Sinh viên thực hiệnLÊ THANH QUỲNH NHƯ LỚP: 20ST2 Tên đề tài ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Giảng viên hướng dẫn TS... 35 2.7 Ứng dụng số phức để giải một số bài tập trong hình học
Mục đích nghiên cứu
Dựa trên nghiên cứu lý luận, bài viết hệ thống và bổ sung kiến thức cơ bản về số phức Nó khám phá ứng dụng của số phức như một công cụ hữu ích để chứng minh các tính chất và định lý trong hình học phẳng, đồng thời giải quyết các bài toán liên quan.
Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lý luận về các kiến thức cơ bản của số phức.
Nghiên cứu các kiến thức về cách chứng minh một số định lý và bài tập liên quan trong hình học phẳng bằng công cụ số phức.
Phương pháp nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu áp dụng các phương pháp phân tích, tổng hợp và hệ thống hóa lý thuyết nhằm xây dựng cơ sở lý luận cho vấn đề nghiên cứu Các phương pháp này được sử dụng để khảo sát tài liệu liên quan, bao gồm sách giáo khoa, công trình nghiên cứu, bài báo và luận văn đã được công bố Đồng thời, suy luận và ứng dụng công cụ số phức được thực hiện để giải quyết và chứng minh các bài toán, định lý trong hình học phẳng.
Ý nghĩa lý luận và thực tiễn của đề tài
• Ý nghĩa lý luận của đề tài: Đề tài giúp chúng ta hiểu thêm về số phức và những ứng dụng của số phức.
Đề tài này có ý nghĩa thực tiễn quan trọng, giúp nâng cao năng lực toán học trong giảng dạy và học tập tại trường Kết quả của nghiên cứu không chỉ mang lại niềm đam mê và hứng thú cho giáo viên mà còn kích thích sự quan tâm của học sinh đối với môn toán.
Cấu trúc của đề tài
Cấu trúc của đề tài khóa luận gồm có các phần sau đây:
• Chương 1 Một số lý thuyết cơ bản về số phức
• Chương 2 Ứng dụng số phức trong hình học phẳng
Một số lý thuyết cơ bản về số phức
Chương này trình bày những kiến thức cơ bản về số phức, nhằm chuẩn bị cho các kết quả chính trong chương 2 Nội dung được chọn lọc và cấu trúc lại một cách gọn gàng, đảm bảo tính logic Tài liệu tham khảo cho chương này bao gồm các nguồn [1], [2], [4], [5], [6].
Giới thiệu về số ảo
Một trong những tính chất quan trọng của số thực là khả năng thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia tự do, ngoại trừ chia cho 0 Do đó, phương trình tuyến tính ax + b = 0 (với a ≠ 0) có thể được giải trong tập số thực, với nghiệm x = -b/a Tuy nhiên, đối với phương trình bậc hai, tình hình lại khác Chẳng hạn, phương trình bậc hai x² + 1 = 0 không có nghiệm trong tập số thực.
Vì bình phương của mọi số thực đều không âm, nên x 2 + 1 ≥ 1 > 0 với mọi số thực x
Phương trình bậc hai x² + 1 = 0 không có nghiệm trong tập hợp số thực Để giải quyết vấn đề này, cần mở rộng phạm vi số học, cho phép phương trình có thể tìm được nghiệm.
Để mở rộng tập số và đảm bảo mọi phương trình bậc n đều có nghiệm, người ta đã giới thiệu số ảo, ký hiệu là i, với i = √−1, từ chữ "imaginary" C.F Gauss đã biểu diễn số ảo dưới dạng điểm trên mặt phẳng và gọi chúng là số phức Số phức có dạng a + ib, trong đó a và b là các số thực, và phép tính được thực hiện tương tự như với số thực, với quy tắc i² = −1.
Định nghĩa số phức
Số phức là một cặp số thực có thứ tự (a, b), trong đó a và b là hai số thực Điều này cho thấy rằng số phức có dạng a + ib, với a là phần thực và b là phần ảo.
• Hai số phức (a, b) và (c, d) bằng nhau khi và chỉ khi a = c và b = d.
• Tổng và tích của hai số phức (a, b) và (c, d) được xác định như sau:
Chú ý rằng các đẳng thức đối với số phức đều có các tính chất sau:
(a) Phản xạ: (a, b) = (a, b) với mọi số phức (a, b);
Bắc cầu: (a, b) = (c, d), (c, d) = (e, f) ⇒ (a, b) = (e, f) Đối với một số phức α = (a, b) = a + ib (với a, b ∈ R), phần thực của số phức α được ký hiệu là ℜα, trong khi phần ảo được ký hiệu là ℑα Số thực là số phức có phần ảo bằng 0 (ℑα = 0), trong khi số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số thuần ảo (ℜα = 0) Định lý 1.2.2 cho thấy rằng với phép cộng và phép nhân được định nghĩa như trên, tập hợp các số phức có những tính chất đặc biệt.
C của tất cả các số phức là một trường.
Các phép toán của số phức
Phép cộng
Cho hai số phức α = a + bi (a, b ∈R ) và β = c + di (c, d ∈R ) ta có số phức:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i(b + d) được gọi là tổng của hai số phức α và β.
Phép nhân
Cho hai số phức α = a + bi (với a, b ∈ R) và β = c + di (với c, d ∈ R) Khi thực hiện phép nhân giữa hai số phức này, ta có thể nhân biểu thức a + bi với c + di và thay i^2 = -1 Kết quả sẽ cho ra công thức phép nhân hai số phức.
(a + ib) ã (c + id) = ac + ibc + iad + i 2 bd
= (ac − bd) + i(bc + ad).Nhận xét 1.3.1 Từ phép cộng hai số phức và phép nhân số phức với một số, ta rút ra được nhận xét sau đây:
Cho hai số phức α = a + bi và β = c + di, hiệu của hai số phức được xác định bằng công thức α − β = α + (−β) Khi đó, ta có thể viết lại thành (a + bi) − (c + di) = (a − c) + i(b − d).
Phép chia
Để tìm số phức x + iy thoả mãn phương trình a + ib = (c + id)(x + iy), với a, b, c, d ∈ R, ta áp dụng công thức nhân số phức Kết quả sẽ là a + ib = (cx - dy) + i(dx + cy).
Ta suy ra được: cx − dy = a, dx + cy = b.
Ta cần tìm x và y thoả mãn hai phương trình trên.
Hệ phương trình đồng thời này có cặp nghiệm duy nhất là: x = ac + bd c 2 + d 2 , y = bc − ad c 2 + d 2 , (với c, d không đồng thời bằng 0).
Khi đó, số phức x + iy = ac + bd c 2 + d 2 + i bc − ad c 2 + d 2 được gọi là thương của a + ib c + id.
Vậy phép chia hai số phức được kí hiệu là a + ib c + id và có công thức như sau: a + ib c + id = ac + bd c 2 + d 2 + i bc − ad c 2 + d 2
Số phức liên hợp và mô đun của số phức
Số phức liên hợp
Số phức α = (a, b) = a + ib có số phức liên hợp là (a, −b) = a − ib, ký hiệu là α ¯ Các đẳng thức liên quan đến số phức bao gồm α ± β = ¯ α ± β, ¯ αβ = ¯ α ã β và ¯ α β.
Mô đun của số phức
Mỗi số phức α = (a, b) = a + ib (với a, b ∈ R) có tích α α ¯ = a² + b², luôn là một số thực và không âm Căn bậc hai không âm của tích này được gọi là môđun của số phức α, ký hiệu là |α|.
|α| = √ a 2 + b 2 = (α α) ¯ 1/2 Định lý 1.4.1 a) Với α = a + ib; α ¯ = a − ib (a, b ∈R), ta có:
4 Bất đẳng thức tam giác: ||z 1 | − |z 2 || ≤ |z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 |
Biểu diễn hình học số phức trong mặt phẳng phức
Số phức được định nghĩa là một cặp số thực có thứ tự, tương ứng một – một với các điểm (x, y) trong mặt phẳng.
R 2 Vì vậy, mỗi số phức z = x + iy thì hoàn toàn được xác định với điểm (x, y) tương ứng trong mặt phẳng R 2
Số thực x có thể được biểu diễn dưới dạng x + i0, tương ứng với điểm (x, 0) trên trục hoành Ox, trong khi số thuần ảo iy được biểu thị là 0 + iy, tương ứng với điểm (0, y) trên trục tung Oy.
Trục Ox được gọi là trục thực, trong khi trục Oy được gọi là trục ảo Mặt phẳng có sự kết hợp của trục thực và trục ảo này được gọi là mặt phẳng phức hay mặt phẳng Gaussian.
Xét tổng các số phức trong mặt phẳng phức C, giả sử z = x + iy và w = u + iv (với x, y, u, v ∈ R), ta có z + w = (x + u) + i(y + v) Điều này cho thấy rằng số phức có thể được xem như một vectơ, trong đó z = x + iy được coi là một vectơ với điểm đầu tại gốc tọa độ và điểm cuối tại z Nói cách khác, số phức z = x + iy có các hình chiếu vuông góc với trục Ox và trục Oy, và điều này cũng áp dụng cho số phức w.
Khi đó, tổng z + w chính là vectơ đường chéo (tính từ gốc toạ độ) của hình bình hành tạo bởi hai vectơz và w.
