Phương pháp wavelet galerkin trong việc giải quyết phương trình vi phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ∗∗∗∗∗∗⋄⋄⋄∗∗∗∗∗∗ VÕ TÔN ANH PHƯƠNG PHÁP WAVELET GALERKIN TRONG VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 Cán hướng dẫn khoa học: TS LÊ THỊ NHƯ BÍCH Huế, năm 2016 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi, số liệu kết nghiên cứu Luận văn trung thực Võ Tôn Anh ii Lời cảm ơn Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến TS Lê Thị Như Bích, người hướng dẫn, giúp đỡ tơi hồn thành Luận văn này, thời gian giảng dạy lớp Cao học Tốn Giải tích khóa XXIII Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn quý thầy, cô nhiệt tâm giảng dạy suốt thời gian học khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Huế Cuối cùng, xin cảm ơn anh, chị học viên Cao học khóa XXIII giúp đỡ, ủng hộ tơi q trình học tập thực Luận văn này! Võ Tôn Anh iii Mục lục Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Danh sách hình vẽ Danh mục ký hiệu Lời nói đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Phân tích đa phân giải 1.2 Cơ sở wavelet trực chuẩn 10 1.3 Hàm tỷ lệ Daubechies 11 1.4 Hệ số liên kết 16 1.5 Tích chập rời rạc [6] 18 Chương Phương pháp wavelet Galerkin việc giải phương trình vi phân 2.1 2.2 20 Giải phương trình vi phân thường 20 2.1.1 Phương pháp wavelet Galerkin hàm biến [4] 20 2.1.2 Nghiệm wavelet Galerkin tốn tuần hồn [2] 21 2.1.3 Nghiệm wavelet Galerkin với cách tiếp cận biên mở rộng [2] 24 2.1.4 Nghiệm wavelet Galerkin với hàm Green [2] 26 Giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính [5] 28 2.2.1 Phương pháp wavelet Galerkin hàm hai biến 28 2.2.2 Nghiệm wavelet Galerkin tốn tuần hồn 29 2.2.3 Nghiệm wavelet Galerkin với điều kiện biên 32 Chương Áp dụng phương pháp wavelet Galerkin để giải số toán cụ thể 35 3.1 Phương trình sóng 35 3.2 Phương trình nhiệt 39 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 Phụ lục P1 Danh sách hình vẽ 1.1 Hàm tỷ lệ wavelet Daubechies cấp 16 1.2 Hàm tỷ lệ wavelet Daubechies cấp 16 3.1 Đồ thị nghiệm xác nghiệm xấp xỉ phương trình sóng với N = 6, j = 38 3.2 Đánh giá sai số với N = 6, j = 38 3.3 Đồ thị nghiệm xác nghiệm xấp xỉ phương trình sóng với N = 12, j = 12 38 3.4 Đánh giá sai số với N = 12, j = 12 39 3.5 Đồ thị nghiệm xác nghiệm xấp xỉ phương trình nhiệt với N = 6, j = 41 3.6 Đánh giá sai số với N = 6, j = 41 Danh mục ký hiệu C, R, Z, N tập hợp số phức, số thực, số nguyên, số tự nhiên Rn khơng gian Euclide n–chiều X ∗Y tích chập rời rạc hai vectơ X Y f, g tích vô hướng hai hàm f g ∂S biên tập S δi,j ký hiệu Kronecker AT ma trận chuyển vị ma trận A F ⊗G tích ten-xơ hai tập F G L2 (X) không gian hàm bình phương khả tích X ℓ2 khơng gian dãy số bình phương khả tổng V ⊕W tổng trực giao V W V ⊥W hai không gian V W trực giao với f, X biến đổi Fourier hàm f , vectơ X φ, ψ hàm sinh MRA, hàm wavelet φ L , ψL hàm tỷ lệ, hàm wavelet Daubechies cấp L (h(m))m∈Z , H(z) mặt nạ, biểu tượng hàm tỷ lệ HL(z) hàm lọc