loại các mức ( mức năng lượng, mức khối lượng ), hay một

số đại lượng khác.

Tính chất đối xứng của đối tượng tự nhiên khác có thể tính toán

bằng một bộ môn toán học trừu tượng gọi là lý thuyết nhóm

Nói chung, lý thuyết nhóm đã cung cấp cho vật lý học một

phương pháp gọn, chính xác, bổ sung cho các phương pháp khác Trong một số bài toán đặc biệt, có thể nói rằng một số mặt của

vấn để chỉ có thể giải quyết bằng công cụ lý thuyết nhóm

Do đó lý thuyết nhóm dan dần trở thành phương pháp khá thông

dụng, nói chung không thể thiếu được.

Sau đây là phan trình bày một cách sơ lược về *Nhóm ,biểu

diễn nhóm và ứng dụng vào Cơ Học Lượng Tử”

SVT - Veuyễn Thi New bean

-1-GVHD: Thầy Nguyễn Khắc Nhẹp Lý thuyết nhắm và dng dụng vào cơ học lượng từ

CHƯƠNG I : ĐẠI CƯƠNG VỀ NHÓM

§1 CẤU TRÚC NHÓM

1 Định nghĩa nhóm :

Cho | tập hợp 2 trong đó có xác định một luật hợp thành nào đó,

gọi là phép nhân, cho phép lập từ mỗi cặp phan tử x, y € ⁄⁄2 một đại lượng xác định nào đó, gọi là tích và kí hiệu là xy, nếu phép nhân có các tính chất sau :

a Tỉnh kín ` Xye# với Ky ⁄

b Tinhkéthop : x(yz)=(xy)z với x.y.€!Z

c Tínhcó đơnvị : có tổn tail phan tử e e 24 gọi là đơn vị

Với nhóm giao hoán phép nhân thường gọi là phép cộng Đơn vị

ký hiệu là 0 nghịch đáo của x ký hiệu là -x Nhóm gọi là nhóm công,

SECM: Xgwurin Phi Vọc Leow

-2-GVHD: Thấy Nguyễn Khắc Nhạp Lý thuyết nhóm và ứng dung vào cứ học lượng ut

4 Nhóm tuần hoàn :

Ký hiệu x.X.x =x", x" gọi là luỹ thừa bậc n của x : một nhóm

trong đó các phẩn tử đều là những luỹ thừa khác nhau của cùng một phan tử gọi là nhóm tuần hoàn Một nhóm tuần hoàn tất nhiên là giao

= {e,o} ,ø:là phép phắn chiếu qua | mặt phẳng nào đó, rõ

ràng là một nhóm tuẩn hoàn ø°=e,ơ '=ơ hữu hạn cấp 2.

Phần tử nghịch đảo : asa blebs c'=c:d'= fy fad

Đây là nhóm hữu han cấp 6, không giuo hoán,

SVT : Nguyễn Thy Neve luan

-3-GVHD: Thầy Nguyễn Khắc Nhạp Lý thuyết nhám và ứng dụng vào cơ học lượng từ

6 Nhóm C:

Xét phan tử CHy, ở đó hạt nhân C nằm ở tâm của một tứ diện đều

& bốn hạt nhân H nằm ở bốn đỉnh tứ diện Phép quay làm cho phan tử

trùng với chính nó làm thành một nhóm gọi là nhóm 'Ÿ gồm các nhóm

con

⁄4= ‡e,C,,C } Ì và tâm điểm ở.

7 Nhóm SO (2) :

Xét tập hợp tất cả phép quay g( ) trong mặt phẳng Các phan tử

được xác định bằng góc quay @ (0 < @ < 3m ) Phép nhân xác định như

sau:

aly e(o)= gly +)

Đơn vie = (0)

Phin tử nghịch đảo : g '(@)= g(p) Đây là một nhóm liên tục,

giao hoán, ký hiệu SO(2).

8 Nhém SƠ (3) :

Tập hợp tất cả phép quay trong không gian 3 chiểu quanh một điểm

cố định nào đó rõ ràng cũng làm thành một nhóm, kí hiệu là SO(3) vớiphép nhân quan niệm là sự thực hiện hai phép quay liên tiếp nhau Cácphan tử của nhóm ký hiệu la’ g,(@) với k là trục quay còn ọ là góc

quay.

Đơn vị : e = g,(0), k

Phần tử nghịch đảo : #,'(o@)=g,(—-@) Nhóm §O(3) là một

nhóm liên tục, không giao hoán

Vậy tất cả ma trận cấp n xác định trên C' và có định thức khác không

làm thành một nhóm liên tục, không giao hoán với phép nhân ma trận.

SETH © Nouveau Thi Neve Lowe

-4-GVHD: Thấy Nguyễn Khắc Nhạp Lý thuyết nhóm và từng dung vào cứ học higng tử

10 Nhém đổi xứng S„

Định nghĩa :Cho một tập hợp n vật 1.2 n Thấy rằng tập hợp tất cả

các hoán vị n của vật đó làm thành một nhóm gọi là nhóm đối xứng (

phép nhân là phép thực hiện các hoán vị liên tiếp nhau ) Ký hiệu là S,.

