Một số khó khăn học sinh thường gặp khi giải các dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian lớp 11

MỘT SỐ KHÓ KHĂN HỌC SINH THƯỜNG GẶP KHI GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ QUAN HỆ SONG SONG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 .... Hình học không gian với những yêu cầu về kiến thức: Trang bị cho học

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô trong khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện để tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, cho phép tôi được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Ngô Thị Bích Thủy, người đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt thời gian nghiên cứu Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn những ý kiến quý báu, sự động viên, giúp đỡ nhiệt tình của gia đình, người thân, bạn bè, nhất là các bạn lớp 20ST4 trong quá trình tôi làm khóa luận tốt nghiệp này

Do kiến thức của bản thân còn hạn chế và thiếu kinh nghiệm thực tiễn nên nội dung khóa luận khó tránh những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự góp ý, chỉ dạy thêm từ Quý thầy cô

công trong công việc

Đà Nẵng, tháng 04 năm 2024

Sinh viên

Phạm Thị Cẩm Tú

Ý KIẾN CỦA CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

Ý KIẾN CỦA CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC ii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng nghiên cứu 2

5 Phạm vi nghiên cứu 2

6 Phương pháp nghiên cứu 2

7 Cấu trúc khóa luận 2

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN 3

1.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu 3

1.1.1 Một số nghiên cứu nước ngoài 3

1.1.2 Một số nghiên cứu trong nước 3

1.2 Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian 4

1.2.1 Mặt phẳng 4

1.2.2 Điểm thuộc mặt phẳng 5

1.2.3 Hình biểu diễn của một hình trong không gian 6

1.2.4 Các tính chất thừa nhận 6

1.3 Hai đường thẳng song song trong không gian 7

1.3.1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt 7

1.3.2 Tính chất 9

1.4 Đường thẳng và mặt phẳng song song 9

1.4.1 Đường thẳng và mặt phẳng song song 9

1.4.2 Điều kiện và tính chất cùa đường thẳng song song với mặt phẳng 10

1.5 Hai mặt phẳng song song 10

1.5.1 Hai mặt phẳng song song . 10

1.5.2 Điều kiện và tính chất 10

1.6.1 Phép chiếu song song 11

1.6.2 Tính chất của phép chiếu song song 12

1.6.3 Hình biểu diễn của một hình không gian 12

1.7 Một số yêu cầu cần đạt đối với học sinh khi học các chủ đề liên quan đến quan hệ song song trong hình học không gian lớp 11 13

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ KHÓ KHĂN HỌC SINH THƯỜNG GẶP KHI GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ QUAN HỆ SONG SONG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 15

2.1 Dạng 1 Hình biểu diễn của một hình không gian 15

2.1.1 Một số khó khăn thường gặp 15

2.1.2 Hướng khắc phục 15

2.1.3 Ví dụ minh họa 16

2.2 Dạng 2 Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng 17

2.2.1 Một số khó khăn thường gặp 17

2.2.2 Hướng khắc phục 17

2.2.3 Ví dụ minh họa 18

2.3 Dạng 3 Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 22

2.3.1 Một số khó khăn thường gặp 22

2.3.2 Hướng khắc phục 22

2.3.3 Ví dụ minh họa 23

2.4 Dạng 4 Tìm thiết diện của hình chóp 26

2.4.1 Đặc điểm 26

2.4.2 Một số khó khăn thường gặp 26

2.4.3 Hướng khắc phục 26

2.4.4 Các ví dụ minh họa 26

2.5 Dạng 5 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 29

2.5.1 Một số khó khăn thường gặp 29

2.5.2 Hướng khắc phục 29

2.5.3 Ví dụ minh họa 30

2.6.1 Một số khó khăn thường gặp 31

2.6.2 Hướng khắc phục 31

2.6.3 Ví dụ minh họa 31

2.7 Dạng 7 Nhận biết, chứng minh hai đường thẳng song song 32

2.7.1 Một số khó khăn thường gặp 32

2.7.2 Hướng khắc phục 33

2.7.3 Ví dụ minh họa 34

2.8 Dạng 8 Tìm giao tuyến bằng cách kẻ song song 38

2.8.1 Một số khó khăn thường gặp 38

2.8.2 Hướng khắc phục 38

2.8.3 Ví dụ minh họa 38

2.9 Dạng 9 Tìm thiết diện bằng cách kẻ song song 41

2.9.1 Một số khó khăn thường gặp 41

2.9.2 Hướng khắc phục 41

2.9.3 Ví dụ minh họa 42

2.10 Dạng 10 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 43

2.10.1 Một số khó khăn thường gặp 43

2.10.2 Hướng khắc phục 43

2.10.3 Ví dụ minh họa 44

2.11 Dạng 11 Tìm thiết diện qua một điểm và song song với một đường thẳng 45

2.11.1 Một số khó khăn thường gặp 45

2.11.2 Hướng khắc phục 45

2.11.3 Ví dụ minh họa 46

2.12 Dạng 12 Chứng minh hai mặt phẳng song song 47

2.12.1 Một số khó khăn thường gặp 47

2.12.2 Hướng khắc phục 48

2.12.3 Ví dụ minh họa 48

2.13 Dạng 13 Xác định thiết diện của một mặt phẳng với hình chóp khi biết

2.13.1 Một số khó khăn thường gặp 51

2.13.2 Hướng khắc phục 51

2.13.3 Ví dụ minh họa 51

KẾT LUẬN 54

TÀI LIỆU THAM KHẢO 55

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học không gian (HHKG) là môn học tương đối khó đối với các em học sinh Trong quá trình học nội dung hình học này, các em gặp khá nhiều khó khăn Hình học không gian với những yêu cầu về kiến thức: Trang bị cho học sinh một

số cơ sở khoa học để hiểu rõ các khái niệm ban đầu về: Điểm, đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ “thuộc” …, các kiến thức về vị trí tương đối giữa các hình và các quan hệ song song, quan hệ vuông góc, khoảng cách,… và nghiên cứu các khối đa diện, mặt tròn xoay, các kiến thức có yếu tố lượng: Các công thức tính diện tích, thể tích các khối hình học Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức,

kĩ năng giải toán hình học không gian còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người: Cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh

Vì đây là môn học tương đối khó với các em, các em nghĩ rằng nó trừu tượng, thiếu tính thực tế Chính vì thế, các em cảm thấy khó khăn với môn học này, về giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức, phương pháp giải các dạng bài tập hình học không gian Đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen với tính tư duy, trừu tượng của hình học không gian, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh

Từ lý do trên tôi đã khai thác, hệ thống hóa các kiến thức, tổng hợp các

phương pháp giải thành một chuyên đề: “Một số khó khăn học sinh thường gặp khi giải các dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian lớp 11”

2 Mục đích nghiên cứu

Đưa ra một số khó khăn mà học sinh thường gặp phải khi giải các dạng toán quan hệ song song trong nội dung hình học không gian lớp 11 và các phương pháp giải, những ví dụ cụ thể của các dạng toán đó để rút ra được những lưu ý khắc phục một số khó khăn đó

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Hệ thống hóa các kiến thức hình học không gian mà học sinh tiếp cận ở học

kì I

- Đưa ra hệ thống các dạng bài tập kèm phương pháp giải, các ví dụ cụ thể, một số khó khăn học sinh cần lưu ý khi tiếp cận với các dạng toán

- Đề xuất thêm các bài tập liên quan

4 Đối tượng nghiên cứu

Một số khó khăn học sinh thường gặp khi giải các dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian lớp 11

5 Phạm vi nghiên cứu

Chương trình hình học không gian lớp 11 chuyên đề song song theo chương trình giáo dục phổ thông 2018

6 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu một số tài liệu liên quan tới phương pháp giải một số dạng toán thường gặp Nghiên cứu các tạp chí, sách chuyên khảo, các tài liệu phương pháp giảng dạy có liên quan đến quan hệ song song trong nội dung hình học không gian lớp 11

- Nghiên cứu thực tế: Trao đổi với một số giáo viên trung học phổ thông về các khó khăn học sinh thường gặp khi học các chủ đề liên quan đến tính song song trong hình học không gian lớp 11, cũng như tìm hiểu các dạng toán liên quan

7 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo Nội dung chính của khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận;

Chương 2 Một số khó khăn học sinh thường gặp khi giải các dạng toán về quan

hệ song song trong hình học không gian lớp 11

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu

1.1.1 Một số nghiên cứu nước ngoài

Một vài nghiên cứu ngoài nước liên quan đến đề tài như: Bài báo khoa học:

“Difficulties in teaching and learning parallel lines in 3D geometry" của tác giả