Daubechies cấp L Ωkd11 ,d ,k2 , Ωl−k , Ωl−k hệ số liên kết Lời nói đầu Trong thực tế, nhiều tốn vật lý, kỹ thuật thường dẫn đến việc giải phương trình vi phân, mà việc chứng minh tồn nghiệm biểu diễn tường minh nghiệm phương trình theo cơng cụ Giải tích túy áp dụng số tốn Thực tế đặt nhiều toán mà việc biểu diễn tường minh nghiệm phương trình khơng thể phức tạp, không cần thiết Khi ta tìm nghiệm gần (nghiệm số - numerical solution) phương trình điều kiện sai số cho phép dựa phương pháp số (numerical methods) Các phương pháp số thường dùng để giải phương trình vi phân phương pháp sai phân hữu hạn (FDM), phương pháp thể tích hữu hạn (FVM), phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), phương pháp đặc trưng phương pháp wavelet Trong phương pháp này, phương pháp wavelet kết hợp phương pháp FDM, FVM FEM nên có nhiều ưu điểm vượt trội việc giải xấp xỉ phương trình vi phân Lý thuyết wavelet đặt móng từ năm 1807, Fourier phát triển phương pháp thay tín hiệu chuỗi hệ số dựa hàm giải tích, sau A Haar, J Morlet, A Grossmann, sau S Mallat Y Meyer phát triển lên Khoảng năm 1998, I Daubechies sử dụng phân tích đa phân giải wavelet để tạo họ wavelet Daubechies có giá compact, trực giao, quy liên tục Các hàm wavelet Daubechies hàm sở phương pháp wavelet Galerkin mà ta tìm hiểu đề tài Xét tốn biên Dirichlet Lu := u′′ (x) + a1 (x)u′ (x) + a2 (x)u(x) = f (x), x ∈ [0, 1], u(0) = a, u(1) = b, a1 , a2 f liên tục [0, 1] (0.1) Trong không gian Hilbert L2 ([0, 1]), ta có tích vơ hướng f, g = f (x)g(x)dx, f, g ∈ L2 ([0, 1]) Giả sử {vi , i ∈ I} hệ trực giao đầy đủ L2 ([0, 1]) cho vi thuộc lớp C [0, 1] vi (0) = a, vi (1) = b Chọn tập hữu hạn Λ số i, ta đặt S = {vi , i ∈ Λ} uS = i∈Λ αi vi ∈ S Giả sử uS nghiệm phương trình (0.1), nghĩa LuS = f , suy LuS , vi = f, vi ∀i ∈ Λ, từ dẫn đến việc giải hệ phương trình tuyến tính ẩn αk Với tập Λ vậy, ta có nghiệm xấp xỉ uS S Bằng cách tăng tập số lên, ta nghiệm uS hội tụ nghiệm u xác phương trình (0.1) Đó ý tưởng phương pháp Galerkin Các hàm vi , i ∈ Λ, gọi hàm thử Trong phương pháp wavelet Galerkin, ta thay hàm Daubechies cho hàm thử Nhờ có liên kết hệ số hàm Daubechies mà nghiệm số phương trình tìm nhanh chóng Việc tổng hợp lại kết nghiên cứu phương pháp wavelet Galerkin việc giải phương trình vi phân giúp hiểu rõ nó, lý thuyết wavelet ứng dụng thực tế Xuất phát từ lý trên, lựa chọn đề tài “Phương pháp wavelet Galerkin việc giải phương trình vi phân” để nghiên cứu luận văn Luận văn trình bày ba chương Chương trình bày kiến thức sở để xây dựng phương pháp wavelet Galerkin, bao gồm phân tích đa phân giải, sở wavelet trực chuẩn, hàm tỷ lệ Daubechies, hệ số liên kết tích chập rời rạc Các kết chương chủ yếu dựa tài liệu [1] [6] Chương trình bày nội dung Luận văn, việc áp dụng phương pháp wavelet Galerkin việc giải phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng tuyến tính dạng nghiệm wavelet Galerkin dựa tài liệu [2], [4], [5] Chương đưa số ví dụ cụ thể nhằm minh họa kết chương Mặc dù có