Các phan tử của nhóm có thể ký hiệu như sau :

g=[U 2

Pi Pa -Pạ Nghĩa là vật | biến thành p,

Boj Ỉ Be a) Nghĩa là vật 2 biến thành p;

Phần tử nghịch đảo : gì = li Be Pa

Nhóm S, là 1 nhóm hữu han, không giao hoán Cấp của nhóm là n!

L1 Nhóm tinh tiến Tị:

Ta xét tập hợp tất cả các phép tịnh tiến T, trong không gian ba

chiều thông thường Các phan tử của tập hợp được xác định bằng vectơtình tiến a

Phép nhân xác định như sau : đại = Tas

Với nhóm hữu han, cách trình bay phép nhân nhóm là dùng bảng

nhóm ở đó phép nhân biểu thị theo sơ đồ :

-5-Lý thuyết nhám và từng dung vào cơ học lượng từ

GVHD: Thầy Nguyễn Khắc Nhạp

SVTH : Neuyễn Thị Vgọc loan

GVUD: Thấy Nguyễn Khắc Nhep LY thuyết nhúun và ứng dung vdeo cơ học lượng tử

§4 TINH ĐỒNG CẤU VÀ DANG CẤU

GIỮA CÁC NHÓM

1 Định nghĩa

-Cho 2 nhóm /⁄2 và ⁄⁄' Mọi ánh xạ Í từ 1⁄2 vào 1⁄2 *:

x——>f(x) thoả điểu kiện

Í(xy)=f(x)y) x.y € 12 'gọi là phép đồng cấu từ ⁄Z vào +!

Nếu yzc thì f(c)=e

a, v=x' thì foc'y=f'(x)

Nếu ánh xạ lên X———>fÍ(X} (một đối một ) thì phép đồng cấu

gọi là phép đẳng cấu & ký hiệu 2 > 1⁄2 '.

© Tính phản xạ : a liên hợp với a (do xe).

e Tính đối xứng: a liên hợp với b, khi b liên hợp với a(vì

Quan hệ giữa hai phần tử liên hợp nhau thoả man ba tính chất của quan hệ

tương đương Quan hệ này dẫn đến sự phân nhóm thành từng lớp khônggiao nhau, mỗi lớp gồm những phần tử liên hợp với nhau và gọi là lớp các phần tử liên hợp Ký hiệu [a]: lớp các phần tử liên hợp chứa a Ta có |e|=e

Với nhóm giao hoán thì |a|= a, tức là số lớp bằng cấp của nhóm

Lớp của nhóm 4% 4 là nhóm giao hoán như thé nhóm này có 4 lớp

e, a, b, c Lớp của nhóm ⁄⁄ Nhóm cua ⁄⁄ chia làm 3 lớp fe}: [a] ={ a b c

Hs Id] = { d,f | (dob = faF”: c= bah”: F = ada ` )

SVT Senven Thy New Leow oy

GVHD: Thấy Nguyễn Khắc Nhạp Lý thuyết nhóm và dng dụng vào cd học lượng wv

Lớp của nhóm C Nhóm € chia làm 4 lớp sau :

Phần tử đơn vị làm thành một lớp

Bốn phép quay C; quanh 4 trục C; làm thành một nhóm

* Bốn phép quay C¡Ỷ quanh 4 trục C, làm thành một nhóm

* Ba phép quay C) quanh 3 trục C› làm thành một nhóm.

§6 NHÓM CON BAT BIẾN

Mỗi nhóm con: H của một nhóm /4 os là bất biến nếu :

aM a`= 4⁄ vai ae:

Nhóm con bất biển thường là : e , ban thin ⁄.

> Các phan tử của nhóm con khác nhau giao hoán với nhau.

Mỗi phan tử của {4 đều có thể phân tích một cách duy nhất dướidạng #=#iE› VỚI gi € FBI E D2

Tích trực tiếp ký hiệu : ‘6 = %, @ % 4 Các nhóm con /Z , là nhữngnhóm con bất biến của {9 Quả vậy,với ge GF & hy € 2 ¡ ta có:

§8 TÍNH TRUC TIẾP HAI NHÓM MA TRAN

SVTH - Vưuyễn thy New Loon `

-Ä-@VHID: Thầy Nguyễn Khắc Nhạp Ly thuyết nhóm và dng dụng vào cơ học lượng tử

Cho hai nhóm ma trận £ và ⁄2 tương ứng gồm các ma trận A cấp n, cấp

m Ta xác định cập (A,B) = A®@ B= B@ A; Ae ⁄.Be€ với phép nhân

trực tiếp thông thường giữa các ma trận :

§9 CAC TINH CHẤT ĐỐI XỨNG,

CƠ SỞ VIỆC UNG DUNG LÝ THUYET NHÓM

Tính đối xứng trong hình học `

Tính đổi xứng không hười gian

Tính đối xứng giữa các hệ qui chiếuTính đối xứng các cấu hình không gian đối xứng Cấu hình không

gian này không đổi khi ta thực hiện phép quay hay phép phản chiếu

ew YY

CHUONG II: BIEU DIỄN NHÓM

SUTH - Nguvén Phị Ngoc Loan -0.

