Ứng dụng phương trình vi phân vào bài toán biến số kinh tế và vẽ diện tích miền Được giới hạn bởi các hàm số cho trước

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN HỌC: GIẢI TÍCH 1 VÀO BÀI TOÁN BIẾN SỐ KINH TẾ VÀ VẼ DIỆN TÍCH MIỀN ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI CÁC HÀM SỐ CHO TRƯỚC Lớp L01,

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN HỌC: GIẢI TÍCH 1

VÀO BÀI TOÁN BIẾN SỐ KINH TẾ VÀ VẼ DIỆN TÍCH MIỀN ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI CÁC HÀM SỐ CHO TRƯỚC

Lớp L01, Nhóm 10

GVHD: Thầy Huỳnh Thái Duy Phương

Danh sách thành viên:

Nguyễn Chu Nguyên Chương 2310365

Đề tài báo cáo :

1 Trình bày phương pháp sử dụng PTVP cấp 1 phân tích quỹ đạo của biến số kinh tế theo thời gian.

2 Lấy một ví dụ cụ thể nêu ý nghĩa kết quả.

3 Nhập a, b, f(x), g(x) viết code tính diện tích miền D được giới hạn bởi y = f(x), y = g(x), x = a, x = b.

Yêu cầu cần đạt được :

1 Sử dụng được các công cụ toán học, phần mềm lập trình cho việc giải các bài toán

2 Hiểu được ý nghĩa của đề tài, cách làm của các câu h

II

Chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Huỳnh Thái Duy Phương - giảng viên bộ môn Giải tích 1 - trường Đại học Bách Khoa Đại học Quốc gia TP.HCM đã trang bị giúp chúng em những kỹ năng

cơ bản và kiến thức cần thiết để hoàn thành được đề tài này Tuy nhiên, trong quá trình làm đề tài do kiến thức chuyên ngành của chúng em còn hạn chế nên không thể tránh khỏi một vài thiếu sót khi trình bày và đánh giá vấn đề Rất mong nhận được sự góp ý, đánh giá của thầy để đề tài của em thêm hoàn thiện hơn.

Chúng em xin chân thành cảm ơn!

MỤC LỤC CHƯƠNG 1 BÀI TOÁN DẪN ĐẾN VIỆC THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ CÁC CÁCH GIẢI CỦA PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN CẤP MỘT 1

1.1 Bài toán vi phân 1

1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một 1

CHƯƠNG 2: ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 VÀO BÀI TOÁN BIẾN SỐ KINH TẾ VÀ VÍ DỤ 4

2.1 Tìm hàm cầu khi biết hệ số co dãn của cầu theo giá 4

2.2 Biến động của giá trên thị trường theo thời gian .5

CHƯƠNG 3 TÍNH DIỆN TÍCH MIỀN 10

3.1 Lý thuyết liên quan tới diện tích miền được giới hạn bởi hàm số đã cho 10

3.1.1 Tích phân xác định : 10

3.1.2 Cách giải bài toán tìm diện tích miền giới hạn bởi các hàm số và đường thẳng x=a, x=b : 10

3.2 Code Matlab và kết quả 11

CHƯƠNG 4 KẾT LUẬN 13

TÀI LIỆU 14

IV

CHƯƠNG 1 BÀI TOÁN DẪN ĐẾN VIỆC THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ CÁC CÁCH GIẢI CỦA PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN CẤP MỘT

1.1 Bài toán vi phân.

*Một vật có khối lượng m rơi tự do trong không khí Giả sử sức

cản không khí tỉ lệ với vận tốc rơi là v(t) vào thời điểm t với hệ

số tỉ lệ là k>0 Tìm v(t)

Ta có khi vật rơi thì lực tác dụng lên vật gồm có :

+ Lực hút trái đất là mg

+ Lực cản không khí là kv(t)

Theo định luật Newton ta có : ma = F với a là gia tốc rơi của vật ta có được

mdv dt=mg−kv hay mv’ = mg - kv

Đây là phương trình vi phân để tìm hàm v(t)

1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một

y’ + p(x)y = q(x) (trong đó p(x), q(x) là các hàm số liên tục

của x)

- Nếu q(x)=0 thì y’ + p(x)y = 0 là phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng (1) y’ +p(x)y = 0 haydy dx = -p(x)y

- Nếu q(x) ≠ 0 thì (*) gọi là phương trình tuyến tính không

thuần nhất Ví dụ: y’ - 3 x −2 2 x +3 y=0, y’ - 5 x−6 4 x y =2 x e …

Lời giải:

Trước hết, ta xét phương trình tuyến tính thuần nhất của

phương trình

Trường Đại học Bách Khoa T.p Hồ Chí Minh

Khoa Khoa học ứng dụng

y’ + p(x)y = 0 haydy dx = -p(x)y

- Nếu y≠ 0 ta có phương trình dy y = -p(x)dx (phương trình vi phân có biến phân li)

- Lấy tích phân bất định hai vế ta có, ln |y| =

-∫p ( x ) dx+ln ⁡∨C∨¿ ¿ => y= Ce− ∫p(x)dx (*)(C là hằng số tùy ý)

- Vậy nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng là (*)

Ngoài ra bằng cách thử trực tiếp ta thấy y = 0 cũng là nghiệm của phương trình thuần nhất (là nghiệm riêng ứng với C=0) Bây giờ xem C trong (*) không phải là một hằng số mà là một hàm của biến x (C=C(x))

Tìm C để (*) trở thành nghiệm tổng quát của phương trình

tuyến tính không thuần nhất (1)

Muốn vậy ta lấy đạo hàm hai vế : y '=C ' e− ∫p( x)dx

−Cp (x)e− ∫p (x)dx

- Thế y và y’ vào (1) ta được:

+p (x ) C e− ∫p(x)dx

=q(x )

C ' e− ∫p(x)dx

=q (x)

C '

=q(x )e∫p(x)dx = q (x)e∫p(x)dx

- Lấy tích phân bất định hai vế:

C=∫q (x)e∫p(x)dx

dx + K(K là hằng số tùy ý)

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất(1) là

Bài tập lớn môn Giải tích 1 Niên khóa 2023-2024 Trang 2/14

y=(∫q (x)e∫p(x)dx

dx +K )e− ∫p(x)dx

Hay y¿e− ∫p(x)dx

∫q(x )e∫p(x)dx

dx+K e− ∫p(x)dx

mãn điều kiện y(0)=3

Trước hết ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình đã cho:

y '− 2 x

dy

y =

2 xdx

3+x2

Lấy tích phân bất định hai vế, ta có:

ln|y|=ln(3+x2)+ ln|C|= ¿y=C (3+x2)

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là y=C(3+ x2)

Với điều kiện đầu y(0) = 3, ta có 3 = C(3+0) => C = 1

Vậy nghiệm riêng của phương trình đã cho thỏa mãn điều kiện đầu cho trước là y = 3 +x2

Trường Đại học Bách Khoa T.p Hồ Chí Minh

Khoa Khoa học ứng dụng

CHƯƠNG 2: ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 VÀO BÀI TOÁN BIẾN SỐ KINH TẾ VÀ VÍ DỤ

2.1 Tìm hàm cầu khi biết hệ số co dãn của cầu theo giá

Hệ số co giãn: là đại lượng thể hiện sự thay đổi tính bằng phần trăm của một số biến số khác thay đổi một phần trăm

Hệ số co giãn của cầu: là hệ số đo lường phản ứng của người tiêu dùng Thể hiện qua sự thay đổi lượng hàng được mua khi các yếu tố như giá cả, thu nhập, giá cả các mặt hàng có liên quan thay đổi

Chúng ta đã biết công thức tính hệ số co dãn của cầu theo giá như sau:

ℇ D=Q D '

( P) P

Q D

=d Q D

dP .

P

Q D

⟺ dQ

Q D =ℇ D dP

P

Trong đó: QD là lượng cầu, P là giá sản phẩm

Cách giải

Lấy tích phân 2 vế của phương trình (*), ta có:

∫d Q Q D

D

=∫ℇ D . dP

P

Suy ra: ln Q D=∫ℇ D . dP

P

Lưu ý:

Bài tập lớn môn Giải tích 1 Niên khóa 2023-2024 Trang 4/14

Để xác định hằng số C trong tích phân bất định, ta cần có thông tin về lượng cầu của một mức giá cụ thể

Tìm hàm cầu QD biết rằng Q(1)=20

Giải

Từ hệ số co dãn ta có:

dQ

dP .

P

Q=−2⟺ dQ

Q =−2.

dP P

Suy ra:

Từ giả thuyết:

Q(1)=20 ⟺ 20= A ⟺ A=20

Vậy:

Q=20 P−2

2000−2 P

Tìm hàm cầu QD biết rằng Q(0)=2000

Giải

Từ hệ số co dãn ta có:

dQ

dP .

