Báo cáo bài tập lớn môn học giải tích 2 Đề tài 5 ứng dụng của tích phân mặt

3 Một số ví dụ về ứng dụng của tích phân mặt 4 Tổng kết Tài liệu tham khảo 11... K BK 4 .` Khoa Khoa Học Ứng Dụng 2.1.2 Mat định hướng 5 được gọi là mặt định hướng mặt 2 phía nếu pháp ve

HT: |

DAI HOC QUOC GIA THANH PHO HO CHi MINH

TRUGNG DAI HOC BACH KHOA KHOA KHOA HOC UNG DUNG

BO MON TOAN UNG DUNG

BAO CAO BAI TAP LGN MON HOC : Giai tich 2

DE TAI 5 Ứng dụng của tích phân mặt

Giáo viên hướng dẫn: Lê Nguyễn Hạnh Vy

Lớp: L24

Nhóm: 11

Niên khóa: 2023-2024

Tp Hồ Chí Minh, Tháng 6/2024

€ Khoa Khoa Học Ứng Dụng

Bảng thành viên nhóm

STT | MSSV Ho Tén Mail liên hệ Ghi chú

1 2312181 | Nguyễn Văn Nam | nam.nguyen132465@hcmut.edu.vn

2 2312038 | Hồ Tuần Mẫn | man.hotuan@hcmut.edu.vn

3 2311394 | Nguyén Minh Kha | kha.nguyendevilcat@hcmut.edu.vn

4 2312322 | Tran Lé Kim Ngoc | ngoc.tranvivian08@hcmut.edu.vn

5 2310422 | Truong Dé Thanh | Danh | danh.truonghcmut@hcmut.edu.vn

6 2312025 | Võ Ngọc Xuân Mai mai.vo2312025@hcmut.edu.vn

€ Khoa Khoa Học Ứng Dụng

Nhận xét của GVHD

.` Khoa Khoa Học Ứng Dụng

Mục lục

1 Tích phân mặt loại 1

1.1 Cách hình thành tích phân loại l

12 Phuong phaptinh

2 Tich phan mặt loại 2

2.1 Cách hình thành mặt loại 2

2.11 Thấp vectơ của mặt cong

212 Mặt định hướng Ặ.ẶỐ

2.13 Quy ước về cách cho mặt

2.14 Cosin chỉ phương .-

2.2 Phuong phaptinh 0

3 Một số ví dụ về ứng dụng của tích phân mặt

4 Tổng kết

Tài liệu tham khảo

11

.` Khoa Khoa Học Ứng Dụng

Chương 1: Giới thiệu về tích phân mặt

1 Tích phân mặt loại 1

1.1 Cách hình thành tích phân loại 1

Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt cong 5, f{x,y,z) xác định trên S

Ta phân hoạch 5 thành các mảnh con Sk có diện tích Sk, Mk ¢ Sk

TE

= Téng tich phan: Sn =) “f(Mk) ôsk

k=1

1.2 Phuong phap tinh

Để Giả sử hàm số f(x,y,z) lign tuc trén m&t cong § tron cho béi phuong trinh z=f(x,y,z),(x,y,z) 6D Khi do:

[ feaneas= [ff fene@m) len? + (4) +1

Js JID

Chú ý:

- Nếu mặt cong S cho bởi phương trình y = y{z, x) hoặc x = xíy, z) thì ta phải chiếu § lên mặt phẳng Ozx hoặc Oyz để tìm miền tính tích phân kép tương ứng

- Nếu § là mặt cong kín, ta phải chia S thành hữu hạn các phan, sau đó áp dụng công thức (1)

2_ Tích phân mặt loại 2

2.1 Cách hình thành mặt loại 2

-Cho các hàm P, Q, R liên tục trên mặt định hướng 5 Gọi pháp vector đơn vị của $ la 7

I= ff, f(x, y).ids

Kí hiệu:

I= ff, Pdydz + Qdzdx + Rdady = ff,(P,Q, R).ids

Trong đó:# = (cos a, cos 6, cos +)

>I= ff,(P cosa +Qcos 8 + Rcosy) ds

2.1.1 Thấp vectơ của mặt cong

Cho mặt xong Š: F(a,y,z) =0

f = k- gradF(M), k # 0, là pháp vector cia S tai M

Lưu ý: Nêu Š có phương trình z = z(#,})