GVHD: Thầy Nguyễn Khắc Nhạp Lý thuyết nhóm và ứng dụng vào cơ học lượng tử

Ký hiệu hay 75 là biểu dién 1 chiéu

SUTH Ì Neuvén Phi Xuục luan

-10-GVHD; Thầy Nguyễn Khắc Nhep Lý thuyết nhóm và ting dung vào cơ học lượng tử

e© XétLnhóm các ân: ⁄z=(I;,A,B,C.D.F| với

Bằng phép todn trực tiếp có sự tướng ứng :

e=>D(e)=l,; a> D(a)=A; b->D(b)=Bc>D(c)=C; d->D(d)=<D; f -> Df)=

Biểu diễn / hay (biểu diễn 2 chiều ).

F

§12 KHÔNG GIAN BIEU DIEN

1 Không gian biểu điền ⁄,

-Ta chọn thành phan V, rd ràng thành phan này không đổi đối với

mọi phép quay trong mặt ping (x, y) nói riêng với các phép quay e,

C,, Cy’ Ký hiệu D(g) là ma trận biểu diễn của g, trong trường hợp này ;

D(e)V,=V, — D(C;)V,=V, D(C¿))V, = V,

Khi có một phép quay | góc x quanh các trục C; thì :

D(e)V, =- V,

Hệ quả thu được D(e)= D(C;)= D(C;”)=l; D(C;)=-l

Không gian trừu tượng của biểu diễn có thể lấy là thành phần V,=z

2 Không gian biểu điền ⁄ „:

Tương tự nếu ta chọn lượng V,~ cụ thể z* hay L,” không gian biểu

diễn khác nhau cùng thực hiện biểu diễn đơn vị 4 , của nhóm 4% Dưới

tác dụng của các toán tử D(g) thì các lượng này không đổi D(g) zỶ =z” Ta

nói các lượng trên là bất biến đối với nhóm ⁄4

3 Không gian biểu diễn ⁄ :

Xét không gian 2 chiếu (V,,V,) tức là (x, y) Tất nhiên đối với mọi

phép quay trong mặt phẳng ta có sự biến đổi sau :

(Š)¬(§ coal) - te)

SVTHM - Nguréw (hi Ngọc Lane

-Il-GVHD: Thấy Nguyễn Khắc Nhạp Lý thuyết nhóm và dng dụng vào cơ học lưựng tử

4

chơ = " > tađược

Dye) = (5 9) D(C,) = By D(C}) = 4M

Nếu lấy một trục C; nào đó của nhóm ⁄4 làm trục x thì :

»e(ÿ)-(Ä)-ILHI)=a

DC.) = ( 4)

§ 13 BIỂU DIEN C,

Cho một không gian đồng nhất nào đơ CU của nhóm 4 và gọi ⁄ tập

hợp tất cd các hàm w(x) có đối số x eC€ thế thì không gian ⁄ bất

biến ` với ⁄Z nếu, khi đã chứa hàm w(x) thì nó sẽ chứa mọi hàm w(gx),

g2 Giả sử không gian ⁄ bất biến đối với Z2 và dat

T,w(x) = (g `x)

Theo định nghĩa này ta có

T,, T,, v(x) =T, wie; x)= VÍg;'g Tìm w[e,s;)'x] (13.1)

Tức là theo (13.1) T, T,, =T,, điểu này chứng tỏ các biểu diễn T,

làm thành một biểu diễn của nhóm ‘4 trong không gian ⁄ các hàm w và

Nhóm ‘4 là một nhóm liên tục có tham số hữu han a = fa” } sVỚi p

là xố thứ tự các tham số Chẳng han đó có thé là nhóm tịnh tiến trong

không gian 3 chiều thông thường mà 3 tham số là 3 thành phần của vectd

SETH Xgucẻ# Tht Nyoe Loan

-12-GVHD: Thấy Nguyễn Khắc Vhạp Lý thuyết nhóm và từng dung vào cơ học lượng tử

tịnh tiến a, hay là nhóm SO(2) có tham số là góc @ , hay là nhóm SO(3)

mà 3 tham số là thành phần của vectơ quay trên 3 trục toa độ.

Trong trường hợp này các T, phụ thuộc liên tục vào các tham xố của nhóm

Các thành phẩn Œ,,Œ;,Œ; này chính là các góc quay tương ứng quanh

cae trục x, y, #, Các thành phan này chính là tham số của nhóm.

-13-GVHD: Thay Nguyễn Khắc Nhep Lý thuyết nhóm và ting dung vào cơ học lượng tử

§14 ĐẶC BIỂU

1 Hiểu diễn tương đương :

Nếu thay đổi cơ sở trong không gianCf/, thì các ma trận D(g) thực

hiện biểu diễn ⁄ của nhóm /Z biến thành các ma trận đồng dạng :

Như thé là cẩn đặc trưng phép biểu diễn như thế nào dé các biểu diễn

tưởng đương với nhau có thể xem như nhau Ta có thể chon đặc trưng này

2 Tinh chất của vết : Sp(AB) = Sp(BA)

Vận dụng tinh chất vào phan tử liên hợp với nhau thuộc cùng một lớp của

Cúc phan tử cùng một lớp của nhóm ‘4 cho cùng mot giá trị của đặc biểu.

Ta nói đặc biểu là một hàm của lớp, Do đó, nếu nhóm Z2 có slớp 2

Ws cone 22 thì đặc biểu là một tập hợp của s lượng: x; #=⁄( _ÄŸ

(i = l.2 S)

Đặc biểu của mỗi biểu diễn xem như một vects trong không gian s chiều

SVTH - Newen Thi Ngọc Loan `

-14-GVHD: Thầy Nguyễn Khắc Nhẹp Lý thuyết nhóm và ting dụng vào cơ học lượng tử

Biểu diễn đơn vị : Xi =! (14.4)

D(c) =I, nên x (c) =n (14.5)

3 Ví dụ :

Đặc biểu các biểu diễn nhóm ⁄⁄;: Nhóm ⁄; chia làm 3 lớp (s=3)

HK =e) ¿3 *¿=(đ,f} 3“¿= ta, bic}

Đặc biểu của các biểu diễn của nhóm là những vecto 3 chiểu, Đặc biểu

của biểu XU một chiều ⁄⁄!”' hay Z ; là vectơ :

Cho một không gian tuyến tính CU, và một hệ ma trận A Hệ 7

gọi là khả quy trong không gian CÍC „ nếu có một không gian con

ct cC „ạ, CHU z0 sao mà ;

ACh cCCÍ(C với Ae.¢

Tức là AxeCf“ với xeCf,Ae.⁄/

Không gian conCÍ gọi là bất biến đối với hệ ⁄

Trái lại, nếu mọi không gian con bất biến của C©ÍC „ hoặc bằng 0

hoặc trùng vớiCÍ/ „ thì hệ 2 gọi là bất khả quy

2 Biểu diễn khả quy và bất khả quy:

Nếu biểu diễn “z là một hệ khả quy, bất khả quy thì biểu diễntương ứng gọi là khả quy, bất khả quy Theo định nghĩa trên thì các

biểu diễn bất khả quy là đơn giản nhất,

SVU Vgưuêu Thi Ngọc Loon

-15-GVHD: Thầy Nguyễn Khắc Nhạp Lý thuyết nhóm và từng dụng vào cơ học lượng tử

§16 CÁC BỔ ĐỀ SCHUR VÀ ĐỊNH LÝ MASCHKE

1 Bổ dé Schur thứ nhất :

Cho 7 và là hai hệ phép biến đổi bất khả quy, tương ứng tác dụng

trong hai không gian tuyến tínhCff „ = (x] vac, = (y} Gia sử có một

ma trận chữ nhật P(n x m) thực hiện một phép biến đổi tuyến tính WCW „

vào Off, sao mà với mỗi A e ⁄ ta tìm được một B e.⁄2 và ngược lại

với tính chất :

PA = PB

Thế thì có hai khả nang loại trừ nhau hoặc P <0 hoặc là không kỳ dị , trong

trường hợp thứ hai ta có m=n và hai hệ 7 và.⁄2 go i là đồng dạng với

nhau.

2 Hổ dé Schur thứ hai :

Mọi ma trận P có tính chất giao hoán với mọi phần tử A của một hệ bat

khả quy Z phải là bội của đơn vị :

P=Al

3 Dinh lý:

Các biểu diễn bất kha quy của các nhóm giao hoán đều một chiéu

4 Định lý Maschke :

Mỗi biểu diễn khả quy của các nhóm hữu hạn đều có thể phân giải được

§17 BIỂU DIỄN UNITA

Giả sử lớp của nhóm có tính chất là đồng thời với phdn tử g nó chứa cả

phần tử g” Một lớp như thế gọi là tương nghịch Vì đặc biểu là một hàm

của lớp nên thco định nghĩa trên ta được :

XZ) =Xp(g ')= Xp “(g) (17.2)

SULIT Nguyễn Thi Ngoc Lowe

-16-GVHD: Thầy Nguyễn Khắc Nhạp Lý thuyết nhém và dag dụng vào cơ học lượng tử

§18_ CÁC HỆ THỨC TRUC GIAO LOẠI MỘT

Cho ⁄⁄ “ là một biểu diễn bất khả quy nào đó của nhóm “7 , ta xét ma

trận :

j= SÈD”'(h)XD®)(n )= MÌD)xpt9" |

h

X là một ma trận tuỳ ý.

Ma trận T giao hoán với mọi D'”{g), g e ‘% Quả vậy theo tính

chất bất biến của trung bình ta có :

và tương ứng cách chon này ta đặt À =Aim

Sau đó lấy phần tử hàng k cột j của (18.1) ta được :

g LDH OX, Dye" )= GED LBS DW)(g")

= G >DIIg)D})\g ) = Awd, (18.2)

bà

§%\ 0? Ngunễw Thi Ngọc Lowe

-17-GVHD: Thầy Nguyễn Khắc Nhap Lý thuyết nhóm và ting dung vào cơ học lng tử

Ở (18.3) cho j = k và lấy tổng theo k ta sa.)

