Trước khi tiền hành khảo sát đao động hay các tính chất động lực học của hệ BEC, chúng tôi tiền hành mô phỏng trạng thái cơ bản, còn được gọi là trạng thái tĩnh của hệ.
3.1. Trạng thái cơ bản của BEC
Chúng tôi thực hiện giải số đối với hệ BEC một thành phần gồm =8x10” nguyên tử "Li trong thé điều hoà ba chiều có dạng
..—— , wy) và t2 r2
V =z((a +y?)+ứ°; ). (3.1)
với tương tác giữa các hạt trong hệ thoả [16]
24.5x159.4
'=4zNaq¿—————, 3.2
FENTON ao co
trong đó dy, là bán kính Bohr.
Tan số hàm thé được thiết lập như sau
6. ao
= 475 Hz, —* =7 Hz. (3.3) 2z 2z
Điều kiện trên được cho là một trong những điều kiện cộng hưởng dé dé dang đạt
được sự hình thành sóng Faraday trong BEC. Không gian mô phỏng được lựa chọn với
hàm thé có dang hình cigar nhằm dé dàng quan sát được trạng thái tách hạt (granular state) xuất hiện do sự hình thành sóng Faraday [16].
7 ` "ơ h 7 em x - ó l
hai trục là đơn vị rút gon 7, =, — - Tại trạng thai ban dau, mật độ hạt tập trung tại quanh
mo
tâm va điều này khớp với hình ảnh mật độ của hệ BEC trong khuôn khổ gan đúng
Thomas — Fermi.
15
-100 -50 0 S0 100
z
Es . Ưng
0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003
Hình 3.2. Trạng thái cơ bản của hệ BEC (mật độ tính theo đơn vi Nr, 3)
Trạng thai cơ bản của hệ BEC một thành phần được sử dụng dé lam điều kiện ban dau cho việc khảo sát các tính chất động lực học bằng việc kích thích hệ dưới nhiều phương
pháp khác nhau. Trong phạm vi nghiên cứu của khóa luận này, chúng tôi thực hiện kích
thích hệ hạt bang cách thay đổi tần số của hàm thé (kích thích từ bên ngoài), thay đôi tuần hoàn tương tác đấy giữa các hạt (kích thích nội tại) và kết hợp đồng thời cả thay đổi tan số hàm thế và tương tác giữa các hạt.
3.2. Động lực học BEC khi thay đổi tần số hàm thế
Với mục đích thê hiện lại các tính chất tương tự như chất lỏng trong BEC, chúng tôi thực hiện việc thay đôi tan số của hàm thé. Điều này nhằm tái hiện lại hiện tượng tương
tự xảy ra khi tác động lực vào thành vật chứa chất lỏng liên tục, làm cho thành của vật chứa
dao động gây ra hiện tượng chất lỏng va chạm với thành vật chứa tạo nên những gợn sóng
trên bè mặt chat lỏng. Trong mô phỏng hệ BEC với điều kiện biên tuần hoàn, việc thay đổi tần số hàm thé cũng tương tự như việc tác động lực làm cho thành vật chứa dao động. Từ đó dan đến hiện tượng sóng mật độ BEC va chạm với biên tuần hoàn và phản xạ lại tạo ra
hình ảnh các đỉnh mật độ không liên tục tại biên.
Hình 3.3 thé hiện sự thay đổi mật độ của hệ với cường độ tương tác giữa các hạt không đôi như biêu thức (3.2) và tần số của hàm thế là hàm phụ thuộc thời gian như sau
a (L= œ/ (1 +0.03sin (20%,1)). (3.4)
F F đ., a 4 aad P
[rong đó, on =475 Hz, 2z =7 Hz như đã dé cập ở biêu thức (3.3).
x b4
16
t= 0, OmegaZ = 7.000000
8
x 0
8 5 5 x 1 150
z
t= 25, OmegaZ = 6.910465
8
x 0
3 0 1 T00 50 0 50 100. +150
z
t= 50, OmegaZ = 6.838022
8 x 0
8 1 1 1 i
Z
t= 75, OmegaZ = 6.796498
8
x 0
-8
0 0.0005 00016 00015 0002 00025 0003
Hình 3.3. Sự thay đôi mật độ của hệ BEC theo thời gian trong mặt phăng x— z khi thay đôi tần số hàm thé
Tan số @ của hàm thé thay đôi tuần hoàn theo biểu thức (3.4), có giá trị dao động trong khoảng từ 6.790000 đến 7.210000, đồng nghĩa với thê tích của bay co dan liên tục theo trục z. Sau khi nhận được kích thích, mat độ tại tim của hệ giảm dan và tràn ra biên do hệ quả của việc thay đôi tan số của hàm thé theo trục z. Đồng thời sóng Faraday xuất
hiện dọc theo hướng z và hệ dan đạt trạng thái tách hạt tại tâm. Trong trạng thái tách hạt,
17
sự phan bố của mật độ chia thành các vùng có mật độ lớn được ngăn cách bởi những vùng có mật độ rất nhỏ.
Việc chi thay đôi tần số theo một phương giúp hình ảnh các đình mật độ thé hiện rõ hơn, tránh sự triệt tiêu lần nhau néu xuất hiện sóng phan xạ đến từ các phương khác nhau
của hệ.
3.3. Động lực học BEC khi thay đổi cường độ tương tác
Bên cạnh việc kích thích hệ hạt BEC bằng các yếu tổ tác động bên ngoài như thay đổi tần số của hàm thé, chúng tôi tạo ra một kích thích khác thông qua điều chỉnh tương tác đây giữa các hạt theo hàm tuần hoàn như sau
g'(t)= g'(1+0.04sin(2ô%,r)). (3.5)
với tan số hàm thé được giữ như biểu thức (3.3).
Sau khi nhận được kích thích do cường độ tương tác thay đổi tuần hoàn theo biêu
thức (3.5) có giá trị từ 0.060602 đến 0.065652, mật độ xuất hiện mode dao động trên
phương của trục x, đồng thời mở rộng trên phương trục z. Lúc này, hình dạng của thé không đổi nhưng mật độ của hệ thay đổi liên tục do tương tác đây giữa các hạt biến thiền tuần hoàn theo hàm sin. Khi thời gian đủ lớn, hệ BEC đạt trạng thái tách hạt, nhiều đỉnh xuất hiện với các với hình dạng ngẫu nhiên và đối xứng. Điều này có thê được quan sát rõ
ràng tại thời điểm r=19. Như vậy, trạng thái tách hạt hình thành do ảnh hưởng của sóng
Faraday và chỉ xảy ra sau một khoảng thời gian nhất định.
Khi kéo đài thời gian dao động, hàm thé không giữ nguyên hình dang ban đầu của hệ và bat dau tràn ra bên ngoai do tác động của tương tác giữa các hạt bên trong hàm thé, do vậy chúng tôi chi khảo sát hệ trong khoảng thời gian ngắn (trước += 45) ngay sau khi
cho hệ dao động.
18
x 0
t=0, g = 0.063148
-150 -100 -50 0 50 100 150
z
-150 -100 -50 0 50 100 150
t= 29, g = 0.060671
-150 -100 -50 0 50 100 150
EEE
0 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001 00012 00014
Hình 3.4. Sự thay đôi mật độ của hệ BEC theo thời gian trong mặt phăng x— z khi thay đôi cường độ tương tác
19
3.4. Động lực học BEC khi thay đổi đồng thời hàm thế và cường độ tương tác
Sự hình thành của sóng trên bề mặt chat lỏng cỗ điển khi nhận được kích thích cơ học đã được nghiên cứu và kết quả cho thấy sự phụ thuộc của sóng bé mặt vao biên độ truyền động và hình dạng vật chứa [27]. Bên cạnh đó, dòng chảy siêu lỏng có thé được sử dụng dé mô phỏng cho chat lỏng cô điện trong thế giới vĩ mô va cho các nguyên tử trong
the giới vi mô. Vi vậy, sự hình thành sóng bẻ mặt phụ thuộc vào biên độ truyền động và
thê tích vật chứa cũng được dự đoán tôn tại đối với dòng chảy siêu lỏng thông qua mô
phỏng hệ BEC.
Tương tự với việc khảo sát vân sóng trên bề mặt nước khi có tác động theo hai phương vuông góc (tác động của ngoại lực lên thành vật chứa) [27]. đê phát hiện hình dạng vân giao thoa sóng mật độ, chúng tôi áp dụng đồng thời hai kích thích là thay đổi hàm thế và tương tác đây giữa các hạt trong hệ. Tuy nhiên trong trường hợp này, chúng tôi sử dụng
bay điều hoà với ứ = o dộ tạo trang thỏi co ban cho hệ nhằm cõn bằng tương tỏc giữa
các hạt trên mọi phương và mật độ hạt được dan đều trong khối cầu. Sau đó tan số hàm the duge diéu chinh nhu sau
a(t) =a), (1 +0.05sin (to/3ứ.:)). (3.6)
,
“2 ` F : h
Với 2m = 475 Hz (3.3). Khi này, tan sô thay đôi tuân hoàn với giá trị trong khoảng từ
z
451.250000 đến 498.750000.
Trước tiên chúng tôi khảo sát hình anh trên bề mặt hệ BEC với tương tác giữa các hạt là g, và thu được kết quả như Hình 3.5.
g(t) = 5 (1+ 0.02sin(20%,)), (3.7)
2 . 3
với gˆ=4#Na, aS là cường độ tương tác ở biêu thức (3.2). Theo biéu thức (3.7)
cường độ tương tác g, có giá trị rất nhỏ, đao động trong khoảng giá trị từ 0.006189 đến
0.006441.
t= 7, OmegaZ = 455.1812990, g = 0.006401 t= 0, OmeaaZ = 475.000000, g = 0.006315
10 10
-10 -10
-10 5 0 5 10 -10 5 0 5 10
x x
t= 12, OmegaZ = 458 050725, 9 = 0.006409 t= 20, OmegaZ ô 491 531415, g = 0.006271
10 10 9%
0œ 5 5
000
> 0 > 0 00a
ome 4 s
0001
10 “10
“10 5 0 5 10 “10 5 0 § 1Ô
x x
Hình 3.5. Sự thay đôi mật độ của hệ BEC theo thời gian trong mặt phing x - y khi
tin số hàm thể điều hoà ứ/ (r) = o, (1+ 0.05sin(10Ơ30%,1))
vả cường độ tương tỏc ứ, (1 - Ê(1+0.02sin(20,1))
Hình 3.5 cho thấy trên bề mặt của hệ không xuất hiện hình ảnh sóng mật độ, kích thước của hệ co dan theo thời gian do dao động của bay điều hòa. Điều này chứng minh tương tác giữa các hạt nắm vai trò lớn trong việc hình thành sóng mật độ, khi cường độ tương tác yêu dẫn đến không đạt điều kiện cộng hưởng đẻ hình thành song Faraday cũng như xuất hiện sóng bờ. Do vậy chúng tôi thực biện khảo sát hiện tượng với cường độ lớn hơn nhằm tìm ra khoảng cường độ cộng hưởng.
21
Tiếp theo chúng tôi mô phỏng hệ hạt dao động với cường độ lớn hơn có dang:
8;(7)=; Sz(1+0/02sin(2e,z)). (3.8)
và giá trị cường độ tương tác trong khoảng từ 0.049508 đến 0.051529, lớn hon g, khoang
§ lần.
10 0006
0%
0001
~Ũ0 0.003
000
0601
-10
t= 14, OmeoaZ = 453.157787, g = 0.049610 t= 20, OmogaZ = 491531415, g = 0.050170
00cé
0.006
0004
0œ
0œ
0001
-10 s 0 5 10
x
Hình 3.6. Sự thay đôi mật độ của hệ BEC theo thời gian trong mặt phăng x — y khi
tần số hàm thộ điều hoà ứ/ (1) = 0, (1 +0.05sin (10V30%,1))
va cường độ tương tỏc g(t) = xớ +0.02sin(2ô',1)).