=f=k(,uz„—l) 3) hoặc #— k(—z/,—=z„l), nd kz0

K

BK 4

.` Khoa Khoa Học Ứng Dụng

2.1.2 Mat định hướng

5 được gọi là mặt định hướng (mặt 2 phía) nếu pháp vector tại M c S$ di chuyển dọc

theo I đường cong kín không cắt biên, khi quay về điểm xuất phát vẫn không đổi chiều Ngược lại, pháp vector dao chiéu, thi § được gọi là mặt không định hướng (mặt 1 phía)

+ Phía của § là phía mà khi ta đứng trên đó, pháp vector hướng từ chân lên đầu

Hình 2.2: Mặt ruột phía

Hình 2.1: Mặt hai phía

2.1.3 Quy ước về cách cho mặt

a Nếu các mặt cong có thể viết dưới dạng z=Zz(%,y})

= Lấy phía trên /dưới theo trục oz

b Nếu các mặt cong có thể viết dưới dạng y = y(x, 2)

= Lấy phía phải /phía trái theo trục oy

e Nếu các mặt cong có thể viết dưới dạng x — xÍy, 2)

= Lấy phía trước /phía sau theo trục ox

d Nếu các mặt cong tách không gian thành 2 phần trong/ ngoài có thể lấy phía trong/ phía ngoài

2.1.4 Cosin chỉ phương

a (=!)

Hình 2.3: t=cose, cosG, cosy Hình 2.4: Phía trén truc oz => cosy > 0

Biéu dién vecto don vi

x Hình 2.5: =ecoso, cos8, cos+%

Trang 4/11 Báo cáo bài tập lớn Giải Tích 2 - Niên khóa 2023 - 2024

€- Khoa Khoa Học Ứng Dụng

2.2 Phương pháp tính

Nêu R(x,y,z) liên tục trên mặt cong định hướng 5 trơn cho bởi phương trình z = z(x,y), (x,y) ¢ D thi:

I=ff, R(x, y, z)dzdy = + ff, R(a, y, a(x, y) )dady Lay dấu -+- khi lấy tích phân mặt loại hai theo phía trên của mặt $ Lay dấu - khi lấy tích phân mặt loại hai theo phía dưới của mặt S

3 Một số ví dụ về ứng dụng của tích phân mặt

Bài toán : Tính khối lượng mặt cong

Phương pháp giải: Ta có hàm mật độ p(z,, z) và mặt cong Š: z(z,) Khi đó khối lượng mặt cong là:

[ [eens

Ví dụ 1: Một người muốn biết khối lượng của một mái vòm thép có dạng mặt nón Š : z = 1-1/2? + y?

và biết hàm mật độ là = 2 — z

Giải

Khối lượng của mái vòm là: / [ (2 — z)ds

Ta có hình chiếu của mặt § xuống mặt phẳng oxy là: #2 + 2 < 1

=ds= /1+

WP +4 = V2dady

x32 + g2 x2 + g2

> 1= V3 [fio 2)aea = V3 ff (21+ VEEP) dey

Ta tham số hóa cho mién D:

2 = reos($),y = rsin( 8)

O<r<l

O<p<2r

>1=v5 | 0+

J JID

D:

r2 (cos)? +r? (sin)”).r drdyp

€ Khoa Khoa Học Ứng Dụng

_ gồm 1 = o1=v3/ av | ¬ =

do Jo ‹

Vậy khối lượng của mái vòm là: ov T

Bài toán: Tính thông lượng đi qua mặt

Phương Pháp giải: Ta có trường vectơ / F (x,y,z) -ds tiv d6 có công thức tính thông lượng qua

mặt S là: F Tử dã, với ? là pháp vectơ đơn vị của mặt cong 5

Ví dụ 2: Cho ở (x,y,z) =(2x,2y,z) (đơn vị m/s) là trường tốc độ của dung dịch muối và khối lượng riêng ø của dung dịch là 80kg/mở

Tính thông lượng của dung dịch đi qua mặt cong Š$ : z2 + ÿ? + z2 = 9,z >0

Giải Công thức tính thông lượng cho bài toán này là:

of vt ds F(œ,0,z) =a? +y?+22-9=0

VE = (2a, 2y, 2z)

Do z > 0, ta có:

a VE (x,y, 2)

tỉ — Mees

|VE| 3 7-80 [fen meh ene 80 [ [208 +2y? + 27) ds

= 390 ff #° +12 +9) ds

§: 2z = 8T #2 + 2

= dady

—#°

Ta có hình chiếu D của mặt cong 9 lên oxy

wr +y? <0

+z2+2 +9

+ 1=80 ff, — Ee rdy yf

Ta tham số hóa D _ cách đặt# = r cos Ó, = rsinó

0<r<3 0<<2z

Ð \/9—r cos? (i —r2 sin? (y)