Tương tự như thế cho 7" và 7 là hai biểu diễn bất khả quy không

tương đương nhau Xuất phát từ ma trận :

Trong đó a, là chiểu của biểu diễn bất khả quy 7”

Khi biểu diễn ⁄⁄'"" là unita ta có :

-18-GVHD: Thầy Nguyễn Khắc Nhap Lý thuyết nhôm và iting dụng vàn cứ học lượng từ

Các hệ thức (18.10) gọi là hệ thức trực giao loại mỘt.

Công thức (18 10) có thể viết dưới dạng :

$ | Je o>) eens? | =ỗ „ (18.11)

THƯT=VIỆM

SH: Nguyễn Thi Nqve Loan

-19-GVHD: Thầy Nguyễn Khắc Nhạp Ly thuyết nhóm và ting dụng vào cơ học (đựng từ

§19 PHÉP PHÂN TÍCH BIỂU DIỄN VÀ

TIÊU CHUẨN BẤT KHẢ QUY

Theo định lý Maschke mọi biểu diễn ⁄⁄ (hữu hạn chiéu) của nhóm

© hữu hạn đều là tổng trực tiếp của các biểu diễn bất khả quy ⁄⁄'”

của nhóm đó Ta có thể đặt :

D(g)= }@a,D"(g) (19.1)

ụ

trong đó tập hợp các {a,}chi bao nhiêu lần biểu diễn bất khả quy

⁄⁄ '*' nằm trong biểu diễn cho sin 7

Từ đẳng thức (19.1) ta được hệ thức giữa các đặc biểu :

Các công thức (19.3) & (19.4) cho phép ta xác định số lần a, mà biểu

diễn bất khả quy ⁄ “°* của nhóm nim trong biểu diễn cho sin 4

theo các Y ' các công thức đó cho ta thấy rằng cấu trúc của một

biểu diễn hoàn toàn xác định bởi đặc biểu x của nó Do đó hai biểu

diễn có cùng tập hợp các lượng (x;} sẽ có cùng tập hợp các hệ số khai triển {a„} và như thế là tương đương nhau.

Định lý tiêu chuẩn bất khả quy

Điều kiện cần và đủ để một biểu diễn có đặc biểu x là bất khả

-30-GVHD: Thầy Nguyễn Khắc Nhạp Lý thuyết nhóm và ứng dung vào cơ học (ượng từ

Nhân hai vế của (19.2) với g„x„ rối lấy tổng theo các lớp ta được :

Theo khai triển (19.1) tất nhiên điều kiện cần và đủ về tính bất khả

quy của biểu diễn là một hệ số a, nào đó bằng 1, cón tất cả các

hệ số khác đều bằng không Định lý đã được chứng minh

Các biểu dién bất khả quy của nhóm ⁄⁄ ,

Ta biết nhóm Z⁄ ; có 3 lớp (s= 3)

24=l{e} -32+= {di} 2)= {a,b,c}

Ngoài biểu diễn đơn vị ©" có đặc biểu :

§20 BIỂU DIEN CHÍNH QUI

1 Biểu điễn chính qui :

Ta xét một biểu diễn đặc biệt mà không gian biểu diễn chính là

không gian xây dựng trên các phan tử của nhóm Số chiều của không

gian này bằng cấp G của nhóm Biểu diễn này gọi là biểu diễn chíng

SUT | Nguyễn Thi Now loon

-3I-GVHD: Thầy Nguyễn Khắc Nhap Lý thuyết nhám và từng dụng vào cơ học lá/ng tử

qui, trong đồ mỗi phan tử của nhóm tic dụng như một toán tử, tuần

theo bing nhóm Ký hiệu là ⁄!'®'

2 Định lý:

Tất cả các biểu diễn bất khả quy của nhóm đều chứa trong biểu

diễn chính qui với một số lần bằng chiều biểu diễn của mình:

Với nhóm ⁄⁄ ; công thức Burnside cho:

xn, =6

ụ

Nhưng tổng vế trái gồm không quá ba thành phần ví có 3 lớp nên phương

trình trên có nghiệm duy nhất n; =n; =l, ny =2 Tức là nhóm “3 có ba

biểu diễn bất khả quy, hai biểu diễn một chiéu và một biểu dién hai chiều.

§21 CÁC HỆ THUC TRUC GIAO LOẠI HAI

1 Định lý 1:

Đặc biểu các biểu {i bất khả quy thoả mãn hệ thức:

Hệ thức trên gọi là hệ thức trực giao loại hai.

SUM Xguyêu Thi Ngoc Lowe =

-22-GVHD: Thấy Nguyễn Khắc Nhẹp Lý thuyết nhám và ứng đụng vào cơ học lượng từ

Chẳng han cho nhóm ; trong đó có :

Ta hãy chọn một biểu diễn bất khả quy nào đó có chiều bằng n,

của nhóm và lấy tổng tất cả các ma trận Dg) tương ứng với các

phan tử của lớp.Z⁄+ ký hiệu là Dy”

-23-GVHD: Thầy Nguyễn Khắc Nhạp Lý thuyết nhóm và dng dụng vào cơ học Ídựng tử

Tức là ma trận D,'”’ giao hoán với mọi ma trận của biểu diễn bất khả quy ⁄ “" Theo bổ để Schur thứ hai ta có :

E;Ê Ae = My hing ae) (21.5)

các hệ số g, va hi, không phụ thuộc vào biểu diễn ma chỉ phụ thuộc

-24-GVHD: Thầy Nguyễn khác Yhạp Lý thuyết nhàm xe ting dụng tao cơ học Íưựng ui

Với cúc biểu diễn bất khả quy một chiều ( n= 1) thì ý # 0 Thành tử

theo (21.7) &(2 1.8) ta được :

42 =l yx =1/3 (142) = 1, yy =#l

Đó chính là đặc biểu của biểu diễn, 7, và 7,

Với n =2 theo (21.8) tạ có thể lấy z› = 2 hoặc z¡ =U,

© Z+= 2 thì theo (21.7) tà được uv = +4: không thoa man tiều

chuẩn bất khả quy vì :

I

= = —(44+2.44+3.4)=441

5 DE aitel h

© 43 =0 và yx» được tính theo (21.6) tức là z; = -n/2 = -1.

§22 TICH BIỂU DIEN

\ Tích không gian và tích biểu điễn :

Cho mot nhóm 1⁄2 và giả sử có 2 biểu diễn YZ“ và ⁄⁄”'' tương

ứng tác dụng trong 2 khong gian 7 và ⁄, có n„ và n, chiều :

g:yw' = Dy" (gy! (22.1)

ý" = Dy ie! (22.2)

wige 1⁄2 ,(W)].()} € 2' tệ *J lộ! €Z.(¡=1 ne

ke lon)

Ta nhân (22.1) với (22.2) tì được

wie” = Di! (eo Dil (gì wo! (22.3) đặt Tˆ sự'ẽ

".` tly Ven Jee -—<

GVHD: Thầy Nguyễn Khắc Nhạp Lý thuyết nhóm và tầng dụng vào cớ học ldựng tử

Từ (22.3) ta được :

tk — ryíu avd

T* =Dšj"T (22.4)

với D'*”“*” là ma trận tích trực tiếp của các ma trận DTM va DTM

Dir (g) = Dif (g)Dyy'(g) (225)

[Dựa vào tính trực tiếp của các ma trận ta có

D*“**)(hg) = D" (hg) ® D* (hg)

= Dp“ )(hy@D Yh) D")(g)@ D)(g)}

a D““**'th)Dứ! vv(g)

Kết quả này chứng tỏ các ma trận D"TM **)(g) làm thành một biểu diễn

nào đó của nhóm 12 Biểu diễn (22 4) gọi là tích Kronecker của biểu điển

⁄⁄Z '* và A” và ký hiệu là :

Øtuxv _ gFMe@agTM

Mở rộng cho tích nhiều biểu diễn chẳng hạn tích 3 biểu diễn :

ØtwuxvxÀ) sie FMS ag”

2 Đặc biểu của biểu dién tích :

Từ (22.5) cho i = j, |= k rồi lấy tổng theo j và k ta có đặc biểu của tích

biểu diễn đưới dạng :

3 Chuỗi Clebsch- Gordon và các hệ số Clebsch- Gordon:

Nếu nhóm 24 có tính chất hoàn toàn khả quy ta có thể khai triển tích trực

tiếp thành tổng các biểu diễn bất khả quy của nhóm {7 :

-GVHD: Thầy Nguyễn Khắc Xhạp LY thuyết nhúm và ng dung vào cơ học lượng từ

Ví dụ ;

«Ẳ Chuỗi Clebsch ~ Gordon của nhóm ⁄ y

Ta có bảng đặc biểu của nhóm Y y ( ở bảng | chương I ) Tìm chuỗi

Clebsch — Gordon chang hạn cho tích các biểu diễn ⁄ , @ 4 2.

.#; 84,46 @4 Thco công thức (22.6) ta có bảng đặc biểu sau :

Zs le 2 3a

.4,@.¢;/]/) 1 4S.

.Z“;@#⁄ |2 | 0

4 @¢ l4 1 0

Theo công thức (19.3) ta tim được hệ số (p,w/A) :

Giả sử ta xét tích biểu diễn 7, @ Z ;

*2i-GVHD, Thấy Nguyễn Khắc Nhạp Lý thuyết nhóm và từng dụng vào cơ học lượng tử

§23 BÌNH PHƯƠNG ĐỐI XỨNG

VÀ BÌNH PHƯƠNG PHẢN XỨNG

CỦA BIỂU ĐIỄN

1 Dinh nghĩa:

Cho w' và é' là hai hệ hàm khác nhau thực hiện tương ứng hai biểu

diễn A" và '” của một nhóm 1⁄2 nào đó :