Marlina (2015) đã phân tích bài làm và phỏng vấn học sinh lớp 11 tại Indonesia

và kết quả của bài nghiên cứu rút ra được học sinh gặp khó khăn trong việc hình dung các đối tượng hình học không gian, việc xác định mối quan hệ giữa các đường thẳng và mặt phẳng, áp dụng sai các định lý và tính chất về quan hệ song

song Luận văn thạc sĩ: "An investigation of student difficulties in learning

parallel lines in high school geometry" của tác giả Jones (2016) đã làm thử

nghiệm trên lớp học các nhóm học sinh trung học tại Hoa Kỳ và kết quả của bài nghiên cứu rút ra được học sinh sử dụng các chiến lược giải quyết vấn đề không hiệu quả, gặp khó khăn trong việc giải thích lập luận của họ và ít có khả năng tự

học các khái niệm mới Bài báo khoa học: "Analysis of textbooks and teaching

materials on parallel lines in 3D geometry" của tác giả Hwang (2017) đã phân

tích sách giáo khoa và tài liệu giảng dạy của học sinh lớp 11 tại Hàn Quốc và kết quả là sách giáo khoa và tài liệu giảng dạy tập trung quá nhiều vào lý thuyết và chưa chú trọng đến việc rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề, thiếu các bài tập thực hành liên quan đến ứng dụng thực tế của quan hệ song song

1.1.2 Một số nghiên cứu trong nước

Nghiên cứu về những khó khăn học sinh thường gặp khi giải các dạng toán

về quan hệ song song trong hình học không gian lớp 11 là một chủ đề quan trọng trong lĩnh vực giáo dục toán học ở Việt Nam Cùng với sự phát triển của giáo dục toán học và xu hướng giảng dạy theo hướng phát triển năng lực của học sinh, việc nghiên cứu những khó khăn học sinh thường gặp phải và cải thiện phương pháp giảng dạy về toán hình học không gian đóng vai trò quan trọng trong việc nâng cao chất lượng giáo dục Hiện nay, ở nước ta có nhiều tác giả quan tâm đến nghiên cứu một số khó khăn học sinh gặp phải khi giải các bài toán về quan hệ song song

nghiên cứu này đã tạo nên bức tranh nhiều màu sắc về hình học không gian nói chung và quan hệ song song nói riêng

Một vài nghiên cứu liên quan đến đề tài như: Nguyễn Thị Minh Nguyệt (2018)

nghiên cứu về “Một số sai lầm học sinh thường gặp khi học hình học không gian

về quan hệ song song” đã nêu được một số sai lầm học sinh lớp 11 thường mắc

phải như lúng túng trong việc xác định các yếu tố liên quan đến quan hệ song song, áp dụng sai các định lý, tính chất về quan hệ song song, rối rắm trong việc hình dung các đối tượng hình học trong không gian qua phương pháp nghiên cứu

là khảo sát và phỏng vấn Cô đã đưa ra được các nguyên nhân dẫn đến sai lầm như kiến thức nền tảng về hình học phẳng còn yếu, khả năng tư duy hình học không gian chưa phát triển, phương pháp giảng dạy chưa phù hợp Đồng thời cô cũng đề xuất các giải pháp như củng cố kiến thức nền tảng về hình học phẳng, rèn luyện khả năng tư duy hình học không gian và áp dụng phương pháp giảng dạy phù hợp,… Nghiên cứu của cô Trần Thị Thu Hà (2019) cũng nghiên cứu các sai lầm học sinh thường mắc phải, cô đã đưa ra nguyên nhân và một số đề xuất giải pháp,…

Nội dung nghiên cứu trước đều chỉ ra những sai lầm, nguyên nhân, một số

đề xuất giải pháp khắc phục trong việc giải toán về hình học không gian của các

em Ngoài ra, những nghiên cứu trước đây đều được kiểm chứng tính khả thi thông qua các thực nghiệm trên nhiều đối tượng Chính những nghiên cứu đó sẽ

là tiền đề cho các nghiên cứu sau này để có thể tiếp tục khai thác được nhiều hơn nữa về các khó khăn học sinh gặp phải để từ đó tìm cách khắc phục bằng các

phương pháp giải cụ thể hơn qua đề tài “Một số khó khăn học sinh thường gặp khi

giải các dạng toán về quan hệ song song trong hình học không gian lớp 11” nói

riêng và góp phần hoàn thiện, đảm bảo chất lượng giáo dục toán học Việt Nam nói chung

