Ứng dụng phương trình vi phân có chậm vào mô hình bài toán dân số

VAÄN DUÏNG TÖ TÖÔÛNG HOÀ CHÍ MINH VEÀ COÂNG TAÙC SÖÛ DUÏNG CAÙN BOÄ, COÂNG CHÖÙC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Lê Nguyễn Hạnh Vy và tgk 86 ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM VÀO MÔ HÌNH BÀI TOÁ[.]

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Lê Nguyễn Hạnh Vy tgk ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ CHẬM VÀO MƠ HÌNH BÀI TỐN DÂN SỐ APPLYING DELAY DIFFERENTIAL EQUATION IN POPULATION PROBLEM MODEL LÊ NGUYỄN HẠNH VY TRẦN LƯU CƯỜNG TÓM TẮT: Bài viết tập trung phương trình vi phân có chậm thơng qua việc nghiên cứu tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định tiệm cận toàn cục dựa định lý hàm Lyapunov phương pháp tính để ứng dụng vào mơ hình dân số Trong viết có sử dụng phần mềm Maple để tính thơng số cần thiết cho mơ hình, sau đưa thơng số cần tính vào phần mềm mô Matlab thông qua việc lập code Kết thu quỹ đạo nghiệm biểu đồ Phase mơ hình Nó cho ta thấy mức độ tăng trưởng dân số phụ thuộc vào thời gian có chậm Và đưa vào thực tiễn, tạo nhiều bước phát triển cho ngành khoa học khác Từ khóa: hàm Lyapunov; phương trình vi phân có chậm; mơ hình Lotka-Volterra; tốn phát triển dân số ABSTRACT: The paper focuses on the application of delay differential equation by digging deeply into stabilization, asymptotic stability, and globally asymptotically stable based on Lyapunov's theorem by calculating method in order to apply in population model In this paper, we used Maple software to calculate the necessary parameters for the model, and then put the parameters to be calculated in Matlab simulation software through coding The results are the root locus and the Phase diagram of the model It indicates that the rate of population growth depends on delay time And put into practice, creating many new developments for other sciences Key words: Lyapunov function; delay differential equation; Lotka-Volterra model; population growth problem Lý thuyết phương trình vi phân có chậm phát triển rộng rãi Bellman Cooke [4], Hale [5], Dirver [6], El’sgol’ts Norkin [7] có sách nói vấn đề Hale Verduyn Lunel [8], Kolmanowskii Myshkis [9]… Việc nghiên cứu yêu cầu đòi hỏi khơng mặt lý thuyết mà tính ứng dụng rộng rãi, thu hút quan tâm nhiều nhà toán học đưa nhiều kết quan trọng Nó góp phần xây dựng lý thuyết chung cho ngành toán học ngành khoa học khác Nó có mặt góp phần nâng cao tính hấp dẫn, lý thú, tính ĐẶT VẤN ĐỀ Nhiều tượng thực tế sống vật lý, kỹ thuật, sinh học, y học… mơ hình hóa giá trị ban đầu phương   x ( trình vi phân thường:  t )  g (t , x(t )), t  t0   x(t )  x0 Tuy nhiên, để mơ hình phù hợp với thực tế hơn, người ta sử dụng mơ hình hóa phương trình vi phân có chậm sau: x(t )  f (t , xt ), t  t0  ThS Trường Đại học Văn Lang, lenguyenhanhvy1991@gmail.com TS Trường Đại học Văn Lang, cuong.tl@vlu.edu.vn, Mã số: TCKH24-06-2020  86 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Số 24, Tháng 11 – 2020 đầy đủ sâu sắc, tính hiệu quả, giá trị nhiều ngành tối ưu, điều khiểu tối ưu, giải tích số, tính tốn khoa học Vì vậy, lý thuyết trở thành lĩnh vực tốn học đại nhất, có khả ứng dụng nhiều lĩnh vực khác như: Vật lý học, Cơ học, Kinh tế học, Sinh thái học, Hóa học… NỘI DUNG Giới thiệu hàm Lyapunov phương trình vi phân có chậm Ứng dụng vào mơ Trong     C biểu diễn trạng thái ban đầu trạng thái liệu 2.2 Tính ổn định Lyapunov phương trình vi phân có chậm 2.2.1 Định nghĩa tính ổn định Lyapunov Định nghĩa 1: Nghiệm tầm thường phương trình (2) gọi ổn định Lyapunov t     0, t0  0,     t0 ,    0, a cho     xt  t ,     , t  t0 hình phát triển ổn định dân số Bảng ký hiệu: Định nghĩa 2: Nghiệm tầm thường phương trình (2) gọi ổn định khi t   số  định nghĩa không phụ thuộc vào t0 Định nghĩa 3: Nghiệm tầm thường phương trình (2) gọi ổn định tiệm cận theo Lyapunov t   i ) Nghiệm tầm thường ổn định ii )   (không phụ thuộc vào t0 ) 2.1 Giới thiệu phương trình vi phân có chậm rời rạc Dạng tổng qt phương trình vi phân có chậm rời rạc:   C,     lim x  t0 ,   t  Định nghĩa 4: Xét phương trình (2), hàm khả vi liên tục V : R   C  R gọi hàm Lyapunov tồn cố a, b, c >0 thỏa mãn: x  t   f  t , x  t  1  , , x  t   n   , t  t0 (1) Với     0, t  t0 , i  1, , n i  i t  x t gọi chậm rời rạc x t  f t , xt    (2)   i) a x  t   V  t , xt   b xt , ii) V  t , xt   c x  t  Trong đó, xt  x  t    ,  r ,0 ,  r,0 vào R  Ký hiệu: C  C0  r ,0 ,R n với nghiệm x(t) (2) hàm thuộc không gian hàm liên tục từ n  Định nghĩa 5: Nếu ánh xạ V : R  C  R liên tục từ x  t0 ,  nghiệm phương trình  (2) thỏa điều kiện ban đầu  t0 ,   , ta có: f :   R n hàm cho trước, với   R  C V t  h, xt h t0 ,  V  V t ,   lim  h0 h     Bài toán giá trị ban đầu:   x  t   f  t , xt  , t  t0   x0  x  t0           V t0 ,   Hàm V  t0 ,   gọi đạo hàm trên, bên phải theo t hàm V  t0 ,  dọc theo nghiệm hệ (2) 2.2.2 Định lý tính ổn định Lyapunov [1, tr.27] 87 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Lê Nguyễn Hạnh Vy tgk Cho hàm u  s  , v  s  , w  s  : R   R  liên tục không giảm, u  s   0, v  s   0,  s  i (0)  0,i  1,2, 2 (r)  với r > 0, lim 1 (r)   V : C  R hàm vi u            Những phát biểu phân vô hướng liên tục Với tập S nghiệm sau đúng: i) Nếu hàm V : R  C  R thỏa mãn x (t )  F  xt  thỏa mãn:      V t ,    v    , V t ,       0  u  r  V    1 (  (0) ),V    2 (  (0) ) Khi x = ổn định tiệm cậm tập S, nghĩa nhứng nghiệm bị chặn S hội tụ đến x = t   Hàm Lyapunov V: Hàm Lyapunov V xác định tập hợp nghiệm x=0 ổn định ii) Nếu thêm vào (i), lim u  s    s  nghiệm (2) bị chặn (tức với   0, tồn       cho, với   R,   C ,    ,  ta có x  , 1 , 2  : 1  C  , 0 , R  , 2     (0),    , 0 : t    , t   iii) Nếu thêm vào (i), w( s )  với s >   V  V 1 , 2  nghiệm x=0 ổn định tiệm cận 2.3 Ứng dụng phương trình vi phân có chậm giải tốn mơ hình phát triển dân số 2.3.1 Mơ hình Lotka – Volterra có chậm đơn Mơ hình Lotka – Volterra có chậm đơn: Xét hệ động vật ăn thịt mồi Lotka – Volterra có chậm có dạng [3]   V0 1 (0), 2 (0)   V1 1 (0), 2 (0)  V2 1 , 2   Trong đó, hàm vơ hướng V0, V1, V2 xác định sau: V0 (t )  V0 (u1 (t ), u2 (t ))  ln(1  u1 (t ))   ln(1  u2 (t )) V1  V1 (u1 (t ), u (t ))  u1  z1   (u  z ), t t * V2  V2 (1 , 2 )  P  ds  [x (1 1 ( ))1 ( )] d t  s t t *  Q  ds  [x (1 1 ( ))2 ( )] d t  s x  x ( t )( r  ax ( t )  by (t )), y  y (t )(  d  cx (t   )), Mơ hình: Trong đó: x(t), y(t) mật độ dân số mồi kẻ săn mồi thời điểm t tương ứng r,a, b,c,d, số dương  x0        Điều kiện ban đầu:        y 0     , x 0 Trong   C   ,0 , R  , R  x : x  0   max     :     ,0 Hình Quỹ đạo nghiệm mơ hình Lotka – Volterra có chậm đơn Bổ đề: Để xây dựng Lyapunov, ta sử dụng bổ đề sau: Cho 1 (.) 