tiểu luận ứng dụng của đạo hàm một biến các ứng dụng của giải tích

ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH -NHĨM 1- BỐ CỤC Đạo hàm biến Cực trị tự Ứng dụng đạo hàm biến Cực trị có điều kiện Ứng dụng cực trị có điều kiện Ứng dụng cực trị tự Tổng kết Tổng kết lại ứng dụng giải tích ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM MỘT BIẾN a) Trong y tế Ví dụ: Độ giảm huyết áp bệnh nhân đo công thức: G(x) = 0,025 (30 –x) x (mg) x > lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân Để huyết áp giảm nhiều cần tiêm cho bệnh nhân liều lượng bao nhiêu? Giải: Ta có: G(x) = 0,025(30-x) = G’(x) = = x=0 (loại) x=20(thỏa mãn) Bảng biến thiên: x G’(x) G(x) 20 + +∞ - 100 Dựa vào bảng biến thiên bệnh nhân cần tiêm lượng thuốc 20(mg) để huyết áp giảm nhiều ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM MỘT BIẾN b) Trong xây dựng Ví dụ: Một thợ xây muốn xây dựng bể chứa có hình trụ Đáy bể làm bê tông, thành bể làm tôn, nắp bể làm nhôm Tính số tiền thấp để hồn thành bể đó? Vật liệu Giá/m2 Bê tông Tôn Nhôm 122.000đ Giải: Gọi r,h bán kính đường trịn đáy đường cao hình trụ Theo đề ta có: => Chi phí làm bể chứa xác định: Ta có: Giải: Bảng biến thiên: R f’(r) a - f(r) f(a) Vậy chi phí thấp nhất: đồng +∞ + ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM MỘT BIẾN c) Trong kinh doanh Ví dụ: Một cửa hàng bán mít với giá bán 50.000 đồng Với giá bán cửa hàng bán khoảng 40 Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính cửa hàng giảm 5.000 đồng số bán tăng thêm 50 Xác định giá bán để cửa hàng thu lợi nhuận lớn nhất, biết giá nhập ban đầu 30.000 đồng Giải: Gọi x (đồng) giá bán thực tế (30.000x50.000 đồng) Giảm giá 5.000 đồng bán thêm 50 Giảm giá 50.000 – x số bán thêm là: = (quả) Tổng số bán với giá x là: (quả) Gọi F(x) (đồng) hàm lợi nhuận thu F(x) = (.(x-30.000) = =>F’(x) = =  x=42.000 (thỏa mãn) Giải: Ta có: F(30.000) = ; F(42.000) = 1.440.000 ; F(50.000) = 800.000 =>Với x = 42.000 Vậy để cửa hàng thu lợi nhuận lớn phải bán 42.000(đồng) A = = -8 B = = -2 C = = -4 – AC = -18 < Mà A = -8 < Vậy hàm lợi nhuận cực đại () = ( 20, 65) = 12650 Giá trị bán = 270 Giá trị bán = 235 Vd2: Cho doanh nghiệp độc quyền nhập loại hàng hóa biết hàm cung cầu hàng hóa thị trường nội địa QD 4200  P Qs 200 + P Giá bán thị trường quốc tế chi phí nhập đơn vị hàng P Tìm mức thuế định đơn vị hàng nhập để thu đ ược nhi ều thu ế nh ập kh ẩu nh ất Bài làm + Gọi t mức thuế định đơn hàng nhập Q lượng hàng cần phải nhập Để tiêu thu hết hàng nhập Doanh thu Chi phí Tổng thuế nhập phải nộp Lợi nhuận nên đạt lợi nhuận cực đại mức giá Khi tổng thuế nên hàm T đạt cực đại mức thuế Giá bán thị trường nội địa lúc là: Vd3: Giả sử xí nghiệp sản xuất loại sản phẩm bán thị trường tách biệt đơn giá bán thị trường P1 , giá bán thị trường P2(P1>P2); tổng chi phí C=C (Q)+tq2, Q=q1+q2 lượng hàng bán ;q1,q2 lượng hàng bán thị trường 2,t chi phí tăng thêm đơn vị sản phẩm thị trường Yêu cầu : tìm q1 ,q2 cho tổng lợi nhuận lớn nhất? Cho P1=7 ,P2 =6, t=1 , C(Q)=C(q1,q2)= +3   Lời giải: Ta có hàm lợi nhuận là: = q1q2+7q1+5q2-3 Ta cần tìm (q1,q2) để hàm đạt cực đại Các đạo hàm riêng cấp =-2q1-q2+7, =-2, Giải hệ pt ta tìm kết quả(q1,q2)=(3,1) cực đại hàm khí =10 CỰC TRỊ CĨ ĐIỀU KIỆN Ứng dụng kinh tế: Ví dụ Nghĩa là, nếugiảm doanh nghiệp tăng mức sửsử dụng vốn16 K đơn từđộng 16vịlên 17 đơn vịvị giữvịnguyên b) , vốn K xuống đơn vị tăng lao Lvốn lên 2vàđơn a)Tại Giả sử doanh nghiệp 0,5 dụng 81 đơn lao Q sẽsửthay đổilao L=81 nào? động ngày tứctrong K=16, L=81 mức dụng động ngày, sản lượng tăng thêm xấp xỉ 16,875 đơn vị Ta có lượng biểuTương thức phân toàn phầnlà:của sảnsửlượng theo vốn K theo laosử dụng lao Sản cậnvitự, biên sản phẩm nếucủa giữ vốn nguyên mức dụngQvốn K=16 tăng mức động L sau: động L từ 81 lên 882 ngày sản lượng tăng thêm xấp xỉ 10 đơn vị sản phẩm Sản lượng cận biên lao động là: hay Vậy Q tăng xấp xỉ 185/16 đơn vị CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN Hệ số co dãn: Ví dụ 1: Một doanh nghiệp có Gía thuế đơn vị tư lao động $2,$3 ngân sách dùng cho sản xuất $960 Xác định K,L để doanh nghiệp thu số lượng tối đa.Nếu ngân sách tăng lên 1$:1%thì sản lượng tối ưu thay đổi ?Tại sao? CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN Giải: Hàm mục tiêu : Q= sản lượng cần tìm Điều kiện: 2K+3L=960 l= Theo ý nghĩa nhân tử Lagrange ta có : Vậy ngân sách tăng 1% sản lượng cực đại tăng xấp xỉ đơn vị sản lượng Co dãn Tại m=960 =>; CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN a.Một Xácsố định vốncực và trị lao hàm động nhiều để tối đa hóatrong doanhkinh thu, lợi bàiquỹ tốn biến tế:nhuận Ví dụ 1: Ước lượng hàm sản xuất doanh nghiệp có dạng: Q(K,L)= Hãy xác định mức sử dụng vốn lao động để sản lượng cực đại CỰC TRỊ CĨ ĐIỀU KIỆN Giải Bước3: 1:Kiểm Tínhhệ đạo hàmkiện riêng vànghiệm cấp M( Bước 2: Giải phương trình để điểm tìm dừng Bước tra điều đủcấp dừng A==-12Với x = 42.000 Vậy để cửa hàng thu lợi nhuận lớn phải bán 42.000(đồng) ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM MỘT BIẾN c) Trong