Giải toán truyền nhiệt chiều phơng pháp sai phân Mục lục Lời nói đầu Chơng Mở đầu.5 1.1 Phơng trình truyền nhiệt5 1.2 Công thức Taylor.7 Chơng Phơng pháp sai phân giải toán truyền nhiệt tuyến tính hệ số hàm với điều kiện biên loại 2.1 Phát biểu toán.9 2.2 Lới sai phân hàm lới 10 2.3 Lợc đồ sai phân.12 2.4 Bài toán sai phân sai số 17 2.5 Sự xấp xỉ.18 2.6 Sự ổn định 18 2.7 Sự hội tụ 25 Chơng Phơng pháp sai phân giải toán truyền nhiệt tuyến tính hệ số hàm với điều kiện biên loại ba26 3.1 Phát biểu toán 26 3.2 Lới sai phân hàm lới 27 3.3 Lợc đồ sai phân27 3.4 Bài toán sai phân sai số 32 3.5 Sự xấp xỉ.33 3.6 Sự ổn định 33 3.7 Sự hội tụ 43 KÕt ln ………………………………………………………………….44 Phơ lơc ……………………………………………………………………45 Tµi liƯu tham khảo 51 Giải toán truyền nhiệt chiều phơng pháp sai phân Lời nói đầu Bài toán truyền nhiệt ba toán vật lý toán mà hay gặp thực tế Việc giải toán để có đợc đáp số số yêu cầu quan trọng cđa thùc tiƠn Trong mét sè Ýt trêng hỵp, chóng ta tìm đợc nghiệm tờng minh Tuy nhiên đa số trờng hợp, đặc biệt toán có hệ số hàm nghiệm tờng minh toán khó xác định đợc, nghiệm tờng minh dạng phức tạp Vì trờng hợp thờng dựa vào phơng pháp giải gần để tìm nghiệm Đến có hai lớp phơng pháp quan trọng thờng đợc sử dụng để tìm nghiệm gần : phơng pháp sai phân hữu hạn phơng pháp phần tử hữu hạn Phơng pháp sai phân phơng pháp đợc ¸p dơng réng r·i nhiỊu lÜnh vùc khoa häc kỹ thuật Nội dung đa toán cần xét việc giải phơng trình sai phân hệ phơng trình sai phân cho việc tính toán thuận tiện, đồng thời đảm bảo đợc tính ổn định lợc đồ, nh đánh giá đợc tốc độ hội tụ nghiệm gần tìm đợc tới nghiệm toán Nhận thấy tầm quan trọng phơng pháp sai phân hữu hạn, em đà tìm hiểu phơng pháp Đồng thời với hớng dẫn thầy Tạ Văn Đĩnh, em đà chọn đề tài : giải toán truyền nhiệt chiều phơng pháp sai phân Trong đồ án em đà xây dựng lợc đồ sai phân cho số dạng toán truyền nhiệt hệ số hàm với điều kiên biên loại điều kiện biên loại ba Lợc đồ ổn định, đồng thời nghiệm sai phân lợc đồ hội tụ đến nghiệm toán vi phân cấp hai (bớc theo thời gian) cấp hai h (bớc theo không gian) Cụ thể đồ án gồm chơng: Chơng : Mở đầu Chơng giới thiệu phơng trình truyền nhiệt công thức Taylor để nghiên cứu lợc đồ sai phân Chơng 2: Phơng pháp sai phân giải toán truyền nhiệt tuyến tính hệ số hàm với điều kiện biên loại Chơng 3: Phơng pháp sai phân giải toán truyền nhiệt tuyến tính hệ số hàm với điều kiện biên loại ba Giải toán truyền nhiệt chiều phơng pháp sai phân Chơng Mở đầu 1.1 Phơng trình truyền nhiệt Xét vật chất không đồng chất, dài L(cm), có thiết diện thẳng nhỏ không đổi S(cm2), có khối lợng riêng (g/cm3), cã nhiƯt dung lµ C(cal/g.oC) XÐt mét bé phËn vËt chÊt cã thĨ tÝch V(cm 3) NÕu bé phËn ®ã có nhiệt độ không đổi nhiệt độ u(oC) nhiệt lợng H(cal) liên hệ với c«ng thøc: H = u ρ CV (1.1) Ngêi ta quan s¸t thÊy vËt chÊt cã vïng nãng vùng lạnh nhiệt lợng có khả khuếch tán tõ vïng nãng sang vïng l¹nh Ta gäi suÊt khuÕch tán nhiệt k(cm2/s) Bây giả sử vật chất bị cách nhiệt khỏi môi trờng xung quanh, trừ hai đầu mút HÃy xét diễn biến theo thời gian phân bố nhiệt độ Ta tởng tợng vật chất đặt trục Ox từ x = a ®Õn x = a+L = b a b x Gọi u(x,t) nhiệt độ ®iĨm x ë thêi ®iĨm t NhiƯt trun tõ n¬i có nhiệt độ cao tới nơi có nhiệt độ thấp h¬n Sù lan trun diƠn däc theo vËt chất tức theo phơng x Nó tuân theo định lt trun nhiƯt thùc nghiƯm cđa Fourier Lng nhiƯt q(cal/(cm2.s)) theo phơng x (tức nhiệt lợng khuếch tán qua đơn vị diện tích thiết diện thẳng nhỏ S đơn vị thời gian) tỉ lệ u với vận tốc biến thiên nhiệt độ u dọc theo phơng x, tức tỉ lệ với x : ∂u q = -k C ∂ x (1.2) dÊu trõ (-) ë vÕ ph¶i nãi r»ng nhiƯt trun theo chiều giảm nhiệt độ Giải toán truyền nhiệt chiều phơng pháp sai phân Do có định luật bảo toàn nhiệt lợng nên có cân nhiệt phân tố nhỏ S x cđa tõ x ®Õn x+ x thêi gian t Sự cân diễn đạt công thức : Nhiệt truyền vào phân tố Nhiệt khái ph©n tè = NhiƯt tÝch l ph©n tè Nhiệt truyền vào phân tố q(x,t)S t ; Nhiệt khỏi phân tố q(x+ x ,t)S t ; Nhiệt tích luỹ phân tố S x C u u biến thiên nhiƯt ®é thêi gian t VËy cã : q(x,t)S t - q(x+ x ,t)S t = S x C u chia cho S xt ta đợc : q(x, t) q(x x, t) u C x t chuyển qua giới hạn (bằng cách cho x , t ), ta cã: q u C x x áp dụng định luật Fourier (1.2) ta suy ra: ∂ ( kC ρ ∂u )=ρC ∂u ∂x ∂x ∂t a < x < b, t > 0, k=k(x,t), ρ = ρ (x,t), C = C(x,t) (1.3) để đơn giản tính toán ta coi =const C=const ta viết lại phơng trình (1.3) (k u )= ∂u ∂x ∂x ∂t a < x < b, t > 0, k=k(x,t) (1.4) Phơng trình (1.4) mô tả tợng truyền nhiệt vật chất không đồng chất, gọi phơng trình truyền nhiệt thanh, gọi phơng trình truyền nhiệt chiều Khi vËt chÊt cßn cã mét ngn nhiƯt(sinh hay hấp thụ nhiệt) đặc trng hàm f(x,t) ta có phơng trình: Giải toán truyền nhiệt chiều phơng pháp sai phân u u k(x, t, u) f (x, t) x x t ; a < x < b, t > (1.5) nÕu k vµ f không phụ thuộc vào u ta có phơng trình trun nhiƯt tun tÝnh: u u k(x, t) q(x, t)u f (x, t) t x x ; a < x < b, t > (1.6) nÕu m«i trêng truyền nhiệt có tợng đối lu có phơng trình: u u u k(x, t) r(x, t) q(x, t)u f (x, t) t x x x ; a < x (1.7) Trong ph¹m vi đồ án này, em xin trình bày phơng pháp sai phân số dạng phơng trình truyền nhiệt hệ số hàm với điều kiện biên loại phơng trình truyền nhiệt hệ số hàm với điều kiện biên loại ba 1.2 Công thức Taylor Ta nhắc lại công thức Taylor sau ta phải sử dụng nhiều lần Giả sử F ( x ) hàm số xác định có đạo hàm đến cấp m+1 khoảng ( , β ) chøa x vµ x+ Δxx , Δxx cã thể dơng hay âm Khi ngời ta chứng minh đợc công thức Taylor sau: ( xx ) '' Δxx ' F ( x +Δxx )=F ( x )+ F ( x )+ F ( x ) + + 1! 2! + ( Δxx )m ( m) ( Δxx )m+1 ( m+1 ) F ( x )+ F ( c) m! ( m+1 ) ! c điểm khoảng từ x (1.8) đến x+ xx ; để diễn tả điều ta viÕt c = x+θ Δxx víi 0