Đại Học Thái Nguyên Trường Đại Học Khoa Học Nguyễn Hữu Thanh ứng dựng số phức việc nghiên cứu toán sơ cấp Chuyên ngành : Phương Pháp Toán Sơ Cấp Mà số: 60.46.40 Luận Văn Thạc Sĩ Toán Học Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đàm Văn Nhỉ Thái Nguyªn - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình hoàn thành Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Phản biện 1: Ph¶n biƯn 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Ngày 22 tháng 11 năm 2011 Có thể tìm hiểu Thư Viện Đại Học Thái Nguyên S húa bi Trung tõm Hc liu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Môc lôc Sè phøc 1.1 Kh¸i niƯm sè phøc 1.2 Tính đóng đại số trường C 1.3 Giải phương trình đa thức 13 VËn dông sè phøc Đại số, Số học Lượng giác 15 2.1 Phân tích đa thức thành tích 15 2.2 TÝnh chia hÕt cña vài đa thức đặc biệt 2.3 Chuyển toán Z thành toán C 26 2.4 Sö dụng số phức Lượng giác 21 38 VËn dông sè phøc H×nh häc 46 3.1 Sư dơng sè phøc cho phÐp quay 46 3.2 Đường thẳng mặt phẳng phức 52 Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Do trường số phức C trường đóng đại số, Định lý d'AlembertGauss, nên đa thức bậc dương C[x] có nghiệm Sử dụng kết mà giải toán liên quan đến đa thức thuộc R[x], không tính nghiệm R, người ta thường xét toán C Về mặt hình học, ta coi số phức véctơ để việc biểu diễn số yếu tố đơn giản Hơn nữa, việc sử dụng số phức Số học, Đại số, Hình học Lượng giác đà tỏ có nhiều thuận lợi chương trình toán phổ thông cấp THPT đà đưa phần số phức vào chương trình Toán lớp 12 Chính lý mà luận văn tập trung trình bày kết số phức liên quan đến Toán sơ cấp Luận văn gồm ba chương: Chương : Trình bày khái niệm tính chất số phức Kết việc chứng minh lại cho Chương 2: Định lý Đại số Giới thiệu việc vận dụng số phức Đại số, Số học Lượng giác Trong chương giíi thiƯu vËn dơng cđa sè phøc: VËn dơng để phân tích đa thức thành tích nhân tử bất khả qui; Vận dụng vào tính chia hết vài đa thức đặc biệt; Vận dụng việc chuyển toán Z thành toán C; Vận dụng lượng giác Chương 3: Trình bày viƯc vËn dơng sè phøc ®Ĩ biĨu diƠn phÐp quay phương trình đường thẳng chứng minh lại số toán hình học : Định lý Menelaus, Định lý Céva, đường thẳng Simpson, Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình PGS.TS Đàm Văn Nhỉ - Đại học Sư Phạm Hà Nội Thầy đà dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin gửi tới thầy (cô) khoa Toán, phòng Đào tạo Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên, thầy cô tham gia giảng dạy khóa Cao học 2009-2011 lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thêi gian qua §ång thêi xin gưi lêi cảm ơn tập thể lớp Cao học Toán K3B Trường Đại Học Khoa Học đà động viên giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn Tác giả xin cảm ơn tới Sở Nội Vụ, Sở Giáo dục đào tạo Bắc Ninh, Ban giám hiệu tổ Toán trường THPT Thuận Thành số đà tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả hoàn thành khóa học Tuy nhiên, hiểu biết thân khuôn khổ thời gian, chắn trình nghiên cứu không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo đóng góp ý kiến quí thầy (cô) độc giả quan tâm tới luận văn Tác giả Nguyễn Hữu Thanh S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch¬ng Sè phức Chương trình bày khái niệm tính chất số phức Đặc biệt việc chứng minh lại định lý đại số Chương tham khảo tài liệu [2],[3],[5] 1.1 Khái niệm số phức Một vài khái niệm Xét TÝch Descartes T = R × R = {(a, b)|a, b R} định nghĩa phép toán: (a, b) = (c, d) vµ chØ a = c, b = d (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) Để đơn giản, viÕt (i) Víi (ii) (iii) (a, b).(c, d) qua (a, b)(c, d) Từ định nghĩa phép nhân: i = (0, 1) ∈ T cã i2 = i.i = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) (a, b)(1, 0) = (1, 0)(a, b) = (a, b) (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1), ∀ (a, b) ∈ T A´nh x¹ φ : R T, a (a, 0), đơn ánh vµ φ(a + a0 ) = φ(a) + φ(a0 ), φ(aa0 ) = φ(a)φ(a0 ) víi mäi a, a0 ∈ R Bổ đề 1.1.1 thỏa mÃn Đồng (a, 0) ∈ T víi a ∈ R Khi ®ã cã thĨ viÕt (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi víi i2 = (−1, 0) = −1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Ký hiƯu C lµ tập T phép toán đà nêu trªn Nh vËy C = {a + bi|a, b ∈ R, i2 = −1} vµ ta cã a + bi = c + di vµ chØ a = c, b = d a + bi + c + di = a + c + (b + d)i (a + bi)(c + di) = ac − bd + (ad + bc)i Mỗi phần tử z = a + bi C gọi số phức với phần thực a, ký hiệu Re z, phần ảo b, ký hiệu Im z; i gọi đơn vị ảo Số phức a bi gọi số phức liên hợp z = a + bi ký hiệu qua 2 z = a + bi DƠ √ dµng kiĨm tra zz = (a + bi)(a −0 bi) = a + b , z0 z2 = z1 z2 vµ gäi |z| = zz môđun z Số đối z = c + di lµ −z = −c − di vµ hiƯu z − z = (a + bi) − (c + di) = a − c + (b − d)i Xét mặt phẳng tọa độ (Oxy) Mỗi số phức z = a + bi ta cho tương ứng với điểm M (a; b) Tương ứng song ánh C → R×R, z = a+bi 7→ M (a; b) Khi ®ång nhÊt C víi (Oxy) qua viƯc ®ång nhÊt z với M, mặt phẳng tọa độ với biểu diễn số phức gọi mặt phẳng phức hay mặt phẳng Gauss Mệnh đề 1.1.2 để ghi công C F Gauss-người đưa biểu diễn TËp C lµ mét trêng chøa trêng R nh mét trường C vành giao hoán với đơn vị Giả sử z = a + bi(6= Khi a + b2 > Giả sử z = x + yi ∈ C tháa m·n ax − by = a b zz = hay Giải hệ x = ,y = a +b a + b2 bx + ay = a b VËy z = i nghịch đảo z Tóm lại C trường a + b2 a2 + b2 Vì ®ång nhÊt a ∈ R víi a + 0i ∈ C nên coi R trường C Chøng minh: DƠ dµng kiĨm tra Chó ý rằng, nghịch đảo Định nghĩa 1.1.3 z 6= lµ z Cho sè phøc −1 z0 z0z z −1 = vµ = z z = |z| z |z| z 6= Giả sử M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Số đo (rađian) góc lượng giác tia đầu Ox tia cuối OM gọi argument z ký hiệu qua arg(z) Góc xOM gọi Argument z ký hiệu Arg z Argument số phức không ®Þnh nghÜa Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chó ý r»ng, nÕu argument z argument z có dạng + k.2 với k Z Víi z 6= 0, ký hiƯu α + k.2π lµ Argument cđa z √ Ký hiƯu r = zz Khi ®ã sè phøc z = a + bi cã a = r cos α, b = r sin α VËy z 6= th× cã thĨ biĨu diÔn z = r cos α + i sin α biểu diễn gọi dạng lượng giác cđa z MƯnh ®Ị 1.1.4 NÕu z1 = r1 cos α1 + i sin α1 , z2 = r2 cos α2 + i sin α2 víi r1 , r2 > th× z1 |z1 | |= z2 |z2 | (ii) z1 z2 = r1 r2 cos α1 + α2 + i sin α1 + α2 z1 r1 cos α1 − α2 + i sin α1 − α2 r > (iii) = z2 r2 (i) |z1 z2 | = |z1 ||z2 | | Chứng minh: Hiển nhiên Chú ý rằng, với hai số phức z1 z2 ta cã z1 = z2 arg(z1 z2 ) z1 arg( ) z2 arg(z1 z2 ) z1 arg( ) z2 ⇔ |z1 | = |z2 |, arg z1 = arg z2 + 2kπ, k ∈ Z = arg(z1 ) + arg(z2 ) + 2kπ, k ∈ Z = arg(z1 ) − arg(z2 ) + 2kπ, k ∈ Z = arg(z1 ) + arg(z2 ) = arg(z1 ) − arg(z2 ) n n a + bi = x + iy cã a2 + b2 = x2 + y n n Bµi gi¶i: Tõ a + bi = x + iy suy a − bi = x − iy Nh©n l¹i ta cã n a2 + b2 = x2 + y VÝ dơ 1.1.5 Víi C«ng thøc Moivre Công thức Euler z = r(cos + i sin α) cos nα + i sin nα MÖnh ®Ị 1.1.6 [Moivre] d¬ng n n cã z = r Chứng minh: theo n Nếu với số nguyên Dễ dàng chứng minh công thức phương pháp quy n¹p n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn z = r cos α + i sin α 6= α + 2kπ α + 2kπ 1/n ta nhËn n giá trị khác zk = r cos + i sin n n víi k = 1, 2, , n Hệ 1.1.7 Cho bËc Chøng minh: HiĨn nhiªn n cđa mét sè phøc z = r(cos + i sin ) biểu diễn thành dạng z = rei Đặc biệt r = z = ei r = 1, α = th× e0 = Số phức Bổ đề 1.1.8 Với ký hiệu ta cã eiα eiβ = ei(α+β) vµ eiα = ei(α−β) iβ e Tõ eiα eiβ = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β) = cos(α + β) + eiα cos α + i sin α iα iβ i(α+β) i sin(α + β) suy e e = e = Do bëi iβ = e cos β + i sin β eiα cos(α − β) + i sin(α − β) nªn iβ = ei(α−β) e ( eiα + e−iα cos α = eiα = cos α + i sin α i nhận được: Từ suy i e e e−iα = cos α − i sin α sin α = 2i Chøng minh: eiα + e−iα eiα − e−iα MƯnh ®Ị 1.1.9 [Euler] Ta cã cos α = vµ sin α = 2i n nπ nπ + i tan α n +i sin vµ = VÝ dơ 1.1.10 Ta cã 1+i = 2n/2 cos 4 − i tan α + i tan nα π , víi α 6= , n 6= − i tan nα n n Bài giải: Theo công thức Moivre có + i = 2n/2 cos + sin = 4 n + i tan α n cos α + i sin α nπ nπ n/2 n = +i sin Ta còng cã cos = 4 − i tan α cos α − i sin α cos nα + i sin nα + i tan nα = cos nα − i sin nα) − i tan nα 1 z 6= z + = cos z n + n = cos nα víi mäi z z số tự nhiên dương n Ví dụ 1.1.11 NÕu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn z − 2z cos α + = cã nghiÖm z = z1 = cos α + 1 i sin α, = z2 = cos α − i sin α Khi ®ã z n = z1n = cos nα + i sin nα, n = z z n n z2 = cos nα − i sin nα Do vËy z + n = cos nα víi mäi sè tù nhiên z dương n Bài giải: 1.2 Ta có Tính đóng đại số trường C Mục rằng, đa thức bậc dương thuộc C[x] có nghiệm C Đó nội dung Định lý đại số Người chứng minh định lý nhà toán học C Gauss (1777-1855) Ta bắt đầu mục khái niệm trường đóng đại số K gọi trường đóng đại số đa thức bậc dương thuộc K[x] có nghiệm K Định nghĩa 1.2.1 Như vậy, Trường K[x] đa thức bậc dương phân tích thành tích nhân tử tuyến tính Bổ đề 1.2.2 thuộc Mỗi đa thức bậc lẻ thuộc R[x] ®Ịu cã Ýt nhÊt mét nghiƯm thùc R f (x) = a0 x2s+1 + a1 x2s + · · · + a2s x + a2s+1 ∈ R[x] víi a0 6= DƠ dµng thÊy r»ng a0 f (x) sÏ tiÕn +∞ x → +∞ vµ a0 f (x) tiến x Từ suy tồn số thực > vµ β < tháa m·n a0 f (α) > 0, a0 f (β) < Do vËy a20 f (α)f (β) < hay f (α)f (β) < Vì đa thức f (x) hàm xác định liên tục R thỏa mÃn f ()f () < nên, theo Định lý Weierstrass, đa thức f (x) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thùc thuéc (α, ) Chứng minh: Bổ đề 1.2.3 Giả sử Mỗi đa thøc bËc hai thc C[x] ®Ịu cã hai nghiƯm thc C z ®Ịu cã hai sè phøc = = z Thật vậy,(giả sử z = a+bi 6= giả sö z1 = x+yi x2 − y = a víi a, b, x, y ∈ R ®Ĩ z1 = z hay 2xy = b Chøng minh: z1 , z2 để z12 Trước tiên ta ra, với sè phøc z, z22 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn a + ib c + id 2 2 Bài giải: V× a + b + c + d = −c + id a − ib nªn víi hai ma trËn x1 + ix2 x3 + ix4 y1 + iy2 y3 + iy4 , cã (x21 + x22 + x23 + −x3 + ix4 x1 − ix2 −y + iy y − iy y + iy y + iy x + ix x + ix 4