1.2 Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

1.2.1 Mặt phẳng

Mặt bảng, màn hình máy tính hay mặt nước lúc tĩnh lặng là một số hình ảnh

Để biểu diễn mặt phẳng, người ta thường biểu diễn một mặt phẳng bằng một hình bình hành và dùng các chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy lạp đặt trong dấu ngoặc đơn ( ) để đặt cho tên mặt phẳng ấy Ví dụ: mặt phẳng (𝑃) (hình dưới), mặt phẳng (𝑄), mặt phẳng (𝛼), mặt phẳng (𝛽),

Ta cũng có thể thử dụng 1 góc và viết tên của mặt phẳng ở bên trong góc đó

1.2.2 Điểm thuộc mặt phẳng

Với mỗi điểm 𝐴 và mặt phẳng (𝑃), chỉ xảy ra một trong hai khả năng sau:

- Điểm 𝐴 thuộc mặt phẳng (𝑃), ta kí hiệu 𝐴 ∈ (𝑃)

- Điểm 𝐴 không thuộc mặt phẳng (𝑃) hay 𝐴 nằm ngoài (𝑃), ta kí hiệu 𝐴 ∉(𝑃)

Nếu 𝐴 ∈ (𝑃) ta còn nói 𝐴 nằm trên (𝑃), hoặc (𝑃) chứa 𝐴, hoặc (𝑃) đi qua 𝐴

Hình cho ta hình biểu diễn của điểm 𝐴 thuộc (𝑃), còn điểm 𝐵 không thuộc (𝑃)

1.2.3 Hình biểu diễn của một hình trong không gian

Để nghiên cứu hình học không gian, ta thường vẽ các hình đó lên bảng hoặc lên giấy Hình vẽ đó được gọi là hình biểu diễn của một hình không gian

Hình biểu diễn của một hình không gian cần tuân thủ những quy tắc sau:

- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng

- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau

- Hình biểu diễn giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điểm và đường thẳng

- Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn để biểu diễn cho đường bị che khuất

Hình biểu diễn của hình lập phương

Tính chất 3: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt

phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó

Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (𝛼) thì ta nói đường thẳng d nằm trong (𝛼) hay (𝛼) chứa a và kí hiệu là 𝑑 ⊂ (𝛼) hay (𝛼) ⊃ 𝑑

Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng

Nếu có nhiều điểm cùng thuộc mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng, còn nếu không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói rằng chúng không

đồng phẳng

Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì các điểm chung

của hai mặt phẳng là một đường thẳng đi qua điểm chung đó

Từ đó suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy

Chú ý: Đường thẳng chung d (nếu có) của hai mặt phẳng phân biệt (𝑃) có

(𝑄) được gọi là giao tuyến của mặt phẳng đó và kí hiệu là 𝑑 = (𝑃) ∩ (𝑄)

Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, tất cả kết quả đã biết trong hình học phẳng

đều đúng

1.3 Hai đường thẳng song song trong không gian

1.3.1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt

Cho hai đường thẳng a và b phân biệt trong không gian Khi đó chỉ xảy ra một trong các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu a và b cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói 𝑎 và 𝑏 đồng phẳng Khi đó, 𝑎 và 𝑏 có thể cắt nhau, song song với nhau hoặc trùng nhau

Trường hợp 2: Nếu 𝑎 và 𝑏 không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào thì

ta nói 𝑎 và 𝑏 chéo nhau Khi đó, ta cũng nói 𝑎 chéo với 𝑏, hoặc 𝑏 chéo với 𝑎

+ 𝑎 và 𝑏 chéo nhau

Khi hai đường thẳng 𝑎 và 𝑏 (phân biệt) đồng phẳng, ta đã biết có hai khả năng xảy ra:

- 𝑎 và 𝑏 có một điểm chung duy nhất 𝐼 Ta nói 𝑎 và 𝑏 cắt nhau tại 𝐼 và kí hiệu là 𝑎 ∩ 𝑏 = {𝐼} Ta còn có thể viết 𝑎 ∩ 𝑏 = 𝐼

- 𝑎 và 𝑏 không có điểm chung Ta nói 𝑎 và 𝑏 song song với nhau và kí hiệu 𝑎//𝑏

1.3.2 Tính chất

Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng

cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho

Tính chất 2: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt

thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy, hoặc đôi một song song với nhau

Tính chất 3: Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với

đường thẳng thứ ba thì song song với nhau

Khi hai đường thẳng 𝑎 và 𝑏 cùng song song với đường thẳng 𝑐, ta kí hiệu

𝑎 // 𝑏 // 𝑐 và gọi là ba đường thẳng song song

1.4 Đường thẳng và mặt phẳng song song

1.4.1 Đường thẳng và mặt phẳng song song

Định nghĩa: Cho đường thẳng 𝑑 và mặt phẳng (𝛼) Nếu 𝑑 và (𝛼) không có điểm chung thì ta nói 𝑑 song song với (𝛼) hay (𝛼) song song với 𝑑 và kí hiệu là 𝑑//(𝛼) hay (𝛼)//𝑑

1.4.2 Điều kiện và tính chất cùa đường thẳng song song với mặt phẳng Định lí: (Dấu hiệu nhận biết một đường thẳng song song với một mặt phẳng)

Nếu đường thẳng 𝑎 không nằm trong mặt phẳng (𝑃) và a song song với đường thẳng 𝑎′ nằm trong (𝑃) thì a song song với (𝑃)

Định lí: (Tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng)

Cho đường thẳng 𝑎 song song với mặt phẳng (𝑃) Nếu mặt phẳng (𝑄) chứa

𝑎 và cắt (𝑃) theo giao tuyến 𝑏 thì 𝑏 song song với 𝑎

1.5 Hai mặt phẳng song song

1.5.1 Hai mặt phẳng song song

Định nghĩa: Hai mặt phẳng (𝛼) và (𝛽) được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung Kí hiệu (𝛼)// (𝛽) hay (𝛽)//(𝛼)

Nhận xét: Nếu hai mặt phẳng (𝛼) và (𝛽) song song với nhau và đường thẳng

𝑑 nằm trong (𝛼) thì 𝑑 và (𝛽) không có điểm chung, tức là 𝑑 song song với (𝛽) Như vậy, nếu một đường thẳng nằm trong một trong hai mặt phẳng song song thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng còn lại

1.5.2 Điều kiện và tính chất

Định lí: (Dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song)

Nếu mặt phẳng (𝛼) chứa hai đường thẳng cắt nhau 𝑎, 𝑏 và 𝑎, 𝑏 cùng song song với mặt phẳng (𝛽) thì (𝛼) song song với (𝛽)

- Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song, ta phải chứng minh có hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng này lần lượt song song với mặt phẳng kia

- Muốn chứng minh đường thẳng 𝑎//(𝑄), ta chứng minh đường thẳng

𝑎 nằm trong mặt phẳng (𝑃) // (𝑄)

Định lí: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một

mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho

- Nếu đường thẳng 𝑑 song song với mặt phẳng (𝛼) thì trong (𝛼) có một đường thẳng song song với 𝑑 và qua 𝑑 có duy nhất một mặt phẳng song song với (𝛼) Do đó đường thẳng 𝑑 song song với (𝛼) ta phải chứng minh 𝑑 thuộc mặt phẳng (𝛽) và có (𝛼)//(𝛽) ⇒ 𝑑//(𝛼)

- Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau

- Cho điểm 𝐴 không nằm trên mặt phẳng (𝛼) Mọi đường thẳng đi qua 𝐴 và song song với (𝛼) đều nằm trong mặt phẳng đi qua 𝐴 và song song với (𝛼)

Định lí: Cho hai mặt phẳng song song Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này

thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau

Chú ý: Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn

thẳng bằng nhau

Định lí: (Định lý Ta-lét (Thalès))

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

1.6 Phép chiếu song song

1.6.1 Phép chiếu song song

Cho mặt phẳng (𝛼) và đường thẳng ∆ cắt (𝛼) Với mỗi điểm 𝑀 trong không

- Nếu 𝑀 không thuộc ∆ thì 𝑀’ là giao điểm của (𝛼) và đường thẳng qua

𝑀 song song với ∆

Điểm 𝑀’ được gọi là hình chiếu song song của điểm 𝑀 trên mặt phẳng (𝛼) theo phương ∆

Phép đặt tương ứng mỗi điểm 𝑀 với hình chiếu 𝑀’ của nó được gọi là phép chiếu song song lên (𝛼) theo phương ∆

1.6.2 Tính chất của phép chiếu song song

Tính chất 1: Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm

thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng

Tính chất 2: Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai

đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Tính chất 3: Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng

cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song

𝐴𝐵

𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′

𝐴𝐵

𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′

1.6.3 Hình biểu diễn của một hình không gian

Hình biểu diễn của một hình không gian là hình chiếu song song của hình đó trên một mặt phẳng theo một phương chiều nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó

Khi hình phẳng nằm trong mặt phẳng không song song với các phương chiếu thì hình biểu diễn của các hình phẳng đó có các tính chất sau:

- Hình biểu diễn của một tam giác nào đó ( có thể là tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông,…) là một tam giác

- Hình biểu diễn của hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành là hình bình hành

- Hình biểu diễn của hình thang 𝐴𝐵𝐶𝐷 với 𝐴𝐵//𝐶𝐷 là một hình thang 𝐴’𝐵’𝐶’𝐷’ miễn là tỉ số độ dài hai đáy của hình biểu diễn phải bằng tỉ số độ dài hai đáy của hình thang ban đầu

- Hình biểu diễn của hình tròn là hình elip

1.7 Một số yêu cầu cần đạt đối với học sinh khi học các chủ đề liên quan đến quan hệ song song trong hình học không gian lớp 11

Hai đường thẳng song

song

- Nhận biết được vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian: hai đường thẳng trùng nhau, song song, cắt nhau, chéo nhau trong không gian

- Mô tả được tính chất cơ bản về hai đường thẳng song song trong không gian

- Vận dụng được kiến thức về hai đường thẳng song song để mô tả một số hình ảnh trong thực tiễn Đường thẳng và mặt

- Mô tả được kiến thức về đường thẳng song song với mặt phẳng để mô tả một số hình ảnh trong thực tiễn

Hai mặt phẳng song song

- Giải thích được định lí Thalès trong không gian

- Giải thích được tính chất cơ bản của lăng trụ và hình hộp

- Vận dụng được kiến thức về quan hệ song song

để mô tả một số hình ảnh trong thực tiễn

Phép chiếu song song

Hình biểu diễn của một

hình không gian

- Nhận biết được khái niệm và các tính chất cơ bản

về phép chiếu song song

- Nhận biết được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác, một đường tròn qua một phép chiếu song song

- Mô tả được hình biểu diễn của một số hình khối đơn giản

- Sử dụng được kiến thức về phép chiếu song song

để mô tả một số hình ảnh trong thực tiễn

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ KHÓ KHĂN HỌC SINH THƯỜNG GẶP KHI GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ QUAN HỆ SONG SONG TRONG HÌNH

HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

Để đưa ra một số khó khăn học sinh thường gặp khi giải một số dạng toán trong quan hệ song song hình học học không gian lớp 11, em đưa ra các dạng toán học sinh thường gặp trong chương trình hình học không gian lớp 11 về quan hệ song song, trong đó em đưa ra phương pháp giải, một số ví dụ kèm định hướng giải cụ thể, một số bài tập đề nghị để học sinh củng cố kiến thức vừa rồi

2.1 Dạng 1 Hình biểu diễn của một hình không gian

Để học được và làm được bài về hình học không gian, bước đầu tiên luôn làm

đó là phân tích đề và dựng hình Nhiều bạn gặp khó khăn trong việc vẽ hình và dựng hình sao cho lúc làm bài nhìn hình dễ dàng nhất Nếu như hình vẽ chuẩn và

dễ nhìn sẽ góp phần rất nhiều cho việc giải bài nhanh chóng và chính xác hơn

2.1.1 Một số khó khăn thường gặp

- Một số đồ vật có hình dạng mà học sinh khó hình dung khi vẽ ra hình biểu diễn

- Chưa phân biệt được nét đứt và nét liền

- Chưa nắm được cách xác định hình đó thuộc hình học phẳng nào để biểu diễn

- Gặp khó khăn khi xác định hướng nào là hướng chính

2.1.2 Hướng khắc phục: Nắm một số nguyên tắc và cách vẽ hình học không gian sau:

- Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng Đoạn thẳng được biểu diễn bởi đoạn thẳng

- Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi đường thẳng song song (hoặc cắt nhau)

- Hình biểu diễn giữ nguyên tính liên thuộc giữa điểm với đường thẳng hoặc với đoạn thẳng

- Những đường nhìn thấy được vẽ bằng nét liền, những đường không nhìn

2.1.3 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Dựa trên hình vẽ, vẽ hình biểu diễn của hộp phấn

Nhận xét: Học sinh thường gặp các khó khăn sau:

- Khó hình dung từ đồ vật sang hình biểu diễn

- Chưa nắm được cách xác định các hình học cơ bản

- Chưa đảm bảo việc sử dụng tỉ lệ chính xác khi vẽ

Định hướng giải:

Hình biểu diễn của hộp phấn có thể vẽ như hình sau:

Ví dụ 2: Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 Gọi tên các mặt bên, mặt đáy, cạnh bên, cạnh đáy của hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷

Nhận xét:

- Học sinh thường gặp khó khăn trong việc vẽ hình và xác định hình Trong

ví dụ này học sinh gặp khó khăn trong việc vẽ hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷

- Học sinh chưa phân biệt được nét đứt và nét liền

- Cách gọi tên các mặt bên, mặt đáy, cạnh bên, cạnh đáy

- Học sinh gặp khó khăn trong việc tìm điểm chung còn lại Ta phải tìm hai đường thẳng lần lượt ở mặt này cắt hai đường thẳng lần lượt ở mặt kia, từ đó ta tìm được hai điểm chung làm giao tuyến

- Có trường hợp xét cả hai mặt, không có các cạnh cắt nhau Ta nên nghĩ đến

kĩ thuật mở rộng mặt phẳng

2.2.2 Hướng khắc phục: Nắm phương pháp giải sau:

Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: Ta tìm hai điểm chung thuộc cả hai mặt phẳng Nối hai điểm chung đó được giao tuyến cần tìm

Chú ý: Giao tuyến là đường thẳng chung của hai mặt phẳng, có nghĩa là giao

tuyến là đường thẳng vừa thuộc mặt phẳng này vừa thuộc mặt phẳng kia

- Điểm chung thứ hai cần kéo 𝐵𝐺 dài ra cắt lại một điểm Điểm vừa cắt cũng

là điểm chung thứ hai

Ví dụ 4: Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình bình hành Gọi 𝐼, 𝐽, 𝐾

là trung điểm của 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, 𝑆𝐴 Tìm giao tuyến của:

a) (𝐼𝐽𝐾) và (𝑆𝐴𝐵)

b) (𝐼𝐽𝐾) và (𝑆𝐴𝐷)

Nhận xét:

Đối với câu a:

- Nhìn hình ta thấy được điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng là điểm 𝐾

- Để tìm điểm chung thứ hai, ta kéo dài hai đường thẳng 𝐴𝐵 và 𝐼𝐽 cắt nhau tại 𝐸 Vậy 𝐸 là điểm chúng thứ hai

Đối với câu b:

- Hai mặt phẳng cắt nhau tại 𝐾, vậy 𝐾 là điểm chung thứ nhất

- Xét đường thẳng 𝐼𝐽 cắt đường thẳng 𝐴𝐷 tại một điểm, ta tìm được điểm chung thứ hai

Tìm giao tuyến của:

a) (𝐼𝐽𝐾) và (𝐴𝐶𝐷)

b) (𝐼𝐽𝐾) và (𝐴𝐵𝐷)

Nhận xét:

Đối với câu a:

- Nhìn hình ta thấy được điểm chung thứ nhất là 𝐼

- Kéo dài 𝐽𝐾 cắt 𝐶𝐷 tại một điểm, điểm vừa tìm là điểm chúng thứ hai Đối với câu b:

- Điểm chung thứ nhất vẫn rất dễ nhìn thấy, Tuy nhiên điểm thứ hai không dễ nhìn như các bài toán khác, xét các cạnh trên mặt ta không thấy được cạnh nào cắt với cạnh nào Vì vậy để khắc phục, ta nghĩ đến kĩ thuật mở rộng mặt phẳng (Mặt phẳng được mở rộng là mặt phẳng 𝐼𝐽𝐸)

Trong mặt phẳng (𝐴𝐶𝐷), có 𝐼𝐸 ∩ 𝐴𝐷 = {𝐹}

Từ (1) và (2) suy ra: (𝐼𝐽𝐾) ∩ (𝐴𝐵𝐷) = 𝐾𝐹

Ví dụ 6: Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶, lấy điểm 𝑆 không thuộc mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) Biết

𝑀 thuộc 𝑆𝐴 sao cho 𝑀𝐴 = 2𝑀𝑆 Gọi 𝑃, 𝑄 là trung điểm 𝑆𝐵, 𝑆𝐶 Tìm giao tuyến của (𝑀𝑃𝑄) và (𝐴𝐵𝐶)

từ đó ta có được hai điểm chung làm giao tuyến

- Không tìm ra được các đường cắt nhau để tìm giao điểm

- Chưa xác định được đường thẳng thuộc mặt nào

- Dễ nhìn nhầm các đường cắt nhau vì nhìn hình cắt nhau nhưng chúng ở các mặt phẳng khác nhau nên không cắt

