Bộ môn giải tích 2 báo cáo bài tập lớn

Một lần nữa chúng ta hãy trở lại với cách giải thích trường vectơ là trường vận tốc của một chất lỏng không nén được đang chuyên động.. Nếu tổng thông lượng của trường vận tốc hướng ra n

ĐẠI HỌC QUOC GIA THANH PHO HO CHI MINH TRUONG DAI HOC BACH KHOA KHOA KHOA HOC UNG DUNG

BO MON GIAI TICH 2

(1) — Co SO Li AHUYEt cc cecccecscssssssssssecssssessesssssssssssassecsssessvesssvscssvecsusessiseasscsasscsassessssessretsasecssvesseseeseees 10

(2) — Bài tập à HH HH HH HH HH HH g1 1t 13 Section 16.03 Green's Theorem 1n the PaT€ Tnhh HH TH TH TH rệt 21

(1) — Cơ sở lí thuYẾt 2L th như HH 1g rea 21

(2) — Bài tập à HH HH HH HH HH HH g1 1t 23 Section 16.04 The DIvergence Theorem 1n 3-ŠDAC© nh HH Hà Hàn Hà Hàn Hà Hàn HH Hà tr 28

(1) — Cơ sở lí thuYẾt 2L th như HH 1g rea 28

(2) — Bài tập à HH HH HH HH HH HH g1 1t 29 Section 16.05 Stokes's THeOT€TH HH HH HH HH HH HH HH HH HH HH TH HT HHỜ 34

(1) — Cơ sở lí thuYẾt 2L th như HH 1g rea 34

2) — Bàitập HH KH HH HH HH HH HH HH HH HH 34 Section 16.06 Some Physical Applications of Vector CalculUs che 43

(1) — Co SO Li AHUYEt cc cecccecscssssssssssecssssessesssssssssssassecsssessvesssvscssvecsusessiseasscsasscsassessssessretsasecssvesseseeseees 43

(2) Bal aD nnn Hà HH Hà Hà hà HH HH HH HH HH HH Hàn 49 Section 16.07 Orthogonal Curvilinear COOTdInaf©s nh Hà HH on Hà Hot 57

(1) — Cơ sở lí thuYẾt 2L th như HH 1g rea 57

(2) Bal aD nnn Hà HH Hà Hà hà HH HH HH HH HH HH Hàn 58

1|Page

Chapter 16 Vector Calculus

Section 16.01 Gradient, Divergence, and Curl

(1) Cơ sở lí thuyết

Định lý 1:

Sự khác biệt như mật độ từ thông

Nếu Ñ là đơn vị pháp tuyến ngoại tiếp trên mặt cau 4, có bán kính e có tâm tại điểm P, và nêu F là một trường vectơ ba chiều trơn, thì

div F(P) = lim ine f6.3.F-NdS

Bang chung Không mất tính tông quát ta giả sử P ở gốc tọa dé Chung tdi muén mé réng F = Fit Fạj + Fạk trong một sê-ri Taylor về nguồn gốc (một sê-ri Maclaurin) Như đã trình bày trong Phần

chứng 12.9 đối với hàm hai biến, chuỗi Maclaurin đối với hàm giá trị vô hướng gồm ba biến có dạng

Fyo

một lần nữa, dau " " đại điện cho các số hạng cấp hai trở lên trong x, y và Z Đơn vị bình thường trên

4c là Ñ = (xi + yj + Zk)/ , vì vậy chúng tôi có

FeN= = (Fo @ix+ Fy @jy+ Fy @kz + Fyo @ ix? + Fyo @j xy + Epo @Kkxz + Fy @ixy+Fyo @jy? + Kyo @kyz + Fy @ixz + Fyo @j yz + Fyo®kz?+ )

Ching tôi tích hợp từng thuật ngữ trong ngoặc đơn trên 4, Bang cach doi ximg,

đPs¿xd$ = đPs¿y dS= 4s¿zdS =0, fps, xydS = {Ps¿xz d$S = hs, yzdS =0,

Ngoài ra, do đối xứng,

đPs¿xˆ d$= đPs¿y?dS= {Ps¿z? d§ = 0,

1 2 2 2 1 2 2 4

=s $#(x?+y?+z?)dS = sứ )(4me?) = gre,

Se

với e > 0+ Đây là những gì chúng tôi muốn thê hiện

Nhận xét: Cac mặt cầu 5c trong định lý trên có thể được thay thế bằng các họ co rút khác của các

bề mặt nhẫn từng phần Chẳng hạn, nếu Z là bề mặt của hình hộp chữ nhật có kích thước Ax,Ay, và

