(TIỂU LUẬN) TIỂU LUẬN ỨNG DỤNG của số PHỨC TRONG HÌNH học sơ cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP.HCM KHOA TOÁN - TIN HỌC Chun ngành: Giáo dục Tốn học Mơn: Hình học sơ cấp - TIỂU LUẬN ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP Nhóm thực hiện: Thiếu nữ GVHD: T.S Trần Nam Dũng TPHCM, Ngày 15 tháng năm 2018 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA SỐ PHỨC Khái niệm số phức Một số tính chất Dạng lượng giác dạng mũ số phức Dạng mũ số phức Chương 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP I Ứng dụng phép dời hình ngơn ngữ số phức Khái quát 1.1 Phép tịnh tiến 1.2 Phép quay 1.3 Phép đối xứng trục 1.4 Phép vị tự Bài tập minh họa Bài tập làm thêm II Ứng dụng số phức phương trình đường thẳng Khái quát phương trình đường thẳng 1.1 Phương trình đường thẳng 1.2 Vị trí tương đối hai đường thẳng 1.3 Phương trình đường thẳng qua hai điểm 1.4 xác định Phương trình đường thẳng xác định m 1.5 Chân đường vng góc hạ từ điểm đến m 1.6 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳ 1.7 phức So sánh kết đường thẳng mặt ph Bài tập minh họa 25 Bài tập làm thêm 30 III Ứng dụng số phức phương trình đường tròn .31 Khái quát phương trình đường trịn 31 1.1 Phương trình đường trịn 31 1.2 Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 31 1.3 So sánh kết đường tròn mặt phẳng thực mặt phẳng phức 32 Bài tập minh họa 33 Bài tập làm thêm 35 IV Ứng dụng số phức tích vô hướng hai vec- tơ 36 Tích vơ hướng hai vec-tơ ngơn ngữ số phức .36 1.1 Định nghĩa 36 1.2 Tính chất 36 1.3 Ý nghĩa hình học tích vơ hướng hai số phức 37 1.4 Tọa vị trực tâm tam giác 37 Bài tập minh họa 37 Bài tập làm thêm 44 V Chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai đường thẳng vng góc với 45 Phương pháp 45 Bài tập minh họa 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 LỜI NÓI ĐẦU Số phức xuất từ thể kỷ XIX nhu cầu phát triển Toán học giải phương trình đại số Đối với học sinh bậc THPT số phức nội dung cịn mẻ, với thời lượng khơng nhiều, học sinh biết kiến thức số phức, việc khai thác ứng dụng số phức hạn chế, đặc biệt việc sử dụng số phức phương tiện để giải tốn Hình học phẳng vấn đề khó, địi hỏi học sinh phải có lực giải tốn định, biết vận dụng kiến thức đa dạng toán học Hơn nữa, lại vấn đề mà thực tế giảng dạy chưa quan tâm, chưa trọng bồi dưỡng cho em giỏi… Do đó, Tiểu luận “ Ứng dụng số phức hình học sơ cấp” biên soạn với nhiều nội dung hấp dẫn nhằm cung cấp nội dung mới, cách tiếp cận số phức thơng qua hình học mang đến phương pháp giảng dạy hình học giáo viên học sinh Chúng em xin chân thành cám ơn giúp đỡ nhiều tác giả cung cấp sách tham khảo nhiều nguồn thông tin qua mạng giúp chúng em biên soạn tiểu luận Đặc biệt lời cảm ơn chân thành đến TS.Trần Nam Dũng cung cấp kiến thức, gợi ý tạo điều kiện cho chúng em hoàn thành tiểu luận NHÓM THIẾU NỮ Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA SỐ PHỨC Khái niệm số phức z , ta có z = ( a , b ) = a (1, 0) + b(0,1) = a + ib , a, b Đây dạng đại số số phức z, a gọi phần thực số phức z, kí hiệu Rez b gọi phần ảo số phức z kí hiệu Imz Số phức liên hợp Cho z = a + ib , a ,b số phức z, kí hiệu , z = a − ib gọi số phức liên hợp z Một số tính chất Với số phức z1 , z , z , ta có: z= i) ii ) z= iii ) z1 + z iv ) z =a2+b2 z z z z v) z Suy ra: z1 vi) z = vii ) z+ NHÓM THIẾU NỮ z Dạng lượng giác dạng mũ số phức Xét mặt phẳng tương ứng với hệ tọa độ Đềcác Oxy ta biểu diễn số phức z = a + ib , a ,b điểmcó tọa độ (a,b) Như số thực biểu diễn điểm trục Ox, gọi trục thực, số ảo biểu diễn điểm trục Oy, gọi trục ảo Ngược lại, với điểm mặt phẳng Oxy có tọa độ (a,b), ta đặt tương ứng với số phức z = a + ib Vậy có tương ứng -1 tập hợp tất số phức với tập hợp tất điểm mặt phẳng Vì điểm có tọa độ (a,b) mặt phẳng tương ứng với véc tơ có bán kính véc tơ r = diễn dạng r, bán kính cực góc cực số phức z Bán kính r gọi modun số phức z, kí hiệu r = z Góc cực gọi argument số phức z, kí hiệu = Argz NHĨM THIẾU NỮ Modun số phức xác định cách z = a + b2 Và argument số phức xác định với sai khác bội = Argz = Với arctg Cho số phức Ta có tính chất sau: 1) Nếu z1 z2 modul chúng trùng argument chúng ; sai khác số nguyên lần 2) Tính chất modun argument NHÓM THIẾU NỮ i) z1 z = z1 z2 ii ) z iii ) z Im z iv ) z Re z + Im z v) z1 + z z1 + z2 vi ) z1 − z z1 − z2 Re z Dạng mũ số phức Để đơn giản cách viết số phức ta đặt cos i sin = e i dạng lượng giác biến đổi thành dạng mũ z = rei dạng số mũ số phức z Nếu z1 = r1ei ; z2 = r2 ei : z1 z = r1r2 ei ( z r i( = e ; r2 z r2 + 2) ; − 2) Phép nâng số phức z = a + ib = r ( cos+ i sin ) lên lũy thữa bậc n số phức z n = r n ein +2k wk = NHÓM THIẾU NỮ MP PB Suy ⊥ Bài tập 4: Cho tam giác ABC Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, dựng hình vng ABDE Trong nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, dựng hình vng BCFG Chứng minh GA ⊥ CD Giải Lấy hệ tọa độ vng góc có gốc B, vectơ BC theo chiều dương trục hoành Tọa vị đỉnh A, B, C a , b, c Khi dễ dàng tính g = ic, d = −ia Gọi góc GA CD Ta có: = arg −ia − c −ia − c a − ic : ia − c2 = argi= Vậy GA ⊥ CD Bài tập 5: (Đề vô địch Anh 1983) Cho tam giác ABC cân đỉnh A, gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; D trung điểm AB J trọng tâm tam giác ACD Chứng minh IJ ⊥ CD Giải NHÓM THIẾU NỮ 41 Chọn đường tròn tâm I làm đường tròn đơn vị Giả sử A (a ), B (b ),C (c) Vì A, B, C thuộc đường trịn nên ta có aa = bb = cc =1 D trung điểm AB nên Mặt khác, J trọng tâm tam giác ACD nên j= Từ suy Để chứng minh IJ ⊥ CD ta cần chứng minh IJ CD = Thật ta có IJ CD = = 24 ac − 3aa − 3ab + 4cc − 2ca − 2cb + 2bc − ba − bb + 6ca + 4cc + = 24 2cb − 3aa − 2ca − 3ab − ab − 2bc − bb (−4 ab + 4ca − ab + 4ac) Suy IJ CD = (ca + ac − ab − ab) Mặt khác AC = AB nên suy NHÓM THIẾU NỮ 42 c−ac−a=b−ab−a cc − ca − ac + aa = bb − ba − ab + aa ca + ac = ba + ab Suy IJ CD = , IJ ⊥ CD Bài tập 6: Cho ABCD tứ giác lồi Chứng minh rằng: AB2 +CD2 = AD2 + BC2 AC ⊥ BD Giải Sử dụng tính chất tích vơ hướng số phức: Ta có: AB2 +CD2 = BC2 + DA2 (b − a ).(b − a ) + ( d − c ).( d − c ) = ( c − b ).( c − b ) + ( a − d ).( a − d ) a.b + c.d = b.c + d a ( c − a ).( d − b) = AC⊥BD Bài tập 7: Cho E, F, G, H trung điểm cạnh AB BC CD, DA tứ giác lồi Chứng minh rằng: AB ⊥ CD BC + AD = 2( EG + FH ) Giải Giả sử A( a ), B (b), C (c ), D ( d ) Khi đó: e= a + b ,f= c + b Ta có: NHĨM THIẾU NỮ 43 BC2 + AD2 = 2(EG2 + FH 2) ( c − b ).( c − b ) + ( d − a ).( d − a ) = ( c + d − a − b ).(c + d − a − b) + ( a + d − b − c ).( a + d − b − c) a.d + b.c = a.c + b.d ( a − b ).( d − c ) = AB⊥CD Bài tập làm thêm a) Cho O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, D trung điểm đoạn tẳng AB E trọng tâm tam giác ACD Chứng minh CD ⊥ OE AB = AC b) kính Cho A1 , A2 , , An đa giác nội tiếp đường trịn tâm O có bán R Chứng minh điểm M mặt phẳng ta ln có: MAk2 = n (OM + R2 )n k =1 NHÓM THIẾU NỮ 44 V Chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai đường thẳng vng góc với Trong trường hợp tổng qt, khơng nói thêm ta thường dùng chữ in thường a, b, c, d, để tọa vị điểm A, B, C, D Phương pháp Cho bốn điểm A(a), B(b), C(c), D(d) Để chứng minh hai đoạn thẳng AB, CD vng góc nhau, ta chứng minh: b −a=i(d b − − c) d a − c=i b − a = −i ( d b − a − c) d − c = −i Để chứng minh AB ⊥ CD , ta chứng minh: Cách Cách Dùng tích vơ hướng, ta chứng minh: (b − a ).( d − c) = Bài tập minh họa Bài tập 1: Cho hình vng ABCD, M trung điểm CD, P điểm đường o chéo AC cho PC = 3AP Chứng minh BPM = 90 Giải NHÓM THIẾU NỮ 45 Trong mặt phẳng phức, chọn hệ trục hình vẽ với: A(0), B(1), C(1+i), D(i) Ta có: m= c + d = + 2i Do AP = p= AC nên: 4c= + i m−p b−p Như vậy: PB⊥PM PB=PM NHÓM THIẾU NỮ 46 Bài tập 2: Trên cạnh AB, AD tam giác ABD, ta vẽ phía ngồi hình vng ABEF, ADGH có tâm O Q Cho M trung điểm BD Chứng minh OMQ tam giác vuông cân Giải Ta giả sử ABD theo chiều dương Để chứng minh tam giác OMQ vuông cân M, ta cần chứng minh: o − m = i ( q − m) q − m = −i ( o − m) Ta tìm m, o ,q Ta có: b + d m= a − o d − q b − o =i, a − q =i Suy ra: o= q= b + a + i ( a − b) d + a + i ( d − a) Khi đó: o−m= a − d + i ( a −b) NHÓM THIẾU NỮ 47 q−m= = = = − i d − a + i (b − a) i a − d + i ( a − b ) = −i (o − m) Bài tập 3: Trên cạnh AB, AC tam giác ABC, lấy điểm D, E cho: DC = 2AD, EA = 2BE Gọi P = BD CE Chứng minh APC = 90o Giải Chọn A gốc với B(b = 1) Ta có: E e = NHĨM THIẾU NỮ 48 D d= Để tìm P, ta tìm phương trình BD, CE Ta có: BD: (b − d ) z − (b − d ) z + bd − bd = +i − CE: (c − Giải hệ (1) (2) ta có: P p= Khi đó: c−p p Suy ra: PC PC NHÓM THIẾU NỮ 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đồn Quỳnh (1997), Số phức với hình học phẳng, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Văn Mậu – chủ biên (2009), Chuyên đề số phức áp dụng, NXB ĐH [3] Nguyễn Hữu Điển (2000), Phương pháp số phức hình học phẳng, NXB ĐH [4] Nguyễn Hà Thanh (2013) ,Số phức hình học, NXB khoa học kĩ thuật [5] Complex Numbers in Geometry, I.M Yaglom, 1968 [6] Geometry of Complex Numbers, Hans Schwerdtfeger, 1962 [7] Link nguồn: Http//:www.mathscope.com.vn [8] Link nguồn:Http://diendantoanhoc.net NHÓM THIẾU NỮ 50 ... nâng số phức z = a + ib = r ( cos+ i sin ) lên lũy thữa bậc n số phức z n = r n ein +2k wk = NHÓM THIẾU NỮ Chương 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP I Ứng dụng phép dời hình. .. đó, Tiểu luận “ Ứng dụng số phức hình học sơ cấp? ?? biên soạn với nhiều nội dung hấp dẫn nhằm cung cấp nội dung mới, cách tiếp cận số phức thông qua hình học mang đến phương pháp giảng dạy hình học. .. BẢN CỦA SỐ PHỨC Khái niệm số phức Một số tính chất Dạng lượng giác dạng mũ số phức Dạng mũ số phức Chương 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC