Bài tập cuối kỳ môn toán cao cấp a2 6 20

LOI CAM ON Lời đầu tiên, nhóm chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm TP.HCM đã đưa môn học TOÁN CAO CÁP A2 vào chương trình giảng dạy.. Đặc biệ

LOI CAM ON Lời đầu tiên, nhóm chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Trường Đại học

Công nghiệp Thực phẩm TP.HCM đã đưa môn học TOÁN CAO CÁP A2 vào chương

trình giảng dạy Đặc biệt, chúng em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến giảng viên bộ môn

đã dạy đỗ, truyền đạt những kiến thức quý báu cho chúng em trong suốt quá trình học tập vừa qua Trong thời gian tham gia lớp học, chúng em đã có cho mình thêm những

kiến thức vô cùng bỗ ích, một tính thần học tập có hiệu quả, nghiêm túc Đây chắc chắn

sẽ là những kiến thức quý báu, là hành trang cần thiết để chúng em có thê vững bước

Sau nảy

Môn TOÁN CAO CÁP A2 là một môn học đây thú vị, vô cùng bỗ ích và tính

thực tế cao Đảm bảo cung cấp kiến thức, gắn liền với nhu cầu thực tiễn và mang hiêu biết đến cho chúng em Tuy nhiên, do vốn kiến thức còn nhiều hạn chế và khả năng tiếp thu thực tế còn nhiều bỡ ngỡ Mặc dù chúng em đã có gắng hết sức nhưng chắc chắn rằng bải tập sẽ không tránh khỏi những thiếu sót và những vấn đề còn chưa chính xác Kính mong thầy cô xem xét và cho chúng em những góp ý để chúng em có thể hoàn

thiện hơn

Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn cô, cùng với các thay cô trong bộ môn

TOÁN CAO CÁP A2 Và cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn đến những bạn bẻ, tập thể lớp là những người bạn luôn sẵn sàng chia sẻ và giúp đỡ nhau trong học tập Mong rằng tập thể chúng ta sẽ mãi gắn kết với nhau

Chúc thầy cô nhiều sức khỏe và thành công trong sự nghiệp của mình Chúng em xin chân thành cảm ơn

NOI DUNG Cau 1:Trinh bay dinh nghia cia dnh xa tuyén tính Chứng mình anh xa ƒ:R^ > R? xdc dinh boi f(x, y) = (x — 2y,x + y) la mét anh xa tuyén tinh

Cho V, U 1a khong gian vecto trén R Anh xa f: V > U được gọi là ánh xạ tuyên tính nếu nó thỏa hai điều kiện sau:

()ƒŒ + 9) = ƒ(1) + ƒ(0): Vu, eV

(2) ƒ(œu) = &ƒ(u) va €R,Vu €V

Từ điều kiện (2) ta có:

ƒ@) = ƒ(06) = 0ƒ(8) = 0 Vậy ánh xạ tuyến tính chuyên vectơ không thành vectơ không

Kết hợp điều kiện (1), (2) ta có:

ƒ(ax + 8y) = #ƒ(x) + Bƒ(),Vx,y € V,a, ÿ € R

Một cách tổng quát ta có:

(Ya) = > af Cd.¥ x: E€V,a,€R,i=1,2 n(*)

- _ Hệ thức chứng tỏ rằng ánh xạ tuyến tính chuyển một hệ vectơ phụ thuộc tuyến

tính thành một hệ vectơ tuyên tính

-_ Nếu ánh xạ tuyến tính là một đơn ánh thì gọi là đơn cấu

- Nếu ánh xạ tuyến tính là một toàn ánh thì được gọi là toàn cấu

Khi có một đẳng cấuƒ: ý — W” thi ta ndi hai vecto V va V dang cau voi nhau va kí higu: V = V'

2/ Chieng minh ƒ(x,y) = (x — 2y,x + y) là một únh xụ tuyển tinh:

Đặt u=(ui,uz); v=(vi,v2), Vu, v € R2,ta có:

ftv) = (u + 9ị), (ty + v2)

= [ưị + 0ị + 2; + 92)], tị + 0ị¿uy+02)

= (uy — 2uz, V1 — 2v2), (uy tus, Vv, + V2)

