Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân

Giải toán truyền nhiệt chiều phương pháp sai phân MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU……………………………………………………………… Chương MỞ ĐẦU……………………………………………………………………….5 1.1 Phương trình truyền nhiệt………………………………………………5 1.2 Cơng thức Taylor……………………………………………………….7 Chương PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HÀM VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN LOẠI MỘT………………… 2.1 Phát biểu toán……………………………………………………….9 2.2 Lưới sai phân hàm lưới…………………………………………… 10 2.3 Lược đồ sai phân……………………………………………………….12 2.4 Bài toán sai phân sai sè……………………………………… 17 2.5 Sự xấp xỉ……………………………………………………………….18 2.6 Sự ổn định…………………………………………………………… 18 2.7 Sự hội tụ……………………………………………………………… 25 Chương PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TỐN TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HÀM VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN LOẠI BA……………………26 3.1 Phát biểu toán…………………………………………………… 26 3.2 Lưới sai phân hàm lưới…………………………………………… 27 Giải toán truyền nhiệt chiều phương pháp sai phân 3.3 Lược đồ sai phân………………………………………………………27 3.4 Bài toán sai phân sai sè……………………………………… 32 3.5 Sự xấp xỉ……………………………………………………………….33 3.6 Sự ổn định…………………………………………………………… 33 3.7 Sự hội tụ……………………………………………………………… 43 KẾT LUẬN ………………………………………………………………….44 PHỤ LỤC ……………………………………………………………………45 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………… 51 Giải toán truyền nhiệt chiều phương pháp sai phân Lời nói đầu Bài toán truyền nhiệt ba toán vật lý toán mà hay gặp thực tế Việc giải tốn để có đáp số số yêu cầu quan trọng thực tiễn Trong số Ýt trường hợp, tìm nghiệm tường minh Tuy nhiên đa số trường hợp, đặc biệt tốn có hệ số hàm nghiệm tường minh tốn khó xác định được, nghiệm tường minh dạng phức tạp Vì trường hợp thường dựa vào phương pháp giải gần để tìm nghiệm Đến có hai lớp phương pháp quan trọng thường sử dụng để tìm nghiệm gần : phương pháp sai phân hữu hạn phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp sai phân phương pháp áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật Nội dung đưa tốn cần xét việc giải phương trình sai phân hệ phương trình sai phân cho việc tính tốn thuận tiện, đồng thời đảm bảo tính ổn định lược đồ, đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm gần tìm tới nghiệm tốn Nhận thấy tầm quan trọng phương pháp sai phân hữu hạn, em tìm hiểu phương pháp Đồng thời với hướng dẫn thầy Tạ Văn Đĩnh, em chọn đề tài : giải toán truyền nhiệt chiều phương pháp sai phân Trong đồ án em xây dựng lược đồ sai phân cho số dạng toán truyền nhiệt hệ số hàm với điều kiên biên loại điều kiện biên loại ba Lược đồ ổn định, đồng thời nghiệm sai phân lược đồ hội tụ đến nghiệm toán vi phân cấp hai  (bước theo thời gian) cấp hai h (bước theo không gian) Cụ thể đồ án gồm chương: Chương : Mở đầu Giải toán truyền nhiệt chiều phương pháp sai phân Chương giới thiệu phương trình truyền nhiệt cơng thức Taylor để nghiên cứu lược đồ sai phân Chương 2: Phương pháp sai phân giải tốn truyền nhiệt tuyến tính hệ số hàm với điều kiện biên loại Chương 3: Phương pháp sai phân giải tốn truyền nhiệt tuyến tính hệ số hàm với điều kiện biên loại ba Giải toán truyền nhiệt chiều phương pháp sai phân Chương MỞ ĐẦU 1.1 Phương trình truyền nhiệt Xét vật chất không đồng chất, dài L(cm), có thiết diện thẳng nhỏ khơng đổi S(cm2), có khối lượng riêng  (g/cm3), có nhiệt dung C(cal/g.oC) Xét phận vật chất tích V(cm 3) Nếu phận có nhiệt độ khơng đổi nhiệt độ u( oC) nhiệt lượng H(cal) liên hệ với cơng thức: H = u  CV (1.1) Người ta quan sát thấy vật chất có vùng nóng vùng lạnh nhiệt lượng có khả khuếch tán từ vùng nóng sang vùng lạnh Ta gọi suất khuếch tán nhiệt k(cm2/s) Bây giả sử vật chất bị cách nhiệt khỏi môi trường xung quanh, trừ hai đầu mút Hãy xét diễn biến theo thời gian phân bố nhiệt độ Ta tưởng tượng vật chất đặt trục Ox từ x = a đến x = a+L = b a b x Gọi u(x,t) nhiệt độ điểm x thời điểm t Nhiệt truyền từ nơi có nhiệt độ cao tới nơi có nhiệt độ thấp Sự lan truyền diễn dọc theo vật chất tức theo phương x Nó tuân theo định luật truyền nhiệt thực nghiệm Fourier Giải toán truyền nhiệt chiều phương pháp sai phân Luồng nhiệt q(cal/(cm2.s)) theo phương x (tức nhiệt lượng khuếch tán