Với cường độ tương tac trong trường hợp này, hình ảnh sóng mat độ có những thay
đổi đáng kẻ. Trước thời điểm r = 14, các vân sóng mật độ có thé quan sát được do các hạt va chạm với biên và xuất hiện sự phản xạ của sóng bờ phản xạ tạo ra các vân sóng mật độ, tuy nhiên số vân sóng mật độ còn thưa thớt và mật độ trên các van sóng có sự liên tục như thời điểm =8. Sau đó, do có thêm sự hình thành của sóng Faraday tạo nên hiện tượng cộng hưởng, giao thoa giữa sóng bờ và sóng Faraday, vì vậy số vân sóng mật độ day đặc
22
hơn. Bên cạnh đó, các vân sóng trở nên dirt đoạn, không liên tục chính là hình ảnh của trạng thái tách hạt gây ra bởi sóng Faraday.
Điều này cho thay sự phù hợp với kết quả của thí nghiệm đối với chất lỏng cô điển [27]. Tuy nhiên trong chất lỏng cô điển, sóng bờ được tạo ra và xuất hiện dé dang hơn nên các vân sóng mật độ không cho thấy sự đứt đoạn quá rõ ràng.
Cuối cùng, chúng tôi thu được hình ảnh sóng mật độ dao động như Hình 3.7 với tan số hàm thé và hàm tương tác phụ thuộc thời gian như sau:
#;(f)= #'(L+0.02sin(2zz.r)). (3.9)
với giá trị năm trong khoảng 0.061885 đến 0.064411 và là cường độ tương tác lớn nhất
trong ba trường hợp.
Trong trường hợp này, do cường độ tương tác giữa các hạt lớn hơn nên xuắt hiện nhiều vân sóng hơn. Tuy nhiên trong khoảng thời gian đầu, các vân mật độ vẫn đồng đều và không có sự ngắt quãng (như thời điểm f =4). Sau một khoảng thời gian, sóng Faraday
được tạo ra bởi dao động do sự tương tác với cường độ lớn giữa các hat trong hệ. Bên cạnh
đó, do sự thay đôi của hàm thé gây ra sự phản xạ tại biên và hình thành sóng bờ. Sự giao
thoa giữa sóng Faraday và sóng bờ tạo ra các hình ảnh sóng mật độ của hệ BEC trong bẫy
điều hoà ba chiêu. Hình ảnh sóng mật độ của hệ với các hoa văn phức tạp có nhiều điểm tương đồng vẻ mặt hình học với chất lỏng cô điển được quan sát ở nghiên cứu thực nghiệm [27]. Bên cạnh đó, điều kiện biên tuần hoàn được thé hiện rõ khi các hoa văn mang tính chất tuần hoàn góc tại mọi thời điểm.
t= 0, OmegaZ ~ 475 000099, 9 ~ 0.063148 t~ 4, OmegaZ ~ 458 258367, g ô 0.051922
10 0.00610
0.005
0004
0.003
0.002
0.001
-10 10
“10 5 9 $ 10 “10 5 0 5 10
x
t~ 19, OmogaZ = 451.777116, 9 = 0.061885 te 23, CmeqaZ ằ 494.979603, q = 0.062859
0.008
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
Hình 3.7. Sự thay đôi mật độ của hệ BEC theo thời gian trong mặt phăng x — y khi
tan số hàm thé điều hoà co, (1) = of, (1+0.05sin (10301)
và cường độ tương tỏc ứ; (7) = g’(1+0.02sin(2ô/,r)).
Như vậy, sự xuất hiện của sóng Faraday bị ảnh hưởng bởi cả tần số của hàm thế và cường độ tương tác của các hạt. Dé có hình ảnh rõ ràng trên bể mặt, cần đạt được hiện tượng cộng hưởng thông qua điều chỉnh tần số hàm thế và hàm tương tác. Điều này đã được dé cập trong nghiên cứu [16]. Thêm vảo đó, cần phải có thời gian dao động đủ lớn dé đạt được sự giao thoa của sóng Faraday và sóng bờ.
24