P

Q=

−2 P

Q =

1000−P

Suy ra:

Vậy:

Trường Đại học Bách Khoa T.p Hồ Chí Minh

Khoa Khoa học ứng dụng

Q=2000−2 P

2.2 Biến động của giá trên thị trường theo thời gian

Giả sử một sản phẩm đang được lưu thông trên thị trường với hàm cung Q S và hàm

cầu Q D Gọi p0, Q0 lần lượt giá và lượng cân bằng Nếu tại thời điểm bắt đầu việc nghiên cứu t=0, p(0)= p0 thì thị trường đã đạt được sự cân bằng Nhưng nếu

p(0)≠ p0 , nghĩa là thị trường chưa đạt được sự cân bằng Để đạt được sự cân bằng cần có thời gian để điều chỉnh, khi đó p ,Q S ,Q0 là các hàm theo thời gian t Vấn đề đặt ra là sự điều chỉnh giá pcó đạt được mức giá cân bằng thị trường theo thời gian hay không? Nghĩa là limt → ∞ p (t)=P(0) Sự thay đổi của giá phụ thuộc lượng cung, cầu trên thị trường, để đơn giản chúng ta giả thiết rằng tỷ lệ của sự thay đổi giá tại mọi thời điểm tỷ lệ thuận với độ chênh lệch giữa cầu và cung (Q D−Q S) tại thời điểm đó Nếu như vậy ta có thể diễn tả bằng phương trình:

dp

dt =△(Q D−Q S) (*) Trong đó △>0 là một hằng số thích hợp, gọi là hệ số điều chỉnh

Lưu ý Khi dp dt=0 khi và chỉ khi Q S=Q D Điều đó có nghĩa là dp dt=0 xảy ra tại mọi thời điểm cân bằng

Giải phương trình vi phân (*) ta tìm được hàm p(t).

Nếu Q D=Q S thì giá cân bằng p0= 45

2

Giả sử dp dt= 1

2(Q D−Q S) và p(0)=30 Từ

Bài tập lớn môn Giải tích 1 Niên khóa 2023-2024 Trang 6/14

dt =

1

2(Q D−Q S)⟺ dp

⟺ p '

+2 p=45 (*) +) Bước 1 Một nguyên hàm của 2 là 2t

+) Bước 2 Chọn thừa số tích phân: e2t

+) Bước 3 Nhân 2 vế của (*) cho e2t ta được

e 2 t p '

+e 2 t 2 p=45 e 2 t

⟺(e 2 t p)'=45 e2 t (**) +) Bước 4 Lấy tích phân 2 vế của (**), ta được:

e 2 t p=45

2 t

Suy ra:

p(t )=45

2 +C e

−2 t (C là hằng số)

Từ giả thiết:

p(0)=30 ⟺45

2

Vậy:

p(t )=45

15

−2t

Nhận thấy:

lim

t →+ ∞ p(t)=45

2 =p0

Trường Đại học Bách Khoa T.p Hồ Chí Minh

Khoa Khoa học ứng dụng

→Qua đây, ta thấy rằng khi cân bằng các nghiệm của phương trình (*) hội tụ đến nghiệm riêng của (*)

Tìm hàm giá phụ thuộc vào thời gian t, biết rằng p(0) = 40 và p(2) = 30

Giải :

Ta có:

dp

dt =k(Q D−Q S)

Thay hàm cung hàm cầu vào, ta có:

dp

dt =k (80−3 p)

⟺ p '

+3 kp=80 k (*) +) Bước 1 Một nguyên hàm của 3k là 3kt

+) Bước 2 Chọn thừa số tích phân: e 3 kt

+) Bước 3 Nhân 2 vế của (*) cho e 3 kt ta được

e 3 kt p '+e 3 kt 3 kp=80 k e 3 kt

⟺(e 3 kt p)'=80 k e3 kt (**) +) Bước 4 Lấy tích phân 2 vế của (**), ta được

Bài tập lớn môn Giải tích 1 Niên khóa 2023-2024 Trang 8/14

e 3 kt p=80

3 kt

+C

Suy ra:

p(t )=80

3 +C e

−3 kt (C là hằng số)