2 (.) hàm vô hướng liên tục khơng âm cho 88 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Số 24, Tháng 11 – 2020 Khi x = ổn định tiệm cận tập S, nghĩa nghiệm S hội tụ đến x = t   Hàm Lyapunov V: Hàm Lyapunov V xác định trong: (1 , 2 )  C ( ,0), R ), i (0)  0,  [ ,  max(1 , )], i  1, V  V (1 , 2 )  V0 (1 (0), 2 (0)) , V1 (1 (0), 2 (0))  V2 (1 , 2 ) Hình Biểu đồ phase mơ hình Lotka – Volterra có chậm đơn Trong hàm vơ hướng V0 , V1 , V2 2.3.2 Mơ hình Lotka – Volterra có chậm kép Mơ hình Lotka – Volterra có chậm kép [2] Ta xét hệ động vật ăn thịt mồi Lotka – Volterra với có chậm 1 ,  R : [0, ) rời xác định sau: V0 (t )  ln(1  u(t )   ln(1  u2 (t )) , V1 (t )  u1  z1   (u2  z2 ), t rạc riêng biệt   x(t )  x(t )[r1  ax(t )  by (t   )]   y (t )  y (t )[  r2  cx(t   )  dy (t )] t 1  A  B a, d số âm, x(t ) , y (t ) mật độ dân số Cu1 ( x( ), y ( ))  (1 ( ), 2 ( ))     [  max( , ), 0]  (0)  0,  (0)   ( s)ds t t  ds  [1  u1 ( )]2u2 (  1 )d s t  (u t s  [1  u (s)] u t  mồi kẻ săn mồi tương ứng Điều kiện ban đầu: ds  [1  u2 ( )]2u12 (   )d  t t Trong đó: r1 , r2 , b, c số dương t  V2 (t )  Cu 1  u42 )ds t ( Du  BD )  [1  u2 ( s)]2u22 ( s)ds t 1  B Trong t  (u t   (1 , 2 )  C([  max(1, ),0], R )  2  u42 )ds Mơ hình: Bổ đề: [2] Để xây dựng hàm Lyapunov, ta sử dụng bổ đề sau: Cho 1 (.)  (.) hàm vô hướng liên tục không âm cho  i (0)  , i  1, 2; lim  ( r )   ,  (r )  r  với r  Cho V : C  R hàm vi phân vô hướng liên tục S tập rỗng C thỏa mãn: V ( )   (  (0) , V ( )   (  (0) Hình Quỹ đạo nghiệm mơ hình Lotka – Volterra có hai chậm trễ 89 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Lê Nguyễn Hạnh Vy tgk KẾT LUẬN Bài viết giải vấn đề tính ổn định hàm Lyapunov, mơ quỹ đạo nghiệm toán Lotka-Vollterra mặt phẳng Phase, sử dụng phần mềm Maple Malab Ngoài ra, cơng cụ ta có hướng nghiên cứu tiếp dùng cơng cụ giải tích hàm để tìm điều kiện tường minh thay phương pháp hàm Lyapunov cho tính ổn định hệ phương trình vi phân có chậm, như: độ đo ma trận, ma trận Metzler Hình Biểu đồ Phase mơ hình Lotka - Volterra có hai chậm trễ TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Y Kuang (1992), Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics [2] Y Tang, E Beretta and F Solimano (2001), Stability analysis of a volterra predator - prey system with two delays, Volume 9, number [3] Y Kuang, E Berrtta (1995), Convergence Results in a Well-Known Delayed Predator-Prey Sytem [4] R Bellman, K L Cooke (1963), Differential – Difference Equation, Academic Press, New York-London [5] J K Hale (1977), Theory of Functiona Differential Equations, Springer-Verlag, New York [6] R D Driver (1963), Existence theory for a delay-differential system, \textit{Contributions to Differential Equations} [7] L E El'sgol'ts S B Norkin (1973), Introduction to the Theory and Application of Differential Equations with Deviating Arguments, Academic Press, New York [8] J K Hale S M Verduyn Lunel (1977), Introduction to Functional Differential Equations, \textit{Applied Mathematical Sciences 99}, Spring-Verlag, New York [9] V Kolmanovskii A Myshkis (1992), Applied Theory of Functional Diffenrential Equations, Kluwer, Dordrecht Ngày nhận bài: 23-6-2020 Ngày biên tập xong: 02-11-2020 Duyệt đăng: 27-11-2020 90 ... x=0 ổn định tiệm cận 2.3 Ứng dụng phương trình vi phân có chậm giải tốn mơ hình phát triển dân số 2.3.1 Mơ hình Lotka – Volterra có chậm đơn Mơ hình Lotka – Volterra có chậm đơn: Xét hệ động vật... đại nhất, có khả ứng dụng nhiều lĩnh vực khác như: Vật lý học, Cơ học, Kinh tế học, Sinh thái học, Hóa học… NỘI DUNG Giới thiệu hàm Lyapunov phương trình vi phân có chậm Ứng dụng vào mơ Trong ... tường minh thay phương pháp hàm Lyapunov cho tính ổn định hệ phương trình vi phân có chậm, như: độ đo ma trận, ma trận Metzler Hình Biểu đồ Phase mơ hình Lotka - Volterra có hai chậm trễ TÀI LIỆU