Bội số thực của một số phức z = x + iy với c ∈ R được tính bằng công thức cz = cx + icy Trong mặt phẳng phức, nếu c > 0, ta chỉ cần nhân độ dài của vectơ với c mà không thay đổi hướng Ngược lại, nếu c < 0, độ dài của vectơ cũng sẽ được nhân với c nhưng hướng sẽ bị đảo ngược.
|c| và đổi sang hướng ngược lại.
Ví dụ 1.5.1 Cho z 1 và z 2 là hai điểm trong mặt phẳng phức.
Khi đó trung điểm của mỗi đoạn thẳng nối z 1 và z 2 là z 1 + 1
Trong tam giác ∆ABC, nếu D và E là trung điểm của các cạnh AB và AC, thì đoạn thẳng DE sẽ song song với cạnh BC và có độ dài bằng một nửa độ dài của cạnh BC.
Đặt tam giác ∆ABC trong mặt phẳng phức, với z1, z2, z3 lần lượt là các số phức tương ứng với các đỉnh A, B, C Trung điểm D của cạnh AB và trung điểm E của cạnh AC được xác định dựa trên các số phức này.
AC lần lượt được xác định như sau
Do đó vectơ −−→ DE là
Mà z 3 − z 2 chính là bằng vectơ − BC − → , nên bài toán được chứng minh.
Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai
Căn bậc hai của đơn vị ảo i
Bình phương hai vế, ta được:
Từ phương trình (1.3), ta đượcu = ±v Giả sửu = v,thì từ phương trình (1.4), ta được: u = v = ±
Căn bậc hai của số phức
Định nghĩa 1.6.1 Cho số phứcω = a +bi (a, b ∈R ) Mỗi số phứcz = x + iy (x, y ∈
R ) gọi là một căn bậc hai của ω khi và chỉ khi z 2 = ω ⇔
Phương trình bậc hai
Định lý 1.6.2 Một phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0, a, b, c ∈C , a ̸= 0, có hai nghiệm thuộc C và có công thức như sau:
Dạng lượng giác của số phức
Khi thực hiện phép nhân các số phức, việc sử dụng dạng lượng giác sẽ mang lại sự thuận tiện Xét điểm P = (x, y) tương ứng với số phức x + iy trên mặt phẳng tọa độ, ta có vectơ −→ OP với O là gốc tọa độ Gọi θ là góc giữa vectơ −→ OP và trục Ox dương, đồng thời r là độ dài của vectơ này.
Khi đó x = r cos θ, y = r sin θ Góc θ được gọi là một argument của số phức z và được kí hiệu là θ = arg z.
Nếu z = x + iy (z ̸= 0), thì ta có thể viết dạng lượng giác của z như sau: z = r(cos θ + i sin θ). với r = |z| là mô đun của z và θ = arg z là argument của z.
Nhận xét 1.7.1 Với z ∈C, z ̸= 0, z là số thực ⇔ arg z = nπ (n ∈Z ); z là số thuần ảo ⇔ arg z = ± π
2 + nπ (n ∈Z ) Định lý 1.7.2 Giả sử z 1 = r 1 (cosθ 1 + i sin θ 1 ), z 2 = r 2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ), thì z 1 z 2 = r 1 r 2 {cos( θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )} ; tức là, |z 1 z 2 | = |z 1 | ã |z 2 | , arg(z 1 z 2 ) = arg z 1 + arg z 2
Nói cách khác, mô đun của tích là tích của hai mô đun, và argument của tích là tổng của hai argument.
Hệ quả 1.7.4 (DeMoivre) Với z = r(cosθ + i sin θ) và n ∈Z , z n = r n (cos nθ + i sin nθ), tức là, |z n | = |z| n , arg(z n ) = n arg(z).
|z 2 | ; arg z 1 z 2 = arg z 1 − arg z 2 (với điều kiện z 2 ̸= 0).
Căn bậc n của số phức
Định nghĩa căn bậc n: Cho n là số nguyên lớn hơn 1 và z thuộc tập số phức C, ω được gọi là căn bậc n của z nếu ω^n = z Đối với z khác không, ta có thể biểu diễn z dưới dạng lượng giác là z = r(cos θ + i sin θ) với r > 0 Căn bậc n của z sẽ là số phức.
Căn bậc n của đơn vị
Định nghĩa 1.9.1 Một nghiệm của phương trình z n − 1 = 0 được gọi là một căn bậcn của đơn vị.
Vì 1 = cos 0 + i sin 0, từ công thức tìm căn bậc n của số phức, ta suy ra căn bậc n của đơn vị là ω k = cos 2kπ n + i sin 2kπ n , k ∈ {0, 1, 2, , n − 1}
Suy ra, ta có các giá trị ω với ω 0 = 1, ω 1 = ω, ω 2 = ω 2, , ω n−1 = ω n−1, trong đó ω n = cos(2π/n) + i sin(2π/n) Theo định lý 1.9.2, các căn bậc n của đơn vị được biểu diễn hình học là các đỉnh của đa giác đều n cạnh, nội tiếp trong đường tròn đơn vị có tâm O và bán kính 1.