= ƒ(,u;¿) + ƒ(0,9;) = ƒ() + ƒ(0) (thỏa điều kiện 1)

+ Kiểm tra điều kiện 2:

Vu = (u,u;) € R?,Va € R, ta co:

f(au) = f(au,, auz) = (au, — 2auz, au, + auz)

= đ(„ị — 2u;,ttị + uy) = đƒ (w) (thỏa mãn điều kiện 2)

Vậy ƒ(x,y) = (x — 2y,x + y) là ánh xạ tuyến tính

1/Tìm ma trận D = 2AT + BC

Ta có: A= (4 *)= Ar =(Š 2)

11 p=2 )4() 4 D(2 9)

Vậy D = (Tu 10 + 3)

2/Từm ma trận X sao cho AX=B

boc 2)

e ƒ g9 Gọi ma trận X có dạng: X = (

Ta có: AX=B

_ (2 3\ (fb c đ_/1 1 1

=> (3 =) (e f s)=( —2 a)

Khi đó các phân tử của ma trận X được xác định như sau:

2b+3e=1_._ ,b=5

p+se=0 7 lạ=-3

(3d +5g=a TC tu=2a—3

11 > 3a)

Vậy ma trận X cần tìm là X = C, are

Câu 3:

1 0 1

1⁄: Cho 4=|a —L —1 |và và B là ma trận vuông cấp 3 có def(B) = 2

1 1 2

Tinh det(3A’B )

Áp dụng quy tắc 6 đường chéo

1 0 I1)\10

Ta có : 4=| a -l -l) a-l}/=-2+0+a+1-1=008a=-5

1 1 2/11

1 0 1

Thay a=-5 vaoA,tacéd: 4=|5 -1 -l

1 1 2

1 0 1) 10

det(A)= 4=|-5 -1 -1| S-1]=-2+0-5+1-4-0=-10

1 1 2) 11

Vay det (347B)

= đet(347) * det(B)

= 3ˆ*det()* det()

=9 * (-10) * 2 =-180

1 x TI -I

2 — —

2⁄ Giải phương tình |` Ÿ —' "Ï512

0 1 1 1

0 2 9 2

Khai triển theo định thức trên 1 cột

& 2x? + 2- (2x4 2)+ 04 0= 12

& 2x?-2x= 12

Oo xwv-x=6

& x? -x-6 =0

@ x? + 2x -3x-6=0

®+2)+ -3)=0

+2_=

> v42=0 =>x=-2vax=3

x+3=0

Cau 4:

V/ Gidi hé phwong trinh sau bang phwong phap Gauss:

2 3 3/0

3 1 412

0 -7 -114

2 3 3/0 da> dot ds (: 7 1 -4

0 0 O10 r(A) =R (A) =2

n>r => 3>2

phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc vào 1 nghiệm

2x+3y+3z=0

| 7y+z=—4

= Z=

y=——:

—3(—ơ —4)—3ứ

—3y—3Z ———

>2>x=— —

2 2 _3ø+12-21# _ -18g+12 _ -9ữ+6

14 14 7

2/ Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình sau:

x+2y+zZ=1

2x+5y+3Z= 1

3x + 7y + m2z = 2

— /1 2 1

3 7 m?

1

)

2

dạ — 3h >đy QC 1 m>—3|—1

d,-—d, 7d

0 0 m2-4l0

— mŸ - 4 # 0 thì rank(A) = rank(4) = 3

= Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

x+2y+Z=1lx=l-2y-Zz=3

Hệ phương trình đã cho © y+tz=-13>y=-1-z=-1

(m? —4)z=0>z=0 x=3

Vay nghiém la yy = —1

z=0

+ m2 - 4=0 — rank(A) = rank(4) = < 3

= Hệ phương trình có vô số nghiệm

Hệ phương trình đã cho © Ữ y ° a Sye-i z 2

Dat z= a VaeR

>y=-l-a

x=l-#(-l-#)œ <3 +2

x=3+a

vậy nghiệm là P =-1-@

zZ=a volaeR

Câu 5:Trong không gian vectơ RẺ, cho hệ

B =£u = (-l,1,1), v = (L-l,m), w = (1,1,2)} và cơ sở C = {v1 = 2,1,-1), v2 = (1,1,-

3), Wwe (-1,0,2)}

1⁄ Xác định giá trị m dé B la mot co sé cia khéng gian R?