=> [=80- [ dp | 2

Jo Jo V9—

Vậy thông lượng dung dịch di qua mặt Š là 72007

rdr = 80 [ Addy = 72007

0

&)

.` Khoa Khoa Học Ứng Dụng

Bài toán: Tính diện tích mặt cong

Ví dụ 3: Một kiến trúc sit muon xây dựng một tòa nhà với mái hình tròn Mái nhà được cho bởi công thức z = 10 — #2 — g2 với z2 + 2 < 4 Tính tổng diện tích của mái vòm để chuẩn bị nguyên liệu xây dựng

Giải

Ta có hình chiến D của 8 lên mặt oxy IA x? +y? <4

S:z=10—z2_— g2

= ds = VI + 422 + 4y? drdy

Vậy tổng diện tích mặt cong Ð là:

I= ffp ds = [fprJ/1 +42? + 4y?dady

Ta tham số hóa D : # = rcosó, = rsin¿

D: 0<r<2

0<œ<3z

T= [fpr +4r? cos? () + 4r2sin (y) 2dr dp = Jfarv1 + 4r2drdy

T= fo dp for Var + Idr = 5,76 [” dip = 11,520

Vay tổng diện tích cia mai vom 1A : 11,527

Sit dung matlab dé kiểm tra đáp án

Phan hién thi trong Editor

> % Dinh nghia ham z theo x va y

z = @(x,y) 10 - x.72 - y.7

% Định nghĩa các đạo hàm riêng của z theo x và y

dz_dx = @(x,y) -2*x;

dz_dy = @(x,y) -2*y;

% Dinh nghĩa hàm tích phần để tính điện tích bề mặt

integrand = @(x,y) sqrt(1 + dz_dx(x,y).72 + dz_dy(x,y).72);

% Dinh nghia giéi han tich phan cho vùng tròn cố bán kính 2

r_max = 2; % bán kính của hình tròn

% Thiết lập các giá trị góc theta và bán kính r

theta = linspace(0, 2*pi, 100); %4 phạm ví gốc từ 0 đến 2*pi

r = linspace(0, r max, 100); % phạm ví bán kính từ 0 đến 2

% Tạo lưới điểm cho tọa độ cực

[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Chuyển đổi tọa độ cực sang tọa độ Descartes

X = R * cos(Theta);

Y = R * sin(Theta);

5 ⁄% Tính giá trị hàm tích phân tại mỗi điểm trên lưới

Integrand_values = integrand(X, Y);

% Tinh tích phân kép sử dung quy tắc hình thang để tính toán điện tích

Surface_area = trapz(theta, trapz(r, R * Integrand values, 2));

% Hién thi két qua

.` Khoa Khoa Học Ứng Dụng

32 fprintf(C'Diện tích của mấi vòm là: %.2f m72\n', Surface_area);

Phan két qué trong Command Window

l1 Diện tích của mái vòm là: 36.18 m^2

Ví dụ 4 : Tính thông lượng từ qua một vòng dây dẫn trong từ trường đều ,vòng dây hình tròn có bán kính 0.5m ,nằm trong từ trường déu B=(0,0,2) T

Phương pháp giải: sử dụng phương pháp Gauss cho từ trường

Ifo Brvas

; Giai

O day Ø là vecto pháp tuyến đơn vị của vòng tròn

fJ„ B3 ds = B.A = 3.a.(0.5)° = 0.5m?

Sử dụng matlab để kiểm tra đáp án

Phân hiển thị trong Editor

1% MATLAB code để tính thông lượng từ qua một vòng đây dẫn trong từ trườ

ng đều

2

3r = input('nhap gia tri ban kinh vong day =');

4

5 x = input('nhap x cho vector tu truong B =');

6 y = input('nhap y cho vector tu truong B =');

7 z = input('nhap z cho vector tu truong B =');

8

9

10 J = [x, y, z]; % Vector tu trường B đơn vị A/m72

11

12 % Tính điện tích mặt cắt của day

= pi * r72; % Area in m^2

15 % Tính cường độ đòng điện qua mặt cắt đây

16 flux = J(3) * A;

18 % Hiển thị kết quả

19 fprintfC'Cường độ đòng điện qua mặt cắt đây bằng: %.2f A\n', flux);