nhiều cố gắng, song q trình nghiên cứu trình bày khơng thể tránh khỏi sai sót, mong q độc giả góp ý thêm để Luận văn hồn thiện Trước hết, ta chọn hàm tỷ lệ Daubechies: N −1 φ(x) = k=0 ak φ(2x − k) phân giải thứ j để biểu diễn nghiệm xấp xỉ: 2j 2j u(x) = k=1−N ck 2j/2 φ(2j x − k) = k=1−N Ck φ(X − k), Ck hệ số cần tìm Chú ý supp φ = [0, N − 1] φ(0) = φ(N − 1) = Tiếp theo, thay biểu diễn u vào phương trình ban đầu, sau nhân vơ hướng hai vế phương trình với φ(X − l), ta 2j 2j Ck Ωl−k + αCl = k=1−N Cho l = − N, − N, , 2j , ta hệ phương trình với ẩn Ck (3.2) T C = 0,  λ Ω−1 Ω−2   λ Ω−1  Ω1    Ω2 Ω1 λ    2j  T =2  ΩN −2 ΩN −3 ΩN −4    ΩN −2 ΩN −3     0 Ω2−N Ω3−N Ω2−N Ω4−N Ω3−N λ Ω−1 λ Ω1 Ω1 λ = Ω0 + 2−2j α,    0                 λ , (2j +N )×(2j +N ) C = (C1−N , C2−N , , C2j )T1×(2j +N ) Ta viết lại điều kiện Dirichlet ban đầu toán sau: 2j = u(0) = −1 Ck φ(−k) = k=1−N Ck φ(−k), k=2−N 36 (3.3) 2j −1 2j Ck φ(2j − k), j = u(1) = k=1−N Ck φ(2 − k) = k=2j −N +2 (3.4) sau thay Ck φ(−k) vào cột thứ k dòng ma trận T Ck φ(2j − k) vào cột thứ k dòng cuối ma trận T Tương ứng, ta thay giá trị vào tọa độ ma trận cột vế phải (3.2), ta thu hệ phương trình T TC = 0 (3.5) Ở đây, hệ số liên kết tính theo cơng thức Ωl−k = N −1+2j 2j 1−N 2j φ′′ (y − k)φ(y − l)dy Trước giải hệ phương trình (3.5) để xác định Ck , ta cần tìm giá trị φ(k), k = 1, 2, N − Chúng ta sử dụng tính chất N −1 φ(x) = k=0 ak φ(2x − k), suy AΦ = Φ, với  a a   a3 a2 a1   a5 a4 a3 A=     0 0  0    φ(1)         φ(2)         φ(3)        , Φ =             aN −4 φ(N − 3)    aN −2 φ(N − 2) aN −3 aN −1 Do ta dễ dàng tìm φ(k), k = 1, 2, , N − với Φ vectơ riêng ma trận A ứng với giá trị riêng Như vậy, sau tìm φ(k), k = 1, 2, , N − 2, Ωl , l = − N, − N, , N − 2, ta tìm hệ số Cm , m = − N, − N, , 2j , ta biểu diễn xấp xỉ u(x) Bằng phần mềm tính tốn, ta tính u(x) với x ∈ [0, 1] đánh giá sai số nghiệm xấp xỉ nghiệm xác Bây giờ, ta chọn α = 900 để giải toán (3.1) Nghiệm xấp xỉ nghiệm xác phương trình thể đồ thị 37 1.5 u wavelet u chinhxac u(x) 0.5 -0.5 -1 -1.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 x Hình 3.1: Đồ thị nghiệm xác nghiệm xấp xỉ phương trình sóng với N = 6, j = 0.1 0.09 0.08 |uwavelet - u chinhxac | 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 x Hình 3.2: Đánh giá sai số với N = 6, j = 1.5 u wavelet u chinhxac u(x) 0.5 -0.5 -1 -1.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 x Hình 3.3: Đồ thị nghiệm xác nghiệm xấp xỉ phương trình sóng với N = 12, j = 12 38 × 10 -7 1.8 1.6 |uwavelet - u chinhxac | 1.4 1.2 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 x Hình 3.4: Đánh giá sai số với N = 12, j = 12 3.2 Phương trình nhiệt Xét tốn phương trình nhiệt ut = c2 uxx , (x, t) ∈ [0, 1] × [0, 1], c > 0, (3.6) u(0, t) = u(1, t) = 0, u(x, 0) = sin(πx) Việc tìm nghiệm tốn (3.6) dạng tách biến tham khảo [7] Ở đây, nghiệm xác tốn u(x, t) = sin(πx)e−c 2 π t Ta biểu diễn nghiệm xấp xỉ sau: u = 2j k=1−N 2j l=1−N = 2j k=1−N 2j l=1−N 2m ck,l φ(2m x − k)φ(2m