Từ giả thiết:

p(0)=40 ⟺80

3

Ta có:

p(t )=80

40

−3 kt

Từ giả thiết:

p(2)=30 ⟺80

40

−6 k

=30⟺ k =0,231

Vậy:

p(t )=80

40

−0,693 t

Trường Đại học Bách Khoa T.p Hồ Chí Minh

Khoa Khoa học ứng dụng

CHƯƠNG 3 TÍNH DIỆN TÍCH MIỀN

3.1 Lý thuyết liên quan tới diện tích miền được giới hạn bởi hàm số đã cho 3.1.1 Tích phân xác định :

- Cơ sở toán học hình thành :

o Tổng riemann: cho hàm số f ( x ) xác định trên đoạn [a , b](a<b ) chia đoạn ấy

thành n phần nhỏ hữu hạn [x i−1 , x i] với i chạy từ 1 →n.chọn một điểm bất kỳ

ξ1∈[x i −1 , x i] và thành lập tổng σ =∑

i=1

n

f(ξ i)Δ x i Đây được gọi là Tổng riemann,

ta có thể lấy f(ξ i) với i chạy từ 1 →n-1 ( tổng Riemann trái ), hoặc 2 →n

( tổng Riemann phải), hoặc tổng Riemann trung tâm với i=x i−x i−1

2

⟹ Nếu ta cho λ → 0 với λ=max(Δ x i , i=1 ,… ,n) thì ta có định nghĩa tích phân xác

định : ∫

a

b

f ( x )dx=lim

λ→0( ∑

i=1

n

f(ξ i)Δ x i)

o Ý nghĩa hình học : Nếu hàm số f(x) >0 trên đoán [a,b] thì tích phân xác

định∫

a

b

f ( x )dx có ý nghĩa hình học là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường cong y=f(x), x=a, x=b, y=0

3.1.2 Cách giải bài toán tìm diện tích miền giới hạn bởi các hàm số và

đường thẳng x=a, x=b :

Bước 1 Tìm giao điểm giữa các hàm số f(x), g(x),…

Bước 2 Nếu các hoành độ giao điểm a,b :

Bài tập lớn môn Giải tích 1 Niên khóa 2023-2024 Trang 10/14

- Nằm trong khoảng [x1, x n] thì lấy tích phân :

∫

a

x1

|f ( x )dx|+∫

x 1

x2

|f ( x ) dx|+…+∫

x n

b

|f ( x) dx|

- a hoặc b nằm trong khoảng [x1,xn ]: thì làm như trường hợp trên nhưng lấy một phép tích phân là từ a tới x1 hoặc xn tới b

- Không nằm trong khoảng [x1,xn ] làm kết hợp của trường hợp a và b

3.2 Code Matlab và kết quả

3.2.1 Trình bày đoạn code Mathlab

clc, clear, close all;

% Khai bao bien thoi gian

x=sym('x');

f(x)=input('Nhap phuong trinh cua y=f(x)=');

g(x)=input('Nhap phuong trinh cua y=g(x)=');

a=input('Nhap phuong trinh cua x=a=');

b=input('Nhap phuong trinh cua x=b=');

% Dien tich mien D

ans1=int(abs(f-g),x,[a b]);

fprintf('Dien tich mien gioi han %f \n', ans1)

% Do thi mien D gioi han boi y=f(x), y=g(x),x=a, x=b

fplot(f,[a-2, b+2]);

hold on;

Trường Đại học Bách Khoa T.p Hồ Chí Minh

Khoa Khoa học ứng dụng

fplot(g,[a-2, b+2]);

grid on;

x = a:0.01:b;

F= [f(x)];

G= [g(x)];

x1=[x,fliplr(x)];

between = [F,fliplr(G)];

fill(x1,between,'r');

xlabel('Ox');

ylabel('Oy');

title('Dien tich mien gioi han');

3.2.2 Kết quả hiển thị

Bài tập lớn môn Giải tích 1 Niên khóa 2023-2024 Trang 12/14

Hình 3.1: Đoạn code

Hình 3.2: Hiển thị trên command window

Trường Đại học Bách Khoa T.p Hồ Chí Minh

Khoa Khoa học ứng dụng

Hình 3.3: Diện tích miền giới hạn

CHƯƠNG 4 KẾT LUẬN

Qua bài tập lớn này, chúng em hiểu thêm về phương trình vi phân cấp 1 cũng như là những cách ứng dụng nó vào đời sống, đặc biệt là kinh tế và chúng em còn biết được cách sử dụng matlab để giải nhanh các dạng toán cũng như phác họa đồ thị

Bài tập lớn môn Giải tích 1 Niên khóa 2023-2024 Trang 14/14

TÀI LIỆU

[1]: Tham khảo giải tích - khoa cơ bản bộ môn toán lý “ link :

https://elearning.tcu.edu.vn/1152/102_mt_s_phng_trnh_vi_phn_cp_mt_c_b

[2] : Tham khảo bài của thầy Trần Minh Trí - Trường Nông Lâm “ link :

[3] : Tham khảo quyển : Giáo Trình Giải Tích 1 - Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh