Báo cáo bài tập lớn Ứng dụng phương trình sai phân hữu hạn trong bài toán truyền nhiệt hai chiều

Hie Điêu kiên sai phân hữu han xấp xỈ của phương trình vi phân bằng cách phân hoạch miền xác định thành hữu hạn các lưới nhỏ.. - Phương trình của phương pháp sai phân hữu hạn áp dụng c

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

L— Ân KHOA KHOA HỌC VÀ ỨNG DỤNG

BỌ MÔN TOÁN TIN ỨNG DỤNG

Hie

Điêu kiên sai phân hữu han

xấp xỈ của phương trình vi phân bằng cách phân hoạch miền xác định thành hữu hạn các

lưới nhỏ Nghiệm xấp xỉ được tính tại các điểm lưới của miền xác định

- Phương trình của phương pháp sai phân hữu hạn áp dụng cho phương trình nhiệt trong

Trong đó:

® u(X,t): giá trị nhiệt độ tại vị trí ở thời điểm t

® 1;(x,t) và „„(x,t): đạo hàm riêng cấp một và cấp hai của hàm u(x,t) theo biến

thời gian t và không gian x

e Hằng số u: độ dẫn nhiệt của vật liệu

e g(x): hàm số phân bố nhiệt độ tại thời điểm ban đầu

se T: thời điểm cuối

e h(t) va k(t): cac ham s6 theo bién thoi gian mô tả dòng nhiệt tại hai biên

Giả định là vật liệu đồng nhất, bề mặt của thanh được cách nhiệt dé chỉ truyền nhiệt

theo hướng x và bài toán trên là chính xác và có nghiệm duy nhất u(x,t)

- Rời rạc hóa miền liên tục [0,L]x[0,T] thành một tập N„ x N¿ điểm lưới Ta chia miên của x thành tập hợp các điểm cách đều nhau

- Từ điêu kiện ban đầu (2), ta có:

u(x;, 0) = uj = 9(%i), i=1, - Ny — 1, J =0, ., Nx (8)

Tuong tu, déi vai dao ham riéng cap hai u,,(x;,¢;) có xấp xỉ như sau:

ul —2U; J+uj Uxx (Xj, t;) = A2x = , — 1, Ny — 1, J — 0, Ne — 1 (9)

- Theo điều kiện Dirichlet,ta có: (0,t;)= Mộ h(£; ), j=0, ,N,—1 (10)

Vậy ta có công thức xấp xỉ cho (1) như sau:

- Sắp xếp lại các số hạng trong hệ phương trình Mat Ta được hệ tương đương: sau:

i= 1, uJ** — wi = = wt (- 2ul + ud) + flac + a(t)

i=2, 2 —Uạ= T2 (MT 2u) + uj) + ƒ)At (15)

+1 UÃt (.,j = i= N,-1, UN, “17 Mộ, 4 = n?„ UIT — 2t, —1) + fy, ,At + — k(t )

- Đặt r =- - Hệ phương trình (15) trở thành:

i = 2, u*? — wu} = = ruy — 2ru; + ru + fy N

- Trị riêng và vectơ riêng của A tương ứng như sau: 4; = b+ 2Vac C0S———T,1) = (=) sin >= 1 ,j =1, ,N

Ta có chuẩn của sai số: 1

pee ge n ¬ Œ\2 „ Tỉ'THJ

- Với mọi điểm trên lưới (x¿, t;)e(0,1) x (0,7): (-)

Goi uj là giá trị xấp xỉ của nghiệm chính (zx¡, tj) xac Sai số:

Err(t;) = (u¿ — u(%ọ, E;),ị — u(x;,t;), Uy, — u(XN,¿ t;))

® Cố định thời gian theo £;, chuẩn sai số theo không gian:

- Tại các điểm lưới (x,, t;), nghiệm chính xác không thỏa công thức (12) Ta có công thức sai số:

/ ulxie,,, Jeet) ul xiy pt )—2u(xpt)+u(x_pt,)

8, =—— a “HT -ƒŒ@,b) — (21

Để xấp xỉ theo công thức (12) có tính vững, nghĩa là e/ sẽ hội tụ về 0 khi Ax, At tiến đến 0

Chứng minh: Khai triển chuỗi Taylor của hàm (+, £) theo biến £ tại 1 điểm, ta được:

Ur+(X;, t;

u(x¡,t) = u(%¡, t)(%ị, É; ) + Ur (x;, t; )(t — t; ) + Bạt) (t — t;)“-+

> Suy ra: U(xi, tir) = U(xi, 6) + Ue (xi G (G41 -— G) + werkt) (+: — ty) Tin

= u(x;,t;) + Uz (x;,t; )At + ——— text) any = vi

Tương tự, khai triển chuỗi Taylor của ham u(x, t) theo bién x tai diém x;, ta duoc:

Uxx (x LD Cj ) Uxxx (x¿, Cj ) Uxxxx (x¿, Cj )

= u(x;,t;) + ux (xi, t)) (ina — x1) + a (Xi41 — Xj)* + ——c ` (1¡+1 — xi) + 12 (xi41 — x;)*

+ eee

xx(Xị,tj) 2 + taxxŒuÐj) 3 4 Uxxxa (Xe tj)

_ Uxx(xit;) 2 4 xxx (ots) 3 Uxxxx(Xtt;) 4

AN —_—

% (ONCEIVE DESIGN IMPLEMENT OPERATE AS I I N

Trong đó, ta sử dụng giả thiết phương trình „ = ~ux„„ + ƒ(+, t)

Ta thấy rằng E; sẽ hội tụ vê 0 khi Ax và A£ tiến đến 0 Do đó xấp xỉ của ta có tính vững

- Điều kiện hội tụ „„,„ dẫn đến: r<— 4-G)? *- 2 (26)

Với điều kiện hiện này suy ra (19) sẽ ổn định (điều phải chứng minh)

Bài toán dẫn nhiệt ổn định h: ict hiều

- Xây dựng phương trình sai phân hữu hạn (SPHH) như sau :

+ Chia vật thể bởi một mạng các đường vuông góc có bước mạng Ax, Ay

ứng với hai chiêu x, y

Khi đó tại điểm nút ¡, j: các đạo hàm bậc nhất và bậc hai của nhiệt độ viết

dạng sai phân như sau (Hình 1.a)

ô?T _ A(AT) _ (Ti++j-Ti¡j)-(T¡j-T¡- i)

8?T _ A(AT) _ (Tij+a-Tij)—(Tij—Tij-1) (1.3)

9y2 ˆ (Ay)? (Ay)? |

- Thay (1.2) và (1.3) vào phương trình vi phân (1.1) sẽ được :

55 aA 66B g8 bDg.gẠg, ———¬ỢƠC 7c

- Để giải (1.4) , có thể chọn Ax = Ay Khi đó sẽ được :

1

Tịj =2 (i~1,j T Tiytj T Tịj—+ T Tịj+i) — (15)

Vậy nhiệt độ tại điểm nút bằng trung bình cộng của bốn điểm nút xung quanh

- Từ (1.5) viết lần lượt cho các điểm, rồi chuyển các nhiệt độ đã biết sang vế phải, các

nhiệt độ chưa biết sang vế trái, sắp xếp lại sẽ được n phương trình cho n điểm nút chưa

biết nhiệt độ bên trong vật, tạo thành hệ phương trình bậc nhất :

A441; + A12T> Ss Ainly = Cy Ao11, + đ22Ï› T+ - + Aonly = C2

Ani! + ữn2Ï2 + - + tnnÌn — Cy

e` “

Bài toán dân nhiệt khong ốn định hai chiêu

- Bài toán dẫn nhiệt không ổn định hai chiều, với điều kiện biên hỗn hợp loại 2 và loại 3

được mô tả bởi:

+ Phương trình vi phân dẫn nhiệt ổn định hai chiều:

_ÔT — a av =a 9x2 + ay? „02m = (4 ot) (2.1.1)

+ Điều kiên biên loại 2 : với một biên giả sử là chữ nhật có x= 0O + a;y=0=zb

+ Điêu kiện biên loại 3:

- Đối với các hình phức tạp không thể giải bằng

phương pháp giải tích, ta có thể giải bằng phương

pháp số Một trong các phương pháp số có thể sử

dụng là xây dựng công thức sai phân hữu hạn như

sau:

+ Chia vật thể bởi một mạng các đường vuông góc

có bước mạng Ax, Ay ứng với hai chiêu x,y Khi đó tại

điểm nut i,j cac dao ham bac nhất và bậc hai của

nhiệt độ viết dạng sai phân như sau (hình 2.a):

- Tại nút i, j , ở mỗi thời điểm các số hạng có thể viết

- Từ (2.3) sẽ có:

p P „rÐ p PP p+1_ | TJi-1j “HjTTiytj ¡ TịjT1“TjTTịjjyi \ k At+ TP

> (2.5) là dạng hàm tường vì vế trái chứa một nhiệt độ tại diém i,j ở thời điểm (p+1), phải giải bằng phương

—> (2.6) la dang ham ẩn vì chứa nhiệt độ các điểm ở thời điểm (p+1)

- Từ (2.6) tạo thành hệ n phương trình bậc nhất, giải bằng phương pháp ma trận nghịch đảo, có thể chọn bước thời gian Ar tuỳ ý Từ (2.5) và (2.6) có thể tìm được nhiệt độ tại các điểm bên trong vật

(là EID Or

%, A CONCEIVE DESIGN IMPLEMENT OPERATE AS | | N

- Các điểm trên biên phải áp dụng phương pháp cân bằng năng lượng trên phân tố thể tích Tại bề mặt điều kiện loại 2 được

quy về điều kiện loại 3 tại thời điểm p như sau:

- Điều kiện loại 2: Dòng bức xạ là g„(£) = e1?

Với e là hệ số hấp thụ của vật, ! là năng suất bức xạ chiếu tới

- Điều kiện loại 3: Dòng đối lưu từ không khí là q„ (£) = h(TẾ —T")

- Dòng nhiệt tổng là : qx (t) =h(T, —Ty,) + elIP)=h (tr + a — Tận) =h(TïT— Tp) — (2.7)

Trong đó:

s« T„, T„„ là nhiệt độ không khí và nhiệt độ bề mặt của kết cấu

e h, e là hệ số toả nhiệt và hệ số hấp thụ của bề mặt

- Theo nguyên lý bảo toàn năng lượng thì tại phần tử thuộc nút (ï, j), tổng các dòng nhiệt nhận đến các phần tử

xung quanh sau thời gian At bằng độ tăng nội năng của phần tử Vậy phương trình cân bằng năng lượng viết

cho các phân tử đươc giới han bởi đường nét đứt trong hình như sau:

+ Các phần tử tại góc lồi, hình 2.3c: phần tử rộng Ax/2, cao Ay/2, có bức xạ, đối lưu tại 2 mặt lôi ngoài:

pt1 mpti, k Ay pt1 „p+1 Ấy pt1 mpti, k Ax p+1 p+1\.Ax|,,— Ay Ax p+1 p

+ Các phần tử tại góc lồi, hình 2.3c: phần tử rộng Ax/2, cao Ay/2, có bức xạ, đối lưu tại 2 mặt lôi ngoài:

pt1 mpti, k Ay pt1 „p+1 Ấy pt1 mpti, k Ax p+1 p+1\.Ax|,,— Ay Ax p+1 p

- Sau khi lấy Ax = Ay và đặt Fo == na” Bi= TC - Thay vào các phương trình trên ta được:

+ Phương trình tại các phần tử thuộc nút bên trong: —Fo(TP + T1) + TỈ "+ T1) + (1+4) FoT7"" = Tỷ, (2.12)

Pp†1 ¡mP†1 2771) Fo+(1+4Fo+2BiFo) Tỷ" Tỉ + 2BiF OTs,

+ Phương trình tại các phần tử thuộc nut trén bién: —(T L—1,J i+

(2.13)

+ Phương trình tại các phần tử thuộc nút ở góc lồi: —2Fo(T1, + TPT al 4Fo(Bit+ ar? = Ti+ ABiFoTf"" (2.14)

+ Phương trình tại các phần tử thuộc nút ở góc lõm:

— Fo(TPT) + 2TR} + TP + 2T711)+ (8 Fo + BiFo +1) TẾ” = TÌ, +BiFoTf" — (2.15)

- (2.12), (2.13), (2.14) và (2.15) là các phương trình đặc trưng để tính nhiệt độ tại các nút trong bài toán dẫn nhiệt không ổn

định hai chiều, tuỳ thuộc vị trí nút cụ thể trong hình mặt cắt mà các chỉ số ¡, j được lấy giá trị tương ứng

Từ đó viết lần lượt cho các nút, lập thành hệ phương trình bậc nhất của nhiệt độ

ca ˆ

fcdio (=D OY

M, A CONCEIVE DESIGN IMPLEMENT OPERATE ASI I N