- Trường hợp không có các đường cắt nhau, ta sử dụng kĩ thuật mở rộng mặt phẳng

- Chưa nắm được kiến thức tìm giao tuyến hai mặt phẳng

- Trường hợp đường thẳng không cắt đường nào ở mặt phẳng kia, ta thực hiện theo ba bước ở phương pháp giải

- Trong việc tìm mặt phẳng phụ

2.3.2 Hướng khắc phục: Nắm phương pháp giải sau:

Muốn tìm giao điểm của đường thẳng 𝑑 và mặt phẳng (𝑃), ta tìm giao điểm của 𝑑 với một đường thẳng 𝑎 nằm trong (𝑃) Xét hai khả năng:

Trường hợp 1: Nếu đường thẳng 𝑎 dễ thấy, nghĩa là thấy sẵn 𝑎 ⊂ (𝑃) và

𝑎 cắt được 𝑑 Khi đó

- Vậy 𝑀 = 𝑑 ∩ (𝑃)

Trường hợp 2: Nếu đường thẳng 𝑎 khó thấy, ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Tìm một mặt phẳng (𝑄) chứa đường thẳng 𝑑, sao cho dễ dàng tìm giao tuyến với mặt phẳng (𝑃)

• Bước 2: Tìm (𝑄) ∩ (𝑃) = 𝑎 (đường thẳng a)

• Bước 3: Tìm 𝑀 = 𝑑 ∩ 𝑎, suy ra 𝑀 = 𝑑 ∩ (𝑃)

Khi đó: Điểm 𝑀 chính là giao điểm của đường thẳng 𝑑 và mặt phẳng (𝑃)

Nhận xét: Vấn đề của bài toán là xác định cho được đường thẳng 𝑎 Nhiệm

vụ của giáo viên là hướng dẫn, gợi mở cho học sinh biết cách tìm đường thẳng 𝑎

và chọn mặt phẳng sao cho phù hợp với từng yêu cầu của bài toán trong trường hợp đường thẳng a chưa có trên hình vẽ

2.3.3 Ví dụ minh họa

Ví dụ 7: Cho tứ diện 𝐴𝐵𝐶𝐷 Gọi 𝑀, 𝑁 lần lượt là trung điểm của 𝐴𝐶 và 𝐵𝐶

𝐾 là một điểm trên cạnh 𝐵𝐷 sao cho 𝐾𝐷 < 𝐾𝐵 Tìm giao điểm của:

a) Đường thẳng 𝐶𝐷 với mặt phẳng (𝑀𝑁𝐾)

b) Đường thẳng 𝐴𝐷 với mặt phẳng (𝑀𝑁𝐾)

Nhận xét:

Đối với câu b:

- Ta không thấy được 𝐴𝐷 cắt được đường nào nằm trong mặt phẳng (𝑀𝑁𝐾) Để khắc phục, ta cần sử dụng kĩ thuật mở rộng mặt phẳng, khi mở rộng

{𝐸 ∈ 𝑀𝐼 ⊂ (𝑀𝑁𝐾)𝐸 ∈ 𝐴𝐷 => 𝐸 ∈ 𝐴𝐷 ∩ (𝑀𝑁𝐾)

Vậy 𝐸 là giao điểm của đường thẳng 𝐴𝐷 và mặt phẳng (𝑀𝑁𝐾)

Ví dụ 8: Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy là hình thang 𝐴𝐵//𝐶𝐷 𝑀 là trung điểm của 𝑆𝐵, điểm 𝑁 thuộc dường thẳng 𝑆𝐷 sao cho 𝑆𝑁 = 2𝑁𝐷 Tìm giao điểm của:

a) Đường thẳng 𝑀𝑁 và mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷)

b) Đường thẳng 𝑆𝐴 và mặt phẳng (𝑀𝐶𝐷)

Nhận xét:

Đối với câu b:

- Ta thấy đường thẳng 𝑆𝐴 không cắt đường nào ở mặt phẳng (𝑀𝐶𝐷) Nên

ta thực hiện theo hai bước ở phương pháp giải

+) Chọn mặt phẳng (𝑆𝐴𝐵) chứa đường thẳng 𝑆𝐴

+) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (𝑆𝐴𝐵) và (𝑀𝐶𝐷)

- Cần tìm giao tuyến của hai mặt phẳng vì vậy học sinh cần nhớ lại kiến thức tìm giao tuyến

Định hướng giải:

a) Trong mặt phẳng (𝑆𝐵𝐷), có 𝑀𝑁 ∩ 𝐵𝐷 = {𝐼}