Lược đồ giải phương trình logarit•Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình•Bước 2: Lựa chọn phương pháp thực hiệnPhương pháp 1: Biến đổi tương đươngPhương pháp 2: Logarit hoá và đưa về cùng cơ sốPhương pháp 3: Đặt ẩn phụ, có 4 dạng đặt ẩn phụa.Sử dụng một ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành một pt với một ẩn phụb.Sử dụng một ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành một pt với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa xc.Sử dụng k ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành hệ pt với k ẩn phụ
Trang 1• Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình
• Bước 2: Lựa chọn phương pháp thực hiện
Phương pháp 1: Biến đổi tương đương
Phương pháp 2: Logarit hoá và đưa về cùng cơ số
Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ, có 4 dạng đặt ẩn phụ
a Sử dụng một ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành một pt với một ẩn phụ
b Sử dụng một ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành một pt với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x
c Sử dụng k ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành hệ pt với k ẩn phụ
Phương pháp 4: Hàm số bao gồm:
a Sử dụng tính liên tục của hàm số
b Sử dụng tính đơn điệu của hàm số Bài toán 1: Biến đổi tương đương (Logarit hoá & Đưa về cùng cơ số)
Dạng 1: Phương trình: log f xa ( ) =b
( )
< ≠
0 a 1
f x a
Dạng 2: Phương trình: log f xa ( ) =log g x a ( ) < ≠
0 a 1 f(x) g(x) 0
Ví dụ 1: Giải phương trình: Logx(x2 + 4x – 4) = 3
Biến đổi tương đương pt về dạng:
Biến đổi tương đương (Logarit hoá & Đưa về cùng cơ số)
Ví dụ 2: Giải phương trình:
Biến đổi tương đương pt về dạng:
< ≠
0 x 1
x 4x 4 x
< ≠
0 x 1
x x 4x 4 0 ⇔ ( < ≠− ) ( 2− ) =
0 x 1
x 1 x 4 0
< ≠
= ±
0 x 1
x 1
⇔ =x 2
3
log 2 x x 2 log 2x 2 0
log 2 x x 2 log 2x 2
+ >
2x 2 0
2 x x 2 2x 2
Trang 2Ví dụ 3: Giải phương trình:
Điều kiện:
Viết lại pt dưới dạng:
Hãy nhớ rằng:
> −
x x x 2 2 2 0
> −
2
3 log (x 2) 3 log (4 x) log (x 6) 2
( )
+ >
2
4 x 0
2 x 4
x 6 0
3log x 2 3 3log (4 x) 3log (x 6)
log x 2 1 log (4 x) log (x 6)
log 4 x 2 log (4 x) x 6
⇔4 x 2+ =(4 x) x 6− +
⇔
4(x 2) (4 x) x 6
4(x 2) (4 x) x 6
=
= −
⇔ = +
= −
x 2
x 1 33
x 1 33
=
x 2
x 1 33
a
log b c log ba
• a2 = a
• a.b =
Trang 3Điều kiện:
Viết lại pt dưới dạng:
Ví dụ 5: Giải phương trình:
Điều kiện:
Viết lại pt dưới dạng:
( )
+ >
+ + >
2
x 8 0
x 4x 4 0
lg x 8 lg x 58 lg x 2
2
lg x 8 lg x 58 lg x 2
lg x 8 lg x 58 x 2
(x3 8) (x 58 x 2) ( )
2
x 3x 54 0
=
⇔ = − ⇔ =x 9
2 log x =log x.log 2x 1 1+ −
x 0 2x 1 0 2x 1 1 0
>
2
1
log x log x.log 2x 1 1
2
2
1
2 log x log x.log 2x 1 1
2
2
log x 2log x.log 2x 1 1
log x 2log 2x 1 1 log x 0
3
2
log x 0
log x log 2x 1 1 0
=
⇔
x 1
x 2x 1 1 2x 1 2 2x 1 1
=
⇔
x 1
2 2x 1 x 2
=
x 1
2 2x 1 x 2
=
Trang 4log + x −3x 2 log+ + − x 1 log− = − x 2+
2
x 3x 2 0
x 2
+ >
Nhận xét rằng:
7 4 3− = 2− 3 Khi đó phương trình có dạng:
2
1
2
2
2log − x 3x 2 2log − x 1 log − x 2
log − x 3x 2 log − x 1 log − x 2
2
x 1
x 3x 2
−
2
x 1
x 2
x 3x 2
−
1
x 2
x 2
−
( )
2
Ví dụ 7: Giải phương trình: log x log x log x3 + 4 = 5
Điều kiện: x > 0
Ta biến đổi về cùng cơ số 3:
log x log 3.log x log x log 3.log x
=
=
Khi đó phương trình có dạng:
log x log 3.log x log 3.log x+ =
log x 1 log 3 log 3 0
⇔ + − = ⇔log x 03 = ⇔ =x 1
Ví dụ 8: Giải phương trình: logcosx4.logcos x2 2 1=
Biến đổi phương trình về dạng:
x 0
2
x 1
4 2x 1 x 2
¬ →
2
x 4
x 4x 0
Trang 5cosx
cosx 2 log 2 1
2
1
π
Ví dụ 9: Giải phương trình: log3 2x 3
x
−
Điều kiện: 2x 3 0
x− > ⇔
Biến đổi phương trình về dạng:
3 2x 3
log
0
x
3
−
Ví dụ 10: Giải phương trình: ( )2 ( 3 )
log x 1− =2log x + +x 1 Biến đổi phương trình về dạng:
2log x 1 2log x− = + +x 1
3
x 1 x x 1
x 0
Ví dụ 11: Giải phương trình: ( 2 ) ( )
2
log x − =1 log x 1−
Điều kiện:
2
x 1 0
x 1
x 1 0
− > ⇔ >
− >
Biến đổi phương trình về dạng:
log x − = −1 log x 1−
2
log x 1 x 1 0
(x2 1 x 1) ( ) 1
2
Ví dụ 12: Giải phương trình:
log x + + +x 1 log x − + =x 1 log x +x + +1 log x −x +1 Biến đổi phương trình về dạng:
Trang 6log x +x + =1 log x +x + +1 log x −x +1
2
x 0
=
Ví dụ 13: Giải phương trình: ( 2 ) ( 2 )
log x +3x 2+ +log x +7x 12+ = +3 log 3
Điều kiện: x22 3x 2 x3 x4 2 ( )
x 7x 12 0
< −
Viết lại phương trình dưới dạng:
log x +3x 2 x+ +7x 12+ =log 24
(x2 3x 2 x) ( 2 7x 12) 24
(x 1 x 2 x 3 x 4) ( ) ( ) ( ) 24
(x2 5x 4 x) ( 2 5x 6) 24 ( )2
Đặt t = x2 + 5x + 4, điều kiện t 9 ( )
4
Khi đó (2) có dạng:
t t 2+ =24⇔ + −t 2t 24 0= ⇔ =∗∗ t 4
Với t = 4:
x 5x 4 4
=
Ví dụ 14: Giải phương trình log x log x log x lg x2 + 3 + 4 =
Điều kiện: x > 0
Ta biến đổi về cùng cơ số 10:
log x log 10.lg x log x log 10.lgx log x log 10.lg x
=
=
=
Khi đó phương trình có dạng:
log 10.lg x log 10.lg x log 10.lgx lg x+ + =
lg x log 10 log 10 log 10 1 0
Ví dụ 15: Giải phương trình: x lg 1 2+ ( + x) =xlg5 lg6+
Viết lại phương trình dưới dạng:
lg 1 2+ −lg6 x lg5 1= −
Trang 76 2
x
x
+
Đặt t = 2x, điều kiện t > 0, khi đó phương trình có dạng:
1 t 1
t t 6 0
= − + = ⇔ + − = ⇔
=
x
Ví dụ 16: Giải phương trình: ( ) ( x 1 ) ( x ) ( )
x 1 log 3 log 3− + + +3 =log 11.3 −9 1
( )
1
log 3 − log 3 + 3 log 11.3 9
( x 1 ) ( x 1 ) x
3 − 3 + 3 11.3 9
( 1 ) ( 1 )
2
3 3 3 11.3 9
3 10.3 9 0
0
3 1
x
x
x x
⇔ = ⇔ =
log x+1 + =2 log 4− +x log 4+x 1
Điều kiện:
( )
2
x
x
− > ⇔ − < < ∨ < < ∗
+ >
( ) 1
4 log 4 1 log
4
x x
x
−
+
4
4
x x
x
−
+
2
2
1 0
1 4
4
4
x
x x
x
x
x
+ >
Trang 83
4
19 41
8
x
x
= −
⇔
− ±
=
( )
3 4
19 41 8
x x
∗ = −
⇔
− +
=