T, y' = Dy” (gy

T,6' = Dụ"'(g)#`

Như bài trước ta biết tập hợp các tích TTM = y' O* sẽ tạo nên một không

gian n„ ny chiều thực hiện biểu diễn Y tích ⁄⁄°' @ 2"

Theo (23.4) khin, >I! thì tích biểu diễn 7 @ ⁄⁄“ đãcảm ứng trong

hai không lượng S“ và ATM những biểu diễn nào đó Các biểu diễn này

tương ứng gọi là bình phương đối xứng và bình phương phản xứng của biểu

-28-GVHD: Thấy Nguyễn Khắc Nhạp Lý thuyết nhóm và từng dung vùo cư hoe lượng tử

[b*'z› @ DÌ(g)} ,„ = aT + DỊ*(g)D#)(g)Ì

kỘ

Từ đó cho k =i, b= j và lat Ho theo ¡, j ta được các đặc biểu

[x ez"'}z) =+ bo (ey 4 yp? `

ty) @y"kg) A rh (g)-x(g3 |

3 Vidu binh phuong đổi xứng và phản xứng của nhóm ‘/ ;

Ta chú ý khi tính đặc biểu của nhóm ⁄⁄„ thì y(C;)= x(Cy) Ta

thử xét bình phương đối xứng và phản xứng với biểu diễn 7 của nhóm :

Le @yTM fey = hà (c)+y(c” t)|- ›(4+2)= 3

kM ex®}C,)= thc vtec, ni > (1-1)= 0

I

[k“'ex®'}c,›= _ 3(C;)+x(C;)|> Ẩ0s2)5l

Từ đó dùng cộng thức Ls ta có biểu thức phân bộ của bình phương đối

xứng của biểu diễn Z

Cho một nhóm /Z2 và giả sử.“ là một nhóm con của ¡Z2 Tất nhiên

mọi biểu diễn của nhóm /Z đồng thời cũng là biểu diễn của nhóm con

WH, nếu trong số các ma trận Dig) thực hiện phép biểu diễn đó ta chỉ

xét các phẩn tử g = h thuộc nhóm con.⁄ | Khi biểu diễn ⁄ là mộtbiểu diễn bất khả quy của nhóm /⁄_, biểu diễn đó han chế trên nhóm con

Andi chung là khả quy Tìm cấu trúc của biểu diễn đối với nhómcon tức là tìm biểu thức khai triển của biểu diễn (/ thành tổng các

biểu điển bất khả quy 4" của nhóm con ,⁄ Biểu diễn này gọi là

biểu dién ha cúm, ký hiệu :2 ở #

SVT: Ngưyễn Thu Neoe Loan F -29.

GVHD: Thấy Nguyễn Khắc Nhap Ly thuyết nhóm và từng đụng vào cơ học lượng tử

Đối với nhóm hữu hạn bài toán biểu diễn hả cắm giải quyết khá đơngiản với phương pháp đặc biểu Ta chỉ cẩn tìm đặc biểu x(h) của biểu diễn

Shan chế trên nhóm con sau đó van dụng công thức (2.27) để tìm các

hệ số khai triển a,

2 Ví dụ :

Cho nhóm 'È với đặc biểu :

Với z = exp (2xi/3)

Trong bảng đặc biểu này Z chỉ biểu diễn ba chiếu, còn (x, y, z) chỉkhông gian biểu diễn Còn đặc biểu của nhóm -

Trong bảng đặc biểu các ký hiệu Z , ,.⁄2, ⁄2; .Z2;› chỉ biểu diễn

một chiểu &% ; là nhóm con của 'C , các phẩn tử C,,C,, C, của

nhóm & › làm thành ba lớp khác nhau trong nhóm YZ» nhưng lại cùng một lớp đối với nhóm ' tương ứng với ký hiệu

3C).

Muốn giải bài toán biểu diễn hạ cảm ‘TL ⁄;¿ cho biểu diễn.Z

ta tìm đặc biểu hạn chế của biểu diễn.Z lên nhóm ⁄⁄; chẳng hạn ,

nói cách khác ta cần tính giá trị của ⁄ tại các phan tử của ⁄⁄;

Công thức (19.3) với G = 4, g; = g; = g¡ = | cho ta :

SUTH : Nguyen Thi Ngọc leo“

-Ä30-GVHD: Thầy Nguyễn Khắc Nhạp Lý thuyết nhóm và ng dụng vào cơ học lượng tử

§25 PHÉP BIỂU DIEN TÍCH TRỰC TIẾP

1 Hệ thống biểu diễn bất khả quy của tích trực tiếp :

Cho mội tích trực tiếp ⁄⁄ của hai nhóm ⁄⁄, va ‘4,

G, = 4, @ 2;

B=8) 82 8:82 = B28 VỚIEI € 2, B € 22

Giả sử w(¡= 1, n,) và ` (k =l n, ) là các hệ cơ sở của biểu diễn

bất khả quy ⁄⁄ ''*' và ⁄'*' tương ứng của các nhóm con 4, và 4.

