TIỂU LUẬN ỨNG DỤNG của số PHỨC TRONG HÌNH học sơ cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP.HCM KHOA TOÁN - TIN HỌC Chun ngành: Giáo dục Tốn học Mơn: Hình học sơ cấp - TIỂU LUẬN ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP Nhóm thực hiện: Thiếu nữ GVHD: T.S Trần Nam Dũng TPHCM, Ngày 15 tháng năm 2018 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA SỐ PHỨC Khái niệm số phức Một số tính chất Dạng lượng giác dạng mũ số phức Dạng mũ số phức Chương 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP I Ứng dụng phép dời hình ngôn ngữ số phức Khái quát 1.1 Phép tịnh tiến 1.2 Phép quay 1.3 Phép đối xứng trục 1.4 Phép vị tự Bài tập minh họa 10 Bài tập làm thêm 18 II Ứng dụng số phức phương trình đường thẳng 19 Khái quát phương trình đường thẳng 19 1.1 Phương trình đường thẳng 19 1.2 Vị trí tương đối hai đường thẳng 19 1.3 Phương trình đường thẳng qua hai điểm 20 1.4 Phương trình đường thẳng xác định điểm hướng xác định 21 1.5 Chân đường vng góc hạ từ điểm đến đường thẳng 23 1.6 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 23 1.7 phức So sánh kết đường thẳng mặt phẳng thực mặt phẳng 24 Bài tập minh họa 25 Bài tập làm thêm 30 III Ứng dụng số phức phương trình đường trịn 31 Khái quát phương trình đường tròn 31 1.1 Phương trình đường trịn 31 1.2 Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 31 1.3 phức So sánh kết đường tròn mặt phẳng thực mặt phẳng 32 Bài tập minh họa 33 Bài tập làm thêm 35 IV Ứng dụng số phức tích vơ hướng hai vec- tơ 36 Tích vô hướng hai vec-tơ ngôn ngữ số phức 36 1.1 Định nghĩa 36 1.2 Tính chất 36 1.3 Ý nghĩa hình học tích vơ hướng hai số phức 37 1.4 Tọa vị trực tâm tam giác 37 Bài tập minh họa 37 Bài tập làm thêm 44 V Chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai đường thẳng vuông góc với 45 Phương pháp 45 Bài tập minh họa 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 LỜI NÓI ĐẦU Số phức xuất từ thể kỷ XIX nhu cầu phát triển Toán học giải phương trình đại số Đối với học sinh bậc THPT số phức nội dung cịn mẻ, với thời lượng không nhiều, học sinh biết kiến thức số phức, việc khai thác ứng dụng số phức hạn chế, đặc biệt việc sử dụng số phức phương tiện để giải toán Hình học phẳng vấn đề khó, địi hỏi học sinh phải có lực giải tốn định, biết vận dụng kiến thức đa dạng toán học Hơn nữa, lại vấn đề mà thực tế giảng dạy chưa quan tâm, chưa trọng bồi dưỡng cho em giỏi… Do đó, Tiểu luận “ Ứng dụng số phức hình học sơ cấp” biên soạn với nhiều nội dung hấp dẫn nhằm cung cấp nội dung mới, cách tiếp cận số phức thông qua hình học mang đến phương pháp giảng dạy hình học giáo viên học sinh Chúng em xin chân thành cám ơn giúp đỡ nhiều tác giả cung cấp sách tham khảo nhiều nguồn thông tin qua mạng giúp