Xét một số giá trị đặc biệt của n: Đối với n = 2, căn bậc hai của 1, tức là nghiệm của phương trình z² - 1 = 0, cho kết quả là 1 và -1 Còn với n = 3, căn bậc ba của đơn vị, là nghiệm của phương trình z³ - 1 = 0, được biểu diễn dưới dạng ωk = cos(2kπ).
Ta biểu diễn tam giác đều nội tiếp đường tròn C(0; 1) như hình dưới đây:
Hình 1.6: iii Với n = 4, căn bậc bốn của đơn vị là ω k = cos 2kπ
Ta biểu diễn hình vuông nội tiếp đường tròn C(0; 1) như hình dưới đây:
Dạng số mũ của số phức
Định nghĩa số phức trong dạng mũ được thể hiện qua công thức e iθ = cos θ + i sin θ, cho mọi số thực θ Theo công thức DeMoivre, mọi số phức khác không z có thể viết dưới dạng z = re iθ Định lý liên quan cho biết với z = re iθ, z 1 = r 1 e iθ 1 và z 2 = r 2 e iθ 2, ta có các đẳng thức z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(θ 1 +θ 2 ), z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(θ 1 −θ 2 ) và z n = r n e inθ.
Ta có: e iθ = cos θ + i sin θ e −iθ = cos(−θ) + i sin(−θ) suy ra cos θ = e iθ + e −iθ
2i và đây được gọi là công thức Euler
Kết luận chương 1: Trong bài viết này, tôi đã tóm tắt những lý thuyết cơ bản về số phức, đồng thời trình bày các định nghĩa, định lý và tính chất liên quan Những kiến thức này sẽ được áp dụng như một công cụ hữu ích để giải quyết các bài toán trong hình học phẳng ở Chương 2.
Chương 2 Ứng dụng số phức trong hình học phẳng
Chương này sẽ khám phá ứng dụng của số phức trong hình học phẳng, nhấn mạnh rằng số phức không chỉ là vectơ mà còn có thể thực hiện các phép toán Việc áp dụng tính chất này sẽ cho thấy số phức có hiệu quả trong một số bài toán nhất định, mặc dù có thể gây phức tạp cho những bài toán có thể giải bằng các phương pháp cơ bản.
Trong suốt chương này, chúng ta sẽ gọi số phức α = a + bi ∈C (với a, b ∈R) là một điểm (a, b) tương ứng khi biểu diễn trong mặt phẳng phức.
Các nội dung của chương này được tham khảo từ các tài liệu [1], [3], [4], [5].
Tam giác
Trong hình học cơ bản, tam giác và sự tương đồng giữa hai tam giác là những khái niệm cốt lõi Chúng ta sẽ bắt đầu với điều kiện về sự giống nhau của hai tam giác dựa trên số phức Trước tiên, cần trình bày các quy ước kí hiệu và một số nhận xét liên quan Trong chương này, chúng ta sẽ ký hiệu hai tam giác ∆z1z2z3 và ∆w1w2w3 là đồng dạng với nhau.
Δz 1 z 2 z 3 tương đương với Δw 1 w 2 w 3 nếu và chỉ nếu góc tại z k bằng góc tại w k (với k = 1, 2, 3) và cả hai góc cùng hướng, tức là cả hai đều quay theo chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ.
Nếu hai tam giác trên ngược chiều nhau thì ta viết
Hai tam giác được coi là đồng dạng khi và chỉ khi tỉ số độ dài của hai cạnh tương ứng là bằng nhau, đồng thời các góc tương ứng cũng phải bằng nhau, bao gồm cả hướng.
Ví dụ 2.1.1 ∆z 1 z 2 z 3 là tam giác đều
Định lý Napoleon khẳng định rằng nếu vẽ một tam giác đều bên ngoài mỗi cạnh của một tam giác bất kỳ, thì trọng tâm của ba tam giác đều này sẽ tạo thành các đỉnh của một tam giác đều thứ tư Điều này cho thấy sự liên kết chặt chẽ giữa các hình học trong không gian và tính chất đối xứng của tam giác.
Chứng minh rằng trong tam giác ∆z 1 z 2 z 3 đã cho, có ba tam giác đều ∆w 1 z 3 z 2, ∆z 3 w 2 z 1, và ∆z 2 z 1 w 3 có cùng hướng với ∆1ww 2, với điều kiện ω 2 + ω + 1 = 0 Trọng tâm của ba tam giác đều này lần lượt được ký hiệu là ζ 1, ζ 2, ζ 3.
