báo cáo bài tập lớn đề tài phương trình khuếch tán 1 chiều

Nó mô tả sự lan truyền hoặc khuếch tán của một loại chất hoặc trạng thái thông qua môi trường.Phương trình khuếch tán một chiều là một dạng đặc biệt của phương trình khuếch tán, trong đó

ĐỀ TÀI: PHƯƠNG TRÌNH

KHUẾCH TÁN 1 CHIỀU

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ

HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

B Á O C Á O B À I T Ậ P L Ớ N

GVHD: ĐẶNG VĂN

VINH

Thành viên nhóm 8

CƠ SỞ LÝ

THUYẾT

PHẦN 01:

1 ĐỊNH NGHĨA:

Phương trình khuếch tán là một loại phương trình vi phân rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học như vật lý, hóa học, sinh học và kỹ thuật môi trường

Nó mô tả sự lan truyền hoặc khuếch tán của một loại chất hoặc trạng thái thông qua môi trường

Phương trình khuếch tán một chiều là một dạng đặc biệt của phương trình khuếch tán, trong đó sự biến đổi chỉ xảy ra theo một chiều duy nhất

2 CÔNG THỨC:

Phương trình khuếch tán một chiều thường có dạng:

Trong đó:

• ∂C/∂t là đạo hàm riêng của nồng độ theo thời gian.

• t là thời gian.

• x là tọa độ không gian trong chiều khuếch tán.

• D là hằng số khuếch tán.

Để chứng minh công thức của phương trình khuếch tán một chiều dựa trên công thức tổng quát, ta sẽ sử dụng công thức tổng quát cho khuếch tán:

2 CÔNG THỨC:

Trong đó:

• ∂C/∂t là đạo hàm riêng của nồng độ theo thời gian.

• D là hệ số khuếch tán.

• ∇ là toán tử Laplace của nồng độ ) (𝐶).

Trong không gian một chiều, toán tử Laplace trở thành đạo hàm riêng thứ hai theo biến

không gian ), tức:(𝑥), tức:

Do đó, phương trình tổng quát cho khuếch tán trong không gian một chiều trở thành:

=> Đây chính là công thức phương trình khuếch tán một chiều, mô tả sự biến thiên của nồng độ chất phân tán theo thời gian và không gian trong một chiều, với mức độ biến thiên được xác định bởi hệ số khuếch tán D

PHẦN 02:

SAI PHÂN HỮU HẠN

1 ĐỊNH NGHĨA

Phương pháp Sai phân hữu hạn (SPHH) là phương pháp số tương đối đơn giản và ổn định Nội dung của phương pháp này là biến đổi một cách gần đúng các đạo hàm riêng của phương trình

vi phân chủ đạo thành thương của các số gia tương ứng Bằng cách dùng các họ đường song song với các trục toạ độ để tạo thành một mạng lưới chia miền nghiệm trong vật thể thành một số hữu hạn các điểm nút, rồi xác định nhiệt độ của phẫn tử tại các nút đó thay cho việc tính nhiệt độ trên toàn miền

Phương pháp này rất hữu hiệu trong việc giải nhiều bài toán truyền nhiệt phức tạp mà phương pháp giải tích gặp khó khăn Bởi vậy trong các giáo trình truyền nhiệt hiện đại, phương pháp SPHH được trình bày khá kỹ cho chương trình đại học (Holman ) Tuy nhiên khi gặp phải vật thể

có hình dạng bất quy tắc hoặc điều kiện biên bất thường, phương pháp SPHH cũng có thể khó

sử dụng

2 SAI PHÂN HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN KHUẾCH TÁN

Trong bài toán khuếch tán, sai phân hữu hạn là một phương pháp quan trọng để giải quyết phương trình cơ bản của khuếch tán Phương trình cơ bản này thường được gọi là phương trình dấu phảy hoặc phương trình khuếch tán 1D, được viết dưới dạng:

Trong đó:

• u(x,t) là nồng độ của chất

• D là hệ số khuếch tán

2.1 CÁC BƯỚC GIẢI

B1: Diskrit hóa không gian

• Chia không gian thành các điểm lưới: 𝑥), tức:𝑖=𝑖 Δ𝑥), tức:×Δ𝑥 với 𝑖=0,1,2, ,𝑁 với =0,1,2, 𝑖 ,𝑁

• Tại mỗi điểm lưới, tính giá trị tại thời điểm để bắt đầu quá trình tính toán 𝑢 tại thời điểm để bắt đầu quá trình tính toán

B2: Diskrit hóa thời gian

• Chia thời gian thành các bước: =𝑛×Δ𝑡 với 𝑛=0,1,2, ,M Δ𝑡 với 𝑛=0,1,2, ,M ×Δ𝑥 với 𝑖=0,1,2, ,𝑁 với =0,1,2, ,M 𝑛×Δ𝑡 với 𝑛=0,1,2, ,M

• Sử dụng phương pháp sai phân trung tâm để xấp xỉ đạo hàm thứ hai theo không gian:

B3: Giải PT thu được

• Áp dụng phương trình khuếch tán đã diskrit hóa vào từng điểm lưới để tính toán giá trị tại mỗi 𝑢 tại thời điểm để bắt đầu quá trình tính toán

bước thời gian tiếp theo

B4: Áp dụng điều kiện ban đầu và điều kiện biên

• Áp dụng điều kiện ban đầu vào thời điểm ban đầu

• Áp dụng điều kiện biên

• Lặp lại từ bước 3 đến khi đạt đến thời gian mong muốn

PHẦN 03:

BÀI TOÁN THỰC TẾ

1 DÙNG CODE MATLAB ĐỂ GIẢI

*Mô phỏng khuếch tán thuốc trong mô mềm

Mô tả bài toán: Chiều dài của mô mềm là 5 cm Thuốc được tiêm vào đầu đoạn

mô này Hệ số khuếch tán của thuốc trong mô mềm là 0.01 cm²/s Tổng thời

gian mô phỏng là 40s Điều kiện ban đầu và biên:

• Ban đầu, nồng độ thuốc là 0 tại mọi điểm trừ điểm đầu nơi thuốc được tiêm

• Nồng độ thuốc tại điểm đầu của mô nơi tiêm thuốc là 1 cm2/s

Bài làm

+Thiết lập các tham số:

Chiều dài mô: L=1cm

Thời gian mô phỏng: T=40giây

Hệ số khuếch tán : D=0.01cm2 /s

Số điểm lưới không gian: nx=100

Số bước thời gian: nt=500

Ta có phương trình khuếch tán một chiều:

Bước 1: Xác định miền không gian và thời gian, giả sử chúng ta giải phương trình trên đoạn không gian từ 0 đến L trong khoảng thời gian từ 0 đến T

Bước 2: Chia lưới không gian và thời gian

Chia đoạn không gian và thời gian thành các điểm lưới:

• Chia đoạn không gian thành nx điểm với khoảng cách Δx.x

• Chia khoảng thời gian thành nt điểm với khoảng cách Δx.t

Bước 3: Thiết lập các điểm lưới

Bước 4: Khởi tạo điều kiện ban đầu và biên

• Giả sử nồng độ ban đầu tại t=0 là 0 tại mọi điểm, ngoại trừ tại x=0 là

nồng độ bằng 1 cm^2/s

Bước 5: Xây dựng công thức sai phân hữu hạn, sử dụng

phương pháp sai phân hữu hạn để xấp xỉ các đạo hàm:

2 CODE MATLAB

Code:

% Nhập các thông số

L =5 % Độ dài của không gian mô phỏng(cm)

T =40 % Thời gian mô phỏng(s)

D = 0.01 % Hệ số khuếch tán(cm^2/s)

Nx = 100; % Số bước không gian

Nt = 500; % Số bước thời gian

dx = L / Nx; % Bước không gian

dt = T / Nt; % Bước thời gian

% Khởi tạo ma trận giữ liệu

C = zeros(Nx+1, Nt+1); % Ma trận nồng độ thuốc

C(:,1) = 0; % Nồng độ ban đầu tại thời điểm t=0

C(1,:) = 1; % Điều kiện biên tại x=0

% Phương trình khuếch tán

for n = 1:Nt for i = 2:Nx C(i,n+1) = C(i,n)+D*dt/(dx^2)*(C(i+1,n) - 2*C(i,n) + C(i-1,n)); end

end

% Vẽ đồ thị mô phỏng phương trình khuếch tán thuốc 1 chiều

[x, t] = meshgrid(linspace(0, L, Nx+1), linspace(0, T, Nt+1));

mesh(x, t, C');

xlabel( 'Vị trí(cm)' );

ylabel( 'Thời gian(s)' );

zlabel( 'Nồng độ' );

title( 'Đồ thị mô phỏng phương trình khuếch tán thuốc 1 chiều' );

PHẦN 04:

ỨNG DỤNG THỰC TIỄN

1 Truyền nhiệt: Phương trình khuếch tán được sử dụng để mô tả sự truyền nhiệt qua vật liệu

Ví dụ, nó có thể được sử dụng để dự đoán sự phân bố nhiệt độ trong một tấm kim loại bị đun nóng ở một bên

2 Lan truyền vật chất: Được sử dụng để mô tả sự khuếch tán của chất, chẳng hạn như chất ô

nhiễm hoặc chất dinh dưỡng trong môi trường Ví dụ, nó có thể được sử dụng để dự đoán sự lan truyền của chất ô nhiễm trong sông hồ

3 Hóa học: Phương trình có thể được sử dụng để diễn tả sự khuếch tán các chất tham gia

trong một phản ứng hóa học Ví dụ, nó có thể được sử dụng để dự đoán tốc độ phản ứng giữa hai khí trong một phản ứng

4 Y tế: Phương trình lan truyền có thể được sử dụng để mô tả sự khuếch tán của thuốc hoặc

chất dinh dưỡng qua mô tế bào Ví dụ, sử dụng để dự đoán sự phân bố của thuốc trong cơ thể sau khi tiêu thụ

CHƯƠNG

LIỆU THAM

KHẢO

Thông qua quá trình thực hiện bài tập lớn này, chúng em học được nhiều kiến thức bổ ích, bao gồm từ kỹ năng mềm đến kiến thức nền, về kỹ năng mềm nhóm đã thấy được việc quan trọng từ việc làm việc nhóm

từ đó biết phân công, sắp xếp công việc và phân chia thời gian hợp lí để hoàn thành bài làm theo đúng tiến

độ, về kiến thức nền nhóm được tự tìm hiểu sâu hơn kiến thức về phương trình khuếch tán một chiều của thuốc (1D drug diffusion) từ đó nhóm thấy được những ứng dụng tuyệt vời mà nó đem lại

Qua đây, nhóm chúng em xin dành hết tất cả sự chân thành để gửi lời cảm ơn đến Thầy Đặng Văn Vinh Bài báo cáo của chúng em sẽ không được trọn vẹn nếu không nhận được sự tận tâm, sâu sắc trong cách giảng dạy và hướng dẫn chi tiết của thầy Một lần nữa nhóm chúng em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy

1 KẾT LUẬN

2 TÀI LIỆU THAM KHẢO:

Sách Giải Tích 2 ( Calculus II – James Stewart)

https://www.youtube.com/watch?v=d_aCYcaGMPY

https://quangchien.wordpress.com/2012/03/27/ch6-computational-physics/

https://

thuvienso.dau.edu.vn:88/bitstream/123456789/8882/1/phan_tu_huu_han_trinh_ van_quang_9445.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=c-ycLR36_e8&t=173s

https://

www.quora.com/unanswered/Can-you-give-an-example-of-a-real-life-application -of-the-diffusion-equation

THANK

Any questions? Don’t ask us

Email

totnhat@dunghoi.com

Social Media

@hoicungkobiktraloi