TIỂU LUẬN ỨNG DỤNG của số PHỨC TRONG HÌNH học sơ cấp

Khái niệm số phức

Số phức z có thể được biểu diễn dưới dạng đại số là z = (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a + ib, trong đó a là phần thực của số phức z, ký hiệu là Re(z), và b là phần ảo của số phức z, ký hiệu là Im(z).

Cho z = a + ib , a ,b , khi đó z = a − ib được gọi là số phức liên hợp của số phức z, kí hiệu là z

Một số tính chất

Với các số phức z 1 , z 2 , z , ta có: z = , z i ) z z = , z ii ) z

2 z 2 z + = 2Re z = 2a; z − = 2i Im z = 2ib ( z = a + ib , a ,b ) vii ) z z

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức

Xét mặt phẳng tương ứng với hệ tọa độ Đềcác Oxy và ta biểu diễn một số phức z

Số phức có dạng a + ib, trong đó a và b là các số thực, được biểu diễn bởi một điểm có tọa độ (a, b) Trục Ox đại diện cho các số thực, được gọi là trục thực, trong khi trục Oy biểu diễn các số thuần ảo, được gọi là trục ảo.

Ngược lại, với mỗi điểm của mặt phẳng Oxy có tọa độ (a,b), ta đặt tương ứng với một số phức z = a + ib

Vậy có sự tương ứng 1 -1 giữa tập hợp tất cả các số phức với tập hợp tất cả các điểm của một mặt phẳng.

Mỗi điểm có tọa độ (a,b) trong mặt phẳng tương ứng với một véc tơ có bán kính véc tơ r = a² + b² và góc cực tương ứng Số phức z có thể được biểu diễn dưới dạng lượng giác là z = r (cos θ + i sin θ), trong đó r là bán kính cực và θ là góc cực của số phức z Bán kính r được gọi là modun của số phức z, ký hiệu là |z|, còn góc cực được gọi là argument của số phức z, ký hiệu là arg(z).

Modun của số phức được xác định một cách duy nhất z = a 2 + b 2 0

Và argument của số phức được xác định với sai khác một bội của 2 arctg b

[- ; ] là giá trị chính của hàm arctg a 2 2

Cho các số phức z = r ( cos + i sin ) ; z 1 = r 1 (cos 1 + isin 1 ) ; z 2 = r 2 (cos 2 + isin 2 )

Ta có các tính chất sau:

1) Nếu z 1 z 2 thì modul của chúng trùng nhau và argument của chúng 1 ; 2 sai khác nhau một số nguyên lần 2

2) Tính chất của modun và argument

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com i ) ii ) iii ) iv ) v ) vi ) z 1 z 2 = z 1 z 2 z Re z z Im z z Re z + Im z z 1 + z 2 z 1 + z 2 z 1 − z 2 z 1 − z 2

Dạng mũ của số phức

Để đơn giản cách viết số phức ta đặt cos i sin = e i dạng lượng giác được biến đổi thành dạng mũ z = re i đó là dạng số mũ của số phức z 0.

1 e i ( 1 − 2 ) ; r 2 0 z 2 r 2 Phép nâng số phức z = a + ib = r ( cos + i sin ) lên lũy thữa bậc n của số phức z n = r n e in i

Ứng dụng của các phép dời hình bằng ngôn ngữ số phức

Phép tịnh tiến theo vectơ v = ( v) là phép biến hình biến điểm M ( z) thành điểm

M '( z ') sao cho MM ' = v Do đó biểu thức của phép tịnh tiến là z ' = f (z) = z + v

Phép quay tâm M 0 (z 0 ) góc quay là phép biến hình biến M (z) thành điểm M '(z') mà M 0 M = M 0 M ' và ( M 0 M ; M 0 M ') (mod 2 ) Từ đó biểu thức của phép quay tâm M 0 góc quay là z '− z 0 = e i ( z − z 0 )

Theo hình học của phép toán cộng và nhân số phức, biến đổi mặt phẳng phức được xác định bởi z z' = z + v là phép tịnh tiến T v theo vectơ v Trong khi đó, biến đổi z z' = z với |z| = 1 biểu thị phép quay quanh tâm O (gốc tọa độ) với góc quay được đo bằng arg.

Vậy phép biến đổi f của mặt phẳng phức xác định bởi z z ' = z + ,| |=1 , là tích của một phép quay tâm O với một phép tịnh tiến Rõ ràng:

- Khi =1, f là phép tịnh tiến.

- Khi1, f có một điểm bất động J mà f ( J ) = J duy nhất có tọa vị là z 0 xác định bởi z 0= z 0+ , tức là z 0= và khi đó công thức z ' = z + có thể

1 − viết thành z '− z 0 = (z − z 0 ) , tức f là phép quay tâm J , góc quay có số đo

Do đó, công thức z z ' = z + ,| |=1 xác định mọi phép tịnh tiến và mọi phép quay trong mặt phẳng.

Lưu ý rằng phép tịnh tiến và phép quay đều bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm Điều này có thể được suy ra từ công thức: nếu z '1 = z 1 + và z '2 = z 2 +, thì ta có z '2 − z '1 = (z2 − z1), do đó | z'2 - z'1 | = | z2 - z1 |.

Phép đối xứng qua đường thẳng l là phép biến hình biến mỗi điểm M ( z ) thành điểm

M ' ( z ' ) sao cho l là trung trực của MM’ Từ đó:

- Phép đối xứng qua trục thực: z ' = f ( z ) = z

- Phép đối xứng qua trục ảo: z ' = f ( z ) = −z

- Do 2 ( Ox; l ) = ( Ox; OM ) + ( Ox; OM ' ) ( ở đây l = ( z 0 ) ) nên phép đối xứng qua đường thẳng l đi qua gốc O và điểm z o = e i 2 có biểu thức z ' = f ( z ) = e i z

Từ đó, nếu = T v ( l ) với v = ( z 0 s ) thì phép đối xứng trục qua có biểu thức z ' = e i z + 2z 0

Phép vị tự tâm C ( z 0 ) , tỷ số k R * là phép biến hình biến điểm

M ' ( z ') mà CM ' = kCM Do đó biểu thức của phép vị tự tâm là z ' = k ( z − z 0 ) + z 0

Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ v (-1; 2), hai điểm A(3; 5) và B(-1; 1), cùng với đường thẳng d: x – 2y + 3 = 0 Bài tập yêu cầu tìm tọa độ A’ và B’ là ảnh của A và B qua phép tịnh tiến theo vectơ v Đồng thời, cần xác định tọa độ C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ v.

Giải. a) Tọa độ v ( −1; 2 ) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: v = −1 + 2i Điểm A(3;5) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: z = 3 + 5i

Gọi A ' ( z ' ) là ảnh của z qua phép tịnh tiến z theo vectơ v

Biểu thức của phép tịnh tiến là z ' = f (z) = z + v = 3 + 5i − 1 + 2i = 2 + 7i

Tọa độ v ( −1; 2 ) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: v = −1 + 2i Điểm B(-1;1) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: z = − 1 + i

Gọi B' ( z ') là ảnh của z qua phép tịnh tiến z theo vectơ v

Biểu thức của phép tịnh tiến là z ' = f (z) = z + v = −1 + i − 1 + 2i = −2 + 3i

Vậy B’(-2;3). b) Tọa độ v ( −1; 2 ) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: v = −1 + 2i là ảnh của C ( z ) qua phép tịnh tiến theo vectơ v Điểm A(3;5) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: z ' = 3 + 5i

Biểu thức của phép tịnh tiến là z ' = f (z) = z + v z = z '− v = 3 + 5i − ( −1 + 2i ) = 4 + 3i

Bài tập 2: Tìm ảnh của A(2, 3). a Qua phép quay tâm O, góc quay 90 0 b Qua phép quay tâm O, góc quay -60 0 c Qua phép quay tâm I (1;2), góc quay 90 0 d Qua phép quay tâm I(3; 5) , góc quay 60 0

A ( z ' ) a Qua phép quay tâm O, góc quay 90 0 Điểm A(2 , 3) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: z = 2 + 3i Điểm O( 0,0) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: z 0 = 0

Gọi z’ là ảnh của z qua phép quay tâm O, góc quay 90 0

Biểu thức của phép quay tâm O góc quay là z '− z 0 = e i ( z − z 0 ) i

Vậy ảnh của A(2, 3) qua phép quay tâm O, góc quay 90 0 là B’(-3;2). b Qua phép quay tâm O, góc quay -60 0

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Điểm A(2 , 3) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: z = 2 +

3i Điểm O( 0,0) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: z 0 = 0

Gọi z’ là ảnh của z qua phép quay tâm O, góc quay -60 0

Biểu thức của phép quay tâm O góc quay là z '− z 0 = e i ( z − z 0 )

Vậy ảnh của A(2, 3) qua phép quay tâm O, góc quay 90 0 là

2 2 c Qua phép quay tâm I (1;2), góc quay 90 0 Điểm A(2 , 3) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: z = 2 + 3i Điểm I( 1;2) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: z 0 = 1 +

2i Gọi z’ là ảnh của z qua phép quay tâm I, góc quay 90 0

Biểu thức của phép quay tâm I góc quay là z '− z 0 = e i ( z − z 0 )

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com z ' = z o + e i 2 ( z − z 0 )

Ảnh của điểm A(2, 3) qua phép quay tâm I với góc quay 90 độ là C’(0, 3) Khi thực hiện phép quay tâm I(3, 5) với góc quay 60 độ, điểm A(2, 3) được biểu diễn trên mặt phẳng phức dưới dạng z = 2 + 3i, trong khi điểm I(3, 5) được biểu diễn là z₀ = 3 + 5i.

Gọi z’ là ảnh của z qua phép quay tâm I, góc quay 60 0

Biểu thức của phép quay tâm I góc quay là z '− z 0 = e i ( z − z 0 )

Vậy ảnh của A(2, 3) qua phép quay tâm O, góc quay 90 0 là D ' ;

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(3;-5) và đường thẳng d có phương trình 3x + 2y - 12 = 0 Để tìm ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục Ox, ta có ảnh M' là (3; 5) Còn qua phép đối xứng trục Oy, ảnh của điểm M là M'' là (-3; -5).

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com a Điểm M(3;-5) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: z = 3 − 5i

Gọi M’(z’) là ảnh của M(z) qua phép đối xứng trục thực Ox

Biểu thức củaphép đối xứng qua trục thực: z ' = f ( z ) = z = 3 + 5i

Vậy M’(3;5). b.Điểm M(3;-5) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: z = 3 − 5i

Gọi M’’(z’) là ảnh của M(z) qua phép đối xứng trục ảo Oy

Biểu thức củaphép đối xứng qua trục ảo: z ' = f ( z ) = − z = − (3 + 5i ) = −3

Bài tập 4: Trong mặt phẳng Oxy hai điểm A(4;5) và I(3;-2) Tìm ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm I tỉ số k=3

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Điểm A(4;5) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: z = 4 + 5i Điểm I(3;-2) biểu diễn trên mặt phẳng phức là: z 0 = 3 − 2i

Gọi A’(z’) là ảnh của z qua phép vị tự tâm I, tỉ số k=3

Biểu thức của phép vị tự tâm I tỉ số k=3 z ' = k ( z − z 0 ) + z 0

Vậy ảnh của A(4;5) qua phép vị tự tâm I tỉ số k=3 là A’(6;19)

Bài tập 5: Xác định cụ thể tích của phép tịnh tiến T v với phép quay Q J ,

Có thể giả sử v 0 đó với mọi biến đổi

, 2k thì T 0 = Id,Q J ,2k = Id nên dễ xác định tích đang xét f của mặt phẳng ta luôn có Id o f = f o Id = f

T v xác định bởi z z ' =z + ( là tọa vị của v , 0

| |=1, 1. z z '= z + (1− )z 0 trong đó z 0 là tọa vị của J , = arg ,

Khi đó tích Q J , o T v xác định bởi: z z ' = ( z + )+(1− ) z0 = z + + (1− )z 0 Vậy ta được một phép quay cùng góc nhưng tâm quay J 1 có tọa vị z 1 xác định bởi

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com z 1 = z + + (1− )z 0 tức z 1 = z 0 + 1 −

Tích T v o Q J , xác định bởi z z + (1 − ) z 0 + cũng là phép quay góc tâm quay

J 2 có tọa vị z 2 xác định bởi z 2 = z 2 + (1 −) z 0 + tức là z 2 = z 0 + 1 − 1

Với giả thiết 0, 1 thì J 1 J 2 tức là Q J , o T v T v o Q J ,

Bài tập 6: Xác định cụ thể tích của hai phép quay khác tâm Q J 1 , ` và

J , xác định bởi z '− z1 = ` (z − z 1 ) ( J 1 có tọa vị z 1 , 1 = arg 1 ,| 1 |=1 ),

2 xác định bởi z '− z2 = ` (z − z 2 ) ( J 2 có tọa vị z 2 , 2 = arg 2 ,| 2 |=1 ).

Vậy khi 1 2 =1 tức khi 1 + 2 = 2k (k ) (hai góc quay đối nhau) thì tích đó là một phép tịnh tiến có tọa vị (1− 2 )(z2 − z 1 )

Còn khi 2 1 1 thì tích đang xét là phép quay với góc quay là có số đo 2 +1 và tâm quay J 0 có tọa vị z 0 xác định bởi z 0 =2 1 z 0 + 2 (1−1 ) z1 + (1− 2 ) z2 ,

, do đó góc định hướng giữa hai đường thẳng (J J , J J ) z 2 − z 1 1− 21

= 2 (1− ` ) suy ra góc định hướng của các đường thẳng (J J , J J ) z 1 − z 2 1− 21

Bài tập 7: Cho A 1 ( z 1 ) , A 2 ( z 2 ) , A 3 ( z 3 ) là ba đỉnh của một tam giác định hướng dương Các điều kiện sau là tương đương

A 1 A 2 A 3 là tam giác đều và định hướng dương khi và chỉ khi A 3 là ảnh của A 2 qua phép quay tâm A , góc quay , nghĩa là:

Do đó 1 2 Để chứng minh ( 2 ) ( 4 ), ta thấy ( 2 ) ( 2' ) sau đây:

3 Bài tập làm thêm a) Lấy các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC làm đáy, dựng ra ngoài các tam giác đều với tâm tương ứng là A 0 , B 0 , C 0 Chứng minh rằng A 0 , B 0 ,C 0 là các đỉnh của một tam giác đều. b) Cho tam giác ABC Lấy các cạnh làm đáy, dựng ra ngoài ba n- giác đều Tìm tất cả các giá trị của n sao cho tâm của ba đa giác đều đó là đỉnh của một tam giác đều

Ứng dụng số phức trong phương trình đường thẳng

1 Khái quát phương trình đường thẳng.

1.1 Phương trình của đường thẳng.

Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng phức có dạng:

Phương trình đường thẳng trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxy là:

Ax + By + C = 0 (*) trong đó A, B, C ,A 2 +B 2 0 Đặt z = x + iy , suy ra: x = z +

• Nếu =B = 0 ta có đường thẳng đứng

• Nếuta có hệ số góc của đường thẳng như sau: m = − A

1.2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

( d 2 ) : 2 z + 2 z + 2 = 0 Khi đó (d 1 ),(d 2 ) sẽ: a) Song song với nhau nếu và chỉ nếu 1 = 2 1

2 b) Vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu 1 + 2 = 0 1 2 c) Cắt nhau nếu và chỉ nếu

Ta gọi tỉ số m = − là hệ số góc phức của đường (d): z + z + = 0 d

1.3 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm.

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm P (z ), P (z

Phương trình đường thẳng xác định bởi hai điểm P (x , y ), P (x , y ) trong hệ trục

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x y 1

Ba điểm M1 (z1), M2 (z2), M3 (z3) thẳng hàng khi và chỉ khi z1(z2 - z1) + z2(z1 - z3) + z3(z2 - z1) = 0 Hệ số góc của đường thẳng xác định bởi các điểm M1 và M2 có thể tính bằng công thức m = (z2 - z1) / (z2 - z1) Điều này cho thấy rằng nếu ba điểm này thẳng hàng, thì m sẽ được xác định rõ ràng từ tọa độ của chúng.

Theo định nghĩa của hệ số góc phức, ta được: m = z 2 − z 1 z 2 − z 1

1.4Phương trình của đường thẳng xác định bởi một điểm và một hướng xác định.

Cho đường thẳng d : z + z + = 0 và điểm P 0 (z 0 )

Phương trình của đường thẳng song song với d và qua P 0 là: z − z 0 = −(z − z 0 )

Trong hệ trục trực chuẩn Oxy, phương trình đường thẳng qua P 0 (x 0 ,y 0 ) và song song với d có phương trình là: y − y 0 = i +

, k = 0,1 vào phương trình trên, ta có: k 2 2i z − − z 0 − = i + ( z + − z 0 + z z 0 z z 0

Cho đường thẳng d : z + z + = 0 và điểm P 0 (z 0 )

Phương trình của đường thẳng vuông góc với d và qua P 0 là: z − z 0 = ( z − z 0 )

Trong hệ trục trực chuẩn Oxy, phương trình đường thẳng qua P 0 (x 0 ,y 0 ) và vuông góc với d có phương trình là: y − y 0 = −i +− (x − x 0 ) x = z k + = z k −

, k = 0,1 vào phương trình trên, ta có: k 2 2i z − − z 0 − −

1.5 Chân đường vuông góc hạ từ một điểm đến một đường thẳng.

Chân đường vuông góc H(z) hạ từ P 0 xuống d có tọa vị: z = z 0 − z 0 − = 0 2

Ta có H là giao điểm của d và đường thẳng đi qua P vuông góc với d nên tọa vị z của nó là nghiệm của hệ: ̅ ̅+ + = 0

1.6 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

Khoảng cách từ điểm P 0 (z 0 ) đến đường d : z + z + = 0, * là:

2 Nếu gọi H là chân đường vuông góc hạ từ P xuống d, ta có:

1.7 So sánh kết quả về đường thẳng trong mặt phẳng thực và mặt phẳng phức.

Trong mặt phẳng thực Trong mặt phẳng phức

Phương trình tổng ax + by + c = 0 z + z + = 0, quát a , b , c * , a 2 + b 2 0

Hệ số góc m = − a m = + i b − Đường thẳng qua x 1 y 1 1 z 1 z 1 1

Hệ số góc đường m = y 2 − y 1 m = z 2 − z 1 thẳng M 1 M 2 x 2 − x 1 z 2 − z 1

Chân đường H (x H , y H ) = hcP (x 0 , y 0 )/ d H (z H ) = hcP (z 0 )/ d vuông góc = 0 − ( ) z = z 0 − z 0 − = 0

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng d ( P , ( d )) = ax 0 + by 0 + c a 2 + b 2 d )) = z 0 + z 0 +

Bài tập 1:Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng sau:

Bài tập 2: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(1,4) và song song với (d’): x-2y+12=0

(d) đi qua M(1,4) có VTPT n d = (1, −2) có dạng:

2Phương trình của đường thẳng song song với d và qua M là:

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com z − z 0 = −(z − z 0 )

Bài tập 3: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M 1;− và vuông góc với (d’): - x -

Phương trình đường thẳng (d) qua M 1; − , có VTPT n d

Phương trình của đường thẳng vuông góc với d và qua M là:

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com z − z = (

Bài tập 4: Cho △ABC có A(1;-2) Đường cao kẻ từ B, C có phương trình lần lượt là

( d 1 ) : 3 x − 5 y + 11 = 0, ( d 2 ) : x + 3 y − 7 = 0 Lập phương trình các cạnh của tam giác

Phương trình đường thẳng AB đi qua A(1;-2) và có VTPT n AB = (3; −1) có dạng:

Phương trình đường thẳng AC đi qua A(1;-2) và có VTPT n AC = (5;3) có dạng:

Phương trình đường thẳng BC đi qua B(3;4) có VTPT n BC = (1; −5) có dạng:

Phương trình của đường thẳng AB vuông góc với d 2 và qua A là:

Phương trình của đường thẳng AC vuông góc với d 1 và qua A là: z − z 0 = ( z − z 0 )

Phương trình đường thẳng (BC) đi qua 2 điểm B và C có hệ số góc là: m = − 2 + 3 i − (3 + 4 i ) = 12 + 5i

Bài tập 5: Cho hai hình vuống cùng chiều OABC,OA’B’C’ Chứng minh rằng AA’,BB’,CC’ đồng quy.

Trong mặt phẳng phức, ta chọn O làm gốc với:

Cộng (1) và (3) vế theo vế, ta có (2)

Vậy giao điểm của AA’, CC’ nằm trên BB’

3 Bài tập làm thêm a) Lập phương trình các cạnh và các đường trung trực của △ABC biết trung điểm 3 cạnh BC, CA, AB lần lượt là: M(z)=2+3i, N(z)=4-i, P(z)=-3+5i b) Cho 2 đường thẳng( d

Cho hai đường thẳng (d1): 2x - 3y + 5 = 0 và (d2): 3x + y - 2 = 0, ta có thể xác định tính chất song song giữa chúng Để tính khoảng cách giữa (d1) và (d2), ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng song song Tiếp theo, tìm điểm M trên trục Ox sao cho khoảng cách từ M đến cả hai đường thẳng (d1) và (d2) là bằng nhau Đối với điểm A(3;1), ta cần xác định hai điểm B và C để tạo thành hình vuông OABC, với B nằm trong góc phần tư thứ nhất, từ đó lập phương trình cho hai đường chéo của hình vuông Cuối cùng, viết phương trình đường thẳng (△) song song với (d): 3x - 4y + 1 = 0 và có khoảng cách đến đường thẳng (d) bằng 1.

Ứng dụng số phức trong phương trình đường tròn

1 Khái quát phương trình đường tròn.

1.1Phương trình của đường tròn.

Phương trình đường tròn trong mặt phẳng phức có dạng: z z + z + z + = 0 với ,

Phương trình đường tròn trong hệ trục chuẩn Oxy là: x 2 + y 2 − 2 mx − 2 ny + p = 0 với m, n, p , m 2 + n 2 − p 0

, y = z − vào phương trình trên, ta có: z z

Bán kính đường tròn trên là : r = m 2 + n 2 − p = − ,

Khi đó, phương trình đường tròn trên có dạng

1.2 Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Cho ba điểm A 1 (z 1 ), A 2 (z 2 ), A 3 (z 3 ) theo thứ tự là ba đỉnh của một tam giác Tọa vị z

0 của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A

Ta có phương trình đường thẳng qua P 0 (z 0 ) , vuống góc với A 1 A 2 có dạng: z(z1 − z 2 ) + z(z 1 − z 2 ) = z 0 (z 1 − z 2 ) + z 0 (z 1 − z 2 ) Áp dụng công thức này, ta có phương trình các đường trung trực của các cạnh

A 2 A 3 , A 1 A 3 là: z(z 2 − z 3 ) + z(z 2 − z 3 ) =| z 2 | 2 − | z 3 | 2 z(z3 − z 1 ) + z(z 3 − z 1 ) =| z 3 | 2 − | z 1 | 2 Khử z từ hai phương trình trên, ta được: z[(z2 -z3 )+(z3 -z1 )(z2 -z 3 )]=(z1 -z3 )(|z2 2 |-|z 3 | 2 )+(z2 -z3 )(|z3 2 |-|z1 | 2 )

Chú ý:Ta có thể viết lại công thức này như sau: z 0 =z 1 z 1 (z2 − z3 ) + z2 z 3 (z3 − z1 ) + z3 z 3 (z1 − z2 )

1.3 So sánh kết quả về đường tròn trong mặt phẳng thực và mặt phẳng phức.

Trong mặt phẳng thực Trong mặt phẳng phức

Phương x 2 + y 2 − 2 ax − 2by + c = 0 z z + z + z + = 0 trình tổng Với a 2 + b 2 − c 0 Với, quát

Tâm và bán Tâm I(a;b) Tâm I ( − ) kính

Tâm đường tròn qua ba điểm

Bài tập 1: Viết các phương trình đường tròn sau bằng ngôn ngữ số phức:

Bài tập 2: Viết phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính:

Bài tập 3: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết A(-2;4),

Giả sử phương trình đường tròn (C) có dạng:

Mà A, B, C thuộc (C) nên ta có hệ phương trình:

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0

3 Bài tập làm thêm a) Viết phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính hoặc đường kính (sử dụng ngôn ngữ số phức): i) I(-1,0), R=4 ii) I −1

;R=3 3 2 b) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (sử dụng ngôn ngữ số phức) với: i) A(2;0), B(0;-3), C(5;-3) ii) A(1;2), B(3;1), C(-3;-1) iii) A(-1;-7), B(-4;-3), C O

Ứng dụng số phức trong tích vô hướng của hai vec- tơ

Tích vô hướng của hai vectơ là khái niệm quen thuộc trong hình học, và chúng ta sẽ khám phá khái niệm này qua số phức Việc áp dụng số phức không chỉ giúp hiểu rõ hơn về tích vô hướng mà còn đơn giản hóa quá trình giải quyết nhiều bài toán.

1 Tích vô hướng của hai vec-tơ bằng ngôn ngữ số phức 1.1 Định nghĩa

Cho a , b là hai số phức, ta có: a,b = 1

Trong mặt phẳng phức cho hai điểm A( a ),B( b ) Khi đó

OA.OB = OA.OB.cos AOB

Nếu a có modul bằng r 1 và có argument bằng1, b có modul bằng r 2 và có argument bằng 2 thì:

OA.OB = r 1 r 2 cos ( 2− 1 ) = r 1 r 2 ( cos 1 cos 2 + sin 1 sin 2)

Từ đó, ta có thể suy ra rằng a;b = a;b và do đó a,b Tích vô hướng của hai số phức tương tự như tích vô hướng của hai vectơ Hơn nữa, ta cũng có a;cb = c a,b và ca,b = c a,b.

Với mọi số phức a, b, c, z ta có: a a.a = a 2 b Tính chất giao hoán: a.b = b.a

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com c Tính phân phối đối với phép cộng: a.(b + c ) = a.b + a.c d ( a ).b = ( a.b) = a.( b), e a.b = 0OA ⊥ OB , với A, B lần lượt là ảnh của a , b f ( a z ).(b z ) = z 2 ( a.b)

1.3 Ý nghĩa hình học của tích vô hướng của hai số phức.

Tích vô hướng a.b là phương tích của gốc tọa độ với đường tròn đường kính AB

I là tâm đường tròn đường kính , ta có: a + b

Phương tích của gốc tọa độ đối với đường tròn: OI 2 − r 2 = a.b

Mệnh đề: Giả sử là bốn điểm phân biệt:

Các mệnh đề sau tương đương

1.4 Tọa vị của trực tâm của tam giác.

Cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với gốc trong mặt phẳng phức:

Giả sử A( a ), B (b ), C (c) , khi đó trực tâm H của tam giác ABC có tọa vị : h = a + b + c

Trên mặt phẳng Oxy, điểm A có tọa độ (-2, 1) Điểm B là điểm đối xứng với A qua gốc tọa độ O Để tìm tọa độ điểm C có tung độ bằng 2, sao cho tam giác ABC vuông tại C, cần xác định vị trí của C dựa trên các thông tin đã cho.

Cách 1: Phương pháp thông thường

Vì B đối xứng với A(-2,1) qua O nên ta có B(2,-1)

Tam giác ABC vuông tại C nên ta có:

Cách 2: Mô tả các đại lượng bằng số phức.

Gọi ba điểm A, B, C có tọa vị lần lượt là a , b, c Ta có a = −2 + i B đối xứng với

A qua gốc tọa độ nên b = 2 − i c = x + 2i

Tam giác ABC vuông tại C nên ta có: CA.CB = 0

Bài tập 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm: A(7; -3), B(8; 4), C(1;

5), D(0; –2) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.

=> ABCD là hình bình hành.

=> ABCD là hình chữ nhật.

=> ABCD là hình vuông (vì hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau) (đpcm).

Gọi tọa vị của các đỉnh A, B, C, D lần lượt là a, b, c, d a = 7 − 3i b = 8 + 4i c = 1 + 5i

Ta sẽ chứng minh các ý sau:

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra tứ giác ABCD là hình vuông.

Bài tập 3: Cho hình vuông ABCD Điểm M là trung điểm của CD, điểm P nằm trên đường chéo AC sao cho P

Chứng minh rằng MP ⊥ PB

Để thiết lập hệ tọa độ vuông góc, chọn điểm A làm gốc và vectơ AB là vectơ đơn vị theo chiều dương của trục hoành Tọa độ của các điểm A, B, C, D lần lượt là a = 0, b = 1, c = 1 + i, và d = i Tọa độ điểm M được tính là m = 1 (c + d).

Vì arg i = , do đó BPM = 90

Trong bài tập 4, cho tam giác ABC với điểm C nằm trong nửa mặt phẳng bờ AB, ta dựng hình vuông ABDE Đồng thời, trong nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, ta dựng hình vuông BCFG Nhiệm vụ là chứng minh rằng GA vuông góc với CD.

Trong hệ tọa độ vuông góc với gốc tại điểm B, vectơ BC được xác định theo chiều dương của trục hoành Tọa độ của các đỉnh A, B, C lần lượt là a, b, c Dễ dàng tính được g = ic và d = −ia Góc giữa hai đoạn thẳng GA và CD cũng được xác định từ các tọa độ này.

Bài tập 5 (Đề vô địch Anh 1983) yêu cầu chứng minh rằng trong tam giác ABC cân tại đỉnh A, với I là tâm đường tròn ngoại tiếp, D là trung điểm của cạnh AB và J là trọng tâm của tam giác ACD, thì IJ vuông góc với CD.

Chọn đường tròn tâm I làm đường tròn đơn vị Giả sử A ( a ) , B ( b ) ,C ( c ) Vì A, B,

C cùng thuộc đường tròn nên ta có aa = bb = cc =1 và D là trung điểm của AB nên a + b a + b 2c − a − b

Suy ra DC = c − tọa vị của D =

2 Mặt khác, J là trọng tâm của tam giác ACD nên a + c + a + b

Từ đó suy ra IJ = 3a + 2c + b

( I là gốc tọa độ) 6 Để chứng minh IJ

⊥ CD ta cần chứng minh IJ CD = 0

6 ac − 3aa − 3ab + 4cc − 2ca − 2cb + 2bc − ba − bb + 6ca + 4cc

+ 2cb − 3aa − 2ca − 3ab − ab − 2bc − bb

6 ( ca + ac − ab − ab ) Mặt khác AC = AB nên suy ra

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com c − a c − a = b − a b − a cc − ca − ac + aa = bb − ba − ab

+ aa ca + ac = ba + ab

Suy ra IJ CD = 0 , vậy IJ ⊥ CD

Bài tập 6: Cho ABCD là một tứ giác lồi Chứng minh rằng:

AB 2 +CD 2 = AD 2 + BC 2 AC ⊥ BD

Sử dụng tính chất của tích vô hướng của các số phức:

Bài tập 7: Cho E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB BC CD, DA của một tứ giác lồi Chứng minh rằng: AB ⊥ CD BC 2 + AD 2 = 2( EG 2 + FH 2 )

3 Bài tập làm thêm a) Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, D là trung điểm của đoạn tẳng

Trong tam giác ACD, điểm AB và E là trọng tâm, và cần chứng minh rằng CD vuông góc với OE, với AB bằng AC Bên cạnh đó, cho A1, A2, , An là các đỉnh của một đa giác đều nội tiếp trong đường tròn có tâm O và bán kính R.

R Chứng minh mọi điểm M trong mặt phẳng ta luôn có:

Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai đường thẳng vuông góc với nhau

Trong trường hợp tổng quát, nếu không nói gì thêm ta thường dùng chữ in thường a, b, c, d, để chỉ tọa vị của các điểm A, B, C, D.

1 Để chứng minh hai đoạn thẳng AB, CD bằng nhau và vuông góc nhau, ta chứng minh: b − a = i ( d − c) b d − − a c = i hoặc b − a = −i ( d − c) b d −

2 Để chứng minh AB ⊥ CD , ta chứng minh:

Cách 2 Dùng tích vô hướng, ta chứng minh:

Bài tập 1: Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm CD, P là điểm trên đường chéo AC sao cho PC = 3AP Chứng minh BPM = 90 o

Trong mặt phẳng phức, chọn hệ trục như hình vẽ với:

Trong bài tập 2, trên các cạnh AB và AD của tam giác ABD, chúng ta vẽ các hình vuông ABEF và ADGH ở phía ngoài với tâm lần lượt là O và Q M được xác định là trung điểm của đoạn BD Cần chứng minh rằng tam giác OMQ là tam giác vuông cân.

Ta giả sử ABD đi theo chiều dương Để chứng minh tam giác OMQ vuông cân tại

M, ta cần chứng minh: o − m = i ( q − m) hoặc q − m = −i ( o − m)

Bài tập 3: Trên các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC, lấy các điểm D, E sao cho:

Gọi P = BD CE Chứng minh APC = 90 o

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com c 1 3

3 6 6 Để tìm P, ta tìm phương trình BD, CE.

Ta có: BD: (b − d ) z − (b − d ) z + bd − bd = 0

(2) Giải hệ (1) và (2) ta có:

Tiêu đề	Tiểu Luận Ứng Dụng Của Số Phức Trong Hình Học Sơ Cấp
Tác giả	Thiếu Nữ
Người hướng dẫn	T.S Trần Nam Dũng
Trường học	Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.Hcm
Chuyên ngành	Giáo Dục Toán Học
Thể loại	tiểu luận
Năm xuất bản	2018
Thành phố	Tp.Hcm

Định dạng
Số trang	86
Dung lượng	861,66 KB