Hình 2.2: Để chứng minh rằng ∆ζ 1 ζ 2 ζ 3 là đều, thì phải chứng minh ζ 1 + ωζ 2 + ω 2 ζ 3 = 0.
Vậy ∆ζ 1 ζ 2 ζ 3 là tam giác đều.
Đường thẳng
Điều kiện trực giao, thẳng hàng với ba điểm phân biệt
Với ba điểm phân biệt α, β, γ ∈C , arg β − α γ − α = arg(β − α) − arg(γ − α)
= góc định hướng từ vectơ − αγ → đến − αβ → ,
Điều kiện trực giao, song song của hai vectơ được tạo thành bởi bốn điểm phân biệt
được tạo thành bởi bốn điểm phân biệt
Tổng quát hơn, với bốn điểm phân biệt α, β, γ, δ ∈C ,
⇔ β − α δ − γ = β ¯ − α ¯ δ ¯ − ¯ γ ; hơn nữa, − αβ → và − → γδ cùng hướng (ngược hướng) nếu và chỉ nếu β − α δ − γ là số thực dương (âm); và
(ii) − αβ⊥ → − → γδ ⇔ β − α δ − γ là số thuần ảo
Phần thực của tích hai số phức
Cho a và b là hai số phức Định nghĩa 2.3.1 Phần thực của tích hai số phức là một số được xác định như sau: a ã b = 1
2 (a ¯ b + ¯ ab) = a ã b Định lý 2.3.2 Với mọi a, b, c, z ∈C, khi đó ta có:
3 a ã (b + c) = a ã b + a ã c (tớnh chất phõn phối phộp nhõn đối với phộp cộng)
5 a ã b = 0 ⇔ OA⊥OB, trong đú a và b được biểu diễn của điểm A và điểm B trên mặt phẳng phức.
6 (az) ã (bz) = |z| 2 (a ã b) Định lý 2.3.3 Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D được biểu diễn bởi bốn số phức a, b, c, d tương ứng Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
3 b − a d − c là số thuần ảo (hoặc ℜ b − a d − c
Định lý Ptolemy – Euler
Với bốn số phức α, β, γ, δ bất kỳ, ta có:
Theo bất đẳng thức tam giác, ta được
Ta kiểm tra xem khi nào bất đẳng thức trở thành một đẳng thức, tức là dấu "=" xảy ra khi nào Trong trường hợp bất đẳng thức tam giác:
|z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 | , là đẳng thức khi và chỉ khi z 1 z 2 là số thực dương (với z 1 z 2 ̸= 0).
Vì vậy ta sẽ tìm điều kiện để đảm bảo rằng (α − β)(γ − δ)
Suy ra α, β, γ, δ là đồng vòng, nghĩa là chúng cùng nằm trên một đường tròn hoặc một đường thẳng Trong đó, α và γ ở hai phía đối diện của dây cung nối β và δ, sắp xếp theo thứ tự bảng chữ cái, có thể theo chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ.
Định lý Ptolemy – Euler, hay còn gọi là định lý Napoleon, được phát biểu như sau: Với bốn điểm A, B, C, D trong mặt phẳng, nếu ký hiệu α, β, γ, δ tương ứng với các điểm này, thì công thức |α − β| ã |γ − δ| + |α − δ| ã |β − γ| ≥ |α − γ| ã |β − δ| luôn được thỏa mãn.
Đẳng thức chỉ xảy ra khi bốn điểm này đồng thời nằm trên một đường tròn hoặc thẳng hàng, và phải được sắp xếp theo thứ tự bảng chữ cái, có thể theo chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ.
/ β − γ β − δ được gọi là tỉ số chéo của bốn điểm α, β, γ, δ.
Hệ quả 2.4.2 Bốn điểm α, β, γ, δ cùng nằm trên một đường tròn (hoặc thẳng hàng) khi và chỉ khi
Trường hợp bốn điểm thẳng hàng là một trường hợp suy biến của bốn điểm nằm trên một đường tròn Đặc biệt, khi tứ giác nội tiếp là hình chữ nhật, định lý Ptolemy - Euler sẽ được rút gọn thành định lý Pythagoras.
Hệ quả 2.4.3(Định lý Pythagoras) Trong tam giác vuôngABC với góc vuông tại B Ta có:
Đường tròn 9 điểm
Cho tam giác ABC với tâm O là tâm ngoại tiếp, ta chọn hệ tọa độ phức Gọi α, β, γ lần lượt là các số phức tương ứng với các đỉnh A, B, C Giả sử đường tròn ngoại tiếp có bán kính 1, tức là |α| = |β| = |γ| = 1 Đặt σ = α + β + γ, câu hỏi đặt ra là điểm tương ứng với số phức σ nằm ở đâu?