chúng em biên soạn tiểu luận Đặc biệt lời cảm ơn chân thành đến TS.Trần Nam Dũng cung cấp kiến thức, gợi ý tạo điều kiện cho chúng em hồn thành tiểu luận NHĨM THIẾU NỮ Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA SỐ PHỨC Khái niệm số phức z  , ta có z = (a, b) = a(1,0) + b(0,1) = a + ib , a, b  Đây dạng đại số số phức z, a gọi phần thực số phức z, kí hiệu Rez b gọi phần ảo số phức z kí hiệu Imz Số phức liên hợp Cho z = a + ib , a, b  số phức z, kí hiệu , z = a − ib  gọi số phức liên hợp z Một số tính chất Với số phức z1 , z2 , z , ta có: i) z = z , z   ii ) z = z , z  iii ) z1 + z2 = z1 + z2 iv) z.z = a + b  ( z = a + ib , a, b  ) v) z1 z2 = z1 z2 Suy ra:  z =  z ,   , z  vi )  z1  z1  =  z2  z2 vii ) z + z = 2Re z = 2a; z − z = 2i Im z = 2ib ( z = a + ib , a, b  ) NHÓM THIẾU NỮ Dạng lượng giác dạng mũ số phức Xét mặt phẳng tương ứng với hệ tọa độ Đềcác Oxy ta biểu diễn số phức z = a + ib , a, b  điểmcó tọa độ (a,b) Như số thực biểu diễn điểm trục Ox, gọi trục thực, số ảo biểu diễn điểm trục Oy, gọi trục ảo Ngược lại, với điểm mặt phẳng Oxy có tọa độ (a,b), ta đặt tương ứng với số phức z = a + ib Vậy có tương ứng -1 tập hợp tất số phức với tập hợp tất điểm mặt phẳng Vì điểm có tọa độ (a,b) mặt phẳng tương ứng với véc tơ có bán kính véc tơ r = a2 + b2 góc cực tương ứng  Do số phức z biểu diễn dạng z = r (cos + isin  ) Đây dạng lượng giác số phức, r,  bán kính cực góc cực số phức z Bán kính r gọi modun số phức z, kí hiệu r = z Góc cực  gọi argument số phức z, kí hiệu  = Argz NHĨM THIẾU NỮ Modun số phức xác định cách z = a + b  Và argument số phức xác định với sai khác bội 2 b  ar ctg + 2k , (k  ) a   a  = Argz =  arctg b + (2k + 1)  , (k  ) a   a Với arctg b   [- ; ] giá trị hàm arctg a 2 Cho số phức z = r (cos + isin  ) ; z1 = r1 (cos1 + isin 1 ) ; z2 = r2 (cos2 + isin 2 ) Ta có tính chất sau: 1) Nếu z1  z2 modul chúng trùng argument chúng 1 ; sai khác số nguyên lần 2 2) Tính chất modun argument NHĨM THIẾU NỮ i) z1.z2 = z1 z2 ii ) z  Re z iii ) z  Im z iv) z  Re z + Im z v) z1 + z2  z1 + z2 vi ) z1 − z2  z1 − z2 Dạng mũ số phức Để đơn giản cách viết số phức ta đặt cos  isin  = e i dạng lượng giác biến đổi thành dạng mũ dạng số mũ số phức Nếu i1 z1 = re ; z2 = r2ei2 1 z1 z2 = r1r2e i (1 +2) z = rei z  : ; z1 r1 i (1−2) = e ; r2  z2 r2 Phép nâng số phức z = a + ib = r (cos + isin  ) lên lũy thữa bậc n số phức z n = r n ein w k = z = re n n i  + k n ; k = 0;1; ; n − NHÓM THIẾU NỮ Chương 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP I Ứng dụng phép dời hình ngôn ngữ số phức Khái quát 1.1 Phép tịnh tiến Phép tịnh tiến theo vectơ v = (v) phép biến hình biến điểm M ( z ) thành điểm M '( z ') cho MM ' = v Do biểu thức phép tịnh tiến z ' = f (z) = z + v 1.2 