Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 2 tham số hóa mặt cong

Điều này cho phép chúng ta mô tả đường cong không chỉ là một đồ thị, mà còn như là hình ảnh của một điểm chạy theo một hàm vector tham số khi tham số thay đổi.. Sau khi xác định được các

ĐẠI HỌC QUÓC GIA THÀNH PHÓ HÒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

6

c2 BAO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 2

THAM SÓ HÓA MẶT CONG

NHÓM DL06_ 03

TP HCM, 12-2023

Nội dung dé tai 03:

1 Tìm hiểu về tham số hóa mặt cong: tham số hóa mặt cong là gì, một số cách tham số hóa mặt cong đơn giản

2 Trình bảy cách tìm pháp vector của mặt cong cho đạng tham số Dựa vào công thức trên giải thích tại sao mặt cong z = ƒ(x,y) có pháp vector tại P(Xg„Vg.Zạ), với Zạ= /(Xo.Vo)

là n= ((4o.0) ͧ(Xo.Vo) -1)

3 Trình bày cách tính diện tích mặt cong cho dạng tham số Dùng công thức này chứng

minh lai: neu mat cong co dang z =f (x,y) thì diện tích phân mặt cong có hình chiều lên mặt phăng Oxy được tính bởi công thức [ƒ„ V1 + f.2 + f° dA

Danh sách thành viên:

STT| MSSV HỌ TÊN GHI CHÚ

1 | 2111130 | TRAN NGOC HAO

2 | 2113042 | TRAN MINH DUY

3 | 2114834 | NGUYEN HOANG THANG

4 | 2212230 | NGUYEN MAI THUY | NGHIA

5 | 2213540 | TRAN QUOC TOAN

6 | 2213541 | TRƯƠNG QUỐC TOAN

MỤC LỤC

INe9 908002510 ”5-:+ ÔỎ 1

II GIẢI QUYÉT NHIỆM VỤ ĐƯA RA CỦA ĐÈ TÀI 5-5sece¿ 2

1 Tham số hóa mặt COIIg - 2: + 22232123232 E11 1E EEHErrkrxrrrerrrree 2

1.1 Định nghĩa: Tham số hÓa mặt CONQ o.72 5 << cssceccereececee 2

1.2 Một số cách tham số hóa mặt cong 5-5-5 +22 <+s+<+sszsseszsxes+ 3

2 Pháp vector của mặt cong tham Số . - + +52 5s +2 se £sssex+sxeeescee 5

2.1 Cách tìm pháp vector ca mặt cong cho dựng tham số 5

2.2 Giải thích tại sao mặt cong z = f(x,y) có pháp vector tựi P(xạ,yo,zạ), với

Zo = Í(Xo,yo) là n = (f;(Xo,yo); fQ(Xo,Vo); TT) ccằccằhhhherhrrhherrrrrreimirrrrrerie 6

3 Diện tích mặt cong tham Số - - - - +: 25+ S2 s+* xxx vexreveereereeeerrrree 7

3.1 Cách tính diện tích mặt cong cho dựng tham số - - 7

3.2 Chưmng minh ngược lại công thựcC 00 ccc et eeeeee ee eeeeeeeeeeeeeeaeea 9

10 IIM90ci +5 a ÔỎ

I CO SO LY THUYET

Trong Giải tích 2, việc tham số hóa mat cong va mat phang 14 mét phan quan trong giup chung ta hiểu rõ và biểu diễn các hình học không gian một cách linh hoạt và hiệu quả Trong phần cơ sở lý thuyết này, chúng ta sẽ xem xét tại sao chúng ta ưu tiên sử đụng mặt phăng tham số và những lợi ích mà nó mang lại

Khi chúng ta khám phá các đường cong, chúng ta nhận thấy rằng việc sử dụng hàm vector tham số thay vì hàm một biến đem lại sự thuận tiện trong việc biểu diễn và tính toán Điều này cho phép chúng ta mô tả đường cong không chỉ là một đồ thị, mà còn như là hình ảnh của một điểm chạy theo một hàm vector tham số khi tham số thay đổi Các tính chất này mở ra một cửa sô mới đối với hiểu biết về hình học và tính chất của đường cong Tương tự, khi chúng ta chuyên sang nghiên cứu các mặt phẳng, chúng ta nhận ra rằng không mọi mặt phăng đều có thê được mô tả bằng cách biểu diễn đưới dạng đồ thị của một hàm hai biến Điều này trở nên rõ ràng khi chúng ta xem xét ví dụ của mặt xoắn sóng, nơi mỗi điểm trong mặt phăng Oxy không chỉ tương ứng với một điểm trên mặt phăng, mà thậm chí tương ứng với nhiều điểm trên đó Do đó, để biểu diễn mặt phăng một cách linh hoạt hơn, chúng ta áp đụng khái niệm mặt phẳng tham số