Phan két qué trong Command Window

1

2 nhap gia tri ban kinh vong day =

3.0.5

4 nhap x cho vector tu truong B =

5.0

6 nhap y cho vector tu truong B =

7 0

8 nhap z cho vector tu truong B =

92

10 Cường độ đòng điện qua mặt cắt dây bằng: 1.57 A

&)

oe

oe

€ Khoa Khoa Học Ứng Dụng

Ví dụ 5: Tính công suất điện qua bề mat cắt ngang của một dây dẫn, với dây dẫn là hình tru có bán kính 0.01m, chiều dài 1m, dòng điện j = (0,0,108) A/mỂ

Phương pháp tính: Sử dụng tích phân mặt để tính tổng dòng điện qua bề mặt:

Giải

Với bề mặt ,Š là mặt cắt ngang của dây dẫn:

T= Ry ffg J’: 7 ds = J-A=10%r(0.01)? = 1007 A

Sit dung matlab dé kiểm tra đáp án

Phan hién thi trong Editor

H = input('Nhập bán kính dây dẫn (đơn vị mết): ');

% Yêu cầu người dùng nhập vector đòng điện J

x = input('Nhap x cho vector dong dien J (don vi A/m72): ');

y = input('Nhap y cho vector dong dien J (don vi A/m72): ');

Z = input('Nhap z cho vector dong dien J (don vi A/m72): ');

J = [x, y, z]; % Vector dòng điện J

% Tính điện tích mặt cắt ngang của dây dan

A = pi * r72;

% Tinh téng dòng điện đi qua mặt cắt ngang

tong_dong_dien = J(3) * A;

% Hién thi két qua

fprintf('Téng đòng điện đi qua mặt cắt ngang là %.2f A.\n', tong_dong_

đien);

Phan két qué trong Command Window

Nhập bán kính dây dẫn (đơn vị mét):

0.01

Nhap x cho vector dong dien J (don vi A/m72):

0

Nhap y cho vector dong dien J (don vi A/m72):

0

Nhap z cho vector dong dien J (don vi A/m72):

10.76

Téng đồng điện đi qua mặt cắt ngang là 314.16 A

.` Khoa Khoa Học Ứng Dụng

4 Tổng kết

Qua bài báo cáo bài tập lớn Giải tích 2 lần này, chúng em đã có rất nhiều trải nghiệm làm việc nhóm cùng nhau Đồng thời, chúng em cũng rất biết ơn cô Hạnh Vy đã cung cấp kiến thức một cách đầy đủ nhất để chúng em có thể hoàn thiện bài báo cáo một cách trọn vẹn nhất Tuy lúc làm việc nhóm, chúng em không tránh khởi những sự không hiểu ý, mơ hồ về ý tưởng và nội dung nhưng với sự đoàn kết và giúp đỡ lẫn nhan, chúng em đã có thể hoàn thành bài báo cáo này Đối với nhóm chúng em, bài báo cáo Giải tích 2 như một hành trang kiến thức mới về mảng ứng dụng và sẽ giúp ích rất nhiều trong tương lai của chúng em

Những nội dung đã làm được

e Hoàn thành nội dung nghiên cứu

e Nắm rõ về tích phân mặt và ứng dụng của nó

e Giải quyết được các bài tập được giao

Những thuận lợi và khó khăn trong quá trình nghiên cứu

Thuận lợi

e Dé dang tìm kiếm được thông tin, các bài báo

e Các thành viên đều tích cực phối hợp tham gia

khó khăn

e Trong quá trình tìm hiểu còn nhiều thông tỉn chưa hiểu rõ

e Thời gian của các thành viên còn khác nhau dẫn đến khó làm

.` Khoa Khoa Học Ứng Dụng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

https://egyankosh.ac.in/bitstream/123456789/22973/1/Unit-7.pdf https://luatminhkhue.vn/thi-truong-la-gi.aspx

Giáo trình Tài chính doanh nghiệp, NXB Tài chính

= T.V.T Marine Automation Company Limited, Jane Nguyen

Samuelson Paul A., Nordhalls Wiliam D, Kinh tế học, Nhà xuất bản Tài chính (2007)

https://mathstat.slu.edu/ may/ExcelCalculus /sec-7-8-BusinessA pplicationsIntegral html

aD https://staff.agu.edu.vn/ltduy /files/2012/10/Applications-of- the Integral-in-economics.pdf