Phép quay Phép quay tâm M ( z0 ) góc quay  phép biến hình biến M (z) thành điểm M '(z') mà M M = M M ' (M M ; M M ')   (mod 2 ) Từ biểu thức phép quay tâm M góc quay  z '− z0 = ei ( z − z0 ) Như vậy, theo ý nghĩa hình học phép tốn cộng nhân số phức, ta thấy biến đổi mặt phẳng phức xác định bởi: z' = z +  z phép tịnh tiến Tv theo vectơ v có tọa vị  , biến đổi xác định z z ' =  z , |  |= , phép quay tâm O (gốc tọa độ) với góc quay có số đo  = arg  mà ta kí hiệu QO, Vậy phép biến đổi f mặt phẳng phức xác định z z ' =  z +  , |  |= , tích phép quay tâm O với phép tịnh tiến Rõ ràng: - Khi  = , f phép tịnh tiến Khi   , f có điểm bất động J mà f ( J ) = J có tọa vị z0  cơng thức z ' =  z +  1− viết thành z '− z0 =  ( z − z0 ) , tức f phép quay tâm J , góc quay có số đo  = arg xác định z0 =  z0 +  , tức z0 = NHĨM THIẾU NỮ Do đó, cơng thức z z ' =  z +  ,|  |= xác định phép tịnh tiến phép quay mặt phẳng Lưu ý: Ta biết phép tịnh tiến, phép quay bảo tồn khoảng cách hai điểm Điều suy trực tiếp từ công thức sau: z '1 =  z1 +  , z '2 =  z2 +  z '2 − z '1 =  (z − z1 ) ,nên | z'2 − z'1 |=|  || z − z1 |=| z − z1 | 1.3 Phép đối xứng trục Phép đối xứng qua đường thẳng l phép biến hình biến điểm M ( z ) thành điểm M ' ( z ') cho l trung trực MM’ Từ đó: - Phép đối xứng qua trục thực: z ' = f ( z ) = z - Phép đối xứng qua trục ảo: z ' = f ( z ) = − z - Do Ox; l = Ox; OM + Ox; OM ' ( l = ( z0 ) ) nên phép đối xứng qua đường ( ) ( ) ( )  thẳng l qua gốc O điểm zo = e có biểu thức z ' = f ( z ) = ei z i Từ đó,  = Tv ( l ) với v = ( z0 s ) phép đối xứng trục qua  có biểu thức z ' = ei z + z0 1.4 Phép vị tự Phép vị tự tâm C ( z0 ) , tỷ số k  R* phép biến hình biến điểm M ( z ) thành điểm M ' ( z ') mà CM ' = kCM Do biểu thức phép vị tự tâm C ( z0 ) , tỷ số k  R* z ' = k ( z − z0 ) + z0 NHÓM THIẾU NỮ IV Ứng dụng số phức tích vơ hướng hai vec- tơ Khái niệm tích vơ hướng hai vectơ khái niệm quen thuộc hình học Trước tiên, giới thiệu khái niệm số phức Qua thấy nhiều trường hợp sử dụng khái niệm số phức đơn giản hóa lời giải tốn Tích vơ hướng hai vec-tơ ngơn ngữ số phức 1.1 Định nghĩa Cho a, b hai số phức, ta có: a,b = ( a.b + a.b ) Chứng minh: Trong mặt phẳng phức cho hai điểm A( a ),B( b ) Khi OA.OB = OA.OB.cos AOB Nếu a có modul r1 có argument 1 , b có modul r2 có argument  thì: OA.OB = r1 r2 cos ( − 1 ) = r1r2 ( cos1 cos + sin 1 sin  ) Do a,b = ( a.b + a.b ) Từ suy a;b = a;b a,b  Tích vơ hướng hai số phức có tính chất tích vơ hướng hai vectơ Ngoài a;cb = c a,b ca,b = c a,b 1.2 Tính chất Với số phức a, b, c, z ta có: a a.a = a b Tính chất giao hốn: a.b = b.a NHĨM THIẾU NỮ 36 c Tính phân phối phép cộng: a.(b + c) = a.b + a.c d (a).b = (a.b) = a.(b),   e a.b =  OA ⊥ OB , với A, B ảnh a, b f (a.z ).(b.z ) = z (a.b) 1.3 Ý nghĩa hình học tích vơ hướng hai số phức Cho A(a), B(b) Khi đó: Tích vơ hướng a.b phương tích gốc tọa độ với đường trịn đường kính AB a+b Thật vây, gọi I tâm đường trịn đường kính , ta có: I     Bán kính r = AB = b−a Phương tích gốc tọa độ đường tròn: OI − r = a.b Mệnh đề: Giả sử A(a), B(b), C (c), D(d ) bốn điểm phân biệt: Các mệnh đề sau tương đương AB ⊥ CD (b − a).(d − c) = b−a  hay Re  =0 d −c  d −c  Tọa vị trực tâm tam giác b − a  i 1.4 * Cho tam giác ABC có tâm đường trịn ngoại tiếp trùng với gốc mặt phẳng phức: Giả sử A(a), B(b), C (c) , trực tâm H tam giác ABC có tọa vị : h = a +b+c Bài tập minh họa Bài tập 1: Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A(-2,1) Gọi B điểm đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ O Tìm tọa độ điểm C có tung độ cho tam giác ABC vuông C Giải NHĨM THIẾU NỮ 37 Cách 1: Phương pháp thơng thường Gọi C(x,2) Vì B đối xứng với A(-2,1) qua O nên ta có B(2,-1) Tam giác ABC vng C nên ta có: CA.CB = CA.CB = CA = (−2 − x, −1) CB = (−2 − x, −3) CACB =  (−2 − x, −1).(−2 − x, −3) =  x2 =  x = 1 Vậy C(1,2) hay C(-1,2) Cách 2: Mô tả đại lượng số phức Gọi C(x,2) Gọi ba điểm A, B, C có tọa vị a, b, c Ta có a = −2 + i B đối xứng với A qua gốc tọa độ nên b = − i c = x + 2i Tam giác ABC vuông C nên ta có: CA.CB = CA = a − c = −2 − x − i CB = b − c = −2 − x − 3i CACB =  (−2 − x − i).(−2 − x − 3i) =  x2 =  x = 1 Vậy C(1,2) hay C(-1,2) Bài tập 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm: A(7; -3), B(8; 4), C(1; 5), D(0; –2) Chứng minh tứ giác ABCD hình vng Giải Cách Ta có: NHĨM THIẾU NỮ 38 => ABCD hình bình hành => ABCD hình chữ nhật Mặt khác: => AB = AD => ABCD hình vng (vì hình chữ nhật có hai cạnh kề nhau) (đpcm) Cách Gọi tọa vị đỉnh A, B, C, D a, b, c, d a = − 3i b = + 4i    c = + 5i   d = −2i Ta chứng minh ý sau: (1) AB ⊥ AD Ta tính: AB AD AB AD = + 7i, −7 + i = ((1 + 7i)(−7 − i) + (1 − 7i)(−7 + i)) = = (50i − 50i) = Suy AB ⊥ AD (2) DC ⊥ DA Ta tính DC.DA = + 7i,7 − i = NHÓM THIẾU NỮ 39 Suy DC ⊥ DA CD ⊥ CB (3) Ta tính CD.CB = −1 − 7i,7 − i = Suy CD ⊥ CB AB = AD (4) Ta có: AB = + 7i AD = −7 + i Suy AB = AD = 50 Từ (1), (2), (3), (4) suy tứ giác ABCD hình vng Bài tập 3: Cho hình vng ABCD Điểm M trung điểm CD, điểm P nằm đường chéo AC cho PC = AP Chứng minh MP ⊥ PB Giải Lấy hệ tọa độ vng góc cho A điểm gốc AB vectơ đơn vị theo chiều dương trục hoành Như vậy, tọa vị điểm A, B, C, D tương ứng a = 0, b = 1, c = + i, d = i p= Điểm M có tọa vị m = (c + d ) = (1 + 2i) Vì AP = AC nên 2 1 c = (1 + i) 4 1 (1 + 2i) − (1 + i) m− p + 3i V (m, b, p) = = = =i b− p 3−i − (1 + i ) Ta tính: Vì arg i =  , BPM = 90 NHĨM THIẾU NỮ 40 Suy MP ⊥ PB Bài tập 4: Cho tam giác ABC Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, dựng