B= fu = -L1,0), v= (1,-1,m), w= (1,1,2)}

=1 1 1

=> detP)=|1 —1 m[=24m41—C1=m42)=2m42 (áp dung

quy tắc 6 đường chéo)

Để B là một cơ sở của không gian R3 thì

detB #0 <=> 2m + 2 # Ũ <=>n # —1

Vậy với rmn # —1 thì B là một cơ sở của không gian R3

1 2⁄ Khi m =1, hãy tìm toa độ của vectơ x đi với cơ sở C biết [x]pg — |

1 C=#¡ =(2,1,-1), v: = (1,1,-3), vì = (-1,0,2)}

1

[x]z = | => x= (1u + 3v+1wW )

1

x= (3,-14)

a

[xlc = | => X= (avitbv2+cvs)

c

=>(3,-1,4) = a{ 2,1,-1) + b(1,1,-3) + c(-1,0,2)

“Leb yeb be]

{a=

4

—7

9

Vậy khi m= 1thì [x]¿ = Ls|

—7

Câu 6: Trong không gian vec rơ cho hai hệ vectơ:RẺ

A= {u = (-1,1,3), v=(-1,3,2), w=(2,-1,m)}

B ={u = (11,2), = (—2,12),w = (1,—1,—2)}

1⁄Xúc định giá trí của m để hệ A phụ thuộc tuyến tính

TacoA=[-1 3 2) =>detA=|/-1 3 2

= —3m +4 + 3— 18 — 2 +rn = —2m — 13 (áp dụng quy tắc 6 đường chéo)

Để hệ A phụ thuộc tuyến tính <=> —2m — 13 = 0 <=>m =

Vậy với m = = ` thì hệ A phụ thuộc tuyến tính

2/ Xúc định giá trị m để vectơ_ x=(Lm,-2) là tô hợp tuyến tỉnh của hệ B

Gia sử x là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u,v,w

Suy ra, 4@,,@z,a@3€R sao cho

x = đ¡u + đ;0 +,ữ;W hay

(1,n,—2) = (1,1,2) + #;(—2,1,2) + #z(1,—1,—2)

Khi đó ta viết lại phương trình đưới dang:

lzi — 2đ; + 1ø; = 1

lai + 1ø; — 1đ; =1? (1)

20, + 2đ; — 20a = —2

Dé x là tô hợp tuyến tính hệ B thì hệ (1) co nghigém<=> r(B) = r(B|x)

1-2 1]/1\a,, 44/1 =2 1 1

=> cob =(1 1 —1 mn) 1 1 -1l m

dạ¬d;—đ 1 -2 1

0 0 0

1 m—-1

—2 — 2m

Do r(B) = 2 => r(B) = r(P|x) = 2

<=> -2-2m=0<=>m=-1

Vay voi m=-1 thi x là tô hợp tuyến tính của hệ B

Câu 7: Cho hệ vecfơ {w = (1,1,1,—1),1y = (0,1,1,1), uz =

(1, 1, 0, 1), U4 = (1,2, —1, m)}

1⁄ Tìm m để hung của hệ vector trên băng 3

Taco:

dạ>d¿—d; 0 1 1 1 dạd,+3d: [( 1 1 1

Để r(A)=3 <=> m + 4= 0

— Tn= -4

Vậy với m= -4 thì hạng của ma trận U bằng 3

2⁄ Khi m= -l, tìm cơ sở và số chiều của không gian con ÙU sinh bởi hệ vecfor trén:

Xét ma tran U co cac dong 1a caéc vecto ui,u2,u3 :

1 1 1 \ds¬.da-di 0 1 1

1 0 1 ]a¿¬>d¿-dy 0 0 -1 2

đạ>d¿—d; 0 1 1 1 d,7d4+3d3 01 1 1

Vậy {1,1,1,-1),(0,1,1,1),(0,0,-1,2),(0,0,0,-7)}là một cơ sở của (U) và dimU=4 Câu 8:Cho ánh xạ tuyến tính ƒ: RŠ — RỀ xúc định bởi:

Ff (1, %2,%3) = (Xp +XQ 4X3, x1 — Xz +.Xg, 2K, + x2 + 2x3)

1⁄ Tim mét co sé va sé chiéu cia Kerf,

Ta có: fy, %2,X3) = Ops

(x, AX, 4%3,%1 — X_ + X3,2x, + x2 + 2x) = (0,0,0)

Khi đó ta được hệ phương trình:

X¡T†#¿+x; = 0

⁄+—#¿ ++*¿=0 (*)

2xị +x¿ + 2x; = 0

=> (A|0) = ụ -1 1 ) BE Tung (0 -2 0 )

dz 2d3t+dy (: 1 1 )

—————|0 -2 0|0 | =>r(4) =r(A|0) = 2

0 0 0l0

Do r(A) = r(A|O) = 2 < 3(số ẩn) nên hệ phương trình (*) có vô số nghiệm phụ thuộc vào tham số

r xX, +X2+%X3 =0 xX, +X,=0

Lúc này hệ phương trình được việt thành: | 1 —2x, =0 2 3 <= 1 x=0 ả Œ) Dat x, = a € R thay vao hé (**) => x3 = —a

Do đó hệ phương trình (*) có vô số nghiệm dạng (a@,0,—-@),a@ € R

Vậy kerƒ = {x € RỶ:x = (œ,0,—ø),œ € R}

Mặt khác, (ø, 0,—ø) = #(1,0,—1,) => X; = (1,0,—1) là nghiệm cơ bản của hệ (*) Khi đó, một cơ sở của ker f là {(1,0,—1)}

Vậy ker ƒ = ((1,0,—1)) à dim kerƒ = 1

2/ Tim mét co so va s6 chiéu cia Imf,

Trong R06 cơ sở chính tắc là

F ={(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}

Khi đó ƒ(1,0,0) = (1,1,2)

ƒ(0,1,0) = (1,—1,1)

ƒ(0,0,1) = (1,1,2)

Do đó mƒ = ((1,1,2), (1,—1,1), (1,1,2))

Lập ma trận có các dòng là các vectơ trong tập sinh f:

1 1 2

Ta được ma trận 8 =[ 1 -1 1

1 1 2

Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đề đưa ma trận về dạng bậc thang

B=(1 -1 1Ì ———-|0 d37d3—d, -2 -1)

Vậy một cơ sở của Imf là {(1,1,2), (0,—2,—1)}và đim Imf=2

CONG HOA XA HOI CHU NGHIA VIET NAM

Độc lập — Tw do — Hạnh phúc

BIEN BAN HOP NHOM (⁄v Phân công công việc “Đảnh giá hoan thanh /Hop nhém dinh ky )

1 Thời gian, địa điểm, thành phần tham dự

1.1 Thời gian: 19h ngày 20.12.2021

1.2 Địa điểm: Phòng họp Zoom

1.3 Thành phần tham dự:

+ Chủ trì: Nguyễn Thành Đạt

+ Tham dự: Tất cả các thành viên của nhóm 03

+ Vắng: 0

2 Nội dung cuộc họp

2.1 Công việc các thành viên như sau

Đánh

giá mức

thành

công việc

Hoàng máy câu 2

Kiêm tra câu

3

2 | 2003202004 Trin Chinh 03 03 | Kiểm tra câu | 100%

4

Làm và đánh

Kiêm tra câu

5,

6,

5 | 2025207660 ‘ee x D at 03 Làm và dánh 100% 0

sửa chữa word

Làm và đánh

Kiêm tra câu

7

8

Lam va danh Pham

may cau 8

Kiém tra câu

1

2.2 Ý kiến của các thành viên

Tất cả các thành viên đã họp và đồng ý với ý kiến của nhóm trưởng

Thống nhất ý kiến với nhau

2.3 Kết luận cuộc họp

Thống nhất lại nội dung cuộc hợp sau khi có ý kiến của từng thành viên

(Đây là căn cứ đánh giá mức độ hoàn thành công việc của từng thành viên)

Cuộc họp đi đến thống nhất và kết thúc lúc 21 giờ 15 phút cùng ngày

(Ky va ghi ré ho tén) ( Ky va ghi ré hg tén)