qua đơn vị diện tích thiết diện thẳng nhỏ S đơn vị thời gian) tỉ u lệ với vận tốc biến thiên nhiệt độ u dọc theo phương x, tức tỉ lệ với x : u q = -k  C x (1.2) dấu trừ (-) vế phải nói nhiệt truyền theo chiều giảm nhiệt độ Do có định luật bảo tồn nhiệt lượng nên có cân nhiệt phân tố nhỏ S x từ x đến x+ x thời gian t Sự cân diễn đạt công thức : Nhiệt truyền vào phân tố – Nhiệt khỏi phân tố = Nhiệt tích luỹ phân tố Nhiệt truyền vào phân tố q(x,t)S t ; Nhiệt khỏi phân tố q(x+ x ,t)S t ; Nhiệt tích luỹ phân tố S x  C u u biến thiên nhiệt độ thời gian t Vậy có : q(x,t)S t - q(x+ x ,t)S t = S x  C u chia cho S xt ta : q(x, t)  q(x  x, t) u C x t chuyển qua giới hạn (bằng cách cho x  , t  ), ta có:  q u C x x áp dụng định luật Fourier (1.2) ta suy ra:  u u ( kC ) C x x t a < x < b, t > 0, k=k(x,t),  =  (x,t), C = C(x,t) (1.3) Giải toán truyền nhiệt chiều phương pháp sai phân để đơn giản tính tốn ta coi  =const C=const ta viết lại phương trình (1.3)  u u (k )  x x t a < x < b, t > 0, k=k(x,t) (1.4) Phương trình (1.4) mơ tả tượng truyền nhiệt vật chất không đồng chất, gọi phương trình truyền nhiệt thanh, cịn gọi phương trình truyền nhiệt chiều Khi vật chất cịn có nguồn nhiệt(sinh hay hấp thụ nhiệt) đặc trưng hàm f(x,t) ta có phương trình:   u  u k(x, t, u)   f (x, t)  ;  x  x  t a < x < b, t > (1.5) k f không phụ thuộc vào u ta có phương trình truyền nhiệt tuyến tính: u   u    k(x, t)   q(x, t)u  f (x, t) ; a < x < b, t > t x  x  (1.6) mơi trường truyền nhiệt cịn có tượng đối lưu có phương trình: u   u  u   k(x, t)   r(x, t)  q(x, t)u  f (x, t) ; a < x (1.7) t x  x  x Trong phạm vi đồ án này, em xin trình bày phương pháp sai phân số dạng phương trình truyền nhiệt hệ số hàm với điều kiện biên loại phương trình truyền nhiệt hệ số hàm với điều kiện biên loại ba 1.2 Công thức Taylor Ta nhắc lại công thức Taylor sau ta phải sử dụng nhiều lần Giả sử F  x hàm số xác định có đạo hàm đến cấp m+1 khoảng  ,   chứa x x  x , x dương hay âm Khi người ta chứng minh công thức Taylor sau: F  x  x   F  x     x  F ''  x    x ' F  x   1! 2!  x  m m! F  m   x    x  m1 F  m1  c   m  1! (1.8) Giải toán truyền nhiệt chiều phương pháp sai phân c điểm khoảng từ x đến x  x ; để diễn tả điều ta viết c = x   x với    Ta giả thiết thêm: F m 1  x   M const , x   ,   Khi số hạng cuối (1.8) vô bé x  công thức Taylor (1.8) viết gọn hơn: x '  x  F ''  x    F  x  x   F  x   F  x   1! 2!   x  m m!  F  m   x   O  x  m 1  (1.9) Giải toán truyền nhiệt chiều phương pháp sai phân Chương PHƯƠNG PHÁP CRANK – NICOLSON GIẢI BÀI TỐN TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HÀM VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN LOẠI MỘT 2.1 Phát biểu toán Cho số a, b ; a  b T  Xét: QT  a, b   0, T  ; QT  a, b   0, T  Xét tốn biên thứ phương trình truyền nhiệt: Tìm hàm số u  x, t  thoả mãn: Lu  u   u    k  x, t    q  x, t u  f  x, t  t x  x  u  x,0   g  x  , u  a, t   g a  t  , (2.1)  x, t   QT (2.2) a  x b u  b, t   gb  t  (2.3)  t T k  x , t  , q  x, t  , f  x, t  , g  x  , g a  t  , g b  t  hàm số cho trước đủ trơn thoả mãn điều kiện :  c0  k  x, t  ,  q  x, t  c0 = const Phương trình (2.1) phương trình loại parabol Phương trình (2.1) phương trình truyền nhiệt chiều Biến x gọi biến khơng gian, cịn biến t gọi biến thời gian Bài toán (2.1)-(2.3) tốn vừa có điều kiện ban đầu (đó điều kiện (2.2)), vừa có điều kiện biên (đó điều kiện (2.3)); Đó tốn biên loại phương trình (2.1) Giả sử tốn (2.1)-(2.3) có nghiệm đủ trơn 2.2 Lưới sai phân hàm lưới QT Giải toán truyền nhiệt chiều phương pháp sai phân 2.2.1 Lưới sai phân Chọn hai số nguyên N >1 M  đặt: h  b a N   T M Ta chia miền điểm , , QT xi  a  ih , t j  j i=0,1,2,…N j = 0,1,2,…,M thành ô đường thẳng x  xi , t t j  x , t  gọi nút, nút  x , t  viết gọn (i,j); i j i j h theo không gian,  gọi bước theo thời gian Tập tất nút tạo thành lưới sai phân QT Lưới [a, b] (lưới không gian): Tập: h = { xi | i=1,2,…,N-1} gọi tập nút  a, b Tập: h = { xi | i=0, N } gọi tập nút biên  a, b ; nót nút N hai nút biên Tập: h  h h gọi lưới sai phân  a, b Lưới  0, T  (lưới thời gian): Tập:    t j | j 1,2, , M gọi lưới sai phân  0, T  Tập:   t j | j 0,1, , M     t 0 gọi lưới sai phân  0, T  ; nót to = nút ban đầu Tập:  h  h    tập nút QT Tập: h  x o a   10 Mỗi gọi bước