hình vng ABDE Trong nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, dựng hình vng BCFG Chứng minh GA ⊥ CD Giải Lấy hệ tọa độ vng góc có gốc B, vectơ BC theo chiều dương trục hoành Tọa vị đỉnh A, B, C a, b, c Khi dễ dàng tính g = ic, d = −ia Gọi  góc GA CD Ta có:  = arg −ia − c −ia − c  : = argi= a − ic ia − c Vậy GA ⊥ CD Bài tập 5: (Đề vô địch Anh 1983) Cho tam giác ABC cân đỉnh A, gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; D trung điểm AB J trọng tâm tam giác ACD Chứng minh IJ ⊥ CD Giải NHÓM THIẾU NỮ 41 Chọn đường tròn tâm I làm đường tròn đơn vị Giả sử A ( a ) , B ( b ) ,C ( c ) Vì A, B, C thuộc đường trịn nên ta có aa = bb = cc = D trung điểm AB nên a + b 2c − a − b a+b DC = c − = tọa vị D  Suy  2   Mặt khác, J trọng tâm tam giác ACD nên j= a+b hay j = 3a + 2c + b a+c+ Từ suy IJ = 3a + 2c + b ( I gốc tọa độ) Để chứng minh IJ ⊥ CD ta cần chứng minh IJ CD = Thật ta có  3a + 2c + b 2c − a − b 3a + 2c + b 2c − a − b  IJ CD =  +  2 6  = 6ac − 3aa − 3ab + 4cc − 2ca − 2cb + 2bc − ba − bb + 6ca + 4cc 24 + 2cb − 3aa − 2ca − 3ab − ab − 2bc − bb = ( −4ab + 4ca − 4ab + 4ac 24 Suy IJ CD = ( ) ) ca + ac − ab − ab Mặt khác AC = AB nên suy NHÓM THIẾU NỮ 42 c−a c−a =b−a b−a  cc − ca − ac + aa = bb − ba − ab + aa  ca + ac = ba + ab Suy IJ CD = , IJ ⊥ CD Bài tập 6: Cho ABCD tứ giác lồi Chứng minh rằng: AB + CD2 = AD2 + BC  AC ⊥ BD Giải Sử dụng tính chất tích vơ hướng số phức: Ta có: AB + CD = BC + DA2  (b − a).(b − a) + (d − c).(d − c) = (c − b).(c − b) + (a − d ).(a − d )  a.b + c.d = b.c + d a  (c − a).(d − b) =  AC ⊥ BD Bài tập 7: Cho E, F, G, H trung điểm cạnh AB BC CD, DA 2 2 tứ giác lồi Chứng minh rằng: AB ⊥ CD  BC + AD = 2( EG + FH ) Giải Giả sử A(a), B(b), C (c), D(d ) Khi đó: a+b c+b ,f = 2 c+d d +a g= ,h = 2 e= Ta có: NHĨM THIẾU NỮ 43 BC + AD = 2( EG + FH )  (c − b).(c − b) + (d − a).(d − a ) = (c + d − a − b).(c + d − a − b) + (a + d − b − c).(a + d − b − c)  a.d + b.c = a.c + b.d  (a − b).(d − c) =  AB ⊥ CD Bài tập làm thêm a) Cho O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, D trung điểm đoạn tẳng AB E trọng tâm tam giác ACD Chứng minh CD ⊥ OE  AB = AC b) Cho A1 , A2 , , An đa giác nội tiếp đường trịn tâm O có bán kính R Chứng minh điểm M mặt phẳng ta ln có: n  MA k =1 k = n(OM + R ) NHÓM THIẾU NỮ 44 V Chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai đường thẳng vng góc với Trong trường hợp tổng qt, khơng nói thêm ta thường dùng chữ in thường a, b, c, d, để tọa vị điểm A, B, C, D Phương pháp Cho bốn điểm A(a), B(b), C(c), D(d) Để chứng minh hai đoạn thẳng AB, CD vuông góc nhau, ta chứng minh: b − a = i (d − c) b−a  =i d −c b − a = −i (d − c) b−a  = −i d −c Để chứng minh AB ⊥ CD , ta chứng minh: b−a  Cách arg  = d −c Cách Dùng tích vơ hướng, ta chứng minh: (b − a).