Az chứa P thì

1

Ax vali >0 Ax Ay Az div F(P) = {fF @N dS

Trong hai chiéu, gia tri div F(P) biểu thị từ thông giới hạn trên một đơn vị diện tích hướng ra ngoài

qua các đường cong khép kín nhỏ, không tự giao nhau bao quanh P Bài tập 13 ở cuối phần này

Một lần nữa chúng ta hãy trở lại với cách giải thích trường vectơ là trường vận tốc của một chất lỏng

không nén được đang chuyên động Nếu tổng thông lượng của trường vận tốc hướng ra ngoài qua bề

mặt biên của một miễn là đương (hoặc âm), thì chất lỏng phải được tạo ra (hoặc triệt tiêu) trong miền

đó

Trường véc tơ F = xi + yj + Zk của Ví dụ 2 ở mục 15.6 có phân kỳ không đổi, V ® F = 3 Trong ví

dụ đó, chúng tôi đã chỉ ra rằng từ thông F ra khỏi một hình trụ nhất định có bán kính đáy a và chiều cao 2ÿ là 6ra^h gấp ba lần thê tích của hình trụ Bài tập 2 và 3 mục 15.6 khẳng định kết quả tương tự đối với thông lượng của F ngoài các miền khác Điều này dẫn đến một cách giải thích khác cho sự phân

ky: div F(P) là cường độ nguồn trên một đơn vị thê tích của F tại P Với cách giải thích này, chúng ta mong đợi ngay cả đối với một trường vectơ F có sự phân kỳ không liên tục, thì tổng thông lượng của

F ra của bề mặt ø của miền ? sẽ bằng tổng cường độ nguồn của F trong 7; đó là,

ff F@Nds = fff, V@F dv

Đây là Định lý phân kỳ mà chúng ta sẽ chứng minh trong Mục 16.4

Dinh nghia 1:

Phan phối Dirac 6 (x) (còn được gọi là hàm delta Dirac, mac du no thye sự không phải là một ham)

là "giới hạn" của chuỗi đ„(x) vein > œ Nó được xác định bởi yêu cau rằng

ƒ ð(z)ƒ(x)dx = ƒ(0) với mọi hàm tron f (x) sứ

Một sự thay đôi chính thức của các biến cho thấy hàm đelta cũng thỏa mãn

ƒ ð(x-1)ƒ(t)dt = ƒ(x)

Định lý 2:

Curl như mật độ lưu thông

Nếu F là trường vectơ trơn và C; là một đường tròn bản kính e có tâm tại điểm P và giới hạn một đĩa

#¿ với pháp tuyến đơn vị Ñ (và hướng kế thừa từ C,; xem Hinh 16.2), thi

Jim, § F@dr=N @curl F(P)

—œ

Ví dụ 5 cũng gợi ý định nghĩa sau cho vận tốc góc cục bộ của chất lỏng chuyển động:

Vận tốc góc cục bộ tại điểm P trong chất lống chuyên động với trường vận tốc v(P) được cho bởi

Q(P) = — v(P)

(2)

Cau 1:

Cau 2:

Dinh ly 2 phát biểu rằng vận tốc góc cục bộ @(P) là vectơ có thành phân theo hướng của bất kỳ vectơ

đơn vị Ñ nào bằng một nửa của tuần hoàn giới hạn trên một đơn vị diện tích xung quanh các đường tròn biên (được định hướng) của các đĩa tròn nhỏ có tâm là P và có Ñ bình thường

Không phải tất cả các trường vecto có độ cong khác không xuất hiện để lưu thông Trường vận tốc đối với chuyên động quay của vật rắn được xem xét trong Ví dụ 5 đường như quay quanh trục hóa ra lại không phụ thuộc vào vị trí của vòng tròn; nó chỉ phụ thuộc vào khu vực của nó Vòng tròn thậm chí không cần phải bao quanh trục quay Vi du sau đây khảo sát một trường vận tốc chất lỏng có các dòng chảy là các đường thắng nhưng vẫn có độ cong khác không, không đổi và do đó, vận tốc góc cục bộ không đôi

Bài tập

Gọi F = Hịi + Fạ] + F;k = xÏ + y] là trường vectơ đã cho voi Fy = x, Fy = y va Fz = 0.Khi đó, từ định nghĩa phân kỳ của trường vectơ ta biết, với mọi điểm p thuộc miễn xác định của trường vectơ F thi

ôF; Fs

ay (0) * 2; 0)

OF, div Fl, = 5, )+ 5

Bây giờ, từ định nghĩa về độ cong của trường vectơ, chúng ta biết rằng, với mọi điểm p trong miễn xác

định của trường vectơ F, điều đó

Gọi F= Fyi + Fj + Fak =xi+ yj la trường vectơ đã cho VỚI h = 3 Fy =xva Fa =0 Khi đó, từ

định nghĩa phân kỳ của trường vectơ ta biết, với mọi điểm p thuộc miền xác định của trường vecto F thi

Goi F = FHịi + Hạ] + Fak = yÏ + zj + xk là trường vectơ đã cho với Hị =y, Fạ = z và Fa = x.Khi

đó, từ định nghĩa phân kỳ của trường vectơ ta biết, với mọi điểm p thuộc miền xác định của trường vecto F thi

0F; OF;

By (0) * Gz ®):

OF div Fl, = 5, ) + 5

Bây giờ, từ định nghĩa về độ cong của trường vectơ, chúng †a biết rằng, với mọi điểm p trong miền xác

định của trường vectơ F, điều đó

OF: OF: OF, OF- OF OF;

curl Fl, = 2y) - = (p)i+ 55 (0) - (p)]+—(p) - Fy

Vì vậy, chúng ta có

Ox az, oy Ox _ OZ ay curl F|,, = ayf) _ az (P) i+ a0) — 2x?) J+ 5x (P) — ay) k

Do d6, curl F = -(i+j+k)

ấy 0)Z(p) +x{p)ạy()— gy)Z) — - y();- (p)k

( theo quy tắc Leibniz, (hoặc, quy tắc tích) của tích hai hàm)

Ox dy az _ Ox 00 Ox

` 8x 0y Oz

=1+0

=> 1 Danh gia curl F

OF; OF OF, OF OFp 0h „ curlF = ——~——— =——— =_-j+— —-_—

Oy az 0z Ox Ox oy

ax 90 Ox Ox 00 Ox „

ñy a a wm

Danh gia div F

aF, OF) ôF divF = 142, `

Danh gia curl F

QF; 0F OF, OF OF OF

Ox ởy Oz _ Of (x) dg(y) , ah(z)

Ox ởy 0z

= f(x) +9') +h'(z)

Danh gia curl F

OF, OF) OF, OF; OF, OF, - curl F = —— 0y az dz Ox!” Ox 0y

_ ah(z) ag(y) ta af(x) ah(z) an ag(y) af(x) ~

Danh gia div F

OF, OF, OF

div F = —14+ 24 23

Ox 7 0z af(z) af(z) a0

Ox ởy 0z

=0+0+0

= 0 Danh gia curl F

khir? = x2 + y?, thi

Định lý 3: Nhận dang vi phan vector

Cho ở và w la các trường vô hướng và F, Œ là các trường vector, tat ca được giả định là đủ sao cho các đạo hàm riêng trong các đơn vị đều liên tục Ta có các đăng thức sau:

(a) V(óU) = $Vự + ỨVó

(b) V e(óF) = (Vó) eF +ó(V eF)

(c) V x (fF) = (Vo) x F+ o(V x F)

(d) V e(F x G) =(V x F)eG—Fe(V x G)

(f) V(FeG)=Fx(V xG)+Gx(V x F)+ (Fe V)G+(GeV)F (g) Ve(VxF)=0 (div curl = 0)

(h) Ÿ x(V¿)=0 (curl grad = 0)

(i) Vx(VxF)=V(VeF)—V°F

(curl curl = grad div — Laplacian)

