Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp số gần đúng để giải các bài toán được mô tả bởi các phương trình vi phân đạo hàm riêng trên miền xác định có hình dạng và điều kiện biên bất kỳ
Giới thiệu chung
Có những đề án phức tạp, đòi hỏi độ chính xác, độ an toàn cao thì phương pháp phần tử hữu hạn là một lời giải
Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp số gần đúng để giải các bài toán được mô tả bởi các phương trình vi phân đạo hàm riêng trên miền xác định có hình dạng và điều kiện biên bất kỳ mà nghiệm chính xác không thể tìm được bằng phương pháp giải tích
+ Cơ sở: Rời rạc hóa miền xác định (chia nó thành nhiều miền con (phần tử))
+ Các phần tử liên kết với nhau tại điểm nút chung
+ Tập tất cả các phần tử có chú ý đến điều kiện liên tục của sự biến dạng và chuyển vị tại các điểm nút
+ Kết quả đẫn đến một hệ phương trình đại số tuyến tính mà ẩn số chính là các giá trị của hàm xấp xỉ tại các điểm nút
+ Giải hệ phương trình này sẽ tìm được các giá trị của hàm xấp xỉ tại các điểm nút của mỗi phần tử, nhờ đó hàm xấp xỉ hoàn toàn được xác định trên mỗi một phần tử
Xấp xỉ bằng phần tử hữu hạn:
Giả sử V là miền xác định của một đại lượng cần khảo sát nào đó (chuyển vị, ứng suất, biến dạng, nhiệt độ, …) Ta chia V ra nhiều miền con có kích thước v e và bậc tự do hữu hạn Đại lượng xấp xỉ của đại lượng trên sẽ được tính trong tập hợp các miền Phương pháp xấp xỉ nhờ các miền con được gọi là v e v e phương pháp xấp xỉ bằng các phần tử hữu hạn, nó có một số đặc điểm sau:
- Xấp xỉ nút trên mỗi miền con chỉ liên quan đến những biến nút gắn vào nút v e của và biên của nó v e
- Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con được xây dựng sao cho chúng liên tục v e trên và phải thoả mãn các điều kiện liên tục giữa các miền con khác nhau v e
- Các miền con được gọi là các phần tử v e
Định nghĩa hình học các phần tử hữu hạn
Nút hình học là tập hợp n điểm trên miền V để xác định hình học các PTHH Chia miền V theo các nút trên, rồi thay miền V bằng một tập hợp các phần tử v e có dạng đơn giản hơn Mỗi phần tử cần chọn sao cho nó được xác định giải v e tích duy nhất theo các toạ độ nút hình học của phần tử đó, có nghĩa là các toạ độ nằm trong hoặc trên biên của nó v e
● Quy tắc chia miền thành các phần tử:
Việc chia miền V thành các phần tử phải thoả mãn hai qui tắc sau: v e
- Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên biên của chúng Điều này loại trừ khả năng giao nhau giữa hai phần tử Biên giới giữa các phần tử có thể là các điểm, đường hay mặt (Hình 1.1)
- Tập hợp tất cả các phần tử phải tạo thành một miền càng gần với miền V cho v e trước càng tốt Tránh không được tạo lỗ hổng giữa các phần tử.
Các dạng phần tử hữu hạn
Có nhiều dạng phần tử hữu hạn: phần tử một chiều, hai chiều và ba chiều Trong mỗi dạng đó, đại lượng khảo sát có thể biến thiên bậc nhất (gọi là phần tử bậc nhất), bậc hai hoặc bậc ba v.v Dưới đây, chúng ta làm quen với một số dạng phần tử hữu hạn hay gặp
Phần tử quy chiếu
Với mục đích đơn giản hoá việc xác định giải tích các phần tử có dạng phức tạp, chúng ta đưa vào khái niệm phần tử qui chiếu, hay phần tử chuẩn hoá, ký hiệu là Phần tử qui chiếu thường là phần tử đơn giản, được xác định trong v r không gian qui chiếu mà từ đó, ta có thể biến đổi nó thành từng phần tử thực v e nhờ một phép biến đổi hình học Ví dụ trong trường hợp phần tử tam giácr e
Các phép biến đổi hình học phải sinh ra các phần tử thực và phải thoả mãn các qui tắc chia phần tử đã trình bày ở trên Muốn vậy, mỗi phép biến đổi hình học phải được chọn sao cho có các tính chất sau: a Phép biến đổi phải có tính hai chiều (song ánh) đối với mọi điểm trong phần tử qui chiếu hoặc trên biên; mỗi điểm của ứng với một và chỉ một điểm của v r v e và ngược lại b Mỗi phần biên của phần tử qui chiếu được xác định bởi các nút hình học của biên đó ứng với phần biên của phần tử thực được xác định bởi các nút tương ứng
MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUY CHIẾU:
Phần tử quy chiếu một chiều
Phần tử quy chiếu hai chiều :
Phần tử quy chiếu ba chiều :
Sơ đồ tính toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn
Thuật toán xây dựng ma trận độ cứng chung và vecto lực nút chung
Việc ghép các ma trận độ cứng và các véctơ lực của các phần tử k f để tạo ra ma trận độ cứng và véctơ lực nút chung cho cả hệ, từ đó K F thiết lập hệ phương trình PTHH là một vấn đề quan trọng
Ta sẽ cộng các số hạng của ma trận độ cứng của mỗi phần tử vào các vị trí tương ứng của ma trận độ cứng chung và cộng các số hạng của véctơ lực vào véctơ lực chung
Cách dễ nhất để ghép các phần tử là gán số cho mỗi dòng và cột của ma trận độ cứng phần tử đúng với bậc tự do của phần tử ấy, sau đó chúng ta sẽ làm việc qua các số hạng của ma trận phần tử; tức là cộng các số hạng này vào ma trận chung mà mỗi dòng, mỗi cột cũng được gán đúng những số trên
Dưới đây ta sẽ xét hai ví dụ:
Ví dụ 1: Một kết cấu được chia ra 8 phần tử tam giác như hình dưới đây Mỗi phần tử có 3 nút; mỗi nút có 1 bậc tự do (ví dụ nhiệt độ)
Mô tả quá trình ghép nối ma trận độ cứng chung với giả sử chỉ xét 3 phần tử đầu K tiên: 1, 2 và 3 với các ma trận độ cứng đã biết như sau:
1 Xây dựng bảng ghép nối phần tử (đường đến các nút ngược chiều kim đồng hồ):
Với phần tử 1, các dòng và cột được nhận dạng như sau:
Ma trận này được cộng vào ma trận độ cứng chung và ta sẽ được:
Ma trận độ cứng của phần tử 2 được gán số bởi:
Các số hạng của ma trận được cộng thêm vào ma trận chung, cho ta k 2
Các số hạng của ma trận k 3 được cộng tiếp vào ma trận chung ở trên, cho ta
Việc cộng các véctơ lực phần tử vào véctơ lực chung được tiến hành hoàn toàn tương tự
Giả sử có hai phần tử 1 và 4 trong bài toán hai chiều; mỗi phần tử có 3 nút, mỗi nút có 2 bậc tự do (Hình ví dụ 2) Hãy mô tả quá trình ghép nối ma trận độ cứng chung
K và véctơ lực nút chung, theo các ma trận độ cứng phần tử và véctơ lực nút phần tử , , và cho trước như sau: k 1 k 4 f 1 f 4
Hình ví dụ 2 Các nút của phần tử 1 là: (1, 2, 5) Bậc tự do tương ứng của phần tử là:
Các hàng và cột của ma trận độ cứng phần tử 1 được gán các số ứng với bậc tự do tương ứng của nó và các số hạng của ma trận được cộng vào các vị trí tương ứng của ma trận độ cứng chung
Tiến hành tương tự đối với ma trận độ cứng của phần tử 4 Các nút của phần tử 4 là: (5, 2, 6) Bậc tự do tương ứng của phần tử là:
Các số hạng của ma trận được cộng vào các vị trí tương ứng của ma trận độ cứng chung, ta nhận được kết quả như sau:
Véctơ lực nút của các phần tử 1 và 4 cũng được cộng vào véctơ lực nút chung theo cách tương tự:
Thuật toán ghép K và F
Bài toán truyền nhiệt hai chiều A Phương trình vi phân truyền nhiệt hai chiều
A Phương trình vi phân truyền nhiệt hai chiều:
Mục đích của chúng ta ở đây là đi xác định sự phân bố nhiệt độ T(x, y) trong một vật thể dài, hình lăng trụ; chẳng hạn trong ống khói có tiết diện ngang chữ nhật như hình dưới đây:
(a) Mô hình bài toán dẫn nhiệt hai chiều (b)Vi phân thể tích dẫn
Phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả quá trình dẫn nhiệt 2 chiều là một trường hợp riêng của phương trình tổng quát cho quá trình dẫn nhiệt Helmholtz.
Điều kiện biên
Phương trình (2.1) phải được giải quyết với các điều kiện biên xác định Có ba dạng điều kiện biên như mô tả trên Hình 2.2
Các điều kiện biên được phát biểu cụ thể như sau: i Cho trước nhiệt độ T = T trên biên S ; 0 T ii Cho trước mật độ nhiệt q = q0 trên S ; n q iii Cho trước qui luật trao đổi nhiệt giữa bề mặt của vật và môi trường q = h(T-n
Hình 2.2.Các điều kiện biên của bài toán dẫn nhiệt hai chiều
Phần bên trong vật ký hiệu là A Biên tổng cộng là S = (S + S + S ) Ngoài ra, T q c véctơ mật độ nhiệt q vuông góc với biên dẫn Ở đây ta qui ước: q >0 nếu nhiệt đi n 0 ra ngoài vật và q < 0 nếu nhiệt đi vào trong vật 0
Phần tử tam giác
Chúng ta sẽ sử dụng phần tử tam giác để giải bài toán dẫn nhiệt
Hình 2.3 Phần tử tam giác bậc nhất trong bài toán dẫn nhiệt hai chiều Trường nhiệt độ trong phần tử được biểu diễn bởi:
Với phần tử tam giác đẳng tham số ta có:
Nghịch đảo ma trận trên ta được:
Xây dựng phiếm hàm
CODE MATLAB
So sánh phương pháp
SO SÁNH PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (FEM) VÀ PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN (FDM)
FDM là một phương pháp khác để giải phương trình vi phân từng phần + Là phương pháp số tương đối đơn giản và ổn định
+ Biến đổi một cách gần đúng các đạo hàm riêng của phương trình vi phần chủ đạo thành thương của các số gia tương ứng
+ Dùng các họ đường song song với các trục toạ độ để tạo thành một mạng lưới chia miền nghiệm trong vật thể thành một số hữu hạn các điểm nút,
+ Xác định nhiệt độ của phần từ tại các nút đó thay cho việc tính nhiệt độ trên toàn miền
=> SPHH đã xấp xỉ các phương trình vi phân đạo hàm riêng thành các phương trình đại số
+ SPHH rất hữu hiệu trong việc giải nhiều bài toán truyền nhiệt phức tạp mà phương pháp giải tích gặp khó khăn
+ Tuy nhiên khi gặp phải vật thể có hình dạng bất quy tắc hoặc điều kiện biên giới bất thưởng, phương pháp PTHH lại tỏ ra vượt trội hơn.
Kết luận
Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là một phương pháp tổng quát và hữu hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau, là sự lựa chọn tốt cho việc giải phương trình vi phân từng phần trên những miền phức tạp Từ việc phân tích trạng thái ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay, tàu thuỷ, khung nhà cao tầng, dầm cầu,… đến những bài toán của lý thuyết trường như: lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thuỷ đàn hồi, khí đàn hồi, điện-từ trường,…
Sự phát triển của FEM trong cơ học kết cấu đặt cơ sở cho nguyên lý năng lượng, ví dụ như: nguyên lý công khả dĩ, FEM cung cấp một cơ sở tổng quát mang tính trực quan theo quy luật tự nhiên, đó là một yêu cầu lớn đối với những kỹ sư kết cấu.