t − l) Ck,l φ(X − k)φ(T − l), X = 2m x, T = 2m t Ck,l hệ số cần tìm Tiếp theo, thay biểu diễn u vào phương trình ban đầu toán, ta 2j 2j 2j ′ m k=1−N l=1−N 2j 2m Ck,l φ(X − k)φ (T − l) = c 39 k=1−N l=1−N Ck,l φ′′ (X − k)φ(T − l) (3.7) Nhân vô hướng hai vế (3.7) với φ(X − p), φ(T − q), p, q = − N, − N, , 2j : 2j 2j Cp,l Ωq−l = c2 22m 2m k=1−N l=1−N Ωq−l = N −1+2j 2j 1−N 2j Ck,q Ωp−k , φ′ (y − l)φ(y − q)dy Ωp−k = N −1+2j 2j 1−N 2j φ′′ (y − k)φ(y − p)dy Đặt C = (Ck,l )(2j +N )×(2j +N ) ,  Ω0 Ω−1 Ω−2   Ω0 Ω−1  Ω1   Ω1 Ω0  Ω2    T = 2m   ΩN −2 ΩN −3 ΩN −4    ΩN −2 ΩN −3      Ω2−N Ω3−N Ω2−N Ω4−N Ω3−N Ω0 Ω−1 Ω−2   Ω0 Ω−1  Ω1    Ω2 Ω1 Ω0    T = c2 22m   ΩN −2 ΩN −3 ΩN −4    ΩN −2 ΩN −3     0 Ω0 Ω−1 Ω0 Ω1 Ω1 Ω2−N Ω3−N Ω2−N Ω4−N Ω3−N Ω0 Ω−1 Ω0 Ω1 Ω1    0                 Ω0 , (2j +N )×(2j +N )    0                 Ω0 , (2j +N )×(2j +N ) suy hệ phương trình tuyến tính có ẩn Ck,l có dạng T CT = T C Giải hệ phương trình (3.8) ta Ck,l cần tìm 40 (3.8) Ta chọn c = π × 10−5 , N = 6, j = 6, đồ thị nghiệm xác nghiệm xấp xỉ đưa hình vẽ u wavelet u chinhxac 0.8 u(x,t) 0.6 0.4 0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 x Hình 3.5: Đồ thị nghiệm xác nghiệm xấp xỉ phương trình nhiệt với N = 6, j = 6 × 10 -3 |uwavelet - u chinhxac | 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 x Hình 3.6: Đánh giá sai số với N = 6, j = 41 0.8 0.9 Kết luận Luận văn gồm ba phần: mở đầu, nội dung kết luận Phần nội dung trình bày ba chương Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị để xây dựng phương pháp wavelet Galerkin Nội dung Luận văn nằm chương 2, đề cập đến việc sử dụng phương pháp wavelet Galerkin để giải xấp xỉ phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Chương đưa bước giải số phương trình cụ thể minh họa kết thu chương trình tính tốn MATLAB Luận văn hồn thành mục tiêu đề ra, góp phần nhỏ việc làm rõ lý thuyết wavelet phương pháp wavelet Galerkin Trong trình trình bày Luận văn, khó tránh khỏi lỗi tả ý diễn đạt, tác giả mong ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn đọc Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô bạn góp ý quan tâm đến Luận văn này! 42 Tài liệu tham khảo [1] D Hong, R Gardner, J Wang (2005), Real Analysis with an Introduction to Wavelets, Elsevier Academic Press [2] V Mishra, Sabina (2011), Wavelet Galerkin solutions of Ordinary Differential Equations, Int Journal of Math Analysis, Vol 5, No 9, 407-424 [3] M Mehra (2009), Wavelets and Differential Equations – A short review, Indian Institute of Technology, New Delhi, India [4] Venkhat V, K Kumar, Solving Differential Equations using Wavelets [5] Sabina, V Mishra (2012), Wavelet-Galerkin Solutions of One and Two Dimensional Partial Differential Equations, Journal of Emerging Trends in Computing and Information Sciences, Vol 3, No 10, 1373-1378 [6] http://www.math.vt.edu/people/russell/m2k_opm_dfour3.pdf [7] https://www.math.ubc.ca/~feldman/m267/heatSln.pdf 43 Phụ lục Hệ số Daubechies function c = daub_coefficients(N) %2