Dang thức từ (4) — (ƒ) được xác định từ Quy tắc nhân và là đẳng thức cấp một chỉ liên quan đến một

ứng dụng của vectơ gradient Đăng thức từ (g) - (i) là đăng thức cấp 2 Cac đăng thức (g) va (h) tương đương với đăng thức của các đạo hàm riêng hỗn hợp và đặc biệt quan trọng đối với

sự hiểu biết vé div va curl

Chứng minh: Ta sẽ chứng minh các đăng thức (c), (e), (g) Các chứng minh còn lại sẽ được chứng

minh 6 phan bài tập

(c): Thanh phân thứ nhất ( ¡ ) của V x (PF) la:

là bằng nhau Đề tính thành phan đầu tiên của ta V x (F x Œ) cần các thành phần thứ 2 và thứ 3 của

Cộng 4 phan tử này lại, ta triệt tiêu vài phan tử và chỉ còn lại các số hạng giống như trong thành phần

(g): Day la mot phép tính đơn giản liên quan đên sự băng nhau của các đạo hàm riêng hon hợp:

Thê năng vô hướng:

Hai phan tử đặc biệt được sử dụng đề mô tả các trường vectơ mà độ phân kỳ hoặc độ cong của nó bằng

0

Định nghĩa 2: Trường vectơ Solenoid và vô rota (không quay)

Trường vectơ F được gọi là solenoid trong miền D nếu div F=0 trong D

Trường vectơ F được gọt là vô rota trong miền D nều curl=0 trong D

Phần (h) của định lí 3 nói rang F = grad > curlF = 0 Do dé, mọi trường vectơ bảo toàn đều vô

rota

Phan (g) của định lí 3 nói rằng F = curlG => divF = 0 Do đó, đọ cong của bất kỳ trường vectơ nào

la solenoid

Nếu tập xác định của F thỏa mãn một số điều kiện thì điều ngược lại với các khăng định này đúng

Định lý 4: Nếu F là một trường vectơ xác định, vô rofa trên một miền liền thong đơn giản D, thì

F = V$¢ đói với một hàm thế vô hướng xác định trên D, do đó F bảo toàn

Dinh ly 5: Néu F la mét trường vectơ xác định, solenoid trên một miễn D với tính chất là mọi mặt đóng trong D giới hạn một miện chứa trong D, thì = curiG đôi với trường vectơ G nào đó được xác định trên D Trường vectơ G này được gọi là một thế vectơ của trường vectơ F

Chứng minh định lý 4 cho các miền hình sao Không mất tính tông quát, chúng ta có thé cho P, là gốc Nếu P=mqx y 7) là một điểm bất kỳ trong D, th đoạn thẳng r(t) = fxÌ + tyj + tzk, (0<r <1),

Tuong tur, 0¢/dy = Frva 06/0z = F3.D0 doi VO = F

Chứng minh định lý 5 cho miền hình sao tương tự, ta sẽ chứng minh ở phân bài tập ở phần sau

Lưu ý rằng vectơ thế khi chúng tồn tại, chúng không phải là độc nhất Vị curl grad ó hoàn toàn bằng

0 (định lí 3(h)), một trường bảo toàn tùy ý có thê được them vào G mà không làm thay đôi giả trị của curl Œ Ví dụ sau minh họa mức độ tự do mà bạn có trong việc đưa ra các giả thiết đơn giản hóa khi có gắng tìm một thế vectơ

EXAMPLE 1 Chứng tỏ rằng trường vectơ F = (xˆ+yz)i—2y(x+z)j]+(zxy+z“k là một

———————— trường solenoid trong không gian R và tìm thế vectơ của F

Lời giải:

Vi div F= 2x — 2(x+z) +2z=0 trong RỶ, F là trường solenoid Một thé vecto GŒ dối với F phải thỏa mãn

curl G = F; do la:

Ba thành phần của G có 9 đạo hàm riêng cấp 1 độc lập, do đó có 9 “bậc tự do” liên quan đến việc xác

định chúng Ba phương trình trên sử đụng hết 3 trong số 9 bậc tự đo này Còn lại 6 Chúng tahayx thử

tìm nghiệm G với G;=0 giống nhau Điều này có nghĩa là cả 3 đạo hàm riêng đầu tiên của G› đều bằng

0, vì vậy chúng ta đã sử dụng hết 3 bậc tự do để đưa ra giả định này Còn lại 3 Phương trình đầu tiên

Gị=-2 / yzđz = —yz? + N(x, y)

Ta không thể giả sử rằng N(x,y)= 0 được vì điều đó sẽ yêu câu 2 bậc tự do và chúng ta chỉ còn 1 Tuy nhiên, phương trình thứ 3 ngụ ý răng:

xy+z“=—-— = 27° -—

Do đó, (0/dy) N(x, y) = —xy, thay rang cac phan tử liên quan đến z đã bị triệt tiêu Điều này xảy

ra vì điv F= 0 Nếu F không phải la solenoid, chúng ta không thê xác định N là một hàm của x vay chi

từ phương trình trên Tuy nhiên, ta có:

l N(qx,y)= -J xydy = “5 xy? + P(x)

Ta có thể sử dụng bậc tự do cuối cùng của mình đề chọn P(x) đồng nhất bằng 0 và do đó có được:

2

> xy"), 2, , ¥%

G= —(yz + —)i+ (x yt =)k

là thế vectơ cần tìm cho E Ta có thê kiểm tra curl G= E Tat nhiên, các lựa chọn giả định đơn giản hóa

khác sẽ dẫn đến các hàm G khác nhau, điều này sẽ đúng như nhau

Ta có về phải:

ye Ney tae ethg aS Ps,

Sau đó ta nhóm các nhóm lại nhự sau:

> .( 2 3 — OF; as 2 OF, Seto OF, OF; ử OF, eee OF, et

Gs (Ge 7) tha, tho, the,

vx p= (2 * (5 m)in(S 65 = )a+ (FE OF ) j 2n)

Do đó:

0 (OF, OF\\| O (OF, OF; O (OF; OF»

ae (Seay )|* Las (Ge ae) 8y (ấy — øx )

-Tuy nhiên không thê biết duoc div F bằng bao nhiêu vì đường sức có thê phân tan hoặc thu hep lai

mà không hình thành 1 điểm Do đó, div F có thê khác không tùy vào cầu trúc của trường vectơ F

-Theo giả thuyết, ta co:

V(é-7) =V (ec¡# + cs + ca)

=—— (e¡# + ca + esz) - (cya + ƒz + esz) 2

8 + — (cx + coy A: | y + c3z)k )

Suy ra: {Vg la 1 thé vector của F x G

Section 16.03 Green's Theorem in the Plane

(1) Cơ sở lí thuyết

THEOREM Lí thuyết định lý Green

Đặt R là một vùng kín, đóng trên mặt phẳng Oxy va cé ranh giới là €, bao gồm một hoặc nhiều đường cong khép kín, và trơn từng mảnh được định dương đối với R Nếu FHF, (x, y}i +ử; (x, +)? là một trường vector trơn trên R, thì

§ Fi(x,y)dx + Fa(x,y)dy = ÍÍ en - of ds

ax Oy PROOF

và

x

Tu R la y-simple, n6 dure chi dinh béi cac bat dang thire co dang a < x <b, f(x) sy S$ g(x), voi

đường biên bên dưới là y = ƒ (x) được xác định hướng từ trái qua phải, và đường biên g{x) được xác định hướng từ phải sang trái

$ Fi(x,y)dx = [ŒŒ ƒŒ)) - Fi(x,ø(x))) dx = J- TT dxdy

Tương tự, vì R la x-simple, § Fody = lạ “axdy, vay

§ i(x,y)dx + (x, y)dy = ff - —~)ds

Dinh ly Divergence hai chiéu € R

Định lý sau đây là một công thức thay thế của định lý Funda-mental hai chiều của giải tích Trong trường hợp này, ta biểu diễn tích phân kép đíøF trên R dưới dạng tích phân đơn của thành phần chuẩn bên ngoài của È trên ranh giới C của R

THEOREM Định lý Divergence trong mặt phẳng

Cho R là một vùng đều đặn, khép kín trong mặt phẳng Øxy có ranh giới Œ, bao gồm một hoặc nhiều

đường cong khép đơn giản, trơn từng mảnh Hãy biểu thị đơn vị bên ngoài (từ R) trường trên € Nếu

F =H(%,y)¡ + F¿(x,y)/ là vector trơn trên R, thì

ff dioFdS = §F - N`dI

Như đã quan sát trong từng đoạn thứ hai của phan nay, N = T x k, trong do T là trường tiếp tuyến đơn

vị theo hướng đương của € Nếu Ÿ = Tịí + Tạ/ thì Ñ = Tại — TJ Bây giờ hãy để Œ là trường vector

với Œị = —F; và Œ; = Fị Khi đó, G - Ÿ = F - Ñ và theo định lý Gren ta được

Su dung dinh li Green ta co:

I = 9 (sinx + 3y?)dx + (2x — e~*”dy

= ff (2 - 6y)dxdy

Dat x = rcosy, y =rsing D

Trong do: (o Soest

= ff (3 + 2y)dxdy Trong do: { 0<xs1

1 = $x*ydx — xy?dy = ff (-y? —x?)dxdy - f x*ydx — xy*dy

Với Œ¡là đường thăng y = 0 nên ta có: >

ƒ x2ydx - xy°dy = xˆ° 0dx — x.02dy = 0

Cy Suy ra:

S(D) = ff dS =$ xdy =§ ydx = zjxdy — ydx

Với đường cong ? = acos*(t)i + bsin? (7 với 0 < £ < 27 chúng ta có được:

x =acos*(t) > dx = —3acos?(t)sin (t)dt Sau dé y = bsin3(t) > dy = 3bsin?(t) cos(t) dt

Ñ: là trường đơn vị thường nằm bên trén C

Fila truong vector tron

Các tọa độ trung bình là

Section 16.04 The Divergence Theorem in 3-Space

với Ô là tập mở, bị chặn trong IRỂ có biên S € CÍ với pháp tuyến ngoài, đơn vị trên biên n; con F:

RỶ là trường véc-tơ thỏa mãn F e C10) n C(Ó) và đạo ham F’ bi chan trên 2

Công thức Ostropradskii-Gauss còn được gọi là công thức DIV (Divergence theorem)

Trong mặt phẳng công thức Green:

J[ (9,Q — 8yP)dxdy = [ Pdx + Qdy

với D là tập mở, bị chặn trong mặt phẳng có biên CEC! duoc định hướng dương phù hợp với D còn P,Q:D — Ï]R là các hàm thỏa mãn P, Q € c1(D) ñ cD ) va Py, Qx bi chan trén D Bang cach dat trường F = (Q,-P) ta có thê viết lại công thức Green

ff div(F)dxdy = f F-nds

€ với n là pháp tuyến ngoài, đơn vị của C

Như vậy ta có công thức DIV cho mat} phẳng tương tự như trong không gian Một cách tông quát ta có công thức DIV khi © la tap mở, bị chặn trong IR* với biên § 6 CÍ và trường F:Õ — IR* thỏa mãn F € c1(o) nC() và đạo hàm F' bị chặn trên O Công thức DIV tông quát này được dùng nhiều trong phương trinh vi phan dao ham riéng (PDEs)

Chú ý nếu © 1a hình lập phương (các cạnh song song với các trục) thì công thức DIV chỉ là sự mở rộng đơn thuần của công thức Newton-Leibniz cho trường hợp nhiều biến Đề ý thêm trong trường hợp đơn giản này biên S không thuộc lớp C†! Tuy nhiên:

+ trong mặt phẳng: chỗ không thuộc C† là bốn đỉnh có độ dai 0;

+ trong không gian: chỗ không thuộc C† là 12 cạnh có diện tích 0

Ta đến công thức DIV cho tập O tông quát hơn sau:

+ Ô mở, bị chặn trong R” ;

+ biên S gồm hai phần

% có (n-l)- thê tích 0, nghĩa là voi bat ky § > 0 ta đều có thể phủ So boi ks hình cầu bán kính & sao

cho Am đt =0

Trong tọa độ câu:

2x+ 2y+ 1= 2pcos8sin $ + 2p sin 9 sin $ + 1

Bai 4:

Bai 5:

= 2psing (sin@ + cos8) + 1

dV =p? sing Vay