Tập hợp n„ n, hàm w' ¢* làm thành cơ sở của một biểu diễn nào đó của

nhóm Z2 ký hiệu ⁄ '"**' Thực vậy theo pm 1) tạ có :

tổ H a he ye

Từ đó ta được biểu diễn ao la:

T,„,u'ệ! =T,,w'T, ¿' - Di (g, )D) h (Ba yy tạ!

với ma trận thực hiện biểu diễn có dang :

SUTHM - Xeuvce Tht Ngọc Lown

sÀt-GVHD: Thấy Nguyễn Khắc Nhẹp Lý thuyết nhóm và ting dụng vào cơ học lượng tử

Dita (8:82) = Dữ"?œ,)D{ ”(g¿) hay là D"*”’(g.¢,)=D""(g,)® 0t.) (25.2)

Như thế các ma trận biểu diễn tích trực tiếp hai nhóm bằng tích trực tiếp

các ma trận biểu diễn cac nhân tử

Các biểu diễn bất khả quy của nhóm 4 y = 4%, @ 7%,

Ta có hệ thống biểu diễn bất khả quy của nhóm 7 ;

LVẰ lie 1

4, fl

a | -1

Còn biểu diễn của & 5 ta đã biết ( bảng 1) Mặc khác do phép I luôn

luôn giao hoán với mọi phèp quay nên ta có thể lập tích trực tiếp

⁄w = ⁄y @fŒ;

Theo kết quả trên hệ thống các biểu diễn bất khả quy của tích trực

tiếp gồm tích trực tiếp các ma trận thực hiện phép biểu diễn bất khả quy

của các nhóm ⁄ ; và 7; Đặc biểu tính theo công thức (25.3)

(a=C, d=C),

Zu |e 2C 3, 1f ASIC) 3{øIlC,)

] I

-32-GVHD: Thầy Nguyễn Khắc Nhap Lý thuyết nhóm và ứng dụng vào cơ học lượng từ

Trong bảng trên ta dùng ký hiệu :

4 =ữ@ s4,á = FO «

SUSY - Nguyễn Thi Neve Lown

-33-GVHD: Thầy Nguyễn Khắc Nhap Lý thuyết nhám va từng dung vào eo học lượng tử

CHƯƠNG II ; CÁC NHÓM ĐIỂM VÀ

MỘT SỐ NHÓM KHÁC

A- CÁC NHÓM ĐIỂM

§26 CAC PHAN TU CUA NHÓM ĐIỂM

1 Dinh nghĩa nhóm điểm :

Ta thấy rằng các phép biến đổi đối xứng của một vật thể có kích

thước hữu hạn, khi tác dụng lên vật thể đó thì buộc phải có ít nhất

một điểm của vật thể đứng yên trong suốt quá trình biến đổi, tức là

tất cả các mặt phẳng và trục đối xứng của vật thể đó phải có ít nhất một điểm chung Bởi vì, khi tác động hai phép biến đổi liên tiếp lên

vat thể có các trục đối xứng và mặt phẳng đối xứng không giao nhau

tại một điểm sẽ được qui về phép tịnh tiến vật thể phép tịnh tiến này không thể làm cho vật thể trùng với chính nó được Như vậy ta có

thể hiểu nhóm điểm là nhóm đối xứng trong đó các trục đối xứng và

mặt phẳng đối xứng phải có ít nhất một giao điểm chung.

Hoặc có thể định nghĩa như sau : Các nhóm con hữu hạn của nhóm

trực giao O(3) gọi là các nhóm điểm

Các phan tử quay : Do tính chất hữu hạn của nhóm điểm , ta chỉ có

những phép quay với những góc 2+ /n, ký hiệu là C, và các lũy thừa cs.

(k= 0, I, n-l) Trục quay cũng ký hiệu là C,,

Tích của một phép quay quanh một trục thẳng góc với mặt phẳng ø nào

đó và một phép phản chiếu o qua mặt phẳng đó gọi là phép quay gương.

Trục quay gọi là trục quay gương.

Cho hai trục đối xứng k và | của nhóm ⁄ 5 Nếu môi phắn tử ge < sao

ma k = gì thì hai trực k và Í gor là tưởng đương nhau

tin Nenvéw Thi Newe Loan

-M-GVHD: Thấy Nguyễn Khắc Nhap Lý thuyết nhóm xà ứng dụng vào cơ học lượng tử

Liên hợp với C,(@) do g các ký hiệu |, k chi các trục quay Chon một

cơ sở ej nào đó và gọi {aq} là ma trận của Cụ(@) theo cơ sở đó:

Cio) ej = aye;

Néu ej;=gq ,g=g'e;

Thi Ci(p) e") = gC¿(0)g” e`,= gC¿(0)€j = g aj e; = dụ

e";

Như thé trong cơ sở e`, phần tử liên hợp C, có ma trận giống ma trận của phần tử C, trong cơ sở e, Nhưng vì ma trận của phép quay hoàn

toàn xác định góc quay và vị trí của vectd quay so với các vectơ cơ

sở, nên = @, vị trí vectơ quay | so với cơ sở e', là giống như của

vectơ k so với c„ nghĩa là | = gk Ta có thể viết :

gC¿(@)g ' =C„(@) (26.4)

SUTH - Nguyễn Thí Ngọc Eaae