(d − c) = Bài tập minh họa Bài tập 1: Cho hình vuông ABCD, M trung điểm CD, P điểm đường chéo AC cho PC = 3AP Chứng minh BPM = 90 o Giải NHÓM THIẾU NỮ 45 Trong mặt phẳng phức, chọn hệ trục hình vẽ với: A(0), B(1), C(1+i), D(i) Ta có: m= c + d + 2i = 2 Do AP = AC nên: 1+ i p= c= 4 Khi đó: m− p = b− p + 2i + i − = + 3i = i 1+ i 3−i 1− Như vậy:  PB ⊥ PM   PB = PM NHÓM THIẾU NỮ 46 Bài tập 2: Trên cạnh AB, AD tam giác ABD, ta vẽ phía ngồi hình vng ABEF, ADGH có tâm O Q Cho M trung điểm BD Chứng minh OMQ tam giác vuông cân Giải Ta giả sử ABD theo chiều dương Để chứng minh tam giác OMQ vuông cân M, ta cần chứng minh: o − m = i(q − m) q − m = −i(o − m) Ta tìm m, o ,q Ta có: m= b+d a−o d −q =i, =i b−o a−q Suy ra: b + a + i ( a − b)  q =  d + a + i (d − a )  o= Khi đó: o−m=  a − d + i ( a − b)  NHÓM THIẾU NỮ 47 q−m= = 1 a −b  a − b + i(d − a) = i d − a + 2  i   a −b  i d − a + i   i  = i  d − a + i(b − a) = − i  a − d + i(a − b) = −i (o − m) Bài tập 3: Trên cạnh AB, AC tam giác ABC, lấy điểm D, E cho: DC = 2AD, EA = 2BE Gọi P = BD  CE Chứng minh APC = 90 o Giải Chọn A gốc với B(b = 1) Ta có: E  e =  , 3  C (c = 1 ) với  = cos600 + i sin 600  3 Cc = + i  2   hay NHÓM THIẾU NỮ 48  c 3 D d = = + i  6   Để tìm P, ta tìm phương trình BD, CE Ta có: BD: (b − d ) z − (b − d ) z + bd − bd = 5 3 5 3   +i z − −i z −i =0  6  6 (1) CE: (c − e) z − (c − e) z + ce − ce =  1 3 3  − + i =0 z − −i  z − 2i 6     (2) Giải hệ (1) (2) ta có:  3 P p = + i  14 14   Khi đó: c − p − 6i = = i p 9+i 3 Suy ra:  AP  PC =   PC ⊥ PA  NHÓM THIẾU NỮ 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đồn Quỳnh (1997), Số phức với hình học phẳng, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Văn Mậu – chủ biên (2009), Chuyên đề số phức áp dụng, NXB ĐH Quốc Gia Hà Nội [3] Nguyễn Hữu Điển (2000), Phương pháp số phức hình học phẳng, NXB ĐH Quốc Gia Hà Nội [4] Nguyễn Hà Thanh (2013) ,Số phức hình học, NXB khoa học kĩ thuật [5] Complex Numbers in Geometry, I.M Yaglom, 1968 [6] Geometry of Complex Numbers, Hans Schwerdtfeger, 1962 [7] Link nguồn: Http//:www.mathscope.com.vn [8] Link nguồn:Http://diendantoanhoc.net NHÓM THIẾU NỮ 50 ... đó, Tiểu luận “ Ứng dụng số phức hình học sơ cấp? ?? biên soạn với nhiều nội dung hấp dẫn nhằm cung cấp nội dung mới, cách tiếp cận số phức thơng qua hình học mang đến phương pháp giảng dạy hình học. .. BẢN CỦA SỐ PHỨC Khái niệm số phức Một số tính chất Dạng lượng giác dạng mũ số phức Dạng mũ số phức Chương 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA... DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP I Ứng dụng phép dời hình ngơn ngữ số phức Khái quát 1.1 Phép tịnh tiến 1.2 Phép quay 1.3 Phép đối xứng trục