Mặt phăng tham số là một cách mạnh mẽ đề biểu diễn một mặt phẳng trong không gian bằng cách sử dụng một hàm vector r : D thuộc R? — RẺ, trong đó D là miễn tham số trong mặt phăng Oxy Tập hợp các điểm (x.y,z) thỏa mãn các phương trình tham số khi (u,v) chạy qua D được gọi là một mặt phăng tham số và được biểu diễn bởi r

Việc sử đụng mặt phẳng tham số giúp chúng ta mô tả không gian một cách linh hoạt, cho phép thực hiện các phép toán và tính toán trên mặt phắng đễ dàng hơn Thông qua việc tham số hóa, chúng ta có khả năng mô tả sự biến đối, uốn cong, xoay và căng ra của mặt phăng một cách chính xác Đồng thời, việc này còn giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cấu trúc hình học của các bề mặt trong không gian, mở rộng phạm vi của giải tích 2 và nâng cao khả năng áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau

II GIẢI QUYẾT NHIỆM VỤ ĐƯA RA CUA DE TAI

1 Tham số hóa mặt cong

1.1 Định nghĩa: Tham số hóa mặt cong

Tham sé hoa mặt cong là việc biêu diễn một mặt cong bang một hàm só tham số Hàm

số tham số này cho phép chúng ta mô tả mặt cong bằng một tập hợp các điểm trong không

gian

Đề tham số hóa một mặt cong, ta cần xác định các tham sé của hàm số tham só Các tham số này có thẻ là các góc, các só thực, hoặc các đại lượng khác tùy thuộc vào cách thức mà chúng ta muốn tham số hóa mặt cong

Sau khi xác định được các tham số của hàm só tham só, ta cần xác định các công thức biêu diễn tọa độ của các điểm trên mặt cong theo các tham số đó Các công thức này phải đảm bảo răng các điểm trên mặt cong được tham só hóa bởi hàm số là liên tục và khác

biệt

Sau khi đã xác định được hàm só tham só, ta có thê sử dụng hàm só này đề mô tả mặt cong Ví dụ, néu ta tham só hóa mat cau bang hàm số sau:

x = tcosÔsinp

y =tsinOsino z= tcos@

Thì hàm số này mô tả mặt cầu băng cách xác định tọa độ của các điểm trên mặt câu

theo các góc 6 va ọ

Pháp vector của mặt cong là vector chỉ hướng pháp tuyến của mặt cong tại một

điểm Đối với dạng tham só, pháp vector của mặt cong được tính bởi công thức sau:

n = (fx, fy, -1) Trong do:

fx: la dao ham cua hàm số tham só theo tọa dé x

fy: la dao ham cua ham sé tham só theo tọa độ y

Ví dự 1: Nếu ta tham số hóa mặt cẩu bang hàm số trên, thì pháp vector ca mặt

cau tai diém P(2 ,0 ,0) la:

n= (f, (2 ,0 ,0), fy (2 ,0 ,0), -1) = (-2sinôsino, 2cosÔsino, -cos@)

1.2 Một số cách tham số hóa mặt cong

Một số cách tham số hóa mặt cong đơn giản bao gồm:

> Tham số hóa tự nhiên: Tham số hóa mặt cong theo độ dài đường cong

> Tham số hóa theo góc: Tham só hóa mặt cong theo các góc của một hệ tọa độ trục

> Tham sé hoa theo tham só hình học: Tham sé hoa mat cong theo các tham số hình

học của mặt cong, chăng hạn như bán kính, góc xoắn,

Tham số hóa tự nhiên:

Tham số hóa tự nhiên là cách tham số hóa mặt cong theo độ dài đường cong Cách này thường được sử dụng để tham số hóa các mặt cong có dạng đường cong, chang han như mặt cầu, mặt trụ, mặt nón

Đề tham số hóa mặt cong theo cách này, ta cần xác định một đường cong trên mặt cong Đường cong này có thẻ là một đường thăng, một đường cong bậc hai, hoặc một

đường cong bậc cao hơn

Sau khi xác định được đường cong trên mặt cong, ta có thẻ sử dụng độ dài của

đường cong này dé làm tham số Tọa độ của các điểm trên mặt cong có thể được xác định theo đệ dài của đường cong

Ví dự 2: Mặt cầu có thể được tham số hóa bởi hàm số sau:

x = tcosÔsinp

y =tsinOsino z= tcos@

Trong do:

6: là góc xoay quanh trục Z

@: là góc xoay quanh trục X

t: là độ dài của đường cong trên mặt cầu

Tham số hóa theo góc

Tham só hóa theo góc là cách tham sé hóa mat cong theo các góc của một hệ tọa

độ trục Cách này thường được sử dụng để tham số hóa các mặt cong có dạng trục đối xứng, chăng hạn như mặt trụ, mặt nón, mặt elip

Đề tham só hóa mặt cong theo cách này, ta càn xác định hai góc của hệ tọa độ trục

Các góc này có thể là góc xoay quanh trục z và góc xoay quanh trục x

Tọa độ của các điểm trên mặt cong có thê được xác định theo các góc này

Ví dự 3: Mặt tr có thể được tham số hóa bởi hàm số sau:

x =tcos 6, y =rsin 8, z =0 Trong do:

8: là góc xoay quanh trục Z

r: là bán kính của mặt trụ

t: là một tham só phụ

Tham số hóa theo tham só hình học

Tham só hóa theo tham số hình học là cách tham số hóa mặt cong theo các tham

số hình học của mặt cong, chẳng hạn như bán kính, góc xoắn, Cách này thường được

sử dung dé tham sé hoa các mặt cong có dạng phức tạp, chăng hạn như mặt tàu, mặt

máy bay,

Đề tham só hóa mặt cong theo cách này, ta cần xác định các tham só hình học của mặt cong Các tham số này có thẻ là các tham số có định, hoặc các tham số có thẻ thay đổi theo thời gian

Tọa độ của các điểm trên mặt cong có thê được xác định theo các tham sé nay

Ví dự 4: Mặt tàu có thê được tham số hóa bởi hàm số sau:

x ={(r, 8, 0)

y = a(t, 8, @)

z=h(r, 8, @)

Trong do:

r: là bán kính của mặt tàu

8 va œ: là các góc của hệ tọa độ trục

f, g, và h: là các hàm só xác định tọa độ của các điểm trên mặt tàu

Các cách tham số hóa mặt cong nói trên có những ưu điểm và nhược điểm riêng Tùy thuộc vào loại mặt cong và mục đích sử dụng, ta có thẻ lựa chọn cách tham số hóa

phù hợp

2 Pháp vector của mặt cong tham số

2.1 Cách tìm pháp vector ca mặt cong cho dựng tham sé

Đẻ trình bày cách tìm pháp vector của mặt cong cho dạng tham só, ta có thê

làm các bước SAU:

Cho mat cong S$ được xác định bởi phương trình F(x, y, z) = 0

Bước 1: Áp dụng theo công thức tìm pháp vector của mặt cong :

n=#‡(,(M),P ,(M),f,(M))

Từ phương trình mặt cong đề bài cho , ta đạo hàm riêng phương trình mặt cong theo x, y, Z

Bước 2: Pháp vector tại điểm nào thì thế điểm đó vào những phương trình đã được đạo hàm ở trên đề có tọa độ của pháp vector

Bước 3: Tìm pháp vector

Ví dự 1: Xác đ;nh pháp vector c¿a mặt cong x? — 4y? + 2z? = 6 tại đếm

M( 2, 2, 3)

e Dat F(x, y,z) = x* —4y?+ 227 -6=0

Fu= 2x

[rò = —8y

Fl, =4z

F„(M) =4

{r,) =16

vÑz(Ò c4146,12)

Ví dự 2: Xác định pháp vector cửa mặi cong được biếu diễn bởi:

ro = 2cos(t) Y(é) = 4sin(t) Dat Ự = 2cos(t)

G = 4sin(¢)

F = —2sin(t)

G' = 4cos (t)

Vay vector phap tuyén lan = < —2sin(t), 4 cos(t) >

2.2 Giải thích tại sao mặt cong z = f(x,y) có pháp vector tại P(xg,yg,zạ), Với zạ = f(xo,yo) là n = ;Œo,Vo), Œo,yo), -T)

Sau đây là cách dựa vào công thức lý giải vì sao mặt cong z = ƒ(+, y) có pháp

vector tại P(%g, Yo, 20), Voi Zo= ƒŒọ, #o) là n = ( ƒ.Œo,#o), (3o, yo),—1) Đó

là tại vì theo công thức vector pháp tuyến sẽ là đạo hàm của hàm lớn theo x, y và

z Nhung 6 day z= f (x,y) cho nén khi tìm vector pháp tuyến thì vector pháp tuyến

n Sẽ là (F”„,F”„, -1)

Dưới đây là một số ví dụ đề làm rõ ràng ván đè trên:

Ví dự 3: Cho mặt cong z = ƒ (z,y ) tìm pháp vecto tại P( xạ, yạ, Zạ)

Đặt F(+,y,z) = ƒ(%,y)T— Z Đạo hàm :

F,@,y,z) =ƒ ,(,y) {ryGy, Z2) =ƒy(,y)

Vay vecto pha alia fat PGA, yo, 20) là ( fro, Yo), ƒyXo,yo),—1)

Vi du 4: Biéu dién tham so hoa mat cong te nhién theo dang téng quat:

xe+y*+z27=9

Ta co:

x 2 + 2 z 2

x“+yˆ†+Zˆ=9<(¿) +() +65) =1

3 3 3 Dat:

x=u,y=0,z= V9 — u2 — g2

Ta có phương trình vector:

T(u,0) = uL+ øJ + V9 —u2 — 02k_

Miễn Ð = |0 < w< 3;0 <0 <2)

3 Diện tích mặt cong tham số

3.1 Cách tính diện tích mặt cong cho dựng tham số

Xét mặt cong cho bởi phương trình tham số:

r(u, Vv) = x(u, v)i + y(u, v)j + Z(u, v)k

Đề đơn giản ta chọn miền D là hình chữ nhật và chia D thành các hình chữ nhật con có các cạnh song song với các trục toa dé Ou va Ov Gia sử S¡ là ảnh của hình chữ nhật Rị Khi đó:

fu = Fu(U¡, Vị) Và fy = rv(U¡, VỊ)

là các véc tơ chỉ phương của mặt phăng tiếp diện của mặt cong S tại điểm Pij Diện tích

AGi) ~ |(Aufu) A (Avrv)l = lfu A fv|AuAv

Vậy công thức tính xáp xi diện tích của mặt S là:

min

» » |ru A rv|AuAv

J=1

¡=1

Nhận xét răng néu chia miền D thành các mảnh càng nhỏ thì công thức tính xáp xỉ trên càng tốt Đồng thời, công thức ở vé phải chính là tổng Riemann cua tich phan kép

Jƒ,Iru A rv| dudv Diéu nay dan chung ta téi dinh nghia sau: Type equation here

Cho mặt cong Š trơn, cho bởi phương trình tham số

r{u, V) = X(u, V)i + y(u, V)j + z{u, V)k, (u, v) € D c R?

và S ch¿ được phú một lần khi (u, v) biến thiên trên miển D Khi dé dién tich czia mat

cong S được định nghĩa bởi:

A= Í[p|ru A rv| dudø

Trong đó:

tu = “5+ = 21 + - 2 =jj+=

„8

fv== 1+ =1 -

Ví dự 1: Tính diện tích ca rẩặt cầu x2 + y2 + z2 = R2

Mat câu Š có phương trình tham sô trong tọa độ câu là ‡ = R.sin8sinb

z = R.cos8

Vì vậy, Ite A rel = RÊ sin8 và A = ƒ” d@ƒ”' R? sin9 dð =4zR?

Trường hợp đặc biệt, nếu mặt cong cho bởi phương trình z = z(x, y) thì : rX A ry =

(-Zx , -Zy , 1) Do do:

Az [f, vi + Uae 4 Uy) dxdy

Vi dua 2: Tinh diện tích mặt paraboloid (S): z = x? + y? bi gidi han boi mat tra x? + y? = 1

D = hình chiếu (S) lên mặt phẳng Oxy: x? + y?< 1

h X = rcos < <

Tham so hoa ‡ = rsin Mã Âo co <az

Ta có: S = ̓ 1 dS = ̓ V1 + 4x2 + 4y? dx dy

= f" def V1+4r? rdr

=21

3.2 Chứng minh ngược lại công thức

Tích phân kép của một biểu thức dưới dạng V1 + x)? + (Zy)? là chúng ta

tính diện tích mặt cong trên một miền D trong mặt phăng Oxy

S= Jƒ,V1 @x)? + + Zy)? dxdy

Biéu thức này thẻ hiện răng chúng ta đang tính độ dài của các đoạn nhỏ trên miền

D trong không gian Oxyz Cụ thẻ, chúng ta đang tính độ dài của mỗi đoạn trong khoảng

D trên bè mặt z = f(x,y) trong không gian ba chiêu

Trong đó :

V1+ f, + f,’la mét hệ số điều chinh, được sử dụng đẻ tính toán độ dài của đoạn

nhỏ

Jƒ;dxdy là diện tích miền D mà bẻ mặt z=f(x,y) chiếu xuống mặt phăng Oxy Khi công thức là S = ƒƒ„ V1 + ƒ,ˆ + ƒ,ˆ dxdy thì chúng ta có thẻ hiểu được là

nó sẽ tính độ dài của đoạn nhỏ tại mọi điêm trong diện tích miền D Vì vậy công thức ta vừa nêu sẽ tính được diện tích của mặt cong trên miền D