Các phương pháp tính giải các phương trình và phương trình vi phân

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP SV:PHẠM THỊ BẢY KHOA TOÁN Trang LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN LỜI CẢM ƠN Sau thời gian học tập nghiên cứu hướng dẫn bảo tận tình thầy giáo ThS Trần Nhân Tâm Quyền, đến khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành Em xin bày tỏ biết ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Đà Nẵng, Ban chủ nhiệm khoa Toán, tạo hội cho em làm khóa luận tốt nghiệp Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến tất thầy cô giáo nhà trường, đặc biệt thầy giáo khoa Tốn tận tình dạy, truyền đạt cho chúng em kiến thức bổ ích quí báu suốt bốn năm vừa qua Xin cảm ơn giúp đỡ, chia tất bạn lớp suốt thời gian bốn năm học trường, để hồn thành khóa luận Cuối em xin chân thành cảm ơn thầy Trần Nhân Tâm Quyền người trực tiếp hướng dẫn em, quan tâm, động viên dẫn tận tình để em hồn thành khóa luận Tuy có nhiều cố gắng song khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót nội dung lẫn hình thức trình bày, em mong nhận đóng góp q thầy bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn ! Đà Nẵng, tháng năm 2012 Sinh viên thực Phạm Thị Bảy SV:PHẠM THỊ BẢY Trang LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC PHẦN GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI Lý chọn đề tài Phạm vi nghiên cứu Mục đích PHẦN NỘI DUNG 10 CHƯƠNG TÍNH GẦN ĐÚNG NGHIỆM THỰC CỦA MỘT PHƯƠNG TRÌNH 10 Nghiệm khoảng phân li nghiệm 10 1.1 Nghiệm thực phương trình ẩn 10 1.2 Ý nghĩa hình học nghiệm 10 1.3 Sự tồn nghiệm thực phương trình f(x) = 11 1.4 Khoảng phân li nghiệm (còn gọi khoảng tách nghiệm) 12 1.5 Bài tập minh họa 13 Phương pháp chia đôi 14 2.1 Mô tả phương pháp 14 2.2 Sơ đồ tóm tắt phương pháp chia đôi 16 2.3 Bài tập minh họa 16 Phương pháp lặp 18 3.1 Mô tả phương pháp 18 3.2 Sự hội tụ 18 SV:PHẠM THỊ BẢY Trang LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN 3.3 Chú thích 20 3.4 Đánh giá sai số 21 3.5 Tóm tắt phương pháp lặp 22 3.6 Bài tập minh họa 23 phương pháp Newton (tiếp tuyến) 25 4.1 Mô tả phương pháp 25 4.2 Sự hội tụ sai số 27 4.3 Chú ý 29 4.4 Sơ đồ tóm tắt phương pháp tiếp tuyến 29 4.5 Bài tập minh họa 30 Phương pháp dây cung 30 5.1 Mô tả phương pháp 30 5.2 Sơ đồ tóm tắt phương pháp dây cung 31 5.3 Bài tập minh họa 32 CHƯƠNG NGHIỆM CỦA BÀI TỐN CƠSI ĐỐI VỚI 33 Phát biểu toán 33 1.1 Nhận xét mở đầu 33 1.2 Phát biểu toán Cơsi phương trình vi phân cấp 33 1.3 Vấn đề tính gần nghiệm 34 Phương pháp chuỗi Taylor(1) 34 2.1 Mô tả phương pháp 34 2.2 Bài tập minh họa 35 Phương pháp Ơle(1) 36 SV:PHẠM THỊ BẢY Trang LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN 3.1 Mở đầu 36 3.2 Xây dựng cơng thức tính 37 3.3 Sự hội tụ sai số 38 3.4 Quy ước viết 0(hk) 41 3.5 Một cách đánh giá sai số thiết thực 41 3.6 Sơ đồ tóm tắt phương pháp Ơle 43 3.7 Bài tập minh họa 44 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA PHẦN MỀM MATLAB 45 Giới thiệu sơ lược phần mềm Matlab 45 1.1 Giới thiệu chung 45 1.2 Các ứng dụng tiêu biểu Matlab 45 1.3 Đặc trưng Matlab 46 1.4 Khả Matlab 46 1.5 Tác dụng Matlab 47 Tính gần nghiệm thực phương trình Matlab 47 2.1 Phương pháp chia đôi 48 2.1.1 Chương trình tính tốn cho phương pháp chia đơi 48 2.1.2 Chương trình giải 49 2.1.3 Kết 49 2.1.4 Nhận xét 49 2.2 Phương pháp lặp 50 2.2.1 Chương trình tính tốn cho phương pháp lặp 50 2.2.2 Chương trình giải 50 SV:PHẠM THỊ BẢY Trang LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN 2.2.3 Kết 51 2.2.4 Nhận xét 51 2.3 Phương pháp Newtơn (tiếp tuyến) 51 2.3.1 Chương trình tính tốn cho phương pháp Newton 51 2.3.2 Chương trình giải 53 2.3.3 Kết 53 2.3.4 Nhận xét 53 2.4 Phương pháp dây cung 53 2.4.1 Chương trình tính tốn cho phương pháp dây cung 53 2.4.2 Chương trình giải 54 2.4.3 Kết 54 2.4.4 Nhận xét 55 Tính gần nghiệm tốn Cơsi phương trình 55 3.1 Phương pháp chuỗi Taylor 55 3.1.1 Ví dụ 55 3.1.1.1 Chương trình tính khai triển chuỗi Taylor Matlab 56 3.1.1.2 Kết 56 3.1.1.3 Đồ thị hàm khai triển chuỗi Taylor 56 3.1.1.4 Chương trình Matlab vẽ đồ thị hàm số cho 57 3.1.1.5 Đồ thị hàm cho 57 3.1.1.6 Đồ thị so sánh 58 3.1.2 Ví dụ 2: 58 3.1.2.1 Chương trình tính khai triển chuỗi Taylor Matlab 58 SV:PHẠM THỊ BẢY Trang LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN 3.1.2.2 Kết 59 3.1.2.3 Đồ thị hàm khai triển chuỗi Taylor 59 3.1.2.4 Chương trình Matlab vẽ đồ thị hàm số cho 59 3.1.2.5 Đồ thị hàm số cho 60 3.1.2.6 Đồ thị so sánh 60 3.1.3 Nhận xét 61 3.2 Phương pháp Ơle 61 3.2.1 Hàm Ơle thực tính tốn 61 3.2.2 Chương trình Ơle giải toán cho 62 3.2.3 Kết nghiệm xấp xỉ 63 3.2.4 Đồ thị nghiệm xấp xỉ 64 3.2.5 Chương trình tìm nghiệm xác 64 3.2.6 Kết nghiệm xác 64 3.2.7 Đồ thị nghiệm xác 65 3.2.8 Đồ thị so sánh 65 3.2.9 Bảng giá trị 66 3.2.10 Nhận xét 66 PHẦN KẾT LUẬN 67 Kết đạt 67 Hạn chế 67 Hướng phát triển đề tài 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 SV:PHẠM THỊ BẢY Trang LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN PHẦN GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI Lý chọn đề tài Tốn học có vai trị quan trọng đời sống xã hội khoa học kỹ thuật Như biết để giải toán thực tế xác định khoảng cách hành tinh hệ mặt trời, đo đạc đất đai,… cần sử dụng đến phương trình từ đơn giản đến phức tạp Tuy nhiên để giải phương trình phức tạp dạng tốn nói chung khó khăn, việc đưa chúng phương trình có dạng phép biến đổi đại số việc khảo sát tính chất nghiệm qua công thức nhiều thời gian, công sức tránh khỏi nhầm lẫn, chúng khơng cho ta kết mong muốn Vì từ thời Archimedes, phương pháp giải gần phương trình xây dựng, nhiều phương pháp trở thành kinh điển phổ biến rộng rãi thực tế Ngày nay, với bùng nổ công nghệ thơng tin phương pháp giải gần lại có ý nghĩa thực tế lớn Để giải phương trình tay giấy, có phải hàng ngày với sai sót dễ xảy ra, với việc dùng phần mềm máy tính hỗ trợ giải toán ta cần vài phút Tuy nhiên, việc thực phép toán máy cách dễ dàng địi hỏi người sử dụng phải có hiểu biết sâu lý thuyết toán học, bên cạnh khơng thể bỏ qua kĩ việc sử dụng phần mềm Tin học Hiện có nhiều phần mềm ứng dụng dùng để giải toán Matcad, Maple…Những phần mềm với máy vi tính giúp người giải nhanh thực nhiều toán phức tạp Matlab phần mềm có nhiều ứng dụng tốn học kĩ thuật Tuy nhiên, chưa phát triển rộng rãi Do đó, tơi chọn đề tài với mong muốn, để kiểm chứng lại nghiệm mà phương pháp giải đưa phương pháp cho độ xác nghiệm giới thiệu đến người đọc biết ứng dụng phần mềm Matlab SV:PHẠM THỊ BẢY Trang LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TỐN Một cơng cụ tính tốn hỗ trợ đắc lực cho việc tiếp thu kiến thức lí thuyết gắn liền với thực hành tính tốn, giúp học sinh, sinh viên không tiếp thu tốt kiến thức khoa học, mà tiếp cận tốt với phương pháp cơng cụ tính tốn đại Phạm vi nghiên cứu Đề tài xoay quanh phương pháp tính gần nghiệm phương trình tốn Cơsi phương trình vi phân thường, ngồi cịn có phần sử dụng Malab phương pháp là: 1) Tính gần nghiệm phương trình a) Phương pháp chia đơi b) Phương pháp lặp c) Phương pháp Newton d) Phương pháp dây cung 2) Bài tốn Cơsi phương trình vi phân thường a) Phương pháp chuỗi Taylor b) Phương pháp Ơle Mục đích Nắm phương pháp giải để tìm gần nghiệm phương trình tốn Cơsi phương trình vi phân thường Viết chương trình phần mềm Matlab để tìm nghiệm, vẽ đồ thị Rút ưu, nhược điểm phương pháp giải SV:PHẠM THỊ BẢY Trang LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG TÍNH GẦN ĐÚNG NGHIỆM THỰC CỦA MỘT PHƯƠNG TRÌNH Nghiệm khoảng phân li nghiệm 1.1 Nghiệm thực phương trình ẩn Cho phương trình ẩn: f(x) = 0, (1.1) đó: f hàm số cho trước, x đối số Nghiệm thực phương trình f(x) = số thực α thỏa (1.1) có nghĩa thay α vào x ta được: f(α) = 1.2 Ý nghĩa hình học nghiệm Trong hệ tọa độ vng góc Oxy (Hình 1-1) Ta vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (1.2) Giả sử đồ thị cắt trục hoành điểm H có tọa độ H = (α; 0) Thay vào (1.2) ta được: = f(α) (1.3) Ta nhận thấy hoành độ α giao điểm H nghiệm (1.1) y H x α Hình 1-1 SV:PHẠM THỊ BẢY Trang 10 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN dau 22 lan lap/n hoi tu dau 23 lan lap/n hoi tu dau 24 lan lap/n hoi tu dau 25 lan lap/n x = 2.0288 ss = 8.0369e-006 xx = Columns through 16 2.5805 2.3642 2.2400 2.1644 2.1170 2.0865 2.0668 2.0539 2.0454 2.0398 2.0361 2.0336 2.0320 2.0309 2.0302 2.0297 Columns 17 through 26 2.0294 2.0292 2.0290 2.0289 2.0289 2.0288 2.0288 2.0288 2.0288 2.0288 2.4.4 Nhận xét Phương pháp dây cung xác định hàm lặp dựa phương pháp chia đôi nên đơn giản, hội tụ toán phương pháp tốn nhiều thời gian Tính gần nghiệm tốn Cơsi phương trình vi phân thường Matlab Trong phần này, tơi trình bày chương trình tính tốn sử dụng Matlab để giải tính gần nghiệm tốn Cơsi phương trình vi phân thường phương pháp chuỗi Taylor phương pháp Ơle mà tơi trình bày chương 3.1 Phương pháp chuỗi Taylor 3.1.1 Ví dụ 1:  y ' ex (sinx  cosx)  cosx  0, Xét phương trình vi phân    y(0)  SV:PHẠM THỊ BẢY Trang 55 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TỐN 3.1.1.1 Chương trình tính khai triển chuỗi Taylor Matlab syms x y=sin(x)+2.73^x*cos(x); t=taylor(y,4,0) ezplot(t,[-1,3]) title('do thi ham so khai trien') xlabel('truc ox') ylabel('truc oy') 3.1.1.2 Kết t = (log(100/273)/2 - log(100/273)^3/6 - 1/6)*x^3 + (log(100/273)^2/2 - 1/2)*x^2 + (1 - log(100/273))*x + 3.1.1.3 Đồ thị hàm khai triển chuỗi Taylor SV:PHẠM THỊ BẢY Trang 56 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN 3.1.1.4 Chương trình Matlab vẽ đồ thị hàm số cho syms x y=sin(x)+2.73^x*cos(x) t=taylor(y,10,0) xd=-1:0.05:3; yd=subs(t,x,xd); plot(xd,yd,'-r') title('do thi ham da cho') xlabel('truc ox') ylabel('truc oy') 3.1.1.5 Đồ thị hàm cho SV:PHẠM THỊ BẢY Trang 57 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN 3.1.1.6 Đồ thị so sánh 3.1.2 Ví dụ 2: Xét phương trình vi phân  y ' ex.cosx (cosx  xsinx)  0,   y(0)  3.1.2.1 Chương trình tính khai triển chuỗi Taylor Matlab syms x y=exp(x*cos(x)); t=taylor(y,4,0) ezplot(t,[-1,1]) title('do thi ham so khai trien') xlabel('truc ox') ylabel('truc oy') SV:PHẠM THỊ BẢY Trang 58 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN 3.1.2.2 Kết t = - x^3/3 + x^2/2 + x + 3.1.2.3 Đồ thị hàm khai triển chuỗi Taylor 3.1.2.4 Chương trình Matlab vẽ đồ thị hàm số cho syms x y=exp(x*cos(x)); t=taylor(y,5,0) xd=-1:0.05:1; yd=subs(t,x,xd); plot(xd,yd,'-r') title('do thi ham da cho') xlabel('truc ox') ylabel('truc oy') SV:PHẠM THỊ BẢY Trang 59 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN 3.1.2.5 Đồ thị hàm số cho 3.1.2.6 Đồ thị so sánh SV:PHẠM THỊ BẢY Trang 60 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN 3.1.3 Nhận xét Phương pháp chuỗi Taylor khơng phức tạp tính tốn Nếu khai triển Taylor với xấp xỉ bậc cao cho ta lời giải xác Như đồ thị so sánh ta thấy đoạn [-0,7; 0,7] (ví dụ 1), [-0,3; 0,4] (ví dụ 2) nghiệm cho ta xác, đoạn xoay quanh điểm x0 cần xét Tuy nhiên nghiệm phương trình vi phân cấp nói chung hàm khả vi cấp 1, việc địi hỏi đạo hàm cấp caocủa hạn chế 3.2 Phương pháp Ơle Ví dụ minh họa: Giải gần tốn Côsi sau:   y '  x  y2,  x  1,   y(0) = với bước nhảy h = 0,2 3.2.1 Hàm Ơle thực tính tốn function [X,Y]=euler(fxy,x0,xf,y0,n) if n