2 là trung điểm Dcủa cạnhBC, nên σ nằm trên đường vuông góc từ đỉnh A đến cạnhBC, và có độ dài là |σ − α| gấp đôi độ dài của cạnh
OD Theo tính đối xứng, σ cũng nằm trên đường vuông góc từ đỉnh B đến cạnh
CA, và trên đường vuông góc từ đỉnh C đến cạnhAB; tức là, σ là trực tâm H của
Trong bài viết này, chúng ta sẽ chứng minh rằng ba đường vuông góc từ đỉnh của tam giác ∆ABC đến các cạnh đối diện đều giao nhau tại một điểm duy nhất Điểm giao nhau này được gọi là trực tâm của tam giác.
2 (α + β + γ) bây giờ là trung điểm của đoạn thẳng nối từ tâm đường tròn
O đến trực tâm H Khoảng cách từ σ
2 đến trung điểm D củaBC là β + γ
Tương tự, khoảng cách từ σ
2 đến trung điểm E của cạnh CA, và khoảng cách từ σ
2 đến trung điểm F của cạnh AB đều bằng 1
2. Ngoài ra, khoảng cách từ σ
2 đến trung điểm của đoạn thẳng nối từ trực tâmH đến đỉnh A là α + σ
Tương tự, khoảng cách từ σ
2 đến trung điểm của cạnh BH, và khoảng cách từ σ
2 đến trung điểm của CH đều bằng 1
Điểm cắt α′ của đường AH với đường tròn ngoại tiếp tam giác cần được xác định để tìm λ, chân đường vuông góc từ đỉnh A đến cạnh BC Để tính được điểm α′, cần đảm bảo rằng nó thỏa mãn các điều kiện nhất định.
Từ điều kiện đầu tiên, ta được α − α ′ β − γ là số thuần ảo; tức là, α − α ′ β − γ + α ¯ − α ′ β ¯ − ¯ γ = 0.
= 0. suy ra: α ′ = − βγ α Khoảng cách từB đến α ′ là β + βγ α
Khoảng cách từB đến σ là
Do đó ∆βα ′ σ là tam giác cân và λ = 1
Suy ra khoảng cách từ σ
2 đến λ (chân đường vuông góc từ A đến cạnh BC) là λ − σ 2
Tương tự, khoảng cách từ σ
2 đến hai chân đường vuông góc còn lại cũng bằng 1
Ta thu được định lý sau: Định lý 2.5.1 (Đường tròn chín điểm) Trong bất kỳ tam giác, thì:
(a) Chân của ba đường vuông góc từ đỉnh đến cạnh đối diện;
(b) Trung điểm của ba cạnh;
Trung điểm của các đoạn nối trực tâm với ba đỉnh của tam giác đều nằm trên một đường tròn Đường tròn này có tâm là trung điểm của đoạn nối trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, với bán kính bằng một nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Một số định lý khác
Định lý Thales đảo
Định lý 2.6.1 khẳng định rằng nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và tạo ra các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ trên hai cạnh này, thì đường thẳng đó sẽ song song với cạnh còn lại của tam giác.
Chứng minh Cho tam giác ABC, đường thẳng x cắt AB tại D và cắt AC tại E, AD
AC Chứng minh DE ∥ BC.
Định lý Cosin
Định lý 2.6.2 Cho tam giác ABC bất kì, ta có:
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2AB ã AC ã cos A
AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2AB ã BC ã cos B
AB 2 = BC 2 + AC 2 − 2BC ã AC ã cos C
Chứng minh Ta phải chứng minh BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2AB ã AC ã cos A
Chúng ta chọn A làm gốc tọa độ, B là điểm trên trục hoành với hoành độ phức là 1, và C là điểm biểu diễn số phức z bất kỳ.
Khi đó ta có: |AB| = 1, |BC| = |z − 1|, |AC| = z.
AB 2 + AC 2 − 2AB ã AC ã cos A = 1 + |z| 2 − 2 |z| cos(arg z)
Định lý Steward
Định lý 2.6.3 Cho ∆ABC với các độ dài BC = a, CA = b, AB = c Kẻ tia Am của góc A, cắt cạnh BC tại M Giả sử AM = p, BM = m, M C = n Khi đó: a(p 2 + mn) = mb 2 + nc 2
Để chứng minh, ta chọn B làm gốc tọa độ, C là điểm trên trục hoành với hoành độ phức là 1, và A là điểm biểu diễn số phức z bất kỳ.
Khi đó: |AB| = |z| = |c|, |BC | = 1 = |a|, |CA| = |z − 1| = |b|,
= z z ¯ − mz − m¯ z + mVậy a(p 2 + mn) = mb 2 + nc 2 (ĐPCM)
Định lý Menelaus
Định lý 2.6.4 Cho tam giác A 1 A 2 A 3 Lấy các điểm B 1 , B 2 , B 3 lần lượt trên các đường thẳngA 2 A 3 , A 3 A 1 , A 1 A 2 sao cho
Chứng minh rằng ba điểm B 1 , B 2 , B 3 cùng nằm trên một đường thẳng khi và chỉ khi k 1 k 2 k 3 = −1.
