Ứng dụng phương trình vi phân trong mô hình quần thể sinh vật

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỒNG THỊ THANH LÝ ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG MƠ HÌNH QUẦN THỂ SINH VẬT KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán học Phú Thọ, 2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỒNG THỊ THANH LÝ ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG MƠ HÌNH QUẦN THỂ SINH VẬT KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán học NGƯỜI HƯỚNG DẪN: ThS Nguyễn Xuân Tú Phú Thọ, 2019 i Lời cảm ơn Trong suốt thời gian thực khóa luận tốt nghiệp, cố gắng nỗ lực thân, em nhận giúp đỡ tận tình thầy giáo, giáo khoa Khoa học tự nhiên trường Đại học Hùng Vương Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành, biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo khoa Khoa học tự nhiên, trường Đại học Hùng Vương, đặc biệt thầy giáo ThS Nguyễn Xuân Tú Thầy tận tình hướng dẫn, bảo em q trình thực khóa luận, đồng thời giúp em lĩnh hội kiến thức chuyên môn rèn luyện cho em tác phong thực công việc Mặc dù em cố gắng, khóa luận thực thời gian ngắn kiến thức có hạn nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp q báu thầy bạn sinh viên để khóa luận hồn thiện Cuối em xin chúc thầy giáo, cô giáo sức khỏe, hạnh phúc thành đạt, chúc thầy có nhiều cơng trình nghiên cứu khoa học đóng góp cho nghiệp phát triển trường Chúc trường Đại học Hùng Vương ngày thu hút học sinh kì thi tuyển sinh Đại học Em xin chân thành cảm ơn ! Việt Trì, ngày 10 tháng 04 năm 2019 Người viết khóa luận Sinh viên Hoàng Thị Thanh Lý ii Mục lục Trang MỞ ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phương trình vi phân thường cấp 1.1.1 Bài toán Cauchy 1.1.3 Cách giải 1.2 Phương trình vi phân thường cấp cao 1.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 1.2.2 Phương trình vi phân thường cấp n 17 1.2.3 Nghiệm phương trình vi phân thường cấp n 17 1.3 Hệ phương trình vi phân thường cấp 18 1.3.1 Bài tốn Cauchy với hệ phương trình vi phân 19 1.3.2 Phương pháp Euler giải hệ phương trình tuyến tính với hệ số 19 1.4 Trạng thái dừng hệ phương trình vi phân thường 22 1.5 Một số kiến thức quần thể 24 1.5.1 Một số đặc trưng quần thể 24 1.5.2 Phân bố cá thể không gian nơi quan hệ cá thể loài 28 1.5.3 Tăng trưởng quần thể đặc trưng dân số quần thể 30 1.5.4 Tính biến động quần thể sinh vật 33 1.5.5 Lý thuyết điều chỉnh kích thước quần thể 34 Chương 2: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG MƠ HÌNH QUẦN THỂ SINH VẬT 38 2.1 Mơ hình Lotka – Volterra cổ điển 38 2.2 Ứng dụng phương trình vi phân mơ hình thực tiễn 41 2.3 Phân tích mơ hình Thú – Mồi chu kì tuần hồn 49 2.4 Phân tích tính ổn định mơ hình rệp ăn thịt (rệp Aphidicus zbeckistanicus) 59 KẾT LUẬN 65 iii TÀI LIỆU THAM KHẢO 66 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Trong việc nghiên cứu vấn đề tốn học, lĩnh vực phương trình vi phân khơng cịn vấn đề mẻ, nhiều nhà toán học giới quan tâm nghiên cứu phát triển Nhờ đó, lý thuyết phương trình vi phân trở nên sâu rộng công cụ để giải nhiều toán thực tế đặt Người ta thấy hầu hết quy luật khoa học tự nhiên, ngành kinh tế, vật lí, hóa học, sinh học, phát triển dạng phương trình vi phân Nhờ lý thuyết tốn học người ta mơ tả vận động biến đổi xã hội, kinh tế, mơi trường sinh thái, qua ra, dự đốn đặc tính chúng, chẳng hạn tính ổn định, tuần hồn, phát triển, hay hỗn loạn, Trong sinh thái học, sinh trưởng suy thoái quần thể tự nhiên đấu tranh loài để chiếm ưu so với loài khác chủ đề quan tâm từ lâu Việc dùng khái niệm toán học để giải thích tượng ghi chép lại từ hàng kỉ trước Trong số người sáng lập nên mơ hình tốn quần thể phải kể đến Malthus (1798), Pearl Reed (1908), Verhulst (1838), sau Lotka – Volterra với tác phẩm xuất vào khoảng năm 1925 Với mong muốn tìm hiểu sâu ứng dụng phương trình vi phân thường vào mơ hình tốn sinh học, nhờ định hướng ThS Nguyễn Xuân Tú tơi chọn nghiên cứu đề tài: “Ứng dụng phương trình vi phân mơ hình quần thể sinh vật” làm khóa luận tốt nghiệp Mục tiêu khóa luận - Trình bày số kiến thức phương trình vi phân thường - Giới thiệu trình bày cách thiết lập mơ hình tốn học quần thể tương tác sinh thái học - Nghiên cứu ổn định, không ổn định mô hình quần thể thơng qua mơ hình cụ thể Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân thường vào sinh thái học - Tìm hiểu tính ổn định, khơng ổn định mơ hình tốn học sinh thái học Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức sở cần thiết, kết phương trình vi phân thường, mơ hình tốn học sinh thái học - Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo nước nước liên quan đến phương trình vi phân thường, ứng dụng tốn học vào sinh thái học Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu giáo trình, tài liệu báo liên quan đến phương trình vi phân thường, ứng dụng toán học vào sinh thái học - Tổng hợp, phân tích, hệ thống khái niệm, tính chất - Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn Hệ thống số kiến thức phương trình vi phân thường, giới thiệu trình bày cách thiết lập mơ hình tốn học, quần thể tương tác sinh thái học nghiên cứu ổn định, không ổn định mơ hình quần thể thơng qua mơ hình cụ thể Từ nghiên cứu ứng dụng phương trình vi phân mơ hình quần thể sinh vật Bố cục khóa luận Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình vi phân thường cấp 1.2 Phương trình vi phân thường cấp cao 1.3 Hệ phương trình vi phân thường cấp 1.4 Trạng thái dừng hệ phương trình vi phân thường 1.5 Một số kiến thức quần thể Chương Ứng dụng phương trình vi phân mơ hình quần thể sinh vật 2.1 Mơ hình Lotka – Volterra cổ điển 2.2 Ứng dụng phương trình vi phân mơ hình thực tiễn 2.3 Phân tích mơ hình Thú – Mồi chu kì tuần hồn 2.4 Phân tích tính ổn định mơ hình rệp ăn thịt (rệp Aphidicus zbeckistanicus) Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phương trình vi phân thường cấp Định nghĩa 1.1: Phương trình vi phân cấp có dạng tổng quát: F ( x, y, y ')  hàm F xác định miền D  (1.1.1) Nếu miền D, từ phương trình (1.1.1) ta giải y ' : y '  f ( x, y) (1.1.2) ta phương trình vi phân cấp giải đạo hàm Hàm y   ( x) xác định khả vi khoảng I  (a, b) gọi nghiệm phương trình (1.1.1) nếu: a, ( x, ( x), '( x))  D với x   a, b  b, F ( x, ( x), '( x))  I Ví dụ 1.1: Phương trình dy  2y dx có nghiệm hàm y  c.e x xác định khoảng (; ) (c số) Chú ý: Nhiều người ta viết phương trình giải đạo hàm dạng đối xứng sau: M ( x, y)dx  N ( x, y )dy  (1.1.3) Chúng ta dễ dàng thấy tương đương cách viết (1.1.2) (1.1.3) 1.1.1 Bài tốn Cauchy Qua ví dụ 1.1 ta thấy nghiệm phương trình vi phân cấp vơ số Tập hợp nghiệm phương trình vi phân cấp phụ thuộc vào số tùy ý c Trong thực tế người ta thường quan tâm đến nghiệm phương trình vi phân cấp thỏa mãn điều kiện Chẳng hạn tìm nghiệm y ( x) phương trình (1.1.1) (1.1.2) thỏa mãn điều kiện: y ( x0 )  y0 (1.1.4) x0 , y0 số cho trước Điều kiện (1.1.4) gọi điều kiện ban đầu Bài tốn tìm nghiệm phương trình (1.1.1) (1.1.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.1.4) gọi toán Cauchy - Sự tồn nghiệm tốn Cauchy Xét phương trình: y '  f ( x, y) (1.1.5) a) Điều kiện Lipschitz Định nghĩa 1.2: Cho hàm f ( x, y) xác định miền D  Ta nói f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y D tồn số dương L (gọi số Lipschitz) cho: | f ( x, y1 )  f(x, y ) | L | y1  y2 | với ( x, y1 ),(x, y )  D b) Định lý tồn nghiệm Giả sử hàm f thỏa mãn điều kiện sau đây: a) f liên tục miền D; b) f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo D  {( x, y)  y hình chữ nhật :| x  x0 | a,| y  y0 | b} Khi ứng với điểm ( x0 , y0 )  D tồn nghiệm y  y ( x) phương trình (1.1.5) thỏa mãn điều kiện ban đầu y ( x0 )  y0 Nghiệm xác định đoạn [x0  h, x0  h] , h  min(a, M  max | f ( x, y) | ( x , y )D 1.1.2 Nghiệm phương trình vi phân cấp Xét phương trình: F ( x, y, y ')  (1.1.6) b ) M 52 + Xét   , ta có:    1 a au*  0 u*  d (u *  d )2 a(u *  d )  au * 1 0 (u *  d )2 1 ad  (u  d )2 * Vậy ta có   với a  0, b  0, d  + Xét   , ta có:  au *  au*u*  0 u  *   b   u*  b,  * * u d u d  (u  d )  * au*u* au*v* Vì u  v  *  *  u* (1  u* ) u d u d * * (theo (2.3.4)) *  *  1 u  u (1  u ) * b u  *  1  b u d u d  * *  2u  d u  b u*  d * * (1  a  d )  1  a  d   4d    vào phương trình ta được: Thay u*  2  2    (1  a  d )  1  a  d   4d      1  a  d   (1  a  d )  Đặt 1  a  d  2  2     (1  a  d )  1  a  d   4d   d b     (1  a  d )  1  a  d   4d       d        4d  1  a  d   4d  a  d  1  a  d   4d a  4d  C Phương trình tương đương:  (a  C ) 1  a  d  C 1  a  d  C   b 1  a  d  C 1  a  d  C   b 53 1  a    d  C  1  a    d  C   a  C   b 2  a  d  (1  a  d )  d    a  C  1  a   1  C  2 4ad   a  C  1 a  d  C  b, 2a Thay C  1  a  d  b  4d vào biểu thức trên, suy ra: 1  a  d  (1  a  d )  4d   b   a  (1  a  d )  4d     2a (2.3.10) Ta xét a, b d số dương  a  d  (1  a  d )2  4d Ta thấy A  hàm đơn điệu giảm theo d 2a hàm dương Và B  a  (1  a  d )  4d hàm đơn điệu giảm theo d hàm đạt cực đại d  Do đó, với d  từ (2.3.10), ta có: b  2a    b   a  Và với  a   a 1 1 a với d  điều kiện ổn định (2.3.9) thỏa mãn với b  Tức là, trạng thái dừng u* , v* ổn định tuyến tính với  a  , b  d  Trường hợp 2: Có giá trị riêng dương giá trị riêng âm: 1  0, 2  1  0, 2  , trạng thái dừng (u* , v* ) điểm nút yên ngựa trạng thái khơng ổn định Khi đó,        1  cịn      2  Như vậy, trường hợp ta cần điều kiện:   54 + Xét   :    1 1 a au*  0 u*  d (u*  d )2 a(u*  d )  au* 0 (u*  d )2 1 ad  (điều vơ lí) (u*  d )2 Vậy trạng thái dừng khơng có điểm nút yên ngựa Trường hợp 3: Hai giá trị riêng dương: 1  0, 2  Khi trạng thái dừng  u * , v*  không ổn định nút Vậy: 1        2  (2.3.11) Ta có:  au*   0 u  *  b  (u  d )  a au*    1 *   u  d (u*  d )2 * +) Ta có   với a  0, b  0, d  +) Xét   , ta có:   au * au*u*   b   u*  b,  * * * u d u d  (u  d )     u*  au*u* au*v* Vì u  v  *  *  u* (1  u* ) u d u d * * (theo (2.3.4)) *  *  1 u  u (1  u ) * b u  *  1  b u d u d   2u *  d  u*  b u*  d * * (1  a  d )  1  a  d   4d    vào phương trình ta được: Thay u*  2 55  2  (1  a  d )  1  a  d   4d      1  a  d   (1  a  d )  Đặt 1  a  d   (a  C ) 2  2   (1  a  d )  1  a  d   4d   d b     (1  a  d )  1  a  d   4d       d        4d  1  a  d   4d  a  d  1  a  d   4d a  b,  4d  C 1  a  d  C 1  a  d  C   b 1  a  d  C 1  a  d  C  1  a    d  C  1  a    d  C   a  C   b 2 1  a  d   (1  a  d )  4d  a  C  1  a   1  C  2 4ad   a  C  1 a  d  C  b 2a Thay C  1  a  d  b  4d vào biểu thức trên, suy ra: 1  a  d  (1  a  d )  4d   b   a  (1  a  d )  4d     2a (2.3.12)  a  d  (1  a  d )2  4d Xét: A  Ta thấy A hàm đơn điệu giảm theo 2a d hàm dương Xét: B  a  (1  a  d )  4d ta có B hàm đơn điệu giảm theo d hàm đạt cực đại d  Do đó, với d  từ (2.3.12), ta có: b  2a    b  a  khi  a 1 a 1 56 Vậy a  tồn miền (a, b, d ) - không gian với b  d  (2.3.12) thỏa mãn, điều suy trạng thái dừng u* , v* khơng ổn định với nhiễu nhỏ Hình 2.3 minh họa miền ổn định, không ổn định (a, b, d ) khơng gian Theo hình 2.3: Các miền tham số tính ổn định trạng thái dừng dương mơ hình thú săn mồi – mồi (2.3.3) Khi phần thực Re   trạng thái dừng ổn định hai giá trị  thực (2.3.8), trường hợp có điểm kì dị u* , v* (2.3.4) định nút (node stable) theo không gian pha u, v (2.3.3)  phức điểm kì dị ổn định xoắn ốc (stable spiral) Khi tham số Re   điểm kì dị khơng ổn định nút khơng ổn định xoắn ốc Trong trường hợp ta phải xác định không tồn tập bị hạn chế, miền bị chặn mặt phẳng pha (u, v) , hay nói cách khác, ta phải tìm đường cong biên đơn đóng góc phần tư dương mặt phẳng (u, v) cho đường cong quỹ đạo pha ln vào miền bao quanh Tức là, n vectơ pháp tuyến biên này, ta cần: 57  du dv  n. ,    d d  với điểm biên Nếu bất đẳng thức điểm biên  du dv  điều có nghĩa vectơ vận tốc  ,  vào bên Điều  d d  hiểu khơng có quỹ đạo nghiệm lại miền có quỹ đạo bên trong, đạt biên vectơ vận tốc vào miền quỹ đạo di chuyển quay trở lại miền Để tìm tập hạn chế, ta cần luôn phải vẽ đường không hệ, tức đường cong mặt phẳng pha, du dv   Từ d d (2.3.3), tồn đường cong f (u, v)  g (u, v)  minh họa hình 2.4 Hình 2.4: Các đường không f (u, v)  0, g (u, v)  hệ (2.3.3), lưu ý dấu f g nằm hai bên đường thẳng không chúng ABCDEA biên tập giới hạn quanh (u * , v* ) mà quỹ đạo  du dv  vào trong, tức n. ,   , n vectơ pháp tuyến  d d  đơn vị biên ABCDEA 58 Dấu vectơ thành phần ( f (u, v), g (u, v)) hướng vectơ  du dv   ,  hướng quỹ đạo (u, v) Do vậy, f   d d  miền du  u tăng Trên DE, EA, AB BC quỹ đạo vào d bên dấu f (u, v) g (u, v) chúng Ta  du dv  đường DC tồn cho đường thẳng n. ,   , tức  d d  ( f (u, v), g (u, v))  n vectơ đơn vị vng góc với DC Bây ta xét trường hợp  u * , v*  không ổn định Do nghiệm quỹ đạo tiến tới chu trình giới hạn tham số a, b d nằm miền khơng ổn định hình 2.3(c) Vì quỹ đạo khỏi trạng thái dừng khơng ổn định (u * , v* ) vượt qua biên giới hạn ABCDEA , quỹ đạo trở thành quỹ đạo chu trình giới hạn kín thế, Hình 2.5: (a) Quỹ đạo nghiệm chu trình giới hạn điển hình cho hệ Thú – Mồi (2.3.3) (b) Dáng điệu chu trình tương ứng quần thể mồi (u ) thú săn mồi (v ) Các giá trị tham số: a  1, b  5, d  1.2 mà cho ta trạng thái dừng u*  v*  0.36 Các mối liên hệ (2.3.2) liên quan thứ nguyên tham số thứ nguyên 59 Với hình 2.5(b) cho thấy biến đổi theo thời gian Với giá trị tham số cụ thể sử dụng hình 2.5, trạng thái dừng nút không ổn định mặt phẳng pha, nghĩa hai giá trị riêng thực dương Bất kì nhiễu chu trình giới hạn phân rã nhanh Hệ mơ hình giống hầu hết mơ hình khác, chấp nhận dáng điệu chu trình giới hạn có tính chất phân nhánh tham số khác 2.4 Phân tích tính ổn định mơ hình rệp ăn thịt (rệp Aphidicus zbeckistanicus) Để hiểu sâu tính ổn định hệ phương trình (2.1.1), phần khảo sát thay đổi nhỏ Cụ thể hệ: AN  dN    N r  P   2  dt N B      dP  P  s   h P     N   dt    (2.4.1) r, s, A, B h số dương N (t ) quần thể mồi P(t ) động vật ăn thịt thời điểm t Để phân tích mơ hình này, ta viết lại mơ hình cách đặt: u ( )  N (t ), v( )  hP(t ),   rt , a  A s , d  B, b  hr r (2.4.2) Và (2.4.1) trở thành:  du uv    u 1  a   f (u, v)   d u  d2     dv  bv(1  v )  g (u, v),  u  d (2.4.3) hệ có ba tham số a, b d Ta rút gọn tham số hệ cách nhóm tham số theo cách Các tham số thường cho ta độ đo tương đối tác động tham số cũ hệ Các trạng thái dừng hay cân quần thể u* , v* nghiệm hệ: 60 du dv  0, 0 d d Tức là: f (u* , v* )  0, g (u* , v* )  Từ phương trình ta có:  u *v*  u * 1  a *  0,  ( u )  d    v*  bv* 1  *    u  (2.4.4) Ở ta xét nghiệm dương, cụ thể nghiệm dương hệ: u*v* u  v ,  a * 0 (u )  d * * Từ đó, ta có: u*  d , v*  u * , a 1 (2.4.5) Ta quan tâm đến tính ổn định trạng thái dừng, điểm kì dị mặt phẳng pha (2.4.3) Việc nghiên cứu tính ổn định tuyến tính trạng thái dừng tương đương với nghiên cứu mặt phẳng pha Với tính tuyến tính, ta viết: x( )  u ( )  u* , y( )  v( )  v* (2.4.6) Và thay vào (2.4.3), phần tuyến tính xuất với x y nhỏ, sử dụng (2.4.4) ta có:  dx   d  x    A   y  dy     d   f  u A  g   u f   (u* )2  d  *   a(u ) v    (u* )2  d   g   * *  b v u ,v  Ta có giá trị riêng  xác định bởi: A  I  (u* )   (u* )2  d   b  (2.4.7) 61 Hay:  (u )  d    a(u )  (u )  d  * 2 (u * ) (u * )  d  * * 2 b   b   *  au *  d  (u * )2   (u * )  d   b ( u ) *     a(u )  b  *  1  0,  * 2 * 2   ( u )  d ( u )  d    (u )  d     (u )  d   b   , b(u ) Đặt: a(u ) (u )  d  (u )  d  * 2 * * * 2 *  au *  d  (u * )    1    * 2  (u )  d  Phương trình trở thành:       (2.4.8) Đặt     4 Giải phương trình (2.4.8) ta có: 1    , 2    Tùy thuộc vào dấu 1 , 2 phương trình đặc trưng ta có trường hợp sau: Trường hợp 1: Hai giá trị riêng 1  0, 2  , trạng thái dừng  u * , v*  ổn định nút 1     Vậy:  2    Ta có:  (u * )2  d     a(u )  *  b, 2  (u )  d  * * b(u * )  au  d  (u )    0 *   1  (u )  d  (u * )  d   * + Xét   , ta có:  (u * )  d  a (u * )3  * b 2 ( u )  d   (2.4.9) 62 Thay u*  d vào phương trình trên, ta được: a 1 d2  d2   2d  ad   a  1  ad d3 a  b  a b  2   ad a  a     a  1 a   d 2    a 1  d    d3  (2  a)  b a 1 (2.4.10) Vậy   với a  b thỏa mãn (2.4.10) + Xét   , ta có: * * au*  d  (u* )2  b(u* )  au  d  (u )    0 *   1     0, * 2 (u )  d  (u * )  d ( u )  d    Thay u*  d vào phương trình ta được: a 1  d   d   a  d      a     a     d    d  a 1  1   d  a  2 a 1   (2.4.11) Với   a  1, d  số a, d thỏa mãn (2.4.11) Vậy với a  a, b, d số dương thỏa mãn (2.4.10) (2.4.11) trạng thái dừng  u * , v*  ổn định nút Trường hợp 2: Có giá trị riêng dương giá trị riêng âm: 1  0, 2  1  0, 2  , trạng thái dừng (u* , v* ) điểm nút yên ngựa trạng thái khơng ổn định Khi đó,        1       2  Như vậy, trường hợp ta cần điều kiện:   + Xét   , ta có: 63 * * au*  d  (u* )2  b(u * )  au  d  (u )    0 *   1     0, * 2 (u )  d  (u * )  d ( u )  d   Thay u*  d vào phương trình ta được: a 1  d   d   a  d      a     a     d    d  a 1  1  d  a  2 a 1   (2.4.12) Vậy với a  1, d  số a, d thỏa mãn (2.4.12) trạng thái dừng khơng ổn định với nhiễu nhỏ Trường hợp 3: Hai giá trị riêng dương: 1  0, 2  Khi trạng thái dừng  u * , v*  không ổn định nút 1     Vậy:    2  Ta có:  (u* )2  d     a(u )  *  b, 2 ( u )  d   * * b(u * )  au  d  (u )    0 *   1  (u )  d  (u* )  d   * (2.4.13))  (u * )  d   b, + Xét   , ta có: a (u )  * 2 ( u )  d   * Thay u*  d vào phương trình trên, ta được: a 1 d2  d2   2d  ad   a  1  ad d3 a  b  a b  2   ad a  a     a  1 a   d 2    a 1  d    64 d3  (2  a)  b a 1 (2.4.14) +) Xét   , ta có: * * au*  d  (u* )2  b(u* )  au  d  (u )    0 *   1     0, * 2 (u )  d  (u * )  d ( u )  d    Thay u*  d vào phương trình ta được: a 1  d   d   a  d      a     a     d    d  a 1  1   d  a  2 a 1   (2.4.15) Vậy a  , a, b, d số dương thỏa mãn (2.4.14) (2.4.15) tồn miền (a, b, d ) - khơng gian (2.4.13) thỏa mãn, điều suy trạng thái dừng (u * , v* ) không ổn định với nhiễu nhỏ Tiểu kết: Trong chương này, phần đầu chương trình bày mơ hình thú mồi từ dạng đơn giản đến dạng phức tạp mơ hình thú mồi thực tiễn Tiếp theo phân tích mơ hình chu kì tuần hồn phần cuối chương phân tích mơ hình thú mồi cách chi tiết 65 KẾT LUẬN Khóa luận trình bày hệ thống lại số kiến thức phương trình vi phân thường, hệ phương trình vi phân, số kiến thức quần thể, giới thiệu mô hình tốn học sinh thái học Nội dung khóa luận nghiên cứu ứng dụng phương trình vi phân mơ hình quần thể sinh vật Khóa luận trình bày chi tiết mơ hình thơng qua việc xét tính ổn định nghiệm phương trình vi phân 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Cung Thế Anh (2015), Cơ sở lí thuyết phương trình vi phân, NXB Đại học Sư Phạm [2] Nguyễn Thế Hồn, Phạm Thu (2014), Cơ sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định, NXB Giáo dục Việt Nam [3] Nguyễn Xuân Huấn (2003), Sinh thái học quần thể, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [5] J.D.Murray (2002), Mathematical biology I: An introduction, Interdisciplinary Applied Mathematical, Vol 17, Third edition, Springer ... thước quần thể 34 Chương 2: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG MƠ HÌNH QUẦN THỂ SINH VẬT 38 2.1 Mơ hình Lotka – Volterra cổ điển 38 2.2 Ứng dụng phương trình vi phân mơ hình. .. quần thể Chương Ứng dụng phương trình vi phân mơ hình quần thể sinh vật 2.1 Mơ hình Lotka – Volterra cổ điển 2.2 Ứng dụng phương trình vi phân mơ hình thực tiễn 2.3 Phân tích mơ hình Thú – Mồi... mơ hình tốn học, quần thể tương tác sinh thái học nghiên cứu ổn định, khơng ổn định mơ hình quần thể thơng qua mơ hình cụ thể Từ nghiên cứu ứng dụng phương trình vi phân mơ hình quần thể sinh vật