Chứng minh 1) Nếu k 1 k 2 k 3 = −1 Xét tỷ số b 1 − b 3 b 3 − b 2 = a 2 + k 1 a 3
(1 + k 1 )k 2 k 3 ∈R Đây là một số thực Suy ra điểm B 1 , B 2 , B 3 cùng nằm trên một đường thẳng.
2) Nếu những điểmB 1 , B 2 , B 3 nằm trên một đường thẳng Ta chọn một số k ′ 3 sao cho k 1 k 2 k ′ 3 = −1 Vậy điểm có tọa độ b ′ 3 = a 1 + k 3 ′ a 2
1 + k ′ 3 nằm trên B 1 B 2 Như vậy, B ′ 3 trùng với giao điểm của đường thẳng A 1 A 2 và B 1 B 2, đó là B 3 Suy ra k 3 ′ = k 3, vậy k 1 k 2 k 3 = −1.
Ứng dụng số phức để giải một số bài tập trong hình học phẳng
Chứng minh hai tam giác đồng dạng
Bài tập 1 Xét điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi A ′ , B ′ ,
C ′ lần lượt là tâm đường tròn 9 điểm của các tam giácM BC, M CA, M AB Chứng minh tam giác A ′ B ′ C ′ đồng dạng với tam giác ABC.
Điểm gốc của mặt phẳng phức được xác định tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tọa độ phức của điểm được ký hiệu bằng chữ hoa, trong khi chữ thường được dùng để biểu thị tọa độ phức của điểm Do đó, ta có a ′ = m + b + c.
(vì điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).
′ − a ′ c ′ − a ′ = a − b a − c = b − a c − a Suy ra hai tam giác A ′ B ′ C và ABC đồng dạng.
Cho tam giác đều ABC với tâm S và tam giác đều A'B'O có cùng hướng nhưng S không trùng với A' và B' Gọi M, N là trung điểm của các đoạn thẳng A'B và AB' Cần chứng minh rằng hai tam giác SB'M và SA'N là đồng dạng.
Lời giải Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABO, ta đặt ω = cos 2π
3 Ta xét bài toán trong mặt phẳng phức Chọn S là gốc tọa độ và SO là trục thực Khi đó, tọa độ của các điểm O, A, B được biểu diễn bởi
Gọi R + z là tọa độ của điểm B ′ Thì R − ωz là tọa độ của điểm A ′ Suy ra tọa độ của M, N là z M = z A ′ + z B
Từ đó suy ra tam giácSB ′ M và SA ′ N đồng dạng.
Bài tập 3 yêu cầu chứng minh rằng hai tam giác ∆BCN và ∆DMC đồng dạng, với DM = AB và BN = AD Bài tập 4 liên quan đến tam giác ABC có các góc nhọn, trong đó các đường cao AD, BE, CF giao nhau tại H Cần chứng minh rằng ∆AFE đồng dạng với ∆ACB và ∆FHE đồng dạng với ∆BHC.
Bài tập 5 Cho ∆ABC Kẻ đường cao AH Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
BH và AH Chứng minh: ∆ABM đồng dạng ∆CAN.
Trong bài tập 6, cho hình thang ABCD với AB song song với CD Tại tia đối của tia BE, chọn điểm E sao cho độ dài BE bằng độ dài CD Gọi I là giao điểm của AC với DB và K là giao điểm của DE.
Chứng minh hệ thức AK
Bài tập 7 Cho ∆ABC có ba góc nhọn, đường cao AH Vẽ HD vuông góc AB tại
D, HE vuông góc AC tại E Chứng minh: ∆AHB đồng dạng ∆ADH và ∆AHC đồng dạng ∆AEH.
Chứng minh hai đoạn thẳng vuông góc, song song; ba điểm thẳng hàng
song; ba điểm thẳng hàng
Để chứng minh rằng các đường thẳng CD và OE vuông góc với nhau khi và chỉ khi AB = AC, ta xét O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, D là trung điểm của AB, và E là trọng tâm của ∆ACD Sự vuông góc giữa CD và OE có mối liên hệ trực tiếp với độ dài của hai cạnh AB và AC trong tam giác.
Lời giải Gọi O là gốc tọa độ của mặt phẳng phức và a, b, c, d, e lần lượt là các tọa dộ phức của A, B, C, D, E.
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
Sử dụng phần thực của tích hai số phức ta có a.a = b.b = c.c = R 2
⇔ 3aa + ab + 2ac + 3ab + bb + 2bc − 6ac − 2bc − 4cc = 0
⇔ bb − 2ab + aa = cc − 2ac + aa
Từ (1) và (2) suy ra CD⊥OE ⇔ AB = AC.
Bài tập 2 Cho ABCDE là ngũ giác và đặt M, N, P, Q, X, Y là trung điểm của các đoạn BC, CD, DE, EA, M P, N Q Chứng minh XY ∥ AB.
Lời giải Đặt a, b, c, d, e lần lượt là các tọa dộ phức của A, B, C, D, E.
Các điểm M, N, P, Q, X, Y có tọa độ lần lượt là: m = b + c
Trong bài tập này, cho tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trùng với gốc tọa độ của mặt phẳng phức Gọi G là trọng tâm và H là trực tâm của tam giác ABC Cần chứng minh rằng ba điểm O, G và H nằm thẳng hàng.
Lời giải Nếu tâm O của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC trùng với gốc tọa độ của mặt phẳng phức thì ta có: z O = 0; z G = a + b + c
Do đó các điểm O, G, H thẳng hàng.
Bài tập 4 yêu cầu chứng minh rằng trong tam giác ABC (với AB < AC), khi hai đường cao BE và CF giao nhau tại H, và các đường thẳng từ B và C lần lượt song song với CF và BE gặp nhau tại D, thì H, I (trung điểm của BC) và D sẽ thẳng hàng Bài tập 5 yêu cầu chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD, điều kiện AB² + CD² = AD² + BC² xảy ra khi và chỉ khi AC vuông góc với BD.
Bài tập 6 Cho tứ giác ABCD, trên cạnh AB, BC, CD, DA ta lần lượt dựng về phía ngoài tứ giác các hình vuông có tâm O 1 , O 2 , O 3 , O 4 Chứng minh rằng
Bài tập 7.Cho tứ diệnABCD GọiE, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, BC, CD, DA Chứng minhAB⊥CDkhi và chỉ khiBC 2 +AD 2 = 2(EG 2 +F H 2 ). Bài tập 8.GọiM, N, P, Q, R, S là trung điểm các cạnhAB, BC, CD, DE, EF,
F A của lục giác Chứng minh rằng RN 2 = M Q 2 + P S 2 khi và chi khi M Q⊥P S.
Một số bài tập khác
Trong tam giác ABC, với trọng tâm G và các đường trung tuyến AA1, BB1, CC1 xuất phát từ các đỉnh A, B, C, ta có thể chứng minh rằng đối với mọi điểm M bất kỳ, một mối quan hệ đặc biệt giữa các đoạn thẳng sẽ luôn được duy trì.
Lời giải Gọi a, b, c, g, a 1 , b 1 , c 1 lần lượt là các số phức biểu diễn các điểm
A, B, C, G, A 1 , B 1 , C 1 trên mặt phẳng phức Khi đó, ta có: g = a + b + c
Bài tập 2 Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì Chứng minh rằng:
Lời giải Gọia, b, c, dlần lượt là các số phức biểu diễn các điểm A, B, C, D trên mặt phẳng phức Khi đó, ta có:
= ac − ab − dc + db + ba − bc − da + dc + cb − ca − db + ab
Bài tập 3 Cho tam giác ABC với ba đường trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh rằng: − BC − → ã − − →
CF = 0 Bài tập 4.Cho lục giác đều ABCDEF, K là trung điểm củaBD, M là trung điểm củaEF Chứng minh AM K là tam giác đều?
Bài tập 5 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh rằng: AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2 + 4M N 2
Trong chương 2, tôi đã trình bày cách áp dụng các khái niệm, định lý và tính chất của số phức để chứng minh một số định lý quan trọng và giải quyết các bài tập liên quan đến hình học phẳng.
Trong bài khoá luận “Ứng dụng số phức trong hình học phẳng”, em đã trình bày được những nội dung sau đây:
• Tìm hiểu, hệ thống lại một số lý thuyết cơ bản về số phức.
• Sử dụng số phức để chứng minh một số định lý trong hình học phẳng.
• Vận dụng những lý thuyết và các định lý về số phức để giải quyết một số bài toán trong hình học phẳng.
Số phức cung cấp cho chúng ta công cụ hữu ích trong việc giải quyết các bài toán hình học, đặc biệt là những bài toán có hình vẽ phức tạp Đề tài này hy vọng mang đến những kiến thức thú vị về số phức, giúp nâng cao khả năng giải toán và tiếp cận bài toán hình học qua nhiều phương pháp khác nhau Mặc dù đã nỗ lực thực hiện đề tài, em nhận thức rằng vẫn có thể có những sai sót Em rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ quý thầy cô và Hội đồng đánh giá để hoàn thiện khoá luận tốt hơn.